Kombinasi, Permutasi dan Peluang

Disusun Oleh : Kelompok 4

Nama : Aisyah Turidho (06081281520073): Reno Sutriono (06081381520044): M. Rizky Tama Putra (06081381419045)

Mata Kuliah : Statistika DasarDosen : Prof. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si

: Puji Astuti, S.Pd., M.Sc

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi Matematika

Universitas Sriwijaya Palembang2016

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI.......................................................................................................................................... i

KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG...................................................................................1

A. KAIDAH PENCACAHAN...........................................................................................................1

1. Faktorial.....................................................................................................................................1

2. Diagram Pohon..........................................................................................................................1

3. Aturan Pengisian Tempat...........................................................................................................2

4. Permutasi dan Kombinasi..........................................................................................................2

4.1 Permutasi...............................................................................................................................2

a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama......................................................................3

b. Permutasi Siklis (Sirkuler).....................................................................................................4

4.2 Kombinasi..............................................................................................................................4

B. PELUANG (Probabilitas)..............................................................................................................5

1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas.........................................................................................5

a. Pendekatan Klasik.................................................................................................................5

b. Konsep Frekuensi Relatif.......................................................................................................6

2. Komplemen Suatu Kejadian......................................................................................................7

3. Interseksi Dua Kejadian.............................................................................................................7

4. Union Dua Kejadian..................................................................................................................8

DAFTAR PUSTAKA..........................................................................................................................10

i

KOMBINASI, PERMUTASI DAN PELUANG

A. KAIDAH PENCACAHAN1. Faktorial

Faktorial merupakan hasil kali bilangan asli dari 1 sampai dengan n, ditulis n ! (dibaca n faktorial).

1 !=12 !=2. 13 !=3 .2 . 14 !=4 . 3 .2.15 !=5 .4 . 3 .2 . 1

Kesimpulan:n !=n (n−1 ) (n−2 ) (n−3 )…3 .2.1 , n∈ A

2. Diagram PohonDalam diagram pohon, setiap hasil dari percobaan diwakili sebagai cabang dari geometri yang berbentuk seperti pohon.

Contohnya pelemparan koin sebanyak dua kali. Pada kasus tersebut hasil dari pelemparan koin terdapat 4 kemungkinan seperti pada diagram pohon berikut:

Diagram pohon itu memiliki empat ranting dimana masing-masing cabang merupakan hasil percobaan. Jika percobaan diperluas untuk tiga lemparan maka akan menghasilkan delapan hasil: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, dan TTT.

1

Teknik ini bisa dilanjutkansistematis untuk memberikan hasil untuk n kali pelemparan koin. Perhatikan bahwa 2 lemparan memiliki 4 hasil dan 3 kali lemparan memiliki 8 hasil. n lemparan memiliki 2n hasil yang mungkin.

Aturan pencacahan untuk percobaan dua langkah menyatakan bahwa jika langkah pertama adalah n1 dan langkah kedua adalah n2, maka percobaan dapat menghasilkan (n1)(n2). Jika ditambahkan langkah ketiga yaitu dengan n3, maka percobaan dapat menghasilkan (n1)(n2)(n3). Penghitungan aturan inipu berlaku untuk eksperimen yang terdiri dari sejumlah lemparan. Untuk dua kali pelemparan koin, jumlah hasil untuk percobaan adalah 2 x 2 = 4 dan untuk tiga kali lemparan, jumlah hasil percobaannya adalah 2 x 2 x 2 = 8.

Penghitungan aturan dapat digunakan untuk mengetahui jumlah hasil darieksperimen dan kemudian diagram pohon dapat digunakan untuk benar-benar mewakili hasil.

3. Aturan Pengisian TempatAturan ini dibuat dengan membuat tabel. Contohnya pada kasus berikut ini: Untuk tampil paa acara konser AFI di Palembang, Tia 3 baju berwarna yaitu merah, kuning dan hijau serta membawa dua celana panjang berwarna putih dan biru. Dengan berapa cara Tia dapat tampil dengan memakai pasangan baju dan celana tersebut?

Baju Celana3 macam 2 macam

Banyak pasangan baju dan celana ada 3 ×2=6 pasang .

Kesimpulan dari diagram pohon dan aturan pengisian tempat adalah banyak cara menghitung suatu percobaan maka: (n1) (n2) ( n3 ) …(nn)

4. Permutasi dan KombinasiBanyak percobaan dalam statistik melibatkan pemilihan himpunan yang lebih besar dari kelompok item. Untuk kasus semacam ini, digunakan aturan permutasi dan kombinasi.

4.1 PermutasiPermutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (tempatnya). Banyak permutasi yang terdiri n unsur disusun r unsur adalah:

Prn= n !

(n−r )!,r ≤ n

2

Contoh soal:1. Seorang presiden, wakil presiden, dan bendahara harus dipilih dari

sekelompok 10 orang. Berapa banyak pilihan yang berbeda yang mungkin?

Dari 10 orang akan dipilih 3 orang berarti n=10, r=3

P310= 10 !

(10−3)! = 10×9 × 8 = 720 cara

2. Suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan oleh direksi perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan komisaris diminta untuk memberikan rank atau penilaian terhadap 5 rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali.

Dari 10 rencana investasi akan dinilai 5 rencana investasi berarti n=10, r=5

P510= 10 !

(10−5)! = 10 ×9 × 8× 7 ×6 = 30.240 cara ranking.

a. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang SamaJika dari n unsur terdapat:n1 unsur yang sama, n2 unsur yang sama, n3 unsur yang sama, dan

seterusnya. Maka secara umum banyaknya permutasi yang berlainan dapat disimpulkan sebagai berikut:

P= n !n1 ! . n2! . n3 !…nn !

,dengan n1+n2+n3+…+nn≤ n

Contoh soal: Dengan berapa cara huruf-huruf dari kata “ASA” dapat disusun?

Bila contoh soal diatas diselesaikan dengan cara menyusun huruf tersebut satu per satu maka:

A1 A2 S A2 A1 S

A1 SA2 A2 SA1

SA1 A2

3

AAS

ASA

SAA

SA2 A1

Dari penyususnan diatas dapat dilihat bawah banyaknya cara penyusunan huruf tersebut ada 3 cara.

Bila diselesaikan dengan rumus permutasi unsur yang sama maka:Jumlah huruf tersebut n=3 dan Unsur yang sama dari huruf tersebut yaitu huruf A berarti n1=2

P=3 !2 !

= 3 cara

b. Permutasi Siklis (Sirkuler)Permutasi siklis adalah permutasi yang terdapat bila unsur-unsur ditempatkan dalam suatu lingkaran menurut arah putar tertentu.

Banyak permutasi siklis dari n unsur yang berbeda adalah:Ps=(n−1)!

Contoh soal: Berapa banyak susunan yang terjadi jika A,B,C,D disusun melingkar?

Bila contoh diatas diselesaikan dengan cara menyusun secara melingkar huruf tersebut satu per satu maka:

Jadi, banyak penyusunannya ada 6 cara.

Bila diselesaikan dengan rumus permutasi siklis maka:Ps=(4−1 ) !=3!=3 ×2 ×1=6cara

4.2 KombinasiKombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya.

Banyak kombinasi yang terdiri dari n unsur dan disusun r unsur.

C rn= n !

(n−r )!r !, r≤ n

4

Contoh soal: 1. Tentukanlah banyaknya cara untuk memilih 3 orang siswa sebagai petugas

pengibar bendera hari Senin yang dipilih dari 20 orang siswa anggota Barata kelas I!

C320= 20!

(20−3 ) !3 != 20 !

17 !3!=20 × 19× 18

3× 2× 1=20 ×19 ×3=1140cara

2. Suatu populasi terdiri dari n elemen: X1 , X2 , …, Xn. Untuk menyelidiki karakteristik dari populasi tersebut diambil sampel yang dipilih secara acak sebanyak r elemen: X1 , X2 , …, X r. Berapa banyaknya sampel yang dapat diperoleh dari populasi ini jika n=3 dan r=2?

C23= 3!

(3−2 ) !2!=3 sampel

3 sampel tersebut adalah X1 , X2 ; X1 , X3 dan X2 , X3

B. PELUANG (Probabilitas)Peluang atau probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

Dalam probabilitas, dikenal 3 istilah yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian (event). Eksperimen adalah observasi terhadap objek atau kegiatan untuk memperoleh beberapa ukuran, hasil adalah suatu hasil khusus dari sebuah eksperimen, dan kejadian adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil dari sebuah eksperimen.

1. Pendekatan Perhitungan ProbabilitasAda dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif. Pendekatan subjektif berkaitan dengan penilaian seseorang yang dinyatakan dalam bentuk opini atau pendapat. Pendekatan objektif dibagi menjadi 2, yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif.

a. Pendekatan KlasikPerhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.

Dari definisi klasik, dapat kita simpulkan bahwa untuk peristiwa E, P ( E )= nN

dengan n = sampel kejadian E dan N = sampel semua kejadian.

Paling kecil n = 0 berarti tidak ada kejadian E dan paling banyak n = N yang berarti semua yang terjadi adalah peristiwa E. Paling kecil peluang peristiwa E berharga 0 dan paling besar satu. 0 ≤ P (E)≤ 1

5

Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka:P ( E )+P ( E )=1, karena suatu peluang paling besar berharga. Berarti,

P ( E )=1−P(E).Peristiwa E dan E merupakan dua peristiwa yang saling asing atau saling ekslusif, karena terjadinya E menghindarkan terjadinya E dan sebaliknya.Peristiwa sejenis ini dihubungkan dengan kata atau.

b. Konsep Frekuensi RelatifSuatu peluang dalam daftar distribusi frekuensi dinyatakan dengan frekuensi relatif.

X F frX1

X2

.

.

.X i

.

.

.X k

f 1

f 2

.

.

.f i

.

.

.f k

Jumlah ∑ f i=n ∑ fr=1

Dimana fr=frekuensi relatifX i=Kejadiani

P(X i ¿=f i

n

Contoh soal: Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, salah satu karakteristik, besarnya gaji/upah bulanan digambarkan sebagai berikut:

Tingkat Upah Bulanan Karyawan Suatu Perusahaan Swasta

X 55 65 75 85 95 105 115F 8 10 16 14 10 5 2

Apabila kita kebetulan bertemu dengan salah satu karyawan tersebut, berapakah besarnya probabilitas bahwa upahnya 65 ribu rupiah? 105 ribu rupiah?

6

P ( X=65 )=f 2

n=10

65=0,15 atau15 %

P ( X=105 )=f 6

n= 5

65=0,07 atau7%

2. Komplemen Suatu KejadianMisalkan E adalah suautu himpunan kejadian dan himpunan semestanya adalah S. Kejadian bukan E dari himpunan S dilambangkan dengan E. E={x∨x∈S atau x∈E }. Jika digambarkan dengan sebuah diagram venn maka:

Dalam himpunan yang saling berkomplemen n ( E )=n (s )−n ( E ) Sehingga, P ( E )=1−P(E).

3. Interseksi Dua KejadianInterseksi dua kejadian A dan B terdiri dari hasil campuran dari kedua himpunan A dan B. Interseksi dua kejadian A dan B di simbolkan dengan A ∩ B (dibaca A interseksi B / A dan B).

Misalnya A jumlah uang yang dapat digunakan (yang tersedia) bagi seorang ibu rumah tangga untuk berbelanja selama bulan Juli 1998.A={ x :0 ≤ x≤ Rp 100.000 }B=besarnya pengeluaran iburumah tersebut padabulan JuliB={x : x≥ Rp 100.000}A ∩ B={x : x=Rp 100.000}

Dalam mencari peluang pada interseksi dua kejadian maka:P ( A ∩B )=P( A)× P(B)

7

S

E E

S

A ∩ B

Rumus diatas disebut juga kejadian bebas. Selain kejadian bebas dikenal pula istilah kejadian tak bebas (bersyarat), kejadian ini biasa ditulis P(A/B). Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas (S atau N) adalah 10.000 orang, himpunan A mewakili 2.000 mahasiswa lama dan himpunan B mewakili 3.500 mahasiswa putri.sedangkan 800 dari 3.500 mahasiswa putri merupakan mahasiswa lama.

a. Berapa probabilitas mahasiswa lama dengan syarat putri?

P(A/B) =P ( A ∩ B )

P (B)= 800

3500=0,23

b. Berapa probabilitas mahasiswa putri dengan syarat mahasiswa lama?

P(B/A) =P ( A ∩ B )

P ( A )=800

200=0,40

Pada umumnya kejadian tak bebas dirumuskan sebagai berikut:

P(A/B) =P ( A ∩ B )

P (B) dan P(B/A) =

P ( A ∩ B )P ( A )

4. Union Dua KejadianUnion dua kejadian A dan B terdiri dari semua hasil himpunan A, himpunan B dan campuran himpunan A dan B. Union A dan disimbolkan A∪B (dibaca A union B / A atau B).

Misal: A={x :2 ≤ x≤ 5} dan B={x :6 ≤ x≤ 12} maka A∪B={x :2≤ x≤ 12 }

Untuk menghitung peluang union dua kejadian maka:P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P (A ∩B)

Rumus peluang diatas disebut kejadian tidak saling lepas. Untuk kejadian saling lepas, P ( A ∩B )=0 sehingga:

8

S

A∪B

P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )

Contoh soal:

1. Hitung beberapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar pada tabel dibawah ini?

Berat Kejadian Jumlah Paket ProbabilitasLebih ringan

Standar

Lebih berat

A

B

C

100

3600

300

0,025

0,900

0,075Jumlah 4000 1,000

P ( A∪C )=P ( A )+P (C )=0,025+0,075=0,10

2. Hitung probabilitas kartu bergambar heart atau king pada tabel berikut:

Kartu ProbabilitasRaja (King) P ( A )= 4

52Hati (Heart) P (B )=13

52Raja bergambar hati P ( A ∩B )= 1

52

P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A ∩ B )= 452

+ 1352

− 152

=1652

=0,30

9

DAFTAR PUSTAKA

Dalimah. (2013). Bahan Belajar Matematika Kelas XI IPA SMA/MA Semester Ganjil. Palembang: SMA Negeri 18. Hlm. 88, 93-94, 97-99 dan 104-112

Stephs, Larry J. (1998). Schaum Outlines Beginning of Statistics. Omaha : Library of Congress Cataloging in Publication Data. Hlm. 63-64 dan 71-74

Sudjana. (2002). Metoda Statistika. Edisi 6. Bandung: Tarsito.Hlm. 116-117

Supranto, J. (2008). Statistik: Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Edisi 7. Jakarta: Erlangga. Hlm. 319-322, 329-331, 340 dan 357-361

Tim Ganesha Operation. (2014). Pasti Bisa Matematika untuk Sekolah Menengah Atas Kelas X. Jakarta: Penerbit Duta. Hlm.154

10