lib.unnes.ac.idpengesahan skripsi fungsi hiperbolik dan inversnya telah dipertahankan dihadapan...
TRANSCRIPT
FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
S K R I P S I
Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : Susanto
Nim : 4150403010
Program Studi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
PENGESAHAN
SKRIPSI
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:
Hari :
Tanggal :
Panitia Ujian
Ketua, Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130781011 NIP. 130815345 Pembimbing Utama, Ketua Penguji,
Drs. Moch. Chotim, M.S Drs. Kartono, M.Si NIP. 130781008 NIP. 130815346 Pembimbing Pendamping, Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si Drs. Moch. Chotim, M.S NIP. 131281225 NIP. 130781008 Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si NIP. 131281225
ii
ABSTRAK
Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi. Program Studi Matematika. Jurusan Matematika.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang.
Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali
kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen dan . Sehingga fungsi-fungsi yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
xe xe−
Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi, turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.
Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua
fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,2
)(xexp = dan +→ RRq : ,
2)(
xexq−
= .
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian )()()( xqxpxf += dan
)()()( xqxpxg −= . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan dasar fungsi yang memiliki kemiripan dengan sifat
pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik.
1)()( 22 =− xgxf1sincos 22 =+ xx
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada umumnya. Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.
iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN
MOTTO
With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream
come true.
Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind
you.
PERUNTUKAN
Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.
Kuperuntukan karya ini kepada:
1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya
2. Semua Saudara dan Kerabat
3. Guru dan sahabatku
4. All My lovely friends..
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan
petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan
skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.
2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
4. Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan
bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik
secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.
6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa
hingga terselesaikanya skripsi ini.
7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima
kasih atas semuanya.
8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi,
dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera
menyelesaikan skripsi ini.
v
9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan
semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.
Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang, Agustus 2007
Penulis,
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii
ABSTRAK ...................................................................................................... iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv
KATA PENGANTAR.................................................................................... v
DAFTAR ISI................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1
A. Latar belakang .............................................................................. 1
B. Permasalahan................................................................................ 2
C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2
D. Manfaat penelitian........................................................................ 2
E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
A. Fungsi ........................................................................................... 5
B. Limit Fungsi ................................................................................. 6
C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7
D. Turunan ........................................................................................ 9
E. Integral.......................................................................................... 14
F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32
A. Menentukan masalah.................................................................... 32
B. Merumuskan masalah................................................................... 32
C. Studi pustaka ................................................................................ 32
D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33
E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33
vii
BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34
A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34
B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42
C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46
D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59
E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63
BAB V PENUTUP........................................................................................ 64
A. Simpulan....................................................................................... 64
B. Saran............................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Diagram fungsi ................................................. 1 RDf →:
Gambar 2 Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8
Gambar 3 Grafik fungsi +→ RRp : ,2
)(xexp = ................................ 34
Gambar 4 Grafik fungsi +→ RRq : ,2
)(xexq
−
= ............................... 35
Gambar 5 Grafik fungsi ),0[: ∞→Rf , )()()( xqxpxf += ............. 35
Gambar 6 Grafik fungsi , RRg →: )()()( xqxpxg −= .................... 36
Gambar 7 Grafik fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = ..................... 41
Gambar 8 Grafik fungsi ),1()1,(: ∞∪−−∞→Rf , ..... 41 xxf coth)( =
Gambar 9 Grafik fungsi , ]1,0(: →Rf hxxf sec)( = ........................ 42
Gambar 10 Grafik fungsi , ......................... 48 RRf →: xxf 1sinh)( −=
Gambar 11 Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = ................ 49
Gambar 12 Grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , ............. 50 xxf 1cosh)( −=
Gambar 13 Grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , ......... 53 xxf 1tanh)( −=
Gambar 14 Grafik fungsi ),(),1()1,(: ∞−∞→∞∪−−∞f ,
xxf 1coth)( −= .................................................................... 55
Gambar 15 Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = .................. 56
Gambar 16 Grafik fungsi ),0[]1,0(: ∞→f , ............... 58 xhxf 1sec)( −=
ix
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Kalkulus sebagai salah satu cabang ilmu matematika merupakan ilmu
yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi yang telah
dikembangkan secara terpisah oleh matematikawan asal Inggris Issac Newton
pada abad ke 17 dan matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz.
Diferensiasi dan integrasi merupakan dua operasi matematis yang saling
berkebalikan. Pada intinya, diferensial (teori diferensiasi ) berkenaan dengan
penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori integrasi)
berkenaan dengan pembentukan suatu fungsi apabila tingkat perubahan fungsi
yang bersangkutan diketahui.
Keampuhan Kalkulus, baik berupa turunan maupun integral tak perlu
diragukan lagi sebagai sarana ampuh untuk memecahkan berbagai
permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan nyata. Fungsi logaritma dan
fungsi eksponen sebagai bagian dari kalkulus telah memberi pengaruh yang
besar dalam perkembangan Kalkulus. Dalam persoalan matematika terapan
banyak sekali digunakan kombinasi-kombinasi tertentu fungsi eksponen xe
dan xe− sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus, salah
satunya adalah fungsi hiperbolik. Namun bagaimana membangun fungsi
hiperbolik merupakan suatu permasalahan yang menarik untuk kita kaji
secara mendalam untuk kemudian ditemukan solusinya.
1
2
Dalam penelitian ini juga akan dikaji mengenai invers fungsi
hiperbolik. Fungsi invers pada dasarnya ditentukan untuk memperluas dan
memperkaya fungsi-fungsi. Invers merupakan salah satu cara yang dapat
ditempuh untuk memproduksi fungsi baru yakni dengan mengambil fungsi-
fungsi lama kemudian membalikan atau menginverskan fungsi-fungsi
tersebut. Dengan mengacu pada konsep invers pada fungsi biasa tersebut,
kemudian akan dikembangkan untuk menentukan invers pada fungsi
hiperbolik. Selanjutnya konsep diferensi dan integrasi yang merupakan inti
dari Kalkulus akan diterapkan untuk menentukan turunan dan anti turunan
fungsi hiperbolik dan inversnya.
Dari uraian di atas maka penulis ingin mengangkat judul “Fungsi
Hiperbolik dan Inversnya”, sebagai judul skripsi.
B. PERMASALAHAN
Permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan ini adalah:
1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?
2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti
turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. TUJUAN PENELITIAN
Mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta
turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
3
D. MANFAAT PENELITIAN
Mendapatkan suatu wawasan dan pengetahuan tentang fungsi
hiperbolik dan inversnya.
E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI
Penulisan skripsi nantinya akan dibagi menjadi tiga bagian, yakni
bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir.
Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,
halaman motto, halaman peruntukan, kata pengantar, dan daftar isi.
Bagian isi terbagi atas 5 bab, yakni:
BAB I PENDAHULUAN
Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang
diangkat, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika
penulisan skripsi.
BAB II LANDASAN TEORI
Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan
dalam pemecahan masalah.
BAB III METODE PENELITIAN
Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah yang
dilakukan dalam penelitian ini meliputi menemukan masalah,
perumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan
masalah, dan penarikan simpulan.
4
BAB IV PEMBAHASAN
Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.
BAB V PENUTUP
Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang
ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri
khususnya.
Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-
lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. FUNGSI
Definisi 1.
Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah
padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen
f(x) di R ditulis dengan simbol f: D →R. Dengan kata lain jika a∈D, b, b’∈R
dan (a, b), (a, b’)∈ f maka b = b’.
Himpunan D dinamakan daerah asal (domain) f, dan himpunan R dinamakan
daerah hasil atau jelajah (range) f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f
disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Diagram fungsi f : D →R
Contoh 1
Dipunyai f: D →R, D⊂R, f(x) = x2 + 5.
Tujukan f suatu fungsi.
5
6
Penyelesaian:
Ambil sembarang a, b∈D dengan a = b.
Jelas f(a) – f(b) = a2 + 5 – b2 - 5
= a2-b2
= 0.
Jadi )()(,,, bfafbaDba ==∈∀ .
Jadi f suatu fungsi.
Contoh 2
Dipunyai f: D →R, D⊂R2, f(x, y) = x2 + 2y.
Tunjukan f suatu fungsi.
Penyelesaian:
Ambil sembarang ),(),,( 2211 yxyx ∈D, ),(),( 2211 yxyx = .
Jelas 21 xx = dan 21 yy =
Jelas )2()2(),(),( 2221
212211 yxyxyxfyxf +−+=−
)2()2( 1211
21 yxyx +−+=
= 0.
Jadi ),(),(),,(),(,),(),,( 221122112211 yxfyxfyxyxDyxyx ==∈∀ .
Jadi f suatu fungsi.
B. LIMIT FUNGSI
Definisi 2.
Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang
memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x
mendekati a adalah L, ditulis:
7
Lxfax
=→
)(lim δεδε <−<<−∋>∃>∀⇔ axapabilaLxf 0)(00 .
Contoh 3
Buktikan 22)24(lim5
=+→
xx
.
Bukti:
Tulis f(x) = 4x+2.
Ambil sebarang 0>ε .
Pilih 4εδ = .
Dipunyai δ<−< 50 x
Jelas 222422)( −+=− xxf
= 204 −x
= 54 −x
< δ4
< 4 4ε
= ε .
Jadi δεδε <−<<−∋>∃>∀ 5022)(00 xapabilaxf
Jadi 22)24(lim5
=+→
xx
.
C. KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi 3.
Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan
kontinu di a jika )()(lim afxfax
=→
.
8
Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu
fungsi f kontinu di a, yakni:
a. f(a) ada
b. )(lim xfax→
ada
c. )()(lim afxfax
=→
Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a
Contoh 4
Buktikan fungsi f dengan f(x) = x2 + 2 kontinu di x = 1.
Bukti:
Dipunyai f(x) = x2 + 2.
Jelas f(1) = 1+2 = 3 dan 3212lim)(lim 2
11=+=+=
→→xxf
xx.
Jadi 3)1()(lim1
==→
fxfx
.
Jadi f kontinu di x = 1.
9
D. TURUNAN (DIFERENSIAL)
Definisi 4.
Turunan fungsi f pada bilangan x dinyatakan dengan f’(x) adalah
f’(x) = 0
lim→h h
xfhxf )()( −+ , jika limitnya ada.
Jika f’ ada maka dikatakan f terdiferensial di x.
Contoh 5
Carilah turunan fungsi 98)( 2 +−= xxxf pada bilangan a.
Penyelesaian:
Dipunyai 98)( 2 +−= xxxf .
Jelas h
afhafafh
)()(lim)('0
−+=
→
haahaha
h
]98[]9)(8)[(lim22
0
+−−++−+=
→
haahahaha
h
989882lim222
0
−+−+−−++=
→
hhhah
h
82lim2
0
−+=
→
)82(lim0
−+=→
hah
82 −= a .
Konsep Turunan (Derivative Formulas)
a. Aturan Perpangkatan (Power of x Rule)
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan real, maka f’(x) = nxn-1.
b. Aturan Fungsi Konstan (Constant Function Rule)
10
Jika f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0.
c. Aturan Koefisien (Coefficient Rule)
Jika f terdiferensial pada x, c konstanta, maka cf terdiferensial pada x dan
)(')()'( xcfxcf = .
d. Aturan Jumlah (Sum Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x
dan )(')(')()'( xgxfxgf +=+ .
e. Aturan Selisih (Difference Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x
dan )(')(')()'( xgxfxgf −=− .
f. Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f. g) terdiferensialkan pada x
dan )(')()(')()()'.( xfxgxgxfxgf += .
g. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)
Jika f dan g terdiferensialkan pada x, 0)( ≠xg maka gf terdiferensialkan
pada x dan ( ) 2)]([)(')()(')(
xgxgxfxfxgx
gf −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛.
h. Aturan Rantai (Chain Rule)
Jika f dan g fungsi yang terdiferensial dengan y = f(u) dan u = g(x), maka
y fungsi yang terddiferensial pada x, dan
)().( xgdxduf
dud
dxdy
= , atau dapat dituliskan dxdu
dudy
dxdy .= .
11
Bukti:
(a) Dipunyai f(x) = xn.
Jelas h
xfhxfxfh
)()(lim)('0
−+=
→
hxhx nn
h
−+=
→
)(lim0
h
xhnxhhxnnhnxx nnnnnn
h
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
−++
=
−−−
→
1221
0
...!2
)1(
lim
h
hnxhhxnnhnx nnnn
h
+++−
+=
−−−
→
1221
0
...!2
)1(
lim
1221
0...
!2)1(lim −−−−
→+++
−+= nnnn
hhnxhhxnnnx
1−= nnx .
Jadi terbukti bahwa 1)(' −= nnxxf .
(b) Dipunyai f fungsi konstan, f(x) = c.
Jelas h
xfhxfxfh
)()(lim)('0
−+=
→
hcc
h
−=
→0lim
hh
0lim0→
=
00lim0
==→h
.
Jadi terbukti bahwa 0)(' =xf .
12
(c) Dipunyai c konstanta dan f dan cf terdiferensial.
Jelas h
xcfhxcfxcfh
))(())((lim)()'(0
−+=
→
hxcfhxcf
h
)()(lim0
−+=
→
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
=→ h
xfhxfch
)()(lim0
hxfhxfc
h
)()(lim0
−+=
→
)(' xcf= .
Jadi terbukti bahwa )(')()'( xcfxcf = .
(d) Dipunyai f, g, dan f + g terdiferensial.
Jelas (f + g)’(x) = h
xgxfxxgxxfh
))()(())()((lim0
+−+++→
= h
xghxgxfhxfh
)()()()(lim0
−++−+→
= h
xghxgh
xfhxfhh
)()(lim)()(lim00
−++
−+→→
= f’(x) + g’(x).
Jadi terbukti bahwa (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x).
(f) Dipunyai f, g, dan f g terdiferensial.
Jelas (fg)’(x) = h
xgxfhxghxfh
)().()().(lim0
−++→
=h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh
)()()()()()()()(lim0
−+++−++→
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
++−+
→))()()(()())()((lim
0 hxghxgxfhxg
hxfhxf
h
13
=h
xghxgxfhxgh
xfhxfhhhxh
)()(lim)(lim)(lim)()(lim000
−+++
−+→→→→
= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
Jadi terbukti bahwa (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
(g) Dipunyai f, g, dan gf terdiferensial.
Jelas )()'( xgf =
hxgxf
hxghxf
h
)()(
)()(
lim0
−++
→
= h
xghxghxgxfxghxf
h
)()()()()()(
lim0
++−+
→
= hxghxg
hxgxfxghxfh )]()([
)()()()(lim0 +
+−+→
= h
hxgxfxghxfxghxg hh
)()()()(lim)]()([
1lim00
+−++ →→
= })()()()()()()()(lim{)]([
102 h
hxgxfxgxfxgxfxghxfxg h
+−+−+→
= }))()()(()())()((lim{)]([
102 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+
−−+
→ hxghxgxfxg
hxfhxf
xg h
=
)})()((lim)(lim)(lim))()((lim{)]([
100002 h
xghxgxfxgh
xfhxfxg hhhh
−+−
−+→→→→
= )}(')()()('{)]([
12 xgxfxgxf
xg−
= 2)]([)(')()()('
xgxgxfxgxf − .
14
Jadi terbukti bahwa 2)]([)(')()()(')()'(
xgxgxfxgxfx
gf −
= .
Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan dari konsep diatas.
Contoh 6
Diberikan fungsi-fungsi 5)( =xf , 24)( xxg = dan 1)( += xxh .
Tentukan )(' xf , )(' xg dan )()'( xhg + .
Penyelesaian:
Jelas 0)(' =xf .
Jelas xxg 8)(' = .
Jelas )(')(')()'( xhxgxhg +=+
18 += x .
E. INTEGRAL
Definisi 5.
Fungsi F dinamakkan anti turunan dari fungsi f jika turunan dari F adalah f.
Contoh 7
Dipunyai 2)( xxf = , 31 3
1)( xxF = , 531)( 3
2 += xxF dan π−= xxF31)(3 .
Tunjukan bahwa )(),( 21 xFxF dan )(3 xF merupakan anti turunan dari )(xf .
Penyelesaian:
Jelas 223
3
1 3.31)(
313
1)]([ xx
dxxd
dx
xd
dxxFd
===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= .
Jelas 223
33
2 3.310)(
31
)5(315
31
)]([ xxdxxd
dx
dxd
dx
xd
dxxFd
==+=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
= .
15
Jelas 223
33
2 3.310)(
31
)(31
31
)]([ xxdxxd
dx
dxd
dx
xd
dxxFd
==−=−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=ππ
Jadi )(),( 21 xFxF dan )(3 xF semuanya merupakan anti turunan dari )(xf .
Definisi 6.
Jika )(xF pada selang buka I merupakan anti turunan dari )(xf dan C
sembarang konstanta, maka CxF +)( juga merupakan anti turunan dari )(xf .
)(0)()()]([])([ xfxfdxCd
dxxFd
dxCxFd
=+=+=+ .
Definisi 7.
Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F suatu anti turunan f
pada selang I. Proses menentukan anti turunan dari fungsi f dinamakan
imtegral tak tentu f pada I, dinyatakan dengan
∫ += CxFdxxf )()(
dengan C sembarang konstanta dan di baca integral tak tentu dai f terhadap
variabel x.
Contoh 8
Tentukan ∫ xdxcos .
Penyelesaian:
Tulis xxf cos)( = dan xxF sin)( =
Jelas )(cos)(sin)]([)(' xfxdx
xddx
xFdxF ==== .
Jadi )(xF suatu anti turunan dari )(xf .
16
Teorema 2.1
Jika n adalah sebarang bilangan rasional, 1−≠n , maka
Cnxdxx
nn +
+=
+
∫ 1
1
.
Bukti:
Tulis F suatu anti turunan dari f.
Jelas ∫ += CxFdxxf )()( .
Jadi )()]([)()(' xfdx
xFdxfxF =⇔= .
dx
Cnxd
n
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+⇔
+
1
1
dxxd
n
n )(1
1 1+
+⇔
)()1(1
1 xfxxnn
nn ==++
⇔ .
Teorema 2.2
(1) ∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( , c suatu konstanta.
(2) ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
(3) ∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ .
Bukti:
(1) Tulis F suatu anti turunan dari f .
Jadi )()]([)()(' xfdx
xFdxfxF =⇔=
17
)(.)]([. xfcdx
xFdc =⇔
)(.)](.[ xfcdx
xFcd=⇔ .
Jadi )(xcF suatu anti turunan dari )(xcf .
Jadi ∫ ∫== dxxfcxFcdxxfc )()(.)(. .
(2) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .
Jadi )()(' xfxF = dan )()(' xgxG = .
Jadi ∫ += CxFdxxf )()( dan CxGdxxg +=∫ )()( .
Jadi ))(()()'( xgfxGF +=+ .
Jadi )( GF + suatu anti turunan dari )( gf + .
Jadi ∫ ++=+ CxGFdxxgf ))(())((
])([])([ 21 CxGCxF +++=
∫ ∫+= dxxgdxxf )()( .
(3) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .
Jadi )()(' xfxF = dan )()(' xgxG = .
Jadi ∫ += CxFdxxf )()( dan CxGdxxg +=∫ )()( .
Jadi ))(()()'( xgfxGF −=− .
Jadi )( GF − suatu anti turunan dari )( gf − .
Jadi ∫ +−=− CxGFdxxgf ))(())((
])([])([ 21 CxGCxF +−+=
18
∫ ∫−= dxxgdxxf )()( .
Contoh 9
Tentukan: (a) ∫ xdxcos4 dan (b) ∫ + dxxx )( 2 .
Penyelesaian:
(a) Jelas ∫∫ = xdxxdx cos4cos4
)(sin4 Cx +=
Cx 4sin4 +=
Kx += sin4 , CK 4= .
(b) Jelas ∫ ∫∫ +=+ dxxxdxdxxx 22 )(
23
12
31
21 CxCx +++=
2132
31
21 CCxx +++=
Cxx ++= 32
31
21 , 21 CCC += .
Teorema 2.3
Dipunyai g suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang buka I dan F anti
turunan dari f. Jika )(xgu = ,
∫ ∫ +=+== CxgFCuFduufdxxgxgf )]([)()()(')]([ .
Bukti:
Dipunyai IRg ⊂ .
Jadi ( ) )]([)]([)]([)]([' xgfdx
xgFdxgfxgF =⇔= .
19
Jadi ∫ += CxgFxgdxgf )]([)]([)]([
∫ +=⇔ CxgFdxxgxgf )]([)(')]([ .
Contoh 10
Tentukan: (a) ∫ + xdxx 2.)1( 102 dan (b) ∫ xdxx cossin 2 .
Penyelesaian:
(a) Tulis 12 += xu .
Jelas xdxduxdxdu 22 =⇒=
Jelas ∫∫ =+ duuxdxx .2.)1( 10102
Cu += 11
111
Cx ++= )1(111 2 .
(b) Tulis xu sin= .
Jelas xdxduxdxdu coscos =⇒= .
Jelas ∫∫ = duuxdxx 22 cossin
Cu += 3
31
Cx += 3sin31 .
20
Teorema 2.4
Jika )(xUU = dan )(xVV = fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada
selang buka I, maka
∫ ∫−= dUVVUUdV .. .
Bukti:
Dipunyai dUVdVUVUd ..).( += .
Jadi ∫ ∫ += )..().( dUVdVUVUd
∫∫ +=⇔ dUVdVUVU ...
∫∫ −=⇔ dUVVUdVU ... .
Contoh 11
Tentukan ∫ xdxx cos. .
Penyelesaian:
Jelas ∫∫ = )(sincos. xxdxdxx
∫−= dxxxx .sinsin.
Cxxx ++= sinsin. .
F. FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN
1. Fungsi Invers
Definisi 8.
Dipunyai f fungsi dengan daerah definisi D. invers fungsi f , ditulis
1−= fg , adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
xxfg =))(( Dx∈∀ .
21
Contoh 12
Dipunyai xxf 2)( = , ),( ∞−∞∈x . Tunjukan bahwa inversnya adalah
xxg21)( = .
Penyelesaian:
Tulis )(xfy =
Jelas xy 2= .
Jelas xxyyg === 2.21
21)( .
Jelas xxxfxfg === 2.21)(
21))(( , ),( ∞−∞∈x .
Contoh 13
Dipunyai xxf =)( , 0≥x . Tujukan bahwa inversnya adalah 2)( xxg = .
Penyelesaian:
Tulis )(xfy =
Jelas xy =
Jelas ( ) xxyg ==2
)( .
Jelas ( ) xxxfxfg ===22)]([))(( , 0≥x .
Deinisi 9.
Dipunyai f fungsi, f disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap 21 , xx di
domain f, 21 xx ≠ maka )()( 21 xfxf ≠ .
Contoh 14
Dipunyai f: D →R, D⊂R2, yxxf += 22)( .
22
Tunjukan f fungsi satu-satu.
Penyelesaian:
Ambil sembarang ),(),,( 2211 yxyx ∈D, ),(),( 2211 yxyx ≠ .
Jelas 21 xx ≠ dan 21 yy ≠ .
Jelas )2()2(),(),( 2221
212211 yxyxyxfyxf +−+=−
)()22( 2122
21 yyxx −+−=
0≠ .
Jadi ),(),(),,(),(,),(),,( 221122112211 yxfyxfyxyxDyxyx ≠≠∈∀ .
Jadi f fungsi satu-satu.
Teorema 2.5
Dipunyai f suatu fungsi yang didefinisikan RDf →: . Jika f fungsi satu-
satu maka
(i) 1−f ada, dan
(ii) daerah definisi 1−f adalah range f.
Bukti:
Definisikan pemadanan
ff DRg →:
dengan fRxxyg ∈∀= ,)( dan )(xfy = .
Ditunjukan g suatu fungsi.
Ambil fRyy ∈21 , dengan 21 yy = .
Jelas )( 11 xfy = dan )( 22 xfy = untuk suatu fDxx ∈21 , .
23
Karena 21 yy = , maka )()( 21 xfxf = .
Dipunyai f satu-satu.
Jadi 21 xx = .
Jadi g suatu fungsi.
Jelas xygxfg == )())(( , fDx∈∀ .
Jadi terdapat fungsi invers g untuk f. Tulis 1−= fg .
Jelas fgfRDD ==−1 .
Contoh 15
Tentukan invers dari fungsi 42)( −= xxf , ),( ∞−∞∈x .
Penyelesaian:
Dipunyai 42)( −= xxf .
Tulis )(xfy = .
Jelas 42 −= xy
42 +=⇔ yx
222
4+=
+=⇔
yyx .
Jadi 22
)(1 +=− yyf .
Jelas xxyf =+−=− 2)42(21)(1 , ),( ∞−∞∈x .
Jadi 22
)(1 +=− xxf .
24
2. Fungsi Logaritma Asli
Definisi 10.
Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh
dtt
xx
∫= 1
1ln x > 0.
Definisi 11.
Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang ( )∞,0 , dengan
xxf ln)( = , turunan dari f didefinisikan sebagai
,1)(lnxdx
xd= x > 0.
Definisi 12.
Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I,
dengan uu ln= , maka turunanya didefinisikan sebagai
,.1)(lndxdu
udxud
= u >0.
Contoh 16
Tentukan turunan dari: (a) )ln()( 2xxxf += dan (b) )1ln()( 2xxxf += .
Penyelesaian:
(a) Jelas dx
xxdxf )][ln()('2+
=
dxxxd
xxdxxd )(.
)()][ln( 2
2
2 +++
=
)21.()(
12 x
xx+
+=
25
)()21(
2xxx
++
= .
(b) Jelas dx
xfdxf )]([)(' =
dxxxd )]1ln([ 2+
=
dxxdx
dxxdx )]1[ln(.)().1ln(
22 +
++=
dxxd
xdxdxx )1(.
)1()]1[ln(.)1ln(
2
2
22 +
++
++=
xx
xx 2.)1(
1.)1ln( 22
+++=
)1(2)1ln( 2
22
xxx+
++= .
Teorema 2.6
Jika Rba ∈, , 0>a , 0>b , dan r rasional maka:
(1) baab lnln)ln( +=
(2) baba lnlnln −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ,
(3) ara r ln)ln( = .
Bukti:
(1) Ambil sembarang 0>x .
Pilih axxf ln)( = dan xxg ln)( = .
Jelas x
aaxdx
axdaxdaxd
dxxfd 1.1)(
)()(ln)]([
=== dan
26
xdxxd
dxxgd 1)(ln)]([
== .
Jadi Cxgxf += )()( untuk suatu konstanta C.
Jelas CaCgf =⇔+= ln)1()1( .
Jadi axgxf ln)()( +=
axax lnlnln +=⇔ .
Pilih bx = .
Jelas baab lnlnln += .
(2) Dipunyai baab lnlnln += .
Pilih b
a 1= .
Jelas 01ln.1lnln1ln ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+ b
bb
b.
Jadi bbbb
lnln0ln1ln1ln −=−=−= .
Jadi bab
ab
aba lnln1lnln1.lnln −=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ .
(3) Dipunyai Rxea axx ∈∀= ,ln. .
Pilih r bilangan rasional.
Jelas Rr ∈ .
Jadi arr ea ln.= .
Jadi arr ea ln.lnln =
eara r ln.ln.ln =⇔
1.ln.ln arar =⇔
27
arar ln.ln =⇔ .
Jadi 0,,ln.ln >∈∀= aRaarar dan r bilangan rasional.
Definisi 13.
Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan 1ln =e .
Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai
12 desimal yakni 597182818284,2≈e .
Berdasarkan teorema 2.6 point (3) diperoleh nnenen === 1.lnln .
Teorema 2.7
Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan
∫ += Cxdxx
ln1 , 0≠x .
Bukti:
Ambil sembarang Rx∈ , 0≠x .
Kasus 0>x .
Jelas xx =
Jadi xxdx
xdxdxd
dxxd
dxxd 1)1.(1)(.
)())(ln()(ln()(ln
==== .
Kasus 0<x .
Jelas xx −= .
Jelas xxdx
xdxdxd
dxxd
dxxd 1)1.(1)(.
)())(ln()(ln()(ln
=−−
=−
−−
=−
= .
Contoh 17
Tentukan ∫ ++ dx
xxx
sincos1 , 0sin ≠+ xx .
28
Penyelesaian:
Tulis xxu sin+=
Jelas dxxdu )cos1( += .
Jelas ∫∫ =++
ududx
xxx
sincos1
Cu += ln
Cxx ++= sinln .
3. Fungsi Eksponen
Definisi 14.
Fungsi eksponen asli merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai
)exp(xy = jika dan hanya jika yx ln= .
Definisi 15.
)exp(x adalah fungsi yang didefinisikan sebagai xex =)exp( , dengan x
bilangan rasional dan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan
1ln =e .
Teorema 2.8
Dipunyai 21 , xx , dan r di R, r rasional maka:
(i) 2121 . xxxx eee += ,
(ii) 21
2
1xx
x
x
eee −= , dan
(iii) 11 ][ rxrx ee = .
Bukti:
(i) Tulis 11
xey = dan 22
xey = .
29
Jelas 111 ln1 yxey x =⇔= dan 222 ln2 yxey x =⇔= .
Jadi 2121 lnln yyxx +=+
).ln( 2121 yyxx =+⇔
21.21 yye xx =⇔ +
2121.
xxeyy +=⇔
2121 xxxx eee +=⇔ .
(ii) Tulis 11
xey = dan 22
xey = .
Jelas 111 ln1 yxey x =⇔= dan 222 ln2 yxey x =⇔= .
Jadi 2121 lnln yyxx −=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−⇔
2
121 ln
yy
xx
21
2
1 xxeyy −=⇔
21
2
1xx
x
x
eee −=⇔ .
(iii) Dipunyai arar ln.ln = .
Tulis rxey )( 1= .
Jadi 111 1..ln.ln.)ln(ln 11 rxxrexrerey xrx ===== .
Jadi 1rxey = .
Jadi 11 )( rxrx ee = .
30
Teorema 2.9
xx
edxed
=)( , Rx∈∀ .
Bukti:
Ambil sembarang Rx∈ .
Dipunyai xe x =ln .
Jelas dx
xddx
ed x )()(ln=
1)(.)()(ln
=⇔dxed
eded x
x
x
1)(.1=⇔
dxed
e
x
x
xx
edxed
=⇔)( .
Jadi xx
edxed
=)( untuk setiap Rx∈ .
Contoh 18
Tentukan turunan dari fungsi xxexf sin)( = .
Penyelesaian:
Jelas dx
xfdxf )]([)(' =
dxed xx )( sin
=
dxxxd
xxded xx )sin(.
)sin()( sin
=
]cos[sinsin xxxe xx += .
31
Teorema 2.10
Teorema 2.9 diatas memberikan formula integrasi sebagai berikut
∫ += Cedxe xx .
Bukti:
Dipunyai ∫ += Cedxe xx .
Jelas ( )
dxCxFd
dx
dxed x])([ +
=∫
dxCed x )( +
=
dxCd
dxed x )()(
+=
)(xfe x == .
Jadi CxF +)( suatu anti turunan dari f.
Contoh 19
Tentukan ∫ − dxe x3 .
Penyelesaian:
Tulis xu 3−= .
Jelas dxdu 3−= .
Jelas ∫∫ −=− duedxe ux )31(3
∫−= dueu
31
Ceu +−=31 Ce x +−= −3
31 .
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka.
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
A. Menentukan Masalah
Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian
dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.
B. Merumuskan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah
ditemukan yakni
1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?
2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti
turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. Studi Pustaka
Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara
mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan,
mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta
membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar
pengembangan upaya pemecahan masalah.
32
33
D. Analisis dan Pemecahan Masalah
Analisis dan pemecahan masalah dilakuan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Mempelajari dan mengkaji menggunakan referensi yang ada tentang
bagaimana menurunkan model matematikanya.
2. Mengetahui secara jelas tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik.
3. Mencari penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan
anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
E. Penarikan Simpulan
Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara
mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan denagn permasalahan,
mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta
membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar
pengembangan upaya pemecahan masalah.
BAB IV
PEMBAHASAN
A. FUNGSI HIPERBOLIK
Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasi-
kombinasi tertentu dari fungsi eksponen xe dan xe− sehingga kombinasi
fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan
dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi
tersebut yakni fungsi hiperbolik. Untuk keperluan tersebut, dibangun fungsi-
fungsi p dan q sebagai berikut.
+→ RRp : , 2
)(xexp = dan +→ RRq : ,
2)(
xexq−
= .
Grafik fungsi p dan q diberikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Grafik fungsi p naik
34
35
Gambar 4. Grafik fungsi q turun
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai jumlah
dan selisih fungsi-fungsi p dan q. Dengan demikian
)()()( xqxpxf += dan )()()( xqxpxg −= .
Grafik fungsi f dan g disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5. Grafik fungsi ),1[: ∞→Rf
)()()( xqxpxf +=
36
Dipunyai ),1[: ∞→Rf , 2
)(xx eexf
−+= .
Jelas 002
)(' >∀>−
=−
xeexfxx
dan 002
)(' <∀<−
=−
xeexfxx
.
Jadi grafik f naik pada ),0[ ∞ dan turun pada ]0,(−∞ .
Jelas Rxxfeeeexfxxxx
∈∀=+
=+
=−−−
)(22
)( .
Jadi f suatu fungsi genap.
Jelas 0)(2
)('' >=+
=−
xfeexfxx
.
Jadi grafik f cekung ke atas pada ),( ∞−∞ .
Gambar 6. Grafik fungsi RRg →:
)()()( xqxpxg −=
Dipunyai RRg →: , 2
)(xx eexg
−−= .
37
Jelas Rxeexgxx
∈∀>+
=−
02
)(' .
Jadi grafik fungsi g naik pada daerah asalnya.
Jelas Rxxgeeeexgxxxx
∈∀−=−
−=−
=−−−
)(22
)( .
Jadi f suatu fungsi ganjil.
Jelas ⎩⎨⎧
<−>+
=−
=−
0,0,
)(2
)(''xx
xgeexgxx
.
Jadi grafik g cekung ke bawah pada ]0,(−∞ dan cekung ke atas pada ),0[ ∞ .
Berikut disajikan beberapa sifat fungsi f dan g.
Sifat 4.1
(1) 1)0( =f dan 0)0( =g ,
(2) Rxxgxf ∈∀= )()(' ,
(3) Rxxfxg ∈∀= )()(' ,
(4) 1)()( 22 =− xgxf ,
(5) )().()().()( ygxgyfxfyxf +=+ ,
(6) )().()().()( yfxgygxfyxg +=+ ,
(7) )(
1)()(1 2
2
xgxgxf
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− , dan
(8) )(
1)()(1 2
2
xfxfxg
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− .
Bukti:
Dipunyai 2
)(xx eexf
−+= dan
2)(
xx eexg−−
= .
38
(1) Jelas 122
2)0(
00
==+
=eef dan 0
20
2)0(
00
==−
=eeg .
(2) Jelas )(2
)(' xgeexfxx
=−
=−
.
(3) Jelas )(2
)(' xfeexgxx
=+
=−
.
(4) Jelas 22
22
22)()( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=−
−− xxxx eeeexgxf
42
42 2222 xxxx eeee −− −−
−++
=
144== .
(5) Jelas 2
)()( yxyx eeyxf
+−+ +=+
2
yxyx eeee −−+=
[ ]yxyx eeee −−+=21
[ ]))()())(()(())()())(()((21 ygyfxgxfygyfxgxf −−+++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−
++++=
)()()()()()()()()()()()()()()()(
21
ygxgyfxgygxfyfxfxgygyfxgygxfyfxf
[ ])()(2)()(221 ygxgyfxf +=
)().()().( ygxgyfxf += .
39
(6) Jelas 2
)()( yxyx eeyxg
+−+ −=+
2
yxyx eeee −−−=
[ ]yxyx eeee −−−=21
[ ]))()())(()(())()())(()((21 ygyfxgxfygyfxgxf −−−++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++
−+++=
)()()()()()()()()()()()()()()()(
21
ygxgyfxgygxfyfxfxgygyfxgygxfyfxf
[ ])()(2)()(221 yfxgygxf +=
)().()().( yfxgygxf += .
(7) Jelas )()(1
)()(1 2
22
xgxf
xgxf
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
)()()(
2
22
xgxfxg −
=
)()()(
2
22
xgxgxf −
−=
)(1
2 xg−= .
(8) Jelas )()(1
)()(1 2
22
xfxg
xfxg
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
)()()(
2
22
xfxgxf −
=
40
)(1
2 xf= .
Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1
memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi
trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan
g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut.
Sifat 4.2
(1) Dipunyai RRf →: , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai
2sinh
xx eex−−
= ,
(2) Dipunyai ),1[: ∞→Rf , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai
2cosh
xx eex−+
= ,
(3) Dipunyai )1,1(: −→Rf , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai
xx
xx
eeee
xxx −
−
+−
==coshsinhtanh ,
(4) Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , fungsi cotangen hiperbolik
didefinisikan sebagai
xx
xx
eeee
xxx −
−
−+
==sinhcoshcoth , dan
(5) Dipunyai ]1,0(: →Rf , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai
xx eexhx −+
==2
cosh1sec .
41
Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan
hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan
Gambar 9.
Gambar 7. Grafik fungsi xxf tanh)( =
Gambar 8. Grafik fungsi xxf coth)( =
42
Gambar 9. Grafik fungsi hxxf sec)( =
B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK
Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:
Teorema 4.1
(1) xdx
xd cosh)(sinh=
(2) xdx
xd sinh)(cosh=
(3) xhdx
xd 2sec)(tanh=
(4) xhdx
xd 2csc)(coth−=
(5) hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
Bukti:
(1) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= .
43
Jelas dx
eed
dxxd
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
−
2)(sinh
dxeed xx )(
21 −−
=
)(21 xx ee −+=
xcosh= .
Jadi xdx
xd cosh)(sinh= .
(2) Dipunyai 2
coshxx ee −+
= .
Jelas dx
eed
dxxd
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=
−
2)(cosh
dxeed xx )(
21 −+
=
)(21 xx ee −−=
xsinh= .
Jadi xdx
xd sinh)(cosh= .
(3) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= dan
2cosh
xx ee −+= .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= coshsinh
)(tanh
44
dxeeeed xx
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=−
−
2)(
)()()()(xx
xxxx
xxxx
eedx
eedeedx
eedee−
−−
−−
+
+−−
−+
=
2)())(())((
xx
xxxxxxxx
eeeeeeeeee
−
−−−−
+−−−++
=
2
22
)()()(
xx
xxxx
eeeeee
−
−−
+−−+
=
2
2
)()(1 xx
xx
eeee−
−
+−
−=
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−= −
−
xx
xx
eeee
x2tanh1−=
xh2sec= .
Jadi xhdx
xd 2sec)(tanh= .
(4) Dipunyai 2
sinhxx eex
−−= dan
2cosh
xx ee −+= .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= sinhcosh
)(coth
dxeeeed xx
xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=−
−
45
2)(
)()()()(xx
xxxx
xxxx
eedx
eedeedx
eedee−
−−
−−
−
−+−
+−
=
2)())(())((
xx
xxxxxxxx
eeeeeeeeee
−
−−−−
−++−−−
=
2
22
)()()(
xx
xxxx
eeeeee
−
−−
−+−−
=
2
2
)()(1 xx
xx
eeee−
−
−+
−=
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−= −
−
xx
xx
eeee
x2coth1−=
xh 2csc−= .
Jadi xhdx
xd 2csc)(coth−= .
(5) Dipunyai 2
coshxx ee −+
= .
Jelas dx
xd
dxhxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= cosh1
)(sec
dxee
d xx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=−
2
2)(
)(2)2()(xx
xxxx
eedx
eeddx
dee−
−−
+
+−+
=
2)()(2
xx
xx
eeee
−
−
+−−
=
46
)(2
)()(
xxxx
xx
eeeeee
−−
−
++−
−=
hxx sec.tanh−= .
Jadi hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik,
cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan
1sinh − , 1cosh − , 1tanh − , 1coth − , dan 1sec −h , didefinisikan sebagai
(1) yxxy sinhsinh 1 =⇔= − ,
(2) yxxy coshcosh 1 =⇔= − ,
(3) yxxy tanhtanh 1 =⇔= − ,
(4) yxxy cothcoth 1 =⇔= − , dan
(5) hyxxhy secsec 1 =⇔= − .
Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian
berikut.
(1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik
Dipunyai RRf →: , xxf sinh)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 sinhsinh)()( xxxfxf −=−
22
2211 xxxx eeee −− −−
−=
47
02
)()( 1221
≠−+−
=−− xxxx eeee .
Jadi fungsi f satu-satu.
Berikutnya ditunjukan f fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx sinh= , untuk suatu Ry∈ .
Jelas 2
yy eex−−
=
yy eex −−=⇔ 2
)(2 yyyy eeexe −−=⇔
12 2 −=⇔ yy exe
0122 =−−⇔ xee yy
[ ] 0)1(2)( 222 =+−+−⇔ xxxee yy
( ) 01)(2
22 =+−−⇔ xxe y
22 11 xxexxe yy ++=∨+−=⇔ .
Jelas )1ln(1 22 xxyxxe y ++=⇔++= .
Jadi )()1ln( 2 yfxRxxyRx =∋∈++=∃∈∀ .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi RRf →: , xxf sinh)( = memiliki invers.
Jelas yxxy sinhsinh 1 =⇔= −
Jadi )1ln(sinh 21 xxx ++=− .
48
Gambar grafik fungsi RRf →: , xxf 1sinh)( −= diberikan pada
Gambar 10.
Gambar 10. Grafik fungsi xxf 1sinh)( −=
(2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik
Dipunyai ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = .
Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .
Jelas 21 xx ≠ .
akan tetapi )()1(2
)1()( 2
1
1 xffeefxf ==+
=−=−
.
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi ),1[: ∞→Rf , xxf cosh)( = tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = .
49
Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = diberikan pada
Gambar 11.
Gambar 11. Grafik fungsi ),1[),0[: ∞→∞f
xxf cosh)( =
Jelas 0)(' >xf ),0[ ∞∈∀ x .
Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.
Jadi fungsi ),1[),0[: ∞→∞f , xxf cosh)( = memiliki invers.
Ambil sembarang ),0[ ∞∈x .
Tulis yx cosh= , untuk suatu ),1[ ∞∈y .
Jelas 2
yy eex−+
=
yy eex −+=⇔ 2
)(2 yyyy eeexe −+=⇔
50
12 2 +=⇔ yy exe
0122 =+−⇔ xee yy
[ ] 0)1(2)( 222 =−−+−⇔ xxxee yy
( ) 01)(2
22 =−−−⇔ xxe y
11 22 −+=∨−−=⇔ xxexxe yy .
Jelas )1ln(1 22 −+=⇔−+= xxyxxe y .
Jadi )(),1[)1ln(),0[ 2 yfxxxyx =∋∞∈−+=∃∞∈∀ .
Jelas yxxy coshcosh 1 =⇔= − .
Jadi )1ln(cosh 21 −+=− xxx .
Gambar grafik fungsi ),0[),1[: ∞→∞f , xxf 1cosh)( −= diberikan
pada Gambar 12.
Gambar 12. Grafik fungsi xxf 1cosh)( −=
51
(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik
Dipunyai fungsi )1,1(: −→Rf , xxf tanh)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 tanhtanh)()( xxxfxf −=−
22
22
11
11
xx
xx
xx
xx
eeee
eeee
−
−
−
−
+−
−+−
=
))(())(())((
2211
11222211
xxxx
xxxxxxxx
eeeeeeeeeeee
−−
−−−−
+++−−+−
=
0≠ .
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx tanh= , untuk suatu )1,1(−∈y .
Jelas yy
yy
eeeex −
−
+−
=
yyyy eeeex −− −=+⇔ )(
)()( yyyyyy eeeeexe −− −=+⇔
1)1( 22 −=+⇔ yy eex
0)1(1 22 =+−−⇔ yy exe
0122 =−−−⇔ xxee yy
0)1()()( 22 =+−−⇔ xexe yy
1))(1( 2 +=−⇔ xex y
52
xxe y
−+
=⇔1
1)( 2
xxe y
−+
=⇔11ln)ln( 2
xxey
−+
=⇔11lnln..2
xxy
−+
=⇔11ln.2
xxy
−+
=⇔11ln
21 .
Jadi )()1,1(11ln
21 yfx
xxyRx =∋−∈
−+
=∃∈∀ .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi fungsi )11(: −→Rf , xxf tanh)( = memiliki invers.
Jelas yxxy tanhtanh 1 =⇔= − .
Jadi xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 .
Gambar grafik fungsi ),()1,1(: ∞−∞→−f , xxf 1tanh)( −=
diberikan pada Gambar 13.
53
Gambar 13. Grafik fungsi xxf 1tanh)( −=
(4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik
Dipunyai )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = .
Ambil sembarang 2121 ,, xxRxx ≠∈ .
Jelas 2121 cothcoth)()( xxxfxf −=−
22
22
11
11
xx
xx
xx
xx
eeee
eeee
−
−
−
−
−+
−−+
=
))(())(())((
2211
11222211
xxxx
xxxxxxxx
eeeeeeeeeeee
−−
−−−−
−−−+−−+
=
0≠ .
Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.
Ambil sembarang Rx∈ .
Tulis yx coth= , untuk suatu )1,( −−∞∈y ),1( ∞∪ .
54
Jelas yy
yy
eeeex −
−
−+
=
yyyy eeeex −− +=−⇔ )(
)()( yyyyyy eeeeexe −− +=−⇔
1)1( 22 +=−⇔ yy eex
0)1(1 22 =−−+⇔ yy exe
0122 =++−⇔ xxee yy
0)1()()( 22 =++−⇔ xexe yy
)1())(1( 2 +−=−⇔ xex y
xxe y
−−−
=⇔1
1)( 2
11)( 2
+−−−
=⇔xxe y
11)( 2
−+
=⇔xxe y
11ln)ln( 2
−+
=⇔xxe y
11lnln..2
−+
=⇔xxey
11ln.2
−+
=⇔xxy
11ln
21
−+
=⇔xxy .
Jadi )1,(11ln
21
−−∞∈−+
=∃∈∀xxyRx )(),1( yfx =∋∞∪ .
Jadi f suatu fungsi pada.
55
Jadi fungsi )1,(: −−∞→Rf ),1( ∞∪ , xxf coth)( = memiliki invers.
Jelas yxxy cothcoth 1 =⇔= − .
Jadi xxx
−+
=−
11ln
21coth 1 .
Gambar grafik fungsi ),(),1()1,(: ∞−∞→∞∪−−∞f ,
xxf 1coth)( −= diberikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Grafik fungsi xxf 1coth)( −=
(5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik
Dipunyai ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = .
Ambil Rxx ∈=−= 1,1 21 .
Jelas 21 xx ≠ .
akan tetapi )()1(2)1()( 211 xffee
fxf ==+
=−= − .
56
Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi ]1,0(: →Rf , hxxf sec)( = tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai
]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = .
Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = diberikan pada
Gambar 15.
Gambar 15. Grafik fungsi ]1,0(),0[: →∞f
hxxf sec)( =
Jelas 0)(' <xf ),0[ ∞∈∀ x .
Jadi f monoton turun pada daerah asalnya.
Jadi fungsi ]1,0(),0[: →∞f , hxxf sec)( = memiliki invers.
Ambil sembarang ),0[ ∞∈x .
Tulis hxy sec= , untuk suatu ]1,0(∈y .
57
Jelas yy eex −+=
2
2)( =+⇔ − yy eex
yyyy eeexe 2)( =+⇔ −
yy eex 22 2)1( =+⇔
02 22 =−+⇔ yy exxe
02)( 2 =+−⇔ xeex yy
xxxe y
2.442
12−±
=⇔
xxe y
2442 2
12−±
=⇔
xx
e y
2)1(42 2
12
−±=⇔
xx
e y
2)1(22 2
12
−±=⇔
xx
e y )1(1 2
12
−±=⇔
xxe y
2
111 −+
=⇔ atau x
xe y2
211 −−
= .
Jelas ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=⇔
−+=
xxy
xxe y
22 11ln11 .
Jadi ]1,0(11ln),0[2
∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=∃∞∈∀
xxyx )(yfx =∋ .
Jelas hyxxhy secsec 1 =⇔= − .
58
Jadi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec .
Gambar grafik fungsi ),0[]1,0(: ∞→f , xhxf 1sec)( −= diberikan
pada Gambar 16.
Gambar 16. Grafik fungsi xhxf 1sec)( −=
Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.
Teorema 4.2
(1) ( )21 1lnsinh xxx ++=− , ∞<<∞− x ,
(2) ( )1lncosh 21 −+=− xxx , 1≥x ,
(3) xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 , 11 <<− x ,
59
(4) 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx , 1>x , dan
(5) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec , 10 ≤< x .
D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3
(1) 2
1
1
1)(sinh
xdxxd
+=
−
,
(2) 1
1)(cosh2
1
−=
−
xdxxd ,
(3) 2
1
11)(tanhxdx
xd−
=−
1<x ,
(4) 2
1
11)(cothxdx
xd−
=−
1>x , dan
(5) 2
1
11)(sec
xxdxxhd
−−=
−
.
Bukti:
(1) Dipunyai ( )21 1lnsinh xxx ++=− .
Jelas dx
xxd
dxxd
21 1ln()(sinh ++
=−
( )dx
xxdxxd
xxd 2
2
21.
)1(
1ln( ++
++
++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++=
22 11.
11
xx
xx
60
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++
++=
2
2
2 11
11
xxx
xx
( ) 22
2
111
xxxxx+++
++=
211
x+= .
(2) Dipunyai ( )1lncosh 21 −+=− xxx .
Jelas ( )
dx
xxd
dxxd 1ln)(cosh
21 −+
=−
( )( )
( )dx
xxdxxd
xxd 1.1
1ln 2
2
2−+
−+
−+=
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−+=
11.
11
22 xx
xx
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+−
−+=
11
11
2
2
2 xxx
xx
( )( ) 11
122
2
−−+
−+=
xxxxx
112 −
=x
.
(3) Dipunyai xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 .
Jelas dx
xxd
dxxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=− 1
1ln21
)(tanh 1
61
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
dxxxd ))1ln()1ln((
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
+=
dxxd
dxxd )1ln()1ln(
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
−−
++
+=
dxxd
xdxd
dxxd
xdxd )1(.
)1()1ln()1(.
)1()1ln(
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
+=
xx 11
11
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−++−
= 2111
21
xxx
22 11
12.
21
xx −=
−= .
(4) Dipunyai 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx .
Jelas 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
dxxxd ))1ln()1ln((
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
+=
dxxd
dxxd )1ln()1ln(
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
−−
++
+=
dxxd
xdxd
dxxd
xdxd )1(.
)1()1ln()1(.
)1()1ln(
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
+=
11
11
21
xx
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+−−
=1
)1()1(21
2xxx
62
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=1
2.21
2x
22 11
11
xx −=
−−= .
(5) Dipunyai ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec .
Jelas dx
xxd
dxxhd ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
=−
2
1
11ln)(sec
dx
xdxd ln11ln( 2 −−+=
dxxd
dxxd
xd
xd )(ln)11(.)11(
)11ln( 2
2
2
−−+
−+
−+=
xxx
x1
1111
22−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+=
( )( ) xxxx 1
111 22−
−−+−=
)1(1()1(1
22
222
xxxxxx
−+−
−+−−−=
)11(111
22
2
xxxx−−−
−−−=
211
xx −−= .
63
E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3 menyatakan bahwa 21
1x+
merupakan suatu anti
turunan x1sinh − dan 1
12 −x
, 1≠x suatu anti turunan x1cosh − . Akibatnya
dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.
Teorema 4.4
(1) ∫ +=+
− Cxx
dx 1
2sinh
1,
(2) ∫ +=−
− Cxxdx 1
2cosh
1,
(3) ∫⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
<+=
− −
−
1,coth
1,tanh
1 1
1
2
xCx
xCx
xdx , dan
(4) Cxhxx
dx+−=
−∫ −1
2sec
1.
64
F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA
FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan
penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya.
1. Tentukan dxdy dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
(a) )cosh( 4xy = (e) )(sec 2xehy = (i) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
xy 1sinh 1
(b) )84sinh( −= xy (f) xhy sec= (j) xy 1coth −=
(c) )2ln(tanh xy = (g) )1(cosh 1 xy −= −
(d) )coth(ln xy = (h) )(sec 71 xhy −=
2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
(a) ∫ − dxx )32cosh( (e) ∫− 259 2x
dx
(b) ∫ xdxx coshsinh 6 (f) ∫+− 222 xx
dx
(c) ∫ xdxhx 2sectanh (g) ∫− 22x
dx
(d) ∫+ 291 xdx
Penyelesaian:
1. (a) Dipunyai )cosh( 4xy = .
Jelas dx
xddxdy )][cosh( 4
=
65
dxxd
xdxd )(.)(
)][cosh( 4
4
4
=
34 4).sinh( xx=
)sinh(4 43 xx= .
(b) Dipunyai )84sinh( −= xy .
Jelas dx
xddxdy )]84[sinh( −
=
dxxd
xdxd )84(.
)84()]84[sinh( −
−−
=
4).84cosh( −= x
)84cosh(4 −= x .
(c) Dipunyai )2ln(tanh xy = .
Jelas dx
xddxdy )]2[ln(tanh
=
dxxd
xdxd
xdxd )2(.
)2()2(tanh.
)2(tanh)]2[ln(tanh
=
2.2sec.2tanh
1 2 xhx
=
xxh
2tanh2sec2 2
= .
(d) Dipunyai )coth(ln xy = .
Jelas dx
xddxdy )][coth(ln
=
dxxd
xdxd )(ln.
)(ln)][coth(ln
=
66
xxh 1).(lncsc 2−=
xxh )(lncsc 2
−= .
(e) Dipunyai )(sec 2xehy = .
Jelas dx
ehddxdy x )]([sec 2
=
dxxd
xded
edehd x
x
x )2(.)2()(.
)()]([sec 2
2
2
=
2.).(sec).tanh( 222 xxx eehe−=
)(sec).tanh(2 222 xxx ehee−= .
(f) Dipunyai xhy sec= .
Jelas dx
xhddxdy ][sec
=
dxxd
xdxhd )(.
)(][sec
=
xxhx
21.sec.tanh−=
xxhx
2sec.tanh
−= .
(g) Dipunyai )1(cosh 1 xy −= − .
Jelas dx
xddxdy )]1([cosh 1 −
=−
dxxd
xdxd )1(.
)1()]1([cosh 1 −
−−
=−
67
)1.(1)1(
12
−−−
=x
1)1(1
2 −−−=
x.
(h) Dipunyai )(sec 71 xhy −= .
Jelas dx
xhddxdy )]([sec 71−
=
dxxd
xdxhd )(.
)()]([sec 7
7
71−
=
6
2777.
)(11 x
xx −−=
277
6
)(17
xxx−
−= .
(i) Dipunyai ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
xy 1sinh 1 .
Jelas dx
xd
dxdy
]1[sinh 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
dxx
d
xd
xd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
− 1
.1
]1[sinh 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= 22
1.11
1x
x
68
22 11
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=
xx
.
(j) Dipunyai xy 1coth −= .
Jelas dx
xddxdy ]coth[ 1−
=
dxxd
xdxd )(coth.)(coth)coth( 1
1
1 −
−
−
=
21 11.
coth21
xx −=
−
xx 12 coth)1(21
−−=
2. (a) ∫ − dxx )32cosh(
Jelas ∫∫ −−=− )32()32cosh(21)32cosh( xdxdxx
Cx +−= )32sinh(21 .
(b) ∫ xdxx coshsinh 6
Tulis xu sinh= .
Jelas xdxdu cosh=
Jelas ∫∫ = duuxdxx 66 coshsinh
Cu += 7
71
Cx += 7sinh71 .
69
(c) ∫ xdxhx 2sectanh
Tulis xu tanh= .
Jelas xdxhdu 2sec=
Jelas ∫ ∫= duuxdxhx .sec.tanh 2
Cu += 23
32
Cuu += .32
Cxx += tanhtanh32 .
(d) ∫+ 291 xdx
Jelas ∫∫+
=+ 22 )3(1
)3(31
91 xxd
xdx
Cx += − 3sinh31 1 .
(e) ∫− 259 2x
dx
Jelas ∫∫−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
15
3
53
35
259 22 x
xd
xdx
Cx+= −
53cosh
35 1 .
(f) ∫+− 222 xx
dx
70
Jelas ∫∫+−+
+−=
+− 22 )1(1)1(
22 xxd
xxdx
Cx ++−= − )1(sinh 1 .
(g) ∫− 22x
dx
Jelas ∫∫−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=−
12
222 22
x
xd
x
dx
Cx+= −
2cosh2 1 .
BAB V
PENUTUP
A. SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan
sebagai berikut.
1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan +→ RRp : ,
2)(
xexp = dan +→ RRq : , 2
)(xexq
−
= . Selanjutnya dibangun fungsi f
dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q,
dengan demikian )()()( xqxpxf += dan )()()( xqxpxg −= , dimana
fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki
oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula
fungsi hiperbolik.
2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut
(a) 2
sinhxx eex
−−= (d)
xxx
sinhcoshcoth =
(b) 2
coshxx eex
−+= (e)
xhx
cosh1sec =
(c) xxx
coshsinhtanh =
3. Formula turunan fungsi hiperbolik
(a) xdx
xd cosh)(sinh= ,
64
65
(b) xdx
xd sinh)(cosh= ,
(c) xhdx
xd 2sec)(tanh= ,
(d) xhdx
xd 2csc)(coth−= , dan
(e) hxxdx
hxd sec.tanh)(sec−= .
4. Invers fungsi hiperbolik
(a) ( )21 1lnsinh xxx ++=− ∞<<∞− x
(b) ( )1lncosh 21 −+=− xxx 1≥x
(c) xxx
−+
=−
11ln
21tanh 1 11 <<− x
(d) 11ln
21coth 1
−+
=−
xxx 1>x
(e) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=−
xxxh
21 11lnsec 10 ≤< x .
5. Formula turunan invers fungsi hiperbolik
(a) 2
1
11)(sinh
xdxxd
+=
−
(b) 1
1)(cosh2
1
−=
−
xdxxd
(c) 2
1
11)(tanhxdx
xd−
=−
1<x
(d) 2
1
11)(cothxdx
xd−
=−
1>x
66
(e) 2
1
11)(sec
xxdxxhd
−−=
−
.
6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik
(a) ∫ +=+
− Cxx
dx 1
2sinh
1
(b) ∫ +=−
− Cxxdx 1
2cosh
1
(c) ∫⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
<+=
− −
−
1,coth
1,tanh
1 1
1
2
xCx
xCx
xdx
(d) Cxhxx
dx+−=
−∫ −1
2sec
1.
B. SARAN
Dalam skripsi ini, penulis menentukan penurunan rumus fungsi
hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan
inversnya pada fungsi hiperbolik bernilai real. Bagi pembaca yang beminat
dapat mengembangkannya untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks.
67
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And
Sons. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage
Publishing. Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri
Semarang. Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima
(diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono). Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1 (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading Company, LTD.