1

Puji syukur harus senantiasa Anda panjatkan panjatkan

kehadirat Tuhan atas limpahan rahmat-Nya kepada kita

semua.rasa syukur itu dapat Anda wujudkan dengan

cara memlihara lingkungan dan mengasah akal budi

untuk memanfaatkan karunia Tuhan itu dengan sebaik-

baiknya. Jadi, rasa syukur itu harus senantiasa Anda

wujudkan dengan rajin belajar dan mengikuti

perkembangan ilmu pengetahuan. Dengan cara itu,

Anda akan menjadi generasi bangsa yang tangguh dan

berbobot serta pintar.

Segala usaha telah kami lakukan untuk terbitnya buku

ini. Namun, dalam usaha yang maksimal itu kami

menyadari tentu masih terdapat kekurangan. Untuk itu

kami mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak.

Kata Pengantar

2

Daftar Isi

Kata Pengantar .................................................................. 1

Daftar Isi ........................................................................... 2

Kata Motivasi .................................................................... 3

Tujuan Pembelajaran ........................................................ 6

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka beserta Ingkarannya

................................................................................... 7

B. Konjungsi, Disjungsi, dan Ingkarannya .................. 9

C. Implikasi, Biimplikasi, dan Ingkarannya ................. 11

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi .......................... 15

E. Pernyataan Berkuantor ............................................. 17

F. Penarikan Kesimpulan ............................................. 19

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari ............................ 27

Soal Latihan ...................................................................... 28

Daftar Pustaka ................................................................... 29

Deskripsi Penggunaan Program Quis Makker .................. 31

Biodata Kelompok dan Deskripsi Kerja Kelompok ......... 32

3

Seringkali impian terbesar kita dapat ditemukan dalam ketakutan

terbesar kita.

Semakin kita merasa bijak harusnya membuat kita semakin

menyadari bahwa ada banyak hal yg belum kita ketahui dlm hidup

ini.

Keberhasilan atau kegagalan kita dalam pencapaian biasanya

berkaitan dengan kemampuan membina hubungan antar sesama.

Kebanyakan orang berhasil bukan karena mereka ditakdirkan,

melainkan karena mereka menetapkan hati untuk itu.

Investasi yg terbaik adalah investasi pada diri kita sendiri berupa

pengetahuan dan skill.

Jabatan yg tinggi tanpa disertai Attitude (sikap & karakter) yg

baik, akan menghancurkan kehidupan seseorg sampai titik yg

paling rendah.

Salah satu musuh kemajuan diri kita adalah Comfort Zone.

Nikmati hal-hal kecil dlm hidup ini, karena mungkin suatu hari

kita baru menyadari itu adalah hal besar.

Untuk mampu meraih pencapaian yg lebih besar dari sekarang,

kita perlu memperbesar kapasitas diri kita.

Beberapa orang hidup dlm penjara yg membatasi dirinya

namun bukan penjara besi melainkan penjara pikirannya sendiri.

Kemampuan mengerti atau memahami orang lain salah satu kunci

Kata Motivasi

4

mereka terhadap kesempurnaan, terlepas dari apapun bidang

yang mereka pilih.

Keinginan adalah kunci dari motivasi, tapi ketetapan hati dan

sukses dlm menjalin hubungan.

Ucapkan dlm doa kita setiap hari bahwa saya perlu Engkau Tuhan dlm

seluruh aspek hidup saya.

Apabila kita memiliki kebesaran hati maka kita tdk akan mudah

marah, kecewa dan tersinggung.

Keberhasilan dlm hidup tidak datang dgn sendirinya, kita yg harus

pergi meraihnya.

Pastikan diri kita dikenal sebagai sumber solusi bukan sumber

masalah.

Jangan biarkan kemajuan diri kita dihalangi oleh kebiasaan-kebiasaan

buruk.

Upgrade terus kualitas diri kita, agar kita senantiasa memiliki nilai

tambah.

Di dalam diri kita sudah diberikan Tuhan kemampuan yg sangat hebat

utk kita gunakan secara maksimal.

Komitmen dan konsistensi ke sasaran yg tepat akan membuahkan

hasil.

Nyatakan hari ini bahwa "Tuhan aku perlu tuntunan-Mu senantiasa

dlm seluruh aktivitasku hari ini."

Seandainya saja kita selalu benar-benar berpikir sebelum bertindak

pasti penyesalan jarang terjadi.

Jika kita selalu menantikan kondisi yang sempurna maka kita tidak

akan pernah melakukan apapun.

Orang yg rendah hati akan belajar lebih banyak ketimbang orang yang

arogan.

5

Sukses bukanlah final, gagal bukanlah fatal; dan keberanian

untuk melanjutkan adalah hal yang paling utama.

Tidak masalah bagaimana lambatnya Anda berjalan. Yang

penting Anda tidak berhenti.

Dua puluh tahun dari sekarang, Anda akan lebih kecewa

terhadap hal-hal yang tidak Anda lakukan, daripada hal-hal

yang telah Anda lakukan.

Kebanyakan orang berhasil bukan karena mereka ditakdirkan,

melainkan karena mereka menetapkan hati untuk itu.

Ketika rintangan meningkat, Anda bisa mengubah arah

menuju sasaran Anda, tapi jangan mengubah keputusan Anda

untuk mencapainya.

Sukses tidak begitu diukur dari posisi yang telah dicapai

seseorang dalam hidupnya, tapi dari rintangan yang berhasil

dilaluinya ketika mereka berusaha mencapai kesuksesan.

Perubahan adalah hukum kehidupan. Dan orang yang hanya

melihat ke masa lalu atau masa sekarang pasti akan

melewatkan masa depan.

Masalah adalah kesempatan bagi Anda untuk melakukan

yang terbaik dalam kehidupan.

Jangan biarkan kekecewaan hari kemarin mengalihkan

impian hari esok.

Kualitas hidup seseorang berbanding lurus dengan komitmen

6

komitmen yang akan membawa Anda mencapai sukses.

Anda harus bangun setiap pagi dengan tekad untuk sukses, bila

Anda ingin tidur dengan penuh kepuasan.

Rahasia sukses adalah konsisten terhadap tujuan Anda setiap

harinya.

Harga untuk sukses adalah kerja keras, dedikasi, dan ketetapan

hati bahwa kita telah memberikan yang terbaik untuk pekerjaan

kita.

Perbedaan antara "Yang Tidak Mungkin" dan "Yang Mungkin"

terletak di dalam tekad seseorang.

Jagalah diri Anda agar selalu bersih dan terang; Anda adalah

jendela, dimana melaluinya-lah, Anda akan melihat dunia.

sumber: status kawan2 di twitter

7

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa dapat:

1. Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu

pernyataan.

2. Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi, dan

ingkarannya.

3. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers,

invers. Dan kontraposisi besrta ingkarannya.

4. Menjelaskan arti kuantor universal dan eksistensial besera

ingkarannya.

5. Membuat ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor.

6. Menarik kesimpulan dengan silogisme, modus ponen, dan

modus tolens.

7. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung.

8. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung

(kontraposisi dan kontradiksi).

9. Membuktikan sifat dengan induksi matematika.

Tujuan Pembelajaran

8

Logika sudah dipelajari orang sejak tahun 400 SM, yaitu

pada zaman Yunani Kuno.Tokoh-tokoh pendiri ilmu logika

adalah Plato (469 – 399 SM), dan Aristoteles (384 – 322

SM).Kata logika berasal dari kata “Logike” (kata sifat dari

logos). Logos artinya kata, ucapan, atau pikiran yang

diucapkan selngkap-lengkapnya.Jadi, logika adlah ilmu yang

mempelajari asas-asas dan aturan-aturan penalaran agar di

peroleh kesimpulan yang benar.Jelasnya, logika memuat

asas-asas dan aturan-aturan yang membantu kita untuk

berpikir yang benar.

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka beserta Ingkaran

1. Pernyataan

Pernyataan atau kalimat deklaratif adalah kalimat

yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu berniailai benar

atau salah tetapi tidak bernilai benar dan salah

sekaligus.Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai

nilai kebenaran benar (B), sedangkan Pernyataan yang

salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran salah

(S).sedangkan lambing sebuah pernyataan tunggal

biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya: p,q,

dan r.

Logika Matematika

9

Contoh pernyataan:

a. Semarang Ibu kota jawa tengah (mempunyai nilai

kebenran B)

b. 2 × 5 = 10 (mempunyai nilai kebenran B)

c. semua gas beracun. (mempunyai nilai kebenran S)

d. jika 𝑥2 >1, maka x>1(mempunyai nilai kebenran S)

Ada dua cara untuk menentukan nilai kebenaran

suatu pernyataan, yaitu:

a. Cara empiris, yaitu nilai kebenaran suatu pernyataan

didasarkan fakta yang dapat dijumpai dalam

kehidupan sehari-hari.

Contoh:

Kota Bandung terletak di Jawa Barat.(mempunyai

nilai kebenran B)

b. Cara non empiris, yaitu nilai kebenaran suatu

pernyataan berdasarkan pada perhitungan-

perhitungan atau bukti matematika.

Contoh: setiap bilangan Prima adalah bilangan

ganjil.(mempunyai nilai kebenran S)

2. Kalimat Terbuka

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang masih memuat

peubah / variable, sehingga belum dapat ditentukan

nilai kebenarannya (benar atau salah).Suatu kalimat

10

terbuka dapat berubaaah menjadi pernyataan dengan

menentukan nilai variable dari kalimat terbuka tersebut.

Contoh:

Kalimat terbuka 2x−3 = 5

2x−3 = 5 dapat menjadi pernyataan bernilai benar

untuk x = 4 dan dapat menjadi pernyataan bernilai salah

untuk x≠ 4.

3. Negasi / Ingkaran

Jika p merupakan suatu pernyataan, maka ingkaran

dari p dinotasikan ~p atau –p atau ̅p (biasa dibaca

“tidak p”, “bukan p”, atau “non p”).nilai kebenaran dari

ingkaran p merupakan kebalikan dari nilai kebenaran p.

artinya jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah dan

sebaliknnya jika p bernilai salah, maka ~p bernilai

benar.

Ingkaran dari “semua” atau “setiap” atau kata yang

sepadan dengannya adalah “ada” atau “beberapa”.

Ingkara dari “ada” atau “beberapa” adalah “semua” atau

“setiap”.

Tabel kebenaran dari ingkaran:

Contoh:

Tentukan ingkaran dan nilai kebenrannya

dari pernyataan dibawah ini!

P ~p

B S

S B

11

a. p : semua bilangan prima adalah

bilangan ganjil.

b. q : 25 – 5 = 20

c. r : tidak semua bilangan genap habis

dibagi 2.

Jawab:

a. p : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

(S)

~p :Ada bilangan prima adalah yang bukan bilangan

ganjil. (B)

b. q : 25 – 5 = 20 (B)

~q :25 – 5 = 20 (B)

c. r : tidak semua bilangan genap habis dibagi 2. (S)

~r : Semua bilangan genap habis dibagi 2. (B)

B. Disjungsi, Konjungsi, dan Ingkarannya

1. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang

merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih

dengan menggunakan kata penghubung

“atau”.Disimbolkan “v” dibaca “atau”.Pernyataan “p v

q” dibaca “p atau q”.

Tabel kebenaran disjungsi:

12

P Q p v q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

- Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka

disjungsi bernilai banar.

- Disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai

salah.

Contoh:

Tentukan kebenaran disjungsi untuk pernyataan-

pernyataan dibawah ini!

a. p : semua bilangan cacah adalah bilangan real

b. q : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

jawab:

a. p : semua bilangan cacah adalah bilangan real, 𝜏(p) =

B

b. q : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil, 𝜏(p)

= S

jadi, 𝜏(pv q) = B.

2. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang

merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih

dengan menggunakan kata penghubung

13

“dan”.Disimbolkan “˄” dibaca “dan”.Pernyataan “p ˄

q” dibaca “p dan q”.

Tabel kebenaran konjungsi:

P Q p ˄ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan

benar.

Contoh:

a. P : sin 45 ° =1

2 2

q : 8 + 50 =7 2

jawab:

P :sin 45 ° =1

2 2, 𝜏(p) = B

q : 8 + 50 =7 2, 𝜏(p) = B

jika, 𝜏(p ˄ q) = S

3. Ingkaran Disjungsi dan Konjungsi

a. Ingkaran Disjungsi

Ingkaran dari disjungsi ~(pv q) adalah ~p ˄ ~q. hal

ini dapat dibuktikan dengan table kebenaran.

14

P q ~p ~q p v q ~(pv q) ~p ˄ ~q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

B

S

S

S

S

B

S

S

S

B

Nilainya sama

Jadi, terbukti

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!

1. Amir anak yang rajin atau Amir anak yang

pandai.

2. Rudi suka membaca novel atau senang

mendengarkan radio.

Jawab:

Ingkarannya dalah:

1. Amir anak yang tidak rajin dan tidak pula

pandai.

2. Rudi tidak suka membaca novel dan tidak

senang mendengarkan radio.

b. Ingkaran konjungsi

~(pv q) ≡ ~p ˄ ~q

15

adapun ingkaran dari konjungsi ~(p˄ q) adala~p v ~q

atau ~(p˄ q) ≡ ~p v~q. Hal ini dapat dibuktikan

dengan table kebenaran.

P q ~p ~q p ˄ q ~(p ˄ q) ~p v~q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

S

B

B

B

Nilainyasama

Jadi, terbukti

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!

a. Beni anak yang suka bergaul dan pintar.

b. Pak anwar guru yang baik hati dan rajin.

Jawab:

a. Beni anak yang tidak suka bergaul atau tidak

pintar.

b. Pak anwar guru yang tidak baik hati atau tidak

rajin.

C. Implikasi, Biimplikasi, Ingkarannya

1. Implikasi (pernyataan bersyarat)

~(p˄ q) ≡ ~p v ~q

16

Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang

berasal dari pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p

maka q”.

Pernyataan p disebut alasan/sebab/hipotesis/anteseden,

sedangkan pernyataan q di sebut

kesimpulan/konklusi/konsekuen.

Implikasi “jika p, maka q” biasa dilambangkan dengan

“p→q” atau “p⇒q” yang dapat dibaca:

1. Jika p maka q

2. P mengakibatkan q

3. q hanya jika p

4. p syarat cukup untuk q

5. q syarat cukup untuk p

table kebenaran dari implikasi p ⇒ q

P q p ⇒ q

B B B

B S S

S B B

S S B

Dari table kebenaran diatas, implikasi bernilai salah

hanya jika anteseden benar dan konsekuan salah satu

dengan kata lain, implikasi senantiasa bernilai benar

kecuali jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

17

Pada implikasi p⇒q tidak diharuskan adanya

hubungansebab akibat, antara anteseden (p) dan

konsekuen (q).

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari p ⇒ q untuk pernyataan

berikut ini!

p :29 : 23 = 23

q :16 log 2 = 4

jawab:

p :29 : 23 = 23, 𝜏(p) = S

q :16 log 2 = 4, 𝜏(p) = S

jadi, 𝜏(p⇒ q) = B.

2. Biimplikasi (ekuevalensi)

Biimplikasi (implikasi dua

arah/bikonditional/ekuivalen) merupakan pernyataan

majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” yang

dinotasikan p⇔q. biiplikasi p⇔q dapat juga dibaca:

- Jika p maka q dan jika q maka p

- p syarat perlu dan cukup bagi q

- q syarat perlu dan cukup bagi p

biimplikasi merupakan implikasi dua arah atau p⇔q

merupakan gabungan dari p⇔q dengan q⇒p. Hal ini

dapat dibuktikan dengan table kebenaran.

18

P q p ⇔ q p⇒ q q ⇒p (p⇒q)˄ (q⇒p)

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

S

S

B

Sama

Dari tabel terlihat bahwa:

p⇔q dinyatakan benar jika 𝜏(p) = 𝜏(q)

p⇔qdinyatakan benar jika 𝜏(p) ≠ 𝜏(q)

contoh:

tentukan nilai kebenaran dari p(𝑥) ⇔ q(x)!

a. p(𝑥) : 𝑥2 − 8x + 16 = 0

q(x) : x− 4 = 0

jawab:

a. p(𝑥) : 𝑥2 − 8x + 16 = 0

(x – 4) (x – 4) = 0

x = 4

Hp: {4}

q(x) : x− 4 = 0

x = 4

Hp: {4}

p 𝑥)danq(x) ternyata mempunyai penyelesaiaan

yang sam, sehingga p(𝑥) ⇔ q(x)bernilai benar.

19

3. Ingkaran Implikasi dan Biimplikasi

a. Ingkaran Implikasi

Dengan menggunakan table kebenaran dapat

dibuktikan bahwa ingkaran dari p⇒q adalah p ˄ ~q /

ditulis:

p q ~q p⇒ q ~(p⇒ q) p˄ ~q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

B

S

B

B

S

B

S

S

S

B

S

S

Sama

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!

1. Jika hari panas maka ia tidak datang.

Jawab:

1. Hari tidak panas tetapi ia tidak dating.

b. Ingkaran biimplikasi

Dengan menggunakan table kebenaran dapat

dibuktikan bahwa ingkaran dari p⇔q adalah (p

˄ ~q) v (~p ˄q) atau dapat ditulis:

~(p⇒q) ≡ p ˄ ~q

~(p⇒q) ≡ p ˄ ~q

20

p q ~p ~q p ⇔ q ~(p⇔q) p ˄ ~q q ˄ ~p (p ˄ ~q) v (~p ˄q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

S

S

B

S

S

B

B

S

Sama

Contoh:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!

1. Dia gembira jika dan hanya jika dia lulus ujian.

Jawab:

1. Dia gembira tetapi dia tidak lulus ujian atau dia

tidak gembira

tetapi dia lulus ujian.

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

1. Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi

dengan Implikasi

Dari implikasi p⇒ q, maka dapat dibentuk pernyataan:

- Konvers dari p⇒ q adalah q ⇒ p

- Invers dari p⇒ q adalah ~p⇒ ~q

- Kontraposisi dari p⇒ q adalah ~q ⇒ ~p

Nilai kebenaran dari Konvers, Invers, dan

Kontraposisi dapat dilihat dengan tabel kebenaran

sebagai berikut:

21

P q ~p ~q p⇒ q q ⇒ p ~p⇒~q

~q ⇒ ~p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

sama

sama

Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan:

a. Nilai kebenaran p⇒q sama dengan nilai

kebenaran ~q ⇒~p atau dapat dikatakan suatu

ekuivalen dengan kontraposisinya, yang dinotasikan

dengan:

b. Nilai kebenaranq ⇒ psama dengan nilai

kebenaran ~p⇒ ~q atau dengan kata lain konvers

suatu implikasi ekuivalen dengan invers suatu

implikasi yang dinotasikan dengan:

c. Karena nilai kebenarannya sama, maka:

p ⇒ q ≡ ~q ⇒~p

q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q

22

Contoh:

Tentukan kovers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan berikiut ini!

“jika a adalah bilangan ganjil, maka a²adalah bilangan

ganjil”.

Jawab:

Konvers : Jika a² bilangan ganjil, maka a bilangan

ganjil.

Invers : Jika a² bukan bilangan ganjil, maka a bukan

bilangan ganjil.

Kontraposisi : Jika a² bilangan ganjil, maka a bukan

bilangan ganjil.

Hubungan nilai kebenaran dariKonvers, Invers, dan

Kontraposisi dapat digambarkan dengan skema berikut.

p ⇒ q) ≡ (~q⇒~p)

Merupakan tautologi

(q ⇒ p) ≡ (~p⇒~q)

Konvers

Invers kontraposisi invers

konvers

p ⇒ q q ⇒ p

~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

23

- Konvers dari invers suatu implikasi adalah

kontraposisi dari implikasi tersebut.

- Kontraposisi dari konvers suatu implikasi adalah

invers dari implikasi tersebut.

- Invers dari kontraposisi suatu implikasi adalah

konvers dari implikasi tersebut.

2. Ingkaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Ingkaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari

implikasi p ⇒ q adalah sebagai berikut.

- Konvers : q ⇒ p

Ingkarannya : ~(q⇒p) ≡ q ˄ ~p

- Invers : ~p ⇒~q

Ingkarannya : ~(~p ⇒~q) ≡ ~p˄ q

- kontraposisi : ~q⇒~p

Ingkarannya : ~(~q⇒~p) ≡ ~q˄ p

Contoh:

Tentukan kovers, invers, dan kontraposisi dari

implikasi berikut ini beserta ingkarannya!

“jika tidak ada listirk, maka lampu akan mati”.

Jawab:

- Konvers : jika lampu mati, maka tidak ada

listrik.

Ingkarannya : lampu mati meskipun ada listrik.

24

- Invers : jika ada listrik, maka lampu tidak

akan mati.

Ingkarannya :ada listrik tetapi lampu mati.

- kontraposisi :jika lampu tidak mati, maka tidak ada

listrik.

Ingkarannya :lampu tidak mati, tidak ada listrik.

E. Pernyataan Berkuantor

Suatu kalimat terbuka dapat diubahmenjadi kalimata

tertutup dengan cara menggantika variable dengan

konstanta tertentu dengan cara menambahkan suatu

kuantor di depan kalimat terbuka.

Kuntor adalah lambing yang menunjukan generalisasi

suatu kalimat terbuka.Terdapat 2 jenis kuantor yaitu

kuantor universal dan kuantor eksistensial.

1. Kuantor Universal

Kata yang digunakan dalam pernyataan berkuantor

universal (umum) adalah kalimat “semua” atau

“setiap” yang dinotasikan dengan ∀ x, p (x) (biasa

dibaca: untuk semua x berlaku p(x)). Nilai kebenaran

dari pernyataan berkuantor ditentukan oleh:

- Himpunan semesta yang ditinjau,

- Bentuk kalimat terbuka.

25

Misal: semua sapi pemakan rumput. Kalimat tersebut

merupakan kalimat yang benardan ekuivalen dengan

jika hewan itu sapi, maka hewan itu makan rumput.

Secara umum pernyataan berkuantor universal

“semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan

implikasi “jika x ∈ A, maka x ∈ B”.

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran berkuantor dari ∀ x,𝑥2 + 4x

+ 4 >0, x ∈ r

Jawab:

∀x, 𝑥2 + 4x + 4 >0, sama artinya ∀ x (x +2)²>0, jelas

merupakan pernyataan yang benar.

2. Kuantor Eksistensial

Pernyataan berkuantoreksistensial menggunakan

kata “ada” atau “beberapa”, yang dinotasikan dengan

∃x,p(x) (dibaca ada/beberapa x berlaku P(x)).

Misal: beberapa orang suka makan sate ekuivalen

dengan sekurang-sekurangnya ada seorang yang

senang makan sate. Jadi, pernyataan berkuantor

“beberapa A adalah B” ekuivalen dengan ”sekurang-

sekurangnya ada sebuah x ∈ A yang merupakan ∈ B”.

Contoh:

26

Tentukan nilai kebenaran dari ∃x, x ∈ R, 𝑥2 + 8x +

16<0!

Jawab:

∃x, x ∈ R, 𝑥2 + 8x + 16 <0 berarrti ada x sehingga

berlaku 𝑥2 + 8x + 16 <0, jelas bernilai salah sebab

𝑥2 + 8x + 16 = (x + 4)², selalu bernilai positif.

3. Ingkaran Kuantor Universal

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah

pernyataan berkuantor eksistensial yang dinotasikan

Dibaca ingkaran dari “untuk semua x berlaku p(x),

“ekuivalen dengan “ada/beberapa x yang bukan p(x)”.

Contoh:

Tentukan ingkaran pernyataan berkuantor universal

berikut serta tentukan pula nilai kebenrannya!

a. ∀ x,𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1≥ 0

Jawab:

a. ∀ x,𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1≥ 0 bernilai benar

~(∀ x, 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1 ≥ 0) ≡ ∃x,𝑥2 + 2x + 1

<0 bernilai salah.

4. Ingkaran Kuantor Eksistensial

~[∀x, p(x)] ≡ ∃x, ~p(x)

27

Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah

kuantor universal dan dinotasikan:

Dibaca ingkaran “beberapa/ada x berlaku p(x)

“ekuivalen dengan “untuk setiap x bukan p(x).

Contoh:

a. ∃x, 𝑥 ∈ 𝑅, x – 5 > 6

Jawab:

a. ∃x, 𝑥 ∈ 𝑅, x – 5 > 6

~(∃x, x∈R, x – 5 > 6) ≡ ∀x, x – 5 ≤ 6 bernilai

salah

F. Penarikan Kesimpulan

1. Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang

selalu bernilai benar untuk semua nilai kebanaran pada

pernyataan-pernyataan tungglnya.

Contoh:

Tunjukan dengan tabel kebenaran bahwa implikasi

((p ⇒ q) ˄ p) ⇒ qmerupakan tautologi!

~[∃x,p(x)] ≡ ∀x, ~p(x)

28

P q p⇒ q (p⇒q) ˄ p (p ⇒ q) ˄ p ⇒ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Pada kolom 5 terlihat bahwa ((p⇒q) ˄ p) ⇒q selalu

benar sehingga disebut tautologi.

Sedangkan kontradiksi merupakan kebalikan dari

tautologi, yaitu suatu bentuk pernyataan majemuk yang

selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran pada

pernyataan-pernyataan tunggalnya.

Contoh:

Tunjukan dengan table kebenaran bahwa ~p ˄ (p˄ q)

merupakan kontradiksi!

Jawab:

p q ~p p˄ q ~p ˄ (p ˄ q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

S

S

S

S

S

S

Berdasarkan tabel diatas, terlihat bahwa~p ˄ (p˄q)

selalu salah sehingga disebut kontradiksi.

Suatu iplikasi yang merupaka tautologi disebut iplikasi

logis, sedangkan biimplikasi yang merupakan tautologi

dinamakan biimplikasi logis.

Contoh:

29

Tunjuka dengan tabel kebenran bahwa (p ˄ q)⇔(q ˄ p)

merupakan biimplikasi logis!

jawab:

p q p ˄ q q ˄ p (p ˄ q)⇔(q ˄ p)

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S

S

S

B

B

B

B

Terlihat bahwa (p ˄ q) ⇔ (q ˄ p) merupakan

biimplikasi logis.

2. Pengertian Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan dari suatu argument

didasarkan pada pernyataan yang benar, sehingga dapat

disimpulkan (konklusi) yang benar.

Pernyataan tunggal atau majemuk yang ditentukan

disebut premis, sedangkan pernyataan yang diturunkan

dari premis-premis disebut kesimpulan.Premis-premis

yang telah ditentukan kebenarannya sehingga didapat

suatu konklusi disebut argumen.Validitas (keabsahan)

suatu argumen dapat dibuktikan jika argument tersebut

merupakan tautologi untuk setiap nilai kebenaran

premis-premisnya.Metode sederhana untuk

membuktikan valid atau tidaknya suatu argument

adalah dengan bantuan tabel kebenaran.

30

Adapun pola penarikan kesimpulan disajikan dengan

bentuk

Premis (1)

Premis (2)

…………

Premis (n)

Konklusi

Contoh:

Selidiki keabsahan penarikan kesimpulan berikut!

Mawar anak yang cantik atau cerdas

Mawar anak yang tidak cantik

Jadi, mawar anak yang cerdas.

Jawab:

Missal: p :Mawar anak yang cantik

q : Mawar anak yang cerdas

sehingga kalimat diatas berpola

Premis 1 : p v q (B)

Premis 2 : ~p (B)

Konklusi : q (B)

p q ~p p v q (p v q) ˄ ~p ((p v q)˄~p) ⇒ q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

S

31

Karena ((p v q) ˄ ~p) ⇒ q merupakan tautologi berarti

penarikan kesimpulan tersebut sah.

3. Pola-pola Penarikan Kesimpulan

a. Modus ponen

Bentuk argument modus ponen adalah:

Premis 1 : p ⇒ q (B)

Premis 2 : p (B)

Konklusi : q (B)

Jika disajikan dalam bentuk implikasi modus ponen

dapat dituliskan menjadi:

Modus ponen merupakan argument yang sah, hal ini

dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai

berikut.

P q p ⇒q (p⇒q) ˄ p [(p ⇒ q)˄ p] ⇒ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

contoh:

tentukan validitas penarikan kesimpulan dibawah

ini!

a. Jika hari hujan maka sungai banjir.

Semua sungai banjir, jadi hari hujan.

b. Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan

itu habis dibagi 2.

[(p⇒ q) ˄p ⇒ q

32

12 habis dibagi 4, jadi 12 habis dibagi 2.

Jawab:

a. Misal:

p : hari hujan

q : semua sungai banjir

Argumen tersebut dapat disajikan dengan

p⇒ q

q

∴p

Argumen tersebut tidak sesuai dengan modus

ponen sehingga penerikan kesimpulan tidak sah.

b. Misal:

p : bilangan habis di bagi 4

q :bilangan habis di bagi 2

Argumen tersebut dapat disajikan dengan

p⇒ q

p

∴q

Argumen diatas sesuai dengan modus ponen

sehingga penarikan kesimpulan sah.

c. Modus tollens

33

Bentuk argument modus tollens didasarkan pada

Premis 1 : p v q

Premis 2 : ~q

Konklusi :~p

Jika disajikan dalam implikasi, modus tollens dapat

dirumuskan.

Modus tollens merupakan penarikan kesimpulan

yang sah ini dapat dibuktikan dengan tabel

kebenaran dibawah ini!

p q ~p ~q p⇒q p⇒q)˄ ~q ((p⇒q) ˄ ~q ⇒ ~p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Contoh:

Tentukan validitas penarikan kesimpulan dibawah

ini!

a. Jika bapak pulang, maka ibu senang.

Ibu tidak senang, jadi bapak tidak pulang.

b. Jika Ani lulus ujian, maka ibu senang.

Ani tidak lulus ujian, jadi ibu tidak senang.

Jawab:

a. Misal

p : bapak pulang

q : ibu senang

[(p⇒ q) ˄~q] ⇒ ~q

34

p⇒ q

~q

∴p

Jadi, merupakan kesimpulan yang sah sesuai

dengan pola modus tollens.

b. Misal

p : ani lulus ujian

q : ibu senang

argumen diatas dapat disajikan dengan:

p⇒ q

~p

∴~q

Argumen diatas tidak sesuai dengan pola modus

tollens.

Jadi, penarikan kesimpulan tersebut tidak sah.

d. Silogisme

Secara umum bentuk argument silogisme:

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : q ⇒ r

Konklusi :p⇒ r

Jika disajikan dalam bentuk implikasi, silogisme

dapat ditulis:

35

Penarikan kesimpulan dengan silogisme merupakan

penarikan kesimpulan yang sah, hal ini dapat

dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenran.

p q r p⇒q q⇒r p⇒r p⇒q)˄(

q⇒r)

[ p⇒q)˄(q⇒r)] ⇒ p⇒r)

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Contoh:

Selidiki validitas penerikan kesimpulan di bawah

ini!

a. Jika kereta datang, maka jalan ditutup.

Jika kereta datang, maka jalan macet.

Jadi, jika kereta dating jalan macet.

b. Semua ikan hidup di air.

Semua lumba-lumba hidup di air.

Jadi, lumba- lumba adalah ikan.

Jawab:

a. Misal:

p : kereta datang

[(p⇒ q) ˄ (q ⇒ r)]

⇒ p ⇒ r)

36

q : jalan ditutup

r : jaln macet

argumen diatas dapat disajikan dengan:

p⇒ q

q⇒ r

∴p⇒ r

Jelas merupakan pola silogisme, jadi penarikan

kesimpulannya sah.

b. Semua ikan hidup di air ekuivalen dengan jika

ia ikan, maka ia hidup di air.

Semua lumba-lumba hidup di air ekuivalen

dengan jika lumba-lumba, maka ia hidup di

air.

Misal:

p : ikan

q : hidup di air

r : lumba-lumba

p⇒ q

r⇒ q

∴r⇒ q

Karena bukan merupakan silogisme, maka

penarikan kesimpulan tersebut tidak sah.

37

Banyak siswa yang berfikir bahwa matematika itu tidaka

sepenuhnya diperlukan dalam kehidupan sehari-hari, karena

setiap mendapatkan materi dari guru siswa hanya diberikan

sebuah rumus dan cara menggunakannya. Jarang sekali

rumus-rumus tersebut dikaitkan dengan kehidupan sehari-

hari, sehingga siswa enggan untuk belajar matematika dengan

sungguh-sungguh. Salah satu materi yang jarang sekali

dikaitkan dalam kehidupan sehari-hari adalah logika

matematika. Padahal logika matematika erat kaitannya dalam

kehidupan sehari-hari. Coba kita perhatikan beberapa contoh

berikut.

1. Misalnya peraturan yang dibuat dalam sekolah

menyebutkan bahwa siswa putra tidak boleh berambut

panjang dan tidak boleh mewarnai rambut. Jika kita

perhatikan sekilas tidak ada yang salah dari peraturan

tersebut. Tapi jika dilihat dari segi logika matematika

maka peraturan tersebut perlu ditinjau lebih lanjut.

Misalnya pada kata hubung dan (konjungsi) akan bernilai

benar jika pernyataan pertama bernilai benar dan

Aplikasinya dalam Kehidupan

Sehari-hari

38

pernyataan kedua bernilai benar. Jika kita lihat peraturan

sekolah tersebut maka siswa putra boleh memanjangkan

rambutnya atau mewarnai rambutnya tapi tidak

memanjangkan rambutnya.

2. Misalnya seorang laki-laki sedang memberitahu pacarnya

bahwa dia memiliki pacar selain dirinya. Kemudian

pacarnya marah dan mengancam dia. ”sekarang silahkan

kamu pilih saya atau dia” pernyataan tersebut bernilai

disjungsi karena jika dilihat dari logika matematika laki-

laki tersebut bisa mempunyai dua pacar, karena kata

hubung atau bisa bernilai benar jika setidaknya ada satu

pernyataan bernilai benar. Maka kesimpulannya laki-laki

tersebut bisa memiliki dua pacar. Dari contoh diatas

terlihat bahwa logika matematika erat akitannya dalam

kehidupan sehari-hari.

39

Rubiyanto, Drs.dkk.2010.Buku Ajar Matematika untuk SMA

atau MA Kelas X. Surakarta: Citra Pustaka.

http://www.ocimblog.com/2011/08/kumpulan-kata-kata-

motivasi-hidup.html#ixzz2i2ddufJm.

Daftar Pustaka

40

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat!

1. Jika p benar dan q salah, maka pernyataan yang benar

adalah ....

a. p ˄ q c. p v q e. p ⇔ q

b. ~ p ˄ q d. p ⇒ q

2. Syarat agar pernyataan (p v q) ⇒ q bernilai salah adalah ...

a. p benar dan q salah d. p salah dan q salah

b. p salah dan q salah e. p salah

c. p benar dan q benar

3. Nilai kebenaran dari~ p ˄ q adalah ....

a. BBSS d. BSSS

b. BBSB e. SSBS

c. BSSB

4. Negasi dari 2x + 5 >0 adalah ....

a. 2x + 5 < 0 d. 2x + 5 = 0

b. 2x + 5 ≤ 0 e. 2x + 5 ≥ 0

c. 2x + 5 >0

5. Nilai kebenaran dari . p ⇒~q adalah ....

a. BBBS d. SBSB

b. SBSB e. SSSS

c. SBBB

Ulangan Harian

41

6. Ingkaran dari p ⇒ (q ˄ r) adalah ....

a. p ˄ (~q ˄ r) d. ~p ⇒ (~ q v ~r)

b. p ˄ (~q v ~r) e. ~p ⇒ (q ˄ r)

c. ~p ⇒ (~ q ˄ ~r)

7. Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “jika hari

hujan, ia pergi” adalah ....

a. Jika hari tidak hujan, maka ia tidak pergi.

b. Jika hari hujan, maka ia tidak pergi.

c. Jika ia pergi, maka hari hujan.

d. Jika ia tidak pergi, maka hari tidak hujan.

e. Jika ia pergi, maka hari tidak hujan.

8. Konvers dari “jika x = 5, maka x2 = 25” adalah ....

a. jika x = 5,maka x2 ≠ 25 d. x2 = 25, maka x = 5

b. jika x ≠ 5,maka x2 ≠ 25 e. jika x ≠ 25,maka x2 ≠ 5

c. x = 5, maka x2 = 25

9. Dari pernyataan berikut yang merupakan invers dari “jika

x > 6, maka x2 > 36” adalah ....

a. Jika x< 6, maka x2 > 36 d. Jika x >6, maka x2 ≥36

b. Jika x >6, maka x2 < 36 e. Jika x = 6, maka x2 = 36

c. Jika x ≤ 6, maka x2 ≤ 36

10. Invers dari (p ˄ q) ⇒ ~r adalah ....

a. (~p v ~q) ⇒ r c. r ⇒ (p ˄ q) e. r ⇒ (~p ˄ ~q)

b. (~p ˄ ~q) ⇒ r d. r ⇒(~p v ~q)

42

Deskripsi Penggunaan Quis Makker

Sebelum mengerjakan soal alangkah baiknya mengucapkan

bismilahhirrohmannirrohim

1. Untuk membuka quis makker masukan pasword “noci”

2. Selama pengerjaaan soal, Anda dibatasi waktu pengerjaan

soal selama 180 detik untuk masing – masing soal.

3. Untuk menjawab pertanyaan, klik bulatan/kotak pada

jawaban yang Anda anggap paling benar.

4. Anda dapat melihat hasil pengerjaan soal pada akhir

pengerjaan, Anda dianggap lulus atau tidak berdasarkan

nilai yang didapat.

5. Anda dapat me-review jawaban Anda dengan menekan

tombol submit yang berada pada tombol paling bawah dan

restart.

6. Anda dapat melihat cara penyelesaian dari setiap soal

dengan menekan pilihan review feedback yang berada

paling bawah.

“Selamat Mengerjakan dan Sukses”

43

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

DATA PRIBADI

1. Nama Lengkap : NENCI

2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon,14 November 1993

3. Jenis Kelamin : Perempuan

4. Agama : Islam

5. Status : Belum menikah

6. Alamat : JL Raden Dewi Sartika

Rt/Rw: 001/009, Kel:Tukmudal

Kec: Sumber, Kab: Cirebon

7. Ket. Kerja : Pembuat Quis Makker

RIWAYAT PENDIDIKAN

1. (2006) Lulus SDN II Tukmudal

2. (2009) Lulus SMPN I Dukupuntang

3. (2012) Lulus SMK Budi Arti

4. (2012 – Sekarang) Universitas Swadaya Gunung Jati

PENGALAMAN KERJA

1. Kantor BAPUSIPDA - Cirebon

44

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

DATA PRIBADI

1. Nama Lengkap : Novi Apriyani

2. Tempat, Tanggal Lahir : Indramayu, 24 Agustus 1994

3. Jenis Kelamin : Perempuan

4. Agama : Islam

5. Status : Belum menikah

6. Alamat : Ds. Tanjung Pura, blok:

Siwalan, Rt/Rw: 009/002

Kec: Karangampel, Kab:

Indramayu.

7. Ket. Kerja : Pembuat Buku Ajar

RIWAYAT PENDIDIKAN

1. (2006) Lulus SDN I Tanjung Pura

2. (2009) Lulus MTSN I Karangampel

3. (2012) Lulus SMAN I Kedokan Bunder

4. (2012 – Sekarang) Universitas Swadaya Gunung Jati