3. Komposisi  dan  Invers  Fungsi    a. Komposisi  Fungsi  

 

 Syarat  dua  fungsi  bisa  dikomposisikan  jika  dan  hanya  jika  𝐷! ∩ 𝑅! ≠ ∅  

 

Gambar  5      

Operasi  pada  komposisi  fungsi  tidak  bersifat  komutatif    

𝑔!𝑓 𝑥 ≠ 𝑓!𝑔 𝑥      Operasi  pada  komposisi  fungsi  bersifat  asosiatif    

ℎ!𝑔!𝑓 𝑥 = ℎ! 𝑔!𝑓 𝑥 = ℎ!𝑔 !𝑓 𝑥      

   

Jika  fungsi  𝑓  dan  𝑔  didefenisikan  sebagai  𝑓:𝐴 → 𝐵  dan  𝑔:𝐵 → 𝐶  maka  𝑔!𝑓:𝐴 → 𝐶  adalah  komposisi  fungsi  dimana  range  atau  keluaran  dari  fungsi  𝑓  merupakan  domain  atau  masukan  dari  fungsi  𝑔  dan  ditulis  dengan    

𝑔!𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥  

 

b. Invers  dan  Fungsi  Identitas  

   Syarat  suatu  fungsi  mempunyai  invers  jika  dan  hanya  jika  fungsi  tersebut  merupakan  relasi  satu  ke  satu  

 

Gambar  6        

Jika  𝑦 = 𝑓 𝑥  maka    𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓!! 𝑦 = 𝑥

   

   

𝑦 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑓!! 𝑦      

   

Jika  fungsi  𝑓  dan  𝑔  didefenisikan  sebagai  𝑓:𝐴 → 𝐵  dan  𝑔:𝐵 → 𝐴  maka  𝑔!𝑓:𝐴 → 𝐴  dan  𝑓!𝑔:𝐵 → 𝐵  adalah  komposisi  fungsi  yang  merupakan  fungsi  identitas.  Fungsi  𝑔  disebut  invers  dari  fungsi  𝑓  dan  ditulis  𝑓!!  (bukan  pangkat  −1)  begitu  juga  sebaliknya.  Maka  berlaku  rumus    

𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑔!! 𝑥 = 𝐼 𝑥 = 𝑥  

 

 Contoh  1  :      Fungsi  𝑓 𝑥 = !"!!

!"!!    fungsi  inversnya  adalah  𝑓!! 𝑥 =  

   Misalkan   𝑓!! 𝑥 = 𝑦    

𝑓 𝑥 = !!!!!!!!

𝑓 𝑦 = !!!!!!!!

           

𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑦 = 𝑥!"!!!"!!

= 𝑥

𝑎𝑦 + 𝑏 = 𝑚𝑦 − 𝑛 𝑥𝑎𝑦 + 𝑏 = 𝑚𝑥𝑦 − 𝑛𝑥𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑥𝑦 − 𝑎𝑦𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑥 − 𝑎 𝑦!"!!!"!!

= 𝑦!"!!!"!!

= 𝑓!! 𝑥

 

   Contoh  2  :    SBMPTN  2013    Jika  𝑓 !

!!!!= !!!!

!!!  ,  maka  nilai  𝑓!! 1  adalah  ...  

   

Misalkan    𝑓!! 1 = 𝑎       maka    1 = 𝑓 𝑓!! 1 = 𝑓 𝑎      dan      𝑎 = !!!!!

     Substitusi    

𝑓 !!!!!

= !!!!!!!

𝑓 𝑎 = !!!!!!!

1 = !!!!!!!

𝑥 + 4 = 2𝑥 + 34− 3 = 2𝑥 − 𝑥1 = 𝑥

       

𝑓!! 1 = 𝑎𝑓!! 1 = !

!!!!

𝑓!! 1 = !! ! !!

𝑓!! 1 = !!!!

𝑓!! 1 = !!!

𝑓!! 1 = −3

 

   

     

 

c. Invers  Fungsi  Komposisi    i. ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥  

 Bukti  :    ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥ℎ 𝑔!! 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑔!! 𝑥ℎ 𝑔!! 𝑥 = 𝑓 𝑥

   

   

ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥      Contoh  :    UMPTN  2000    Jika  𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3    dan       𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1  ,  maka  𝑔 𝑥 = ⋯      Misalkan    𝑦 = 𝑓!! 𝑥    maka  𝑥 = 𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑓 𝑦  

 

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑓 𝑦 = 2𝑦 − 3𝑥 = 2𝑦 − 3𝑥 + 3 = 2𝑦!!!!

= 𝑦

       

𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑦 = 2𝑦 + 1𝑔 𝑥 = 2 !!!

!+ 1

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 + 1𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4

 

     Cara  lain    𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3+ 4𝑔 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 + 4𝑔 𝑦 = 𝑦 + 4𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4

   

   

   

 

ii. ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑓!! ℎ 𝑥    Bukti  :      Misalkan    ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥    𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥𝑓!! ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑥

   

   

ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑓!! ℎ 𝑥    

   

Contoh  :  UMPTN  1994    

Jika  𝑓 𝑥 = −4𝑥    dan    𝑓 𝑔 𝑥 = − !!+ 1  maka  𝑔 𝑥 = ⋯  

 Misalkan        𝑦 = 𝑓!! 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑓 𝑦       dan    ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = − !

!+ 1  

 

𝑓 𝑥 = −4𝑥𝑓 𝑦 = −4𝑦𝑥 = −4𝑦− !

!= 𝑦

− !!

= 𝑓!! 𝑥

         

𝑓!! 𝑥 = − !!

𝑓!! ℎ 𝑥 = − ! !!

𝑔 𝑥 = −!!!!!

!

𝑔 𝑥 = − !!− !

!+ !

!

𝑔 𝑥 = !!!×− !

!𝑥 − 2

𝑔 𝑥 !!𝑥 − 2

 

   Cara  Lain    𝑓 𝑥 = −4𝑥𝑓 𝑔 𝑥 = −4𝑔 𝑥− !

!+ 1 = −4𝑔 𝑥

!!!

− !!+ !

!= 𝑔 𝑥

!!!×− !

!𝑥 − 2 = 𝑔 𝑥

!!𝑥 − 2 = 𝑔 𝑥

   

 

iii. 𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥    Bukti  :    Misalkan        𝑓!𝑔 𝑥 = ℎ 𝑥 ⟹ 𝑓!𝑔 !! 𝑥 = ℎ!! 𝑥      ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥 ⟹ 𝑔!! 𝑥 = ℎ!! 𝑓 𝑥        ℎ!! 𝑓 𝑥 = 𝑔!! 𝑥ℎ!! 𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑔!! 𝑓!! 𝑥ℎ!! 𝑥 = 𝑔!! 𝑓!! 𝑥𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥

   

   

𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥