handout komposisi fungsi dan fungsi invers

1

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

NAMA :

KELAS :

2


KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian:

1. Diagram panah 2. Diagram kartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus

Notasi Fungsi

Himpunan A disebut domain/daerah asal (Df). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (Rf). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x A ke f(x) B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A B x f(x) = y

catatan: x A disebut prapeta, f(x) B yang memiliki hubungan dengan x A disebut peta/bayangan dari A, ditulis y = f(x). x disebut sebagai variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain). y disebut sebagai variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain). Sifat-sifat fungsi khusus suatu fungsi 1. Fungsi injektif/fungsi satu-satu Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B.

(i) (ii)

3


2. Fungsi into/fungsi ke dalam dan Fungsi surjektif/fungsi onto/fungsi ke pada a. Fungsi into/ fungsi ke dalam

Suatu fungsi f: A B disebut fungsi ke dalam jika terdapat unsur B yang tidak mempunyai pasangan atau pra peta di A.

b. Fungsi surjektif/ fungsi onto/ fungsi ke pada Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi ke pada (surjektif) jika setiap umsur B memiliki pra peta di A.

(i) (ii) 3. Fungsi bijektif (fungsi injektif dan fungsi bijektif/Korespodensi satu-satu)

Suatu fungsi f: A B merupakan fungsi jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif.

(i) (ii) Latihan Fungsi: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal Df = { x x R}:

a. f(x) = 2 b. f(x) = 3-2x c. f(x) =3x+1 d. f(x) = x2 - 4 e. f(x) = x2 + x -2

2. Fungsi-fungsi berikut ini adalah pemetaan dari himpunan A = {x, y, z} ke himpunan B = {1, 2, 3}. Manakah

yang merupakan fungsi ke pada B dan manakah yang merupakan fungsi ke dalam? a. f = { (x,1), (y,1), (z,1)} b. f = { (x,1), (y,2), (z,2)} c. f = { (x,1), (y,2), (z,3)} d. f = { (x,2), (y,2), (z,3)} e. f = { (x,1), (y,3), (z,2)} f. f = { (x,3), (y,2), (z,1)}

3. Diketahui f : A B dan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2 -3x. Apakah fungsi f merupakan fungsi

injektif?

4


4. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x y? a. b. c.

d. e. f.

g. h.

5. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi?

a. b. c.

d. e.

6. Tentukan domain (daerah asal) untuk fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = x2 + 2x + 5, xR

b. 푓(푥) = √25 − 푥 , xR

c. 푓(푥) = , xR

d. 푓(푥) = , xR

e. 푓(푥) = 푥 − 2, xR

7. Tentukan daerah hasil dari: f(x) = 2x2 – 6x + 3, xR

Ingat: domain fungsi

푦 = 푔(푥) g(x) ≥ 0.

푦 = ( )( )

h(x) 0.

5


Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = f (x) = ax2 + bx +c, a 0, a, b, c R 1.Buat daftar nilai f dalam tabel.

a.Tentukan titik puncak atau titik baliknya : (x,y) = , .

b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1.Buat daftar nilai f dalam tabel.

b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan garis. Skema macam-macam bilangan

x

y

x

y

Ingat untuk fungsi y = f (x) = ax2 + bx +c Jika a > 0 maka parabola terbuka ke

atas. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke

bawah.

Pecahan

Bilangan Nol

Bilangan bulat (Z)

Bilangan rasional (Q) Bilangan irasional

Bilangan real (R)

Bilangan cacah Bilangan bulat negatif

Bilangan asli (A)

Bilangan khayal (imajiner)

Bilangan kompleks (C)

Bilangan 1 Bilangan prima Bilangan komposit

6


Operasi Aljabar pada Fungsi Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi dari x, maka:

1. a. (f + g )(x) = f(x) + g (x)

b. (f - g )(x) = f(x) - g (x)

2. (f g) (x) = f(x) g (x)

3. (푥) = ( )( )

, dengan g(x) 0

4. 푓 (푥) = {(푓(푥))}

Contoh Operasi Aljabar pada Fungsi: 1. Diketahui fungsi-fungsi f(x) dan g(x) ditentukan dengan rumus f(x) = 2x -10 dan g(x) = √2푥 − 1. Tentukan

nilai fungsi-fungsi berikut ini:

a. (f +g ) (x) d. (푥)

b. (f – g ) (x) e. f 2 (x) c. (f g) (x)

2. Diketahui fungsi f (x) = x2 - 2x - 6. Tentukan nilai f(x +4)! 3. Diketahui fungsi f (x) = x2 +2x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)!

Kesamaan Dua Fungsi f : A B dan g: A B dikatakan sama jika setiap unsur a A dipetakan sama oleh fungsi f dan g. Dengan kata lain, f = g jika dan hanya jika untuk setiap a A, berlaku f(a) = g(a). Contoh: buku paket hal 8 Latihan Kesamaan Dua Fungsi buku paket hal 9 Aktivitas Kelas no. a, b, d Komposisi Fungsi

Fungsi f : A B dengan f: x y atau y = f (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (f(x)) Fungsi h: A C dengan h: x z atau z = h (x) = g (f(x)) Jadi, h (x) = g (f(x)) atau h (x) = (g f)(x) = g(f(x)) g f dibaca g bundaran f atau g komposisi f h disebut fungsi komposisi.

Sehingga,

1. (g o f)(x) = g (f(x)) 2. (f o g)(x) = f (g(x))

7


Latihan Komposisi Fungsi : Selesaikan soal berikut!

1. Misal f: R R , g: R R dengan f(x) = 2x2 + 1 dan g (x) = x +2. Tentukan:

a. (g o f ) (x) b. (f o g) (x) c. (gof) (1) d. (fog) (1) e. (fog) (-2)

2. Diketahui fungsi : R R , g: R R dengan f(x) = 2x -3 dan g(x) = x2 + 5. Hitung: a. (gof)(2) b. (fog) (-3) c. (g o g) (x) d. (g og) (-4)

3. Jika fungsi f(x) = √푥 + 2 dan g(x) = x2 - 2, tentukan:

a. (gof)(x) b. (fog) (-20)

4. Diketahui f(x) = 4x-2, g(x) = 3x +7, dan (f o g) (a) = 2. Tentukan nilai a!

5. Jika fungsi f(x) = dan g(x) = √3푥, tentukan nilai (f o g)(x)!

6. Diketahui : f(x) = 2x + 1, (fog)(x) = 2x2 -2x +7. Tentukan g(x)! 7. Diketahui (fog)(x) = x2 – 2x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan f(x)!

8. Diketahui (fog)(x) = 3x - 7 dan f(x) = 3x + 8. Tentukan g(x)!

9. Diketahui (fog)(x) = 6x -3 dan f(x) = 2x + 5. Tentukan g(x)!

10. Diketahui (fog)(x) = x2 – 4 dan g(x) = x+3. Tentukan f(x)!

11. Diketahui (fog)(x) = x2 – 9 dan g(x) = x - 3. Tentukan f(x)!

12. Jika f(x) = 3x – 11 dan (g o f) (x) = 3x + 7, tentukan g(x)! 13. Diketahui: g(x) =2x + 3, (fog)(x) = 4x2 +10x +11. Tentukan f(x)!

8


KOMPOSISI TIGA FUNGSI

Fungsi h : A B dengan h: x y atau y = . . . . . . .

Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

Fungsi f: C D dengan f: z w atau w = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

Komposisi dari tiga fungsi, yaitu (f g h) (x) = f (g(h(x)))

Sehingga,

1. (f g h) (x) = f (g(h(x)))

2. (h g f) (x) = h (g(f(x)))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi 1. Tidak komutatif (g o f)(x) (f o g)(x) 2. Asosiatif (f g h)(x) = f (g(h(x))) = ((f g) h) (x) = (f (g h))(x) 3. Ada elemen identitas, yaitu I (x) = x, artinya untuk setiap f berlaku f I = I f = f

Latihan: 1. Misal fungsi f, g, dan h masing-masing memetakan f: R R dengan R adalah himpunan bilangan real. Jika

f(x) = 2x -1, g (x) = x2 +1 dan h (x) = x +2. Tentukanlah: a. (f g) (x) c. ((f g) h)(x) b. (g f) (x) d. (f (g h))(x) Apakah (f g) (x) = (g f) (x)? Apakah ((f g) h)(x) = (f (g h))(x)?

2. Diketahui f: R R dengan R himpunan bilangan Real, dan f(x) = x +3. Tentukan: a. (f I ) (x) b. ( I f) (x)

3. Misal f (x) = 3x, g (x) = 2x - 3, h(x) = x2 - 2. Tentukan :

a. (fogoh)(x) b. (fogoh)(-1) c. (fogoh)(2)

4. Misal f (x) = x+1, g (x) = 2x, h(x) = x2 +2. Tentukan : a. (hogof)(x) b. (hogof)(0) c. (hogof)(1)

9


FUNGSI INVERS

Definisi Fungsi Invers:

Misal fungsi f: A B, relasi yang membalik arah

pemetaan sehingga menjadi B A disebut invers

dari fungsi f. Invers dari f dinotasikan dengan f -1 dan

dalam hal ini f -1 : B A.

Fungsi f : A B dengan f : . . . . .

Fungsi f -1 : B A dengan f -1: . . . . .

Jika y = f(x) maka x = f -1 (y).

Fungsi f -1 disebut invers dari fungsi f.

Contoh:

Tentukan invers dari fungsi berikut berupa relasi atau fungsi?

1. 2. 3. 4. 5.

Kesimpulan : Invers suatu fungsi, ada yang fungsi dan ada yang bukan. Jika inversnya adalah suatu fungsi maka disebut fungsi invers.

Teorema fungsi Invers:

f -1 : BA adalah sebuah fungsi invers dari f jika fungsi f: A B adalah fungsi bijektif.

Contoh:

Selidikilah apakah fungsi berikut mempunyai fungsi invers?

1. 2. 3. 4.

10


MENENTUKAN RUMUS INVERS FUNGSI

Ada kecenderungan/kebiasaan yang menotasikan variabel bebas dengan x dan variabel terikat dengan y,

sehingga:

Penulisan invers fungsi f yaitu = f -1 (y) diganti menjadi y = f -1 (x).

Inversnya diganti/ditulis

y = f (x) x = f -1 (y) y = f -1 (x)

Latihan 1. Tentukan invers dari fungsi berikut kemudian tentukan nilai f -1 (-1) dan f -1 (0)!

a. f(x) = 3x – 9 b. 푓(푥) = , dengan x c. 푓(푥) = 푥 − 1 d. 푓(푥) = 푥 + 1 e. 푓(푥) = √푥 + 2 + 1 f. f(x) = , dengan x − g. f(x) = −3x + 7 h. f(x) = x3 +2 i. f(x) = 2− √푥 + 4 j. f(x) = dengan x −

2. Diketahui f (x) = . Tentukan:

a. Daerah asal fungsi f(x) b. )(1 xf

3. Diketahui )(1 xf = - 3x +15. Tentukan nilai f (-3)!

4. Diketahui )(1 xf = x - 12. Tentukan nilai f (2)!

5. Diketahui f(x) = dan )(1 kf = 6. Tentukan nilai k!

6. Diketahui f(x) = dan )(1 kf = 4. Tentukan nilai k!

7. Diketahui g (x) =

. Tentukan:

a. g (x)b. daerahasalg (x) 8. Diketahui )(1 xf = x - 6. Tentukan nilai f (3)!

9. Diketahui f(x) = dan )(1 af = 4. Tentukan nilai a!

11


FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan f: A B dan g: B C bijektif, maka:

1. 푓 푓= 푓푓 = I

2. (푔f) = 푓 푔

3. (푓g) = 푔 푓

4. (푓gh) = h 푔 푓

Latihan 1. Diketahui f: RR dan g: RR dengan f(x) = x + 2, g(x) = 4 - 2x. Tentukan:

a. (f g)(x) b. (g f)(x) c. (푓g) (푥) d. (푔f) (푥) e. 푔 푓 (푥) f. 푓 푔 (푥) Buatlah kesimpulan dari c-f!

2. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 2 dan g(x) = - x - 5. Tentukan ( )!() 1 xgf !

3. Diketahui fungsi f (x) = x - 5 dan g(x) = 6x – 7. Tentukan nilai x jika ( 1)() 1 xfg !

4. Diketahui fungsi f(x) = dengan x 0 dan g(x) = 3x -2. Tentukan )!()( 1 xgf

5. Diketahui fungsi f (x) = x - 2 dan g(x) = 2x + 5. Tentukan ( )!() 1 xfg

6. Diketahui fungsi f (x) = x - 1 dan g(x) = 3x – 4. Tentukan nilai x jika ( 2)() 1 xgf !

7. Diketahui f(x) = √푥 dengan x ≥ 0 dan 푔(푥) = dengan x -1. Tentukan ( )!() 1 xfg

handout komposisi fungsi dan fungsi invers

Documents