LINGKARAN

(Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika

Sekolah Kelas B)

Disusun Oleh :

Kelompok 7

1. Ainul Lailatul Fitroh 120210101024

2. Danik Kusuma Wati 120210101035

3. Soleh Chudin 120210101075

4. Hendra Sapta Ditiya Nugraha 120210101120

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2015

PETA KONSEP

Lingkaran

Unsur-Unsur LingkaranHubungan Sudut Pusat dan Sudut

Keliling

Keliling dan Luas Lingkaran

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pusat di Titik O(0,0)

Pusat di Titik P(a,b)

Pusat dan Jari-Jari Lingkaran

Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

A. Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang

berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut titik pusat. Jarak

yang sama tersebut disebut jari-jari.

Lingkaran adalah salah satu kurva tutup sederhana yang membagi

bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan bagian luar lingkaran.

B. Unsur-Unsur Lingkaran

1. Titik Pusat Lingaran

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah

lingkaran.

Titik P adalah titik pusat lingkaran dengan demikian lingkaran

tersebut dinamakan lingkaran P.

2. Jari-Jari Lingkaran

Jari jari lingkaran adalah jarak suatu titik pada lingkaran dengan

titik pusat lingkaran tersebut. Jari jari lingkaran dinotasikan dengan r.

merupakan jari-jari dari lingkaran O.

O A B

P

3. Diameter

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada

lingkaran dan melalui titik pusat.

Garis pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut.

Perhatikan bahwa = + . Dengan kata lain, nilai diameter

merupakan dua kali nilai jari-jarinya, yang dinotasikan dengan d = 2r.

4. Busur Lingkaran

Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada

lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang pada lingkaran

tersebut. Jika kurang dari setengah lingkaran disebut busur minor,

sementara jika lebih dari setengah lingkaran disebut busur mayor.

Namun jika tidak disebutkan minor atau mayor, maka yang dimaksud

adalah minor.

Busur lingkaran dari lingkaran O adalah

5. Tali Busur Lingkaran

Tali busur lingkaran adalah garis yang menghubungkan dua titik

pada lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik

pusat lingkaran O.

Garis pada lingkaran O merupakan tali busur lingkaran tersebut.

6. Apotema

Apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat

lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis yang dibentuk bersifat

tegak lurus dengan tali busur.

Garis OE merupakan apotema pada lingkaran O.

7. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi

oleh busur dan tali busur.

8. Juring Lingkaran

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi

oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-

jari lingkaran tersebut.

C. Keliling dan Luas Lingkaran

1. Keliling Lingkaran

Kita ketahui sebelumnya bahwa =

, sehingga kita dapat mencari

keliling lingkaran dengan:

=

=

= 2

Keterangan:

=

= (22

7 3,14)

=

2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran merupakan daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran.

Kita dapat mencari luas lingkaran dengan cara berikut:

Dari gambar diatas dapat dibuat sebuah persegi panjang sebagai

berikut:

. = .

=

=1

2

=1

2(2)

= 2

Jadi luas lingkaran = 2

D. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Sudut Pusat

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari

dan menghadap suatu busur lingkaran, kaki sudut berhimpit dengan jari-

jari lingkaran, titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran.

merupakan sudut pusat lingkaran O.

2. Sudut Keliling

Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit

dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada

lingkaran. merupakan sudut keliling lingkaran O

3. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

merupakan sudut pusat lingkaran O dan merupakan

sudut keliling lingkaran O.

Perhatikan segitiga

Karena segitiga adalah segitiga sama kaki, maka =

. Jadi = 180 2.

Perhatikan segitiga

Karena segitiga adalah segitiga sama kaki, maka =

. Jadi = 180 2.

Perhatikan sudut pusat

= 360 ( + )

= 360 (180 2. + 180 2. )

= 360 (360 2. 2. )

= 360 360 + 2. + 2.

= 2. + 2.

= 2 ( + )

= 2

Sehingga dapat disimpulkan bahwa sudut pusat dan sudut keliling

yang menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah

dua kali dari besar sudut keliling.

E. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring

Hubungan sudut pusat, panjang busur dan luasjuring lingkaran adalah

Contoh soal:

Jika besar = 45 dan panjang busur = 8, maka tentukanlah

panjang busur AB!

Penyelesaian :

=

45

180=

8

=8 180

45

= 32

F. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)

Jika titik (, ) terletak pada lingkaran yang berpusat di O , maka

berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak

titik O (0, 0) ke titik (, ), diperoleh:

= = ( 0)2 + ( 0)2

2 = ( 0)2 + ( 0)

2

2 = 2 +

2

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan berjari-jari r

adalah:

2 + 2 = 2

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik P(a,b)

Jika titik A (a ,b ) adalah pusat lingkaran dan titik B ( x , y ) terletak

pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke

B.

=

2 = (2)

= ( )2 + ( )

2

= ( )2 + ( )2

Jadi persamaan lingkaran y ang berpusat di (a ,b) dan berjari-jari r

adalah:

( )2 + ( )2 = 2

G. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya

Diketahui

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r

adalah:

( )2 + ( )2 = 2

(2 2 + 2) + (2 2 + 2) = 2

2 + 2 2 2 + 2 + 2 = 2

2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 = 0

jika 2 = 2, 2 = 2 dan 2 + 2 2 = , maka diperoleh bentuk

umum persamaan lingkaran:

2 + 2 + 2 + 2 + = 0

dengan pusat lingkaran (, ) dan jari-jari lingkaran =

2 + 2

H. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

1. Posisi titik (, ) terhadap lingkaran + =

a. Titik (1, 1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku 12 + 1

2 2

2. Posisi titik (, ) terhadap lingkaran ( ) + ( ) =

a. Titik (1, 1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (1 )2 +

(1 )2 < 2

b. Titik (1, 1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (1 )2 +

(1 )2 = 2

c. Titik (1, 1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (1 )2 +

(1 )2 > 2

3. Posisi Garis y=mx+n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis = + disubstitusikan ke persamaan

lingkaran2 + 2 + 2 + 2 + = 0 diperoleh persamaan:

2 + ( + )2 + 2 + 2( + ) + = 0

2 + 22

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0

(1 + 2)2 + (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + ) = 0

= (2 + 2 + 2)2 4(1 + 2)(2 + 2 + ) = 0

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:

1. Jika D

r ).

2. Jika D=0, maka persamaan garis y=mx+n terletak pada lingkaran

2 + 2 + 2 + 2 + = 0, dan memotong lingkaran disatu

titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari

lingkaran ( k = r ).

3. Jika D>0, maka persamaan garis y=mx+n terletak didalam lingkaran

2 + 2 + 2 + 2 + = 0, dan memotong lingkarandidua

titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari

lingkaran ( k < r ).

I. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada

Lingkaran

a. Persamaan Garis Singgung di Titik (, ) pada lingkaran

+ =

Garis singgung menyinggung lingkaran 2 + 2 = 2 dititik

(1, 1) karena OP tegak lurus garis

. 1 = 1

11

. 1 = 1

1 = 11

Persamaan garis singgungnya sebagai berikut:

1 = 1( 1)

1 = 11

( 1)

1( 1) = 1( 1)

1 12 = 1 + 1

2

1 + 1 = 12 + 1

2

1 + 1 = 2

jadi, persamaan garis singgung lingkaran 2 + 2 = 2 di (1, 1)

adalah:

1 + 1 = 2

b. Persamaan Garis Singgung di Titik (, ) pada lingkaran

( ) + ( ) =

Gradien garis PQ adalah :

=

=

(1 )

1

Gradien garis singgung yang tegak lurus garis PQ adalah:

1. = 1

1.(1 )

1 = 1

1 = 1

1

jadi persamaan garis dengan gradien 1 = 1

1 adalah

1 = 1( 1)

1 = 1

1 ( 1)

( 1)(1 ) = (1 )( 1)

1 12 + 1 = (1 1

2 + 1)

1 12 + 1 = 1 + 1

2 + 1)

1 + 1 + 1 + 1 = 12 + 1

2 (1)

untuk Q (1, 1) terletak pada lingkaran ( )2 + ( )2 =

2, maka:

( )2 + ( )2 = 2

(1 )2 + (1 )

2 = 2

12 21 +

2 + 12 21 +

2 = 2

12 + 1

2 = 2 + 21 + 21 2 2 (2)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

1 + 1 + 1 + 1 = 12 + 1

2

1 + 1 + 1 + 1

= 2 + 21 + 21 2 2

1 + 1 + 1 + 1 21 21 + 2 + 2 = 2

1 1 + 1 1 + 2 + 2 = 2

1 1 + 2 + 1 1 +

2 = 2

( )(1 ) + ( )(1 ) = 2

( )(1 ) + ( )(1 ) = 2

(1 )( ) + (1 )( ) = 2

sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah

(1 )( ) + (1 )( ) = 2

c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (, ) pada

Lingkaran + + + + =

Dari persamaan garis singgung melalui titik (1, 1) pada

Lingkaran ( )2 + ( )2 = 2 adalah:

(1 )( ) + (1 )( ) = 2

1 1 + 2 + 1 1 +

2 = 2

1 (1 + ) + 2 + 1 (1 + ) +

2 = 2

1 + 1 (1 + ) (1 + ) + 2 + 2 2 = 0

misalnya = , = = 2 + 2 2, persamaannya

menjadi:

1 + 1 (1 + ) (1 + ) + 2 + 2 2 = 0

1 + 1 + (1 + ) + (1 + ) + = 0

maka persamaan garis singgung melalui (1, 1) pada Lingkaran

2 + 2 + 2 + 2 + = 0 adalah

1 + 1 + (1 + ) + (1 + ) + = 0

2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui

a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap

Lingkaran + =

Untuk persamaan garis singgung = +

= +

2 + 2 = 2}

2 + ( + )2 = 2

2 + 22 + 2 + 2 2 = 0 (1 + 2)2 + 2 + 2 2 = 0

syarat menyinggung adalah D=0, sehingga

(2)2 4(1 + 2)(2 2) = 0

(42 2 4(2 + 22 2 22) = 0)

22 2 22 + 2 + 22 = 0: 4

2 = 2 + 22

2 = 2(1 + 2)

= 1 + 2

Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran

2 + 2 = 2 adalah :

= 1 + 2

b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap

Lingkaran ( ) + ( ) =

Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan

gradien m pada lingkaran 2 + 2 = 2 adalah :

= 1 + 2

Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap

lingkaran ( )2 + ( )2 = 2 adalah:

= ( ) 1 + 2

c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap

Lingkaran + + + + =

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m

terhadap lingkaran 2 + 2 + 2 + 2 + = 0 dapat

ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk ( )2 +

( )2 = 2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:

= ( ) 1 + 2

Latihan Soal

1.

Penyelesaian :

a. Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah

lingkaran, pada gambar diatas terlihat bahwa O adalah titik pusat lingkaran.

b. Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

dan melalui titik pusat, pada gambar diatas PQ adalah diameter lingkaran.

c. Jari jari lingkaran adalah jarak suatu titik pada lingkaran dengan titik pusat

lingkaran tersebut, pada gambar OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran.

d. Tali busur lingkaran adalah garis yang menghubungkan dua titik pada

lingkaran yang tidak melalui pusat lingkaran, pada gambar tersebut MN

adalah tali busur lingkaran.

e. Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lingkaran

dan menghubungkan dua titik sebarang pada lingkaran tersebut, pada

gambar yang termasuk bususr lingkaran adalah MN, NP, PR, RQ, dan QM.

f. Apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran

dengan tali busur lingkaran. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus

dengan tali busur, garis yang menghubungkan titik O dengan garis MN

adalah apoetema.

g. Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh

busur dan tali busur, pada gambar daerah yang dibatasi oleh busur MN dan

tali busur MN adalah tembereng.

h. Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua

buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran.

pada gambar diatas yang merupakan juring lingkaran adalah POR dan ROQ.

2.

Penyelesaian :

Diketahui :

= (22

7 )

= = 35 cm

= 200

Ditanya : Jarak rumah Rifai ke sekolah?

Dijawab :

= 2

= 2 .22

7 . 35 = 220

Maka, jarak rumah Rifai ke sekolah adalah = 220 . 200 = 44000 cm = 440 m

3.

Penyelesaian :

a. Karena merupakan ligkaran yang tidak utuh, hanya bagian, maka :

L =3

42 =

3

4 . 3,14 . 112 = 284,955

b. Mencari luas setengah lingkaran, maka :

L =1

22 =

1

2 . 3,14 . 52 = 39,25

Mencari luas segitiga, dengan mencari terlebih dahulu tinggi segitiga,

maka :

t = 102 52 = 100 25 = 75 = 53

sehingga, luas segitiga = 1

2 . . =

1

2 . 10 . 53 = 253 cm

jadi, luas total bangun kedua adalah 39,25 + 253 cm

4. Hitunglah luas daerah yang diarsir dari gambar berikut :

Penyelesaian :

Yang diarsir dinamakan tembereng.

L tembereng = L juring - L segitiga

L juring = 900/ 3600 x 3,14 x 10 x 10

= 1/4 x 314

= 78,5 cm2

L segitiga = 1/2 x a x t = 1/2 x 10 x 10 = 50 cm2

L Tembereng = 78,5 - 50 = 28,5 cm2

5. Persamaan lingkaran pusatnya di O(0,0), jika jari-jari diketahui :

a. r = 5

b. r = 2

c. r = 1,1

d. r = 3

Penyelesaian :

a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25

b. r = 2 adalah x2 + y2 = 6

c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21

d. r = 3 adalah x2 + y2 = 3

6. Persamaan lingkaran pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1) adalah

Penyelesaian :

Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari r

adalah x2 + y2 = r2

melalui (3,-1) 32 + (-1)2 = r2

r2 = 9 + 1

= 10

Jadi, persamaan lingkarannya

adalah x2 + y2 = 10

7. Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41 maka nilai a adalah.

Penyelesaian :

Titik (2a, -5) terletak pada

lingkaran x2 + y2 = 41,

berarti (2a)2 + (-5)2 = 41

4a2 + 25 = 41

4a2 = 41 25 = 16

a = 4 a = 2 atau a = -2

8. Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2,-1) dan

B(-2,1) adalah.

Penyelesaian :

Diameter = panjang AB

=

=

Diameter = panjang AB

= 25

Jari-jari = x diameter

= x 25

= 5

Koordinat pusat = (2+2

2,

1+(1)

2)

= (0,0)

Jadi, persamaan lingkarang yang jari-jari = 5 dan pusat (0,0) adalah

x2 + y2 = (5)2 x2 + y2 = 5

22 ))1(1()22(

5220416

9. Tentukan posisi titik titik (4,-5), (3,7), (8,9) dan (2,1) terhadap lingkaran

dengan persamaan x2 + y2 = 58

Penyelesaian :

10.

Penyelesaian :

53-2xyatau 53 2xy

adalah asinggungny garisPersamaan Jadi

532xy

1432x y

1mrmxy : asinggungny garisPersamaan

2 mGradien a.

2

b. Persamaan garis singgungnya :

c.

d.