kamiran berangka · contoh a)gunakan hukum 3/8 simpson berbilang-aplikasi dengan untuk mendapatkan...
TRANSCRIPT
Kamiran berangka
Bab 21
Pengenalan kepada formula Newton-CotesFormula Newton-Cotes merupakan formula yang paling kerap digunakan bagi kamiran secara berangka.Ia menggantikan fungsi yang kompleks dengan fungsi anggaran yang lebih mudah untuk dikamirkan iaitu:
nn
nnn
n
b
an
b
a
xaxaxaaxf
xf
dxxfdxxfI
1110 ...)(
bentukdalampolinomialfungsi)(manadi
)()(
fungsi parabola digunakan
untuk membuat anggaran
fungsi polinomial peringkat pertama digunakan untuk
membuatanggaran
Contoh di bawah menunjukkan 3 segmen garis lurus digunakan untuk menganggar kamiran:
Formula tertutup vs formula terbukaformula tertutup-had awal dan had
akhir kamiran diketahui
formula terbuka–had kamiran
melebihi selang data
Di akhir bab ini, anda sepatutnya:
Mampu membezakan kamiran terbuka dan kamiran tertutupMampu menyelesaikan masalah kamiran secara berangka menggunakan kaedah trapezoid, hukum Simpson 1/3 dan hukum Simpson 3/8Mampu menyelesaikan masalah kamiran menggunakan perisian yang sesuai
Hukum Trapezoid
Hukum ini menggunakan polinomial peringkat pertama di mana:
)()( 1 xxdfdxxfIb
a
b
a
Kawasan di bawah garis lurus ini merupakan anggaran kamiran f(x) antara had a dan b:
)()()()()( xdaxab
afbfafIb
a
Hasil kamiran menjadi:
2)()()( bfafabI
Dikenalisebagai hukum
trapezoid
(21.3)
Secara grafik,
Hukum trapezoid mengganggarkan luas di bawah garis lurus iaitu:
di mana tinggi purata:
purata x tinggi)( abI
2)()( bfaf
Dengan ralat
3))((''121 abfEt (21.6)
Rujuk mukasurat 589 untuk maklumat
lengkap mengenai ralat bagi hukum trapezoid
Contoh
Gunakan Hukum Trapezoid untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:
dengan had, a = 0 dan b= 0.8
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian contoh
1728.02
232.02.08.0
(21.3)persamaandalamMasukkan232.0)8.0(
2.0)0(
I
ff
Nilai sebenarnya adalah 1.640533. Maka ralat, Et
adalah 1.640533-0.1728 = 1.46773 (89.5%)
Secara grafik,perlu ada kaedah
untuk menganggar ralat menggunakan persamaan (21.6)
Menganggar ralat
2.56
)8.0)(60(121EralatMaka
60-08.0
)8000800,104050400()("
8000800,104050400)("
3a
38.0
0
2_
32
dxxxxxf
xxxxf
Hukum Trapezoid Berbilang-Aplikasi
4segmen
5segmen
2segmen
3segmen
Hukum Trapezoid Berbilang-Aplikasi
Jika terdapat n segmen dengan lebar yang sama
di mana dan b merupakan x0 dan xn, maka jumlah kamiran menjadi
nabh (21.7)
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfI1
2
1
1
0
)(...)()(
Gunakan hukum trapezoid,
atau2
)()(...2
)()(2
)()( 12110 nn xfxfhxfxfhxfxfhI
(21.10)
1
10 )()(2)(
2
n
ini xfxfxfhI
(21.9)
atau
n
xfxfxfabI
n
n
ii
2
)()(2)()(
1
10
tinggi purata
(21.8)
lebar
Dengan ralat
"12
)(2
3
fnabEa
(21.13)
Contoh
Gunakan Hukum Trapezoid Berbilang-aplikasi 2segmen untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:
dengan had, a = 0 dan b= 0.8
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian
64.0)60()2(12
8.0
%9.34,57173.00688.1640533.1
0688.14
232.0)456.2(22.08.0
232.0)8.0(456.2)4.0(2.0)0()4.0(2
2
3t
a
t
E
E
I
fffhn
pembezaan purata peringkat kedua(lihat contoh sebelum ini)
Hukum Simpson
Hukum 1/3 Simpsonhukum3/8Simpson
Apabila polinomial peringkat kedua dimasukkan ke dalam persamaan (21.1),
Jika a dan b adalah x0 dan x2 dan diwakili oleh polinomial Lagrange peringkat kedua
dxxfdxxfIb
a
b
a
)()( 2
dxxfxxxx
xxxx
xfxxxxxxxxxf
xxxxxxxxI
x
x
)())((
))((
)())((
))(()())((
))((
21202
10
12101
200
2010
212
0
Selepas kamiran dan manipulasi algebra,
)()(4)(3 210 xfxfxfhI (21.14)
6)()(4)()( 210 xfxfxfabI (21.15)
tinggi puratalebar
Dengan ralat
)(2880
)( )4(5
fabEt(21.16)
Contoh
Gunakan Hukum 1/3 Simpson untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:
dengan had, a = 0 dan b= 0.8
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian
2730667.0)2400(2880
8.0
%6.16,2730667.0367467.1640533.1
367467.16
232.0)456.2(42.08.0
232.0)8.0(456.2)4.0(2.0)0(
5t
a
t
E
E
I
fff
pembezaan purata peringkat keempat
Hukum 1/3 Simpson Berbilang-Aplikasi
dengan menggunakan kaedah yang sama sepertihukum trapezoid, persamaan akhir hukum 1/3 Simpson berbilang-aplikasi adalah seperti berikut:
n
xfxfxfxfabI
n
n
jj
n
ii
3
)()()(4)()(
2
6,4,2
1
5,3,10
(21.18)tinggi puratalebar
Secara grafik,perhatian: kaedah ini
hanya boleh dilakukan jika
bilangan segmen adalah genap
Dengan ralat)4(
4
5
180)( f
nabEa (21.19)
merupakanpembezaanperingkatkeempat
Contoh
Gunakan Hukum 1/3 Simpson berbilang-aplikasi dengan n = 4 untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:
dengan had, a = 0 dan b= 0.8
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian
2730667.0)2400()4(180
8.0
%04.1,017067.0623467.1640533.1
623467.112
232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0
232.0)8.0(464.3)6.0(456.2)4.0(288.1)2.0(2.0)0(
4
5t
a
t
E
E
I
fffff
Hukum 3/8 Simpson
Hukum 3/8 Simpson
di mana h=(b-a)/3
Seperti juga Hukum Trapezoid dan Hukum 1/3 Simpson, dengan menggunakan polinomial peringkat ketiga Lagrange (4 titik),
)()(3)(3)(83
persamaannmendapatkauntuk
)()(
3210
3
xfxfxfxfhI
dxxfdxxfIb
a
b
a
Hukum 3/8 Simpson
8)()(3)()( 310 xfxfxfabI (21.20)
purata tinggilebar
dengan ralat
)(6480
)( )4(5
fabEt (21.21)
Jika bilangan selang adalah ganjil
Contoha)Gunakan Hukum 3/8 Simpson berbilang-aplikasi
dengan untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:
dengan had, a = 0 dan b= 0.8
b)Gunakan Hukum 3/8 Simpson dan 1/3 Simpsonuntuk fungsi di atas dengan 5 segmen
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian (a) perlu 4 titik yang sama saiz
1213630.0)2400(6480
8.0
%4.7,1213630.0519170.1640533.1519170.1
8232.0)487177.3432724.1(32.08.0
232.0)8.0(487177.3)5333.0(432724.1)2667.0(2.0)0(
5t
a
t
E
E
I
ffff
Penyelesaian (b) – 5 segmen (h=0.16)
%28.0,00454383.0645077.1640533.1645077.1264753.13803237.0
264754.18
232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0
3803237.06
743393.1296919.1(42.032.0
232.0)80.0(181929.3)64.0(186015.3)48.0(743393.1)32.0(296919.1)16.0(2.0)0(
ttEI
I
I
ffffff