ma1101 matematika 1a - cdn-edunex.itb.ac.id

MA1101 Matematika 1A3.1a Maksimum dan Minimum

Hendra GunawanFMIPA ITB

Apa yang TelahAnda PelajariSebelumnya

2.1 Dua Masalah Satu Tema

2.2 Turunan

2.3 Aturan Turunan

2.4 Turunan Fungsi Trigonometri

2.5 Aturan Rantai

2.6 Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi

2.7 Turunan Implisit

2.8 Laju yang Berkaitan

2.9 Diferensial dan Hampiran

10/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2

Sasaran BelajarTopik Ini

3.1 Maksimum dan Minimum

Setelah mempelajari Topik ini, Anda diharapkan:

memahami nilai maksimum dan nilai minimum fungsi

dapat menentukan nilai maksimum dan nilaiminimum dari suatu fungsi sederhana yang diberikan


BAB 3. APLIKASI TURUNANRujukan: Varberg, Purcell & Rigdon (2007)

Motivasi

Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,

𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , kita kadang inginmengetahui pada selang mana 𝑓naik atau turun, dan di titik mana 𝑓 mencapai nilai maksimum ataunilai minimum, dan informasipenting lainnya.


Maksimumdan Minimum

Misalkan f : I→ R dan c є I. (Padaumumnya, I merupakan suatuselang di R).

Nilai f(c) disebut nilai maksimumapabila f(c) ≥ f(x) untuk setiap x є I.

Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x) untuk setiap x є I.

Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrem.

10/02/2013 5(c) Hendra Gunawan

maks

min

Contoh 1

-1 2

4

0

y

x


Misalkan f(x) = x2, x є [-1,2].

Nilai maksimum f adalah 4 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnyaadalah 0 [= f(0)].

Perhatikan grafiknya →

TeoremaEksistensi NilaiEkstrem

Jika f kontinu pada [a,b], maka f akanmencapai nilai maksimum dan nilaiminimum pada [a,b].

Catatan. Teorema ini mengatakan bahwakekontinuan pada selang tutup merupa-kan syarat cukup untuk eksistensi nilaiekstrem (maksimum dan minimum).

Sebagai contoh, fungsi pada Contoh 1 merupakan fungsi yang kontinu padaselang [-1,2], sehingga mempunyai nilaimaksimum dan minimum pada [-1,2].


Fungsi yang tidak kontinu mungkinsaja mempunyai nilai ekstrem.

Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

f(x) = -1, jika x = 0,= x, jika 0 < x < 1,= 2, jika x = 1,

mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum -1 [= f(0)].

Perhatikan grafiknya!


Contoh 2

1

-1

0

2

1

Ketakkontinuan tidak menjamineksistensi nilai ekstrem.

Sebagai contoh, fungsi

g(x) = ½, jika x = 0 atau 1,= x, jika 0 < x < 1,

tidak mempunyai nilai ekstrem, baik nilai maksimum maupun nilaiminimum.


1

1

0

Contoh 3

Kekontinuan pada selang bukatidak menjamin eksistensi nilaiekstrem.

Sebagai contoh, fungsi

g(x) = x, 0 < x < 1,

tidak mempunyai nilai ekstrem, baik nilai maksimum maupun nilaiminimum.


1

1

0

Contoh 4

Latihan

1. Tentukan nilai maksimum dan nilaiminimum fungsi

f(x) = |𝑥|, 𝑥 ∈ [−1,2],

dan di titik mana nilai-nilaitersebut tercapai.

2. Beri sebuah contoh fungsi yang mempunyai nilai maksimumtetapi tidak mempunyai nilaiminimum.


MA1101 Matematika 1A3.1b Teorema Titik Kritis



3.1b Teorema Titik Kritis


dapat menggunakan Teorema Titik Kritis untukmenentukan nilai maksimum dan nilaiminimum dari suatu fungsi yang diberikan.



Motivasi

Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥

yang kontinu pada 𝑎, 𝑏 . MenurutTeorema Eksistensi Nilai Ekstrem,

𝑓 mencapai nilai maksimum dannilai minimum pada [𝑎, 𝑏].

Pertanyaannya, di mana nilaiekstrem tersebut dicapai.


TeoremaLokasi TitikEkstrem

Misalkan daerah asal f adalah selang Iyang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilaiekstrem, maka c haruslah merupakantitik kritis, yakni c merupakan

(i) titik ujung selang I, atau

(ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0, atau

(iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada.


Catatan


Teorema Lokasi Titik Ekstremmengatakan bahwa nilai ekstremhanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis.

Untuk menentukan nilai ekstrem suatufungsi, teorema ini menganjurkanuntuk mencari titik-titik kritisnya dulu.

Contoh 1-2

1. Fungsi f(x) = x2, x є [-1,2], mencapai nilai maksimum 4 di x = 2(titik ujung kanan) dan nilaiminimum 0 di x = 0 (titik stasioner).

2. Fungsi f(x) = |x|, x є [-1,2], mencapai nilai maksimum 2 di x = 2(titik ujung kanan) dan nilaiminimum 0 di x = 0 (titik singular).


-1 2

4

0

y

x

-1 2

2

0

y

x

Jawab: Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x).

Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada.

Dengan demikian terdapat empat titikkritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titikujung selang dan dua titik stasioner).


Contoh 3

Tentukan nilai maksimum dan nilaiminimum fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 + 1 pada [-1,2].


Menurut Teorema Eksistensi Nilai Ekstremdan Teorema Lokasi Titik Ekstrem, fmencapai nilai ekstrem di titik kritis tsb.

Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritistsb:

f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.

Jadi f mencapai nilai maksimum 6 di x = -1 (titik ujung kiri) dan nilai minimum -3 di x = 2 (titik ujung kanan).

Contoh 3

Jawab (lanjutan):

Latihan

1. Tentukan nilai ekstrem fungsi

f(x) = 𝑥3 − 12𝑥, 𝑥 ∈ [−3,3].

2. Tentukan titik-titik kritis fungsi

g(x) = 50𝑥 −𝑥2

2, jika 0 ≤ x ≤ 20,

= 60𝑥 − 𝑥2, jika 20 < x ≤ 60.

Tentukan nilai maksimum dan minimumnya.

[Asal-muasal fungsi ini akan dijelaskandalam video yad. Ingat baik-baik fungsi ini; nanti akan ketemu lagi!]


MA1101 Matematika 1A3.2a Kemonotonan



3.2a Kemonotonan


dapat menentukan selang kemonotonan (dantitik ekstrem) dari suatu fungsi yang diberikan.



Motivasi

Diketahui sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,

𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , kadang kita inginmengetahui pada selang mana 𝒇naik atau turun, dan di titik mana 𝑓 mencapai nilai maksimum ataunilai minimum, serta informasipenting lainnya.


Kemonotonan

Fungsi f dikatakan naik padaselang I apabila untuk setiap x, y є Idengan x < y berlaku

f(x) < f(y).

Fungsi f dikatakan turun padaselang I apabila untuk setiap x, y є Idengan x < y berlaku

f(x) > f(y).

Fungsi naik atau turun pada selangI dikatakan monoton pada I.


TeoremaKemonotonanFungsi

Misalkan f kontinu dan mempunyaiturunan pada I = (a,b).

Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, makaf naik pada I.

Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x є I, makaf turun pada I.


xc

Catatan. Padagambar di samping, titik cmerupakantitik minimum.

Contoh

Diketahui f(x) = x3 – 12x. Kita hitungturunannya:

f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2).

Periksa tanda f ’(x) pada garis bilangan real:

Menurut Teorema Kemonotonan, fungsi fnaik pada selang (-∞,-2) dan pada selang(2,∞); dan f turun pada selang (-2,2).

[Catatan. x = -2 titik maksimum lokal, x = 2titik minimum lokal→ §3.4.]


-2 2

+ + + – – – + + +

Latihan

Tentukan pada selang mana grafikfungsi di bawah ini naik atau turun:

1. f(x) = x3 – 2x2 + x + 1.

2. g 𝑥 = 𝑥 +1

𝑥, 𝑥 > 0.

Untuk soal 2, tentukan nilai ekstrem-nya, dan di mana tercapainya.


MA1101 Matematika 1A3.2b Kecekungan



3.2b Kecekungan


dapat menentukan selang kecekungan (dantitik belok) dari suatu fungsi yang diberikan.



Kecekungan

Misalkan f mempunyai turunanpada I = (a,b).

Jika f ’ naik pada I, maka grafikfungsi f cekung ke atas pada I.

Jika f ’ turun pada I, makagrafik fungsi f cekung kebawah pada I.


cekung ke atas

cekung ke bawah

TeoremaKecekunganFungsi

Misalkan f mempunyai turunan keduapada I.

Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, makagrafik fungsi f cekung ke atas pada I.

Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, makagrafik fungsi f cekung ke bawah padaI.


Penjelasan. Jika f ’’(x) > 0, makaf ’(x) naik. Jadi f cekung ke atas. Jika f ’’(x) < 0, maka f ’(x) turun. Jadi f cekung ke bawah.

cekung ke atas

cekung ke bawah

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0

Contoh

Diketahui f(x) = x3 – 12x. Maka, f ’(x) = 3x2 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tandaf ’’(x):

Menurut Teorema Kecekungan, grafik fungsi f cekung ke atas padaselang (0,∞) dan cekung ke bawahpada selang (-∞,0).

Catatan. Titik x = 0 merupakan titikinfleksi (titik belok) grafik fungsi f. Di titik ini, grafik fungsi f mengalamiperubahan kecekungan.


0

– – – + + +

Grafik fungsif(x) = x3 – 12x.

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


titik belok

Latihan

1. Tentukan pada selang mana grafikfungsi f(x) = x3 – 2x2 + x + 1 cekungke atas atau cekung ke bawah, dantentukan titik beloknya.

2. Air dituangkan ke dalam tangkiberbentuk kerucut terbalik denganlaju 8 dm3/menit. Jika tinggi tangkitersebut adalah 24 dm dan jari-jaripermukaan atasnya 12 dm, dantinggi air (h) dipandang sebagaifungsi dari waktu (t), selidikikemonotonan dan kecekungangrafik fungsi h(t).


MA1101 Matematika 1A3.3 Maksimum dan Minimum Lokal



3.3 Maksimum dan Minimum Lokal


dapat menentukan nilai maksimum danminimum lokal dari suatu fungsi yang diberikan.



Maksimumdan Minimum Lokal

Nilai f(c) disebut nilai maksimumlokal f jika terdapat δ > 0 sehinggaf(c) ≥ f(x) pada I ∩ (c-δ,c+δ).

Nilai f(c) disebut nilai minimumlokal f jika terdapat δ > 0 sehinggaf(c) ≤ f(x) pada I ∩ (c-δ,c+δ).

Nilai maksimum/minimum lokaldisebut nilai ekstrem lokal.


0

y

x

maks lokal

min lokal

Teorema (UjiTurunan Pertama):

Misalkan f kontinu di c.Jika f ’(x) > 0 di sekitar kiri c danf ’(x) < 0 di sekitar kanan c, makaf(c) merupakan nilai maksimumlokal.

Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c danf ’(x) > 0 di sekitar kanan c, makaf(c) merupakan nilai minimum lokal.

Jika f ’(x) bertanda sama di sekitarkiri dan kanan c, maka f(c) bukanmerupakan nilai ekstrem lokal.


maks. lokal

min. lokal

bukan ekstrim

Uji TurunanPertama

Contoh

Tentukan nilai maksimum danminimum lokal f(x) = x3 – 12x.

Jawab: f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2)mempunyai tanda sbb:


-2 2

+++ – – – +++

Menurut Uji Turunan Pertama, f(-2)merupakan nilai maksimum lokal danf(2) merupakan nilai minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat padagrafiknya.

Grafik fungsif(x) = x3 – 12x.

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


maks lokal

min lokal

Uji TurunanKedua

Teorema (Uji Turunan Kedua):

Misalkan f ’(c) = 0 dan f mempunyaiturunan kedua pada suatu selangyang memuat c.

Jika f ’’(c) < 0, maka f(c) merupakannilai maksimum lokal.

Jika f ’’(c) > 0, maka f(c) merupakannilai minimum lokal.

Catatan: Dalam hal f ’’(c) = 0, tidakada kesimpulan apa-apa tentangf(c). Titik (c,f(c)) juga belum tentumerupakan titik belok.


cekung ke atas

cekung ke bawah

Sila bahas dengan dosenkelas masing-masing ya.

Contoh

Tentukan nilai maksimum danminimum lokal f(x) = x3 – 12x.

Jawab: f ’(x) = 3x2 – 12 = 0 di x = -2 dan di x = 2. Dengan Uji Turunan Kedua, kita hitung

f ’’(x) = 6x < 0 di x = -2;

Jadi f(-2) merupakan nilai maksimum lokal.

Sementara itu, f ’’(x) = 6x > 0 di x = 2; jadi f(2)merupakan nilai minimum lokal.

Catatan: Hasil ini sesuai dengan hasilsebelumnya.


Latihan

Menggunakan Uji Turunan Pertama, tentukan nilai ekstrem lokal fungsiberikut:

1. f(x) = x4 – 2x2 + 3.

2. h(x) = 𝑥

2– sin x, 0 < x < 2π.

Menggunakan Uji Turunan Kedua, tentukan nilai ekstrem lokal fungsiberikut:

3. g(x) = 𝑥 +1

𝑥, x ≠ 0.

4. F(x) = 64

sin 𝑥+

27

cos 𝑥, 0 < x <

𝜋

2.


MA1101 Matematika 1A3.4 Pemodelan Matematika: MasalahMaksimum dan Minimum



3.4 Pemodelan Matematika: MasalahMaksimum dan Minimum


dapat menyelesaikan masalah maksimum danminimum melalui pemodelan matematika



Contoh 1

Jawab: Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y)pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1,2), yakni

𝑠 = 𝑥 – 1 2 + 𝑦 − 2 2.

Karena meminimumkan s sama denganmeminimumkan s2, kita tinjau D = s2,

D = (x – 1)2 + (y – 2)2

= x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4

= 6 – 2x – 4 1 − 𝑥2.


P

Tentukan titik pada lingkaranx2 + y2 = 1 yang terdekat ke titikP(1,2).

Turunkan D terhadap x, kita peroleh

𝑑𝐷

𝑑𝑥= −2 +

4𝑥

1−𝑥2.

Perhatikan bahwa dD/dx = 0 bila 4𝑥 = 2 1 − 𝑥2, yaitu apabila x = 1/√5. [Kita pilih x > 0.]

Kita periksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5:

Berdasarkan Uji Turunan Pertama, dan karenaterdapat satu titik kritis, kita simpulkan bahwa Dmencapai nilai minimum di x = 1/√5.

Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5).


1/√5

– – – + + + Contoh

Pak Dudi akan memagari lahan yang iamiliki dengan menggunakan 100 m pagardan ia ingin menjadikan sebagian atauseluruh sisi gudang yang panjangnya 20 msebagai bagian dari salah satu sisi lahan(lihat gambar). Tentukan luas lahanmaksimum yang dapat dipagari.


20

x

20

x

Contoh 2

Kasus 1 Kasus 2


20

x

20

x

Contoh 2

Kasus 1: 0 ≤ 𝑥 ≤ 20. Misal lebarnya y. Maka 𝑥 + 2𝑦 = 100. Jadi luas

𝐿 = 𝑥𝑦 = 𝑥100−𝑥

2= 50𝑥 −

𝑥2

2.

Kasus 2: 20 < 𝑥 ≤ 60. Di sini 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 − 20 = 100. Jadi luas𝐿 = 𝑥𝑦 = 𝑥 60 − 𝑥 = 60𝑥 − 𝑥2.

Kasus 1 Kasus 2

y

y


20

x

20

x

Contoh 2

Kasus 1 Kasus 2

y

y

Jadi luas lahan sbg fungsi dari x adalah

L(x) = 50𝑥 −𝑥2

2, jika 0 ≤ x ≤ 20,

= 60𝑥 − 𝑥2, jika 20 < x ≤ 60.

Titik-titik kritisnya adalah x = 0 (titik ujung kiri), x = 20 (titik singular), x = 30 (titik stasioner), dan x = 60 (titik ujung kanan). [Soal Latihan 3.1b, No.2]Luas di titik ujung sama dengan 0. Kita tinggal membandingkan luas di x = 20 dan di x = 30: L(20) = 800 m2, L(30) = 900 m2.

Jadi luas lahan maksimum adalah 900 m2, yang tercapai ketika x = 30.

Tentukan panjang tangga terpendek yang menghubungkan lantai ke dinding. Tinggi tangga 1 m dan jaraknya ke dinding 2m.


Jawab: Panjang tangga P = L1 + L2

dengan L1 = 1

sin 𝑡dan L2 =

2

cos 𝑡.

Jadi, P = 1

sin 𝑡+

2

cos 𝑡.

Turunannya adalah

𝑑𝑃

𝑑𝑡= −

cos 𝑡

sin2𝑡+

2 sin 𝑡

cos2𝑡,

sehingga

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0 j.h.j.

cos 𝑡

sin2𝑡=

2 sin 𝑡

cos2𝑡

atau tan3 t = ½.

1

2

P

t

tContoh 3

Contoh 3

Jadi titik stasionernya adalah

t = arc tan 132

≈ 0,67 rad.

Turunan di sebelah kirinya negatif, dandi sebelah kanannya positif (periksa!).

Jadi, titik tersebut adalah titikminimum.

Dengan demikian panjang tanggaterpendek adalah

P ≈ 1

sin 0,67+

2

cos 0,67≈ 4,16 meter.


1

2

P

t

t

Latihan

1. Tentukan titik pada hiperbola x2 – 4y2 = 4yang terdekat ke titik Q(5,0).

2. Sebuah pulau kecil berjarak 2 km dari titikterdekat P pada garis pantai sebuah pulaubesar. Jika seseorang di pulau tersebutdapat mendayung perahunya dengan laju3 km/jam dan berjalan kaki di pantai 4 km/jam, di mana ia harus berlabuh agar sampai di Q yang berjarak 5 km dari Pdalam waktu yang paling singkat?


MA1101 Matematika 1A3.5 Menggambar Grafik Fungsi


SasaranBelajarTopik Ini

3.5 Menggambar Grafik Fungsi


dapat menggambar grafik fungsi secaracermat, dengan menggunakan kalkulus



MenggambarGrafik Fungsi

Kita telah melihat bagaimanainformasi tentang kemonotonandan kecekungan dapat dipakaiuntuk menggambar grafik fungsif(x) = x3 – 12x.


-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Catatan

Dalam menggambar grafik fungsi, informasi tentang apakah fungsi tersebutmerupakan fungsi genap atau ganjil jugamerupakan informasi penting yang membantu kita.

Sebagai contoh, fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥merupakan fungsi ganjil; jadi grafiknyasimetris terhadap titik asal.

Secara umum, ada beberapa hal yang perludiperhatikan --- lihat Contoh 1.


Contoh 1

Gambarlah grafik fungsi

f(x) = 𝑥.(𝑥 − 5)2,

dengan memperhatikan:

daerah asal dan daerah hasilnya,

titik-titik potong dengan sumbukoordinat,

asimtot datar dan asimtot tegak (bilaada),

kemonotonan dan titik-titik ekstrimlokalnya,

kecekungan dan titik-titik beloknya(bila ada).


Grafik Fungsif(x) = √x.(x – 5)2

Daerah asal f adalah [0,∞) dan daerahhasilnya juga [0,∞), sehingga grafiknyaakan terletak di kuadran pertama. Titikpotong dengan sumbu x adalah x = 0 danx = 5, sedangkan titik potong dengansumbu y adalah y = 0. Asimtot tidak ada.

Untuk x > 0, turunan pertama f adalah

Jadi, titik-titik stasionernya adalah x = 1dan x = 5, dan tanda f ’(x) adalah


.2

)5)(1(5)('

x

xxxf

−−=

0 1 5

+ – – – + +


Jadi f naik pada [0,1), turun pada [1,5], dan naik pada (5,∞). Menurut UjiTurunan Pertama, f(1) = 16 merupakannilai maksimum lokal, sedangkan f(0) = f(5) = 0 merupakan nilai minimum lokal(sekaligus global).

Selanjutnya kita hitung turunankeduanya:

Menggunakan rumus akar persamaankuadrat, kita dapatkan f ’’(x) = 0 ketika

x = 1 + 2

36 ≈ 2,6.


.4

)563(5)(''

2/3

2

x

xxxf

−−=


Periksa tanda f’’(x):

Jadi grafiknya cekung ke bawah di sebelah kiri2,6; dan cekung ke atas di sebelah kanan 2,6.

Jadi (2,6 ; f(2,6)) merupakan titik belok.

Dengan semua informasi ini, kita dapatmenggambar grafik fungsi f(x) = 𝑥.(𝑥 − 5)2

sebagai berikut:


0 2,6

– – – + + +



0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Latihan

1. Gambarlah grafik fungsi

g(x) = 50x – x2/2, jika 0 ≤ x ≤ 20,= 60x – x2, jika 20 < x ≤ 60,

dengan memperhatikan:

daerah asal dan daerah hasilnya,

titik-titik potong dengan sumbukoordinat,

asimtot datar dan asimtot tegak (bilaada),

kemonotonan dan titik-titik ekstrimlokalnya,

kecekungan dan titik-titik beloknya (bilaada).


Latihan

Dengan memperhatikan:

daerah asal dan daerah hasilnya, titik-titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot (bila ada), kemonotonan dan titik-titik ekstrim lokalnya, kecekungan dan titik-titik beloknya (bila ada),

gambarlah grafik fungsi berikut:

2. f(x) = 𝑥 +1

𝑥.

3. .

4. h(x) = x – 2 sin x.


( ) .1

xg x

x=

+

MA1101 Matematika 1A3.6 Teorema Nilai Rata-Rata



3.6 Teorema Nilai Rata-Rata


dapat menentukan nilai rata-rata dari suatufungsi yang diberikan

dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-Ratauntuk memecahkan masalah yang relevan



JanganBerbohong.NantiKetahuan!

Pak Djono mengatakan bahwadengan mobil baru yang dikendarainya ia telahmenempuh 183 km dalam 3 jam tanpa pernah melampaui 60 km/jam.

Bagaimana mungkin?

Hmm…, so pasti ia telahberbohong!

Namun, bagaimana kita dapatmembuktikannya?


Teorema NilaiRata-Rata

Jika f kontinu pada [a,b] danmempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b)sedemikian sehingga

Catatan. Nilai𝑓 𝑏 – 𝑓 𝑎

𝑏 – 𝑎disebut

nilai rata-rata f pada [a,b].

Secara fisis, bayangkankecepatan rata-rata padasuatu selang waktu!


.)()(

)('ab

afbfcf

−

−=

Ilustrasi: Teorema NilaiRata-Rata


f’(c) = gradien garis singgung di c;𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎

𝑏 – 𝑎= gradien ruas garis yang

menghubungkan (a,f(a)) dan (b,f(b)).

a bc

PenjelasanTeorema NilaiRata-Rata

Tinjau kasus f(a) = f(b).* Teorema NilaiRata-Rata menjamin adanya c ϵ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0.

Bagaimana kita dapat membuktikannya?

Asumsikan f tidak konstan. [Bila f bernilaikonstan, f’(c) = 0 di setiap titik c ϵ (a, b).] Menurut Teorema Eksistensi NilaiEkstrem, f mestilah mencapai nilaiekstrem di suatu titik c ϵ (a, b).

Nah, titik c bukan titik ujung selang, bukan pula titik singular. MenurutTeorema Titik Kritis, c mestilahmerupakan titik stasioner: f’(c) = 0.


*Tinjau 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎𝑥.

KebohonganPak Djono

Untuk membuktikan bahwa Pak Djonobohong, misalkan f(t) menyatakan jarakyang ditempuh dalam t jam. Maka fkontinu dan turunannya, f ’(t), menyatakan kecepatan pada saat t.

Menurut Teorema Nilai Rata-rata, mestilah terdapat t1 є (0, 3) sedemikiansehingga

f ’(t1) = 𝑓 3 – 𝑓 0

3 – 0= 61.

Ini berarti bahwa Pak Djono pernahmemacu mobilnya dengan kecepatan diatas 60 km/jam.


Contoh 1

Diketahui f(x) := x2, x є [0,1]. Hitung nilairata-rata f pada [0,1] dan tentukan c є (0,1) sedemikian sehingga f ’(c) sama dengannilai rata-rata f pada [0,1].


Jawab: Nilai rata-rata f pada [0,1] adalah

𝑓 1 – 𝑓 0

1 – 0= 1.

Sementara itu f ’(x) = 2x = 1 jika dan hanya jikax = ½.

Jadi, c = ½ adalah bilangan yang kita cari.

Latihan

1. Diketahui g(x) := 𝑥3

3, x є [-1, 1].

Hitung nilai rata-rata g pada [-1, 1]dan tentukan c є (-1, 1) sedemikiansehingga g’(c) sama dengan nilairata-rata g pada [-1,1].

2. Buktikan jika f ’(x) = 0 untuk setiapx є (a, b), maka f(x) bernilai konstanpada selang (a, b).


MA1101 Matematika 1A3.8 Anti Turunan



3.8 Anti Turunan


dapat menentukan anti-turunan atau integral tak tentu dari suatu fungsi yang diberikan



Anti-Turunan

Fungsi F disebut anti-turunan f pada Iapabila

F’(x) = f(x)untuk setiap x є I.

Sebagai contoh, F1(x) = x4 + 1 merupakananti-turunan f(x) = 4x3 pada R.

Demikian juga F2(x) = x4 + 5 merupakananti-turunan f(x) = 4x3 pada R.

Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C (dengan C konstanta) merupakan anti-turunan f(x) = 4x3 pada R, karena F’(x) = 4x3

= f(x) untuk setiap x є R.


Integral TakTentu

Keluarga fungsi anti-turunan dari f(x)disebut integral tak tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx.

Fungsi dalam keluarga ini adalahfungsi yang memiliki turunan f(x).

Jadi, sebagai contoh,

∫ 4x3 dx = x4 + C,

dengan C menyatakan konstantasembarang.


Ilustrasi: Integral TakTentu


Secara grafik, bila kitamengetahui sebuah anti-turunan dari f(x), makaintegral tak tentu dari f(x)adalah keluarga fungsiyang anggotanyamerupakan pergeseran keatas atau ke bawah darianti-turunan tsb.

Semua anggota keluargafungsi tsb mempunyaiturunan yang sama, yaituf(x).

Keluarga fungsi yang memiliki

turunan yang sama

Aturan Integral TakTentu (1)

Terkait dengan aturan turunan yang telah kita pelajari sebelumnya, kitamempunyai teorema-teorema berikuttentang integral tak tentu.

Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q, r ≠ -1, maka

∫ xr dx = 𝑥𝑟+1

𝑟+1+ C.

Contoh 1(a) ∫ x2 dx =

𝑥3

3+ C.

(b) ∫ x-2 dx = - x-1 + C.



Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dancos x)

∫ sin x dx = –cos x + C;

∫ cos x dx = sin x + C.

Catatan. Jangan tertukar: turunan darisin x adalah cos x, sedangkan anti-turunan dari sin x adalah –cos x + C.



Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)

Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka

∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dxdan

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

Contoh 3. ∫ (6x2 + sin x) dx

= 2 ∫ 3x2 dx + ∫ sin x dx

= 2x3 – cos x + C.



Teorema 4 (Aturan Pangkat Diperumum)

Jika r є Q, r ≠ -1 dan g adalah fungsi yang mem-punyai turunan, maka

∫ [g(x)]r.g’(x) dx = 𝑔 𝑥 𝑟+1

𝑟+1+ C.

Bukti. Dengan Aturan Rantai, turunanfungsi di ruas kanan adalah [g(x)]r.g’(x). Teorema terbukti.


Contoh 4

Tentukan ∫ (x2 + 1)5.2x dx.

Jawab: Misal 𝑢 = g(x) = x2 + 1, du = 2x dx. Maka

∫ (x2 + 1)5.2x dx = ∫ 𝑢5 𝑑𝑢

= 𝑢6

6+ C

= 𝑥2+1 6

6+ C.


Tentukan ∫ sin x.cos x dx.

Jawab: Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x.

Jadi, menurut Aturan PangkatDiperumum, kita peroleh

∫ sin x.cos x dx = ∫ g(x) g’(x) dx

= 𝑔 𝑥 2

2+ C

= sin2 𝑥

2+ C.


Contoh 5

Latihan

Tentukan integral tak tentu di bawah ini.

1. ∫ (x2 + x-2) dx.

2. ∫ (x3 + 1).x2 dx.

3. ∫ sin2 x.sin 2x dx.

4. ∫ cos2 x.sin 2x dx.

5. ∫ sin 2x dx.


MA1101 Matematika 1A3.9 (Pengantar) Persamaan Diferensial



3.9 (Pengantar) Persamaan Diferensial


dapat menyelesaikan persamaan diferensialsederhana, dengan atau tanpa syarattambahan



PersamaanDiferensial

Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalam bahasa diferensial: Jika F’(x) = f(x), maka

(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx

sehingga

∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Persamaan (*) merupakan contohpersamaan diferensial yang (paling) sederhana.

Persamaan diferensial banyak dijumpaidalam matematika, fisika, dan bidang ilmulainnya.


Contoh 1

Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebutadalah y = f(x). Maka, menggunakan notasidiferensial, informasi di atas mengatakanbahwa

dy = 2x dx.

Integralkan kedua ruas,∫ dy = ∫ 2x dx.

sehingga kita perolehy + C1 = x2 + C2

atau y = x2 + C,

dengan C = C2 – C1.


Tentukan persamaan kurva yang melaluititik (1,2) dan mempunyai turunan 2x disetiap titik (x,y) yang dilaluinya.

Persamaan y = x2 + C menyatakankeluarga kurva yang mempunyaiturunan 2x di titik (x,y).

Sekarang kita akan mencari anggotakeluarga kurva tersebut yang melaluititik (1,2).

Dalam hal ini kita mempunyaipersamaan

2 = 12 + C,sehingga mestilah C = 1.

Jadi persamaan kurva yang kita cariadalah

y = x2 + 1.


(1,2)

Contoh 1

Contoh 2

Sebuah benda jatuh dari ketinggian 100 mdengan kecepatan awal 0 m/s. Karenagravitasi, benda tersebut mengalamipercepatan -9,8 m/s2. Tentukan ketinggianbenda tersebut pada saat t.

Jawab. Misal v = v(t) = kecepatan benda danh = h(t) = ketinggian benda pada saat t. Maka

dv = -9,8 dt,

sehingga v = -9,8t + C. Karena v(0) = 0, makaC = 0. Selanjutnya dh = -9,8t dt, sehingga

h = -4,9t2 + D.

Diketahui h(0) = 100, maka D = 100. Jadi

h = 100 – 4,9t2.


Catatan

Persamaan ketinggian h = 100 – 4,9t2

tentu saja berlaku ketika benda ber-ada di atas permukaan tanah. Karenaitu daerah asal fungsi ini adalahhimpunan bilangan t ≥ 0 yang membuat h ≥ 0, yaitu 0 ≤ t ≤ 4,517.

Dalam hal ini, benda tsb mencapai permukaan tanah dalam 4,517 detik.


Latihan

1. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikiansehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.

2. Diketahui suatu persamaan kurvamelalui titik (0,3) dan mempunyaiturunan x/y di setiap titik (x,y) yang dilaluinya. Tentukan persamaan kurvatersebut.

3. Sebuah benda jatuh dari ketinggian80 m dengan kecepatan awal -5 m/s(g = -9,8 m/s2). Tentukan kecepatandan ketinggiannya pada saat t = 1 s.


Ini adalah akhirdari Bab 3. Materiselanjutnyaadalah tentangintegral.

ma1101 matematika 1a - cdn-edunex.itb.ac.id

Documents