bab 3 invers matrik

Invers Matrik

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

PengertianA=[aij], i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik A-1, sehingga: AA-1=A-1A=I, I matrik satuanJika A mempunyai invers, maka A disebut matrik tak singularJika tidak mempunyai invers disebut matrik singular


Ketunggalan Invers MatrikJika A mempunyai invers, maka invers-nya tunggal (unik) Andaikan B dan C invers dari A, maka dipenuhi: BA=I dan CA=I

B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C

Jadi, B = C, atau kedua invers matrik tersebut tunggal


Sifat-sifat invers matrik(A+B)-1=A-1+B-1(AB)-1=B-1A-1(kA)-1=(1/k)A-1, dimana k: skalar (bilangan riil)


Matrik ElementerDefinisi: Matrik elementer adalah matrik bujursangkar yang diperoleh dari matrik satuan yang sesuai, yang dikenai hanya oleh satu Operasi Baris Elementer


Contoh 1Buat perkalian antara matrik E3, dan berikutnya perkalian dengan E2, terhadap


OBE dan Lawannya


OBE yang mengubah I menjadi E

OBE yang mengubah E menjadi I

Mengalikan satu baris dengan konstanta c(0

Mengalikan satu baris dengan 1/c

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan k kali baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan k kali baris ke-i dengan baris ke-j

Proses Mencari Invers (1/ 2)Jika A matrik bujursangkar nxn, dan matrik A ekivalen baris dengan matrik satuan In, maka dapat ditemukan m matrik elementer, sehingga jika dikalikan dengan matrik A, maka matrik A tersebut menjadi matrik satuan:Em ... E2E1A=In

Karena setiap matrik elementer mempunyai invers, maka jika dilakukan perkalian dengan invers masing-masing matrik elementer, didapat:E1-1E2-1 ... Em-1 Em ... E2E1A= E1-1E2-1 ... Em-1 InAtauA= E1-1E2-1 ... Em-1 In


Proses Mencari Invers (2/ 2)Persamaan di atas menyatakan bahwa matrik A mempunyai invers.Sebaliknya jika A mempunyai invers, berarti dipenuhi hubungan:A-1A=IDengan mengambil A-1= Em ... E2E1Inkarena matrik invers tunggal, maka diperoleh, jika A mempunyai invers, maka A ekivalen baris dengan matrik satuan I.


Mencari Invers


Contoh 2Tentukan invers matrik berikut:


Contoh 3 Jadi,


Contoh 4Karena baris ketiga berupa baris nol yang berarti pula C tidak ekivalen baris dengan matrik satuan I, maka pada kasus ini matrik C tidak mempunyai invers.


Tantangan 1Tentukan operasi baris elementer yang menyebabkan matrik elementer di bawah ini menjadi matrik satuan (atau dengan istilah lain, invers matrik elementer):

Tentukan invers matrik di bawah ini, jika ada:


Penggunaan InversPencarian solusi: AX=B, jika A matrik bujursangkar dan A-1 ada, maka, X=A-1B

Jika AX=B1, AX=B2, ..., AX=Bk, maka solusi didapat dengan cara yang mudah:X=A-1B1, X=A-1B2, ..., X=A-1BkAkibatnya dapat dilakukan eliminasi:


Contoh 5 (1/ 3)Tentukan solusi dari AX=B1, AX=B2, AX=B3


Contoh 5 (2/ 3)==


Contoh 5 (3/ 3) Cara kedua


Tantangan 2Selesaikan SPL berikut:

b1=7, b2=-3, b3=-1b1=5, b2=2, b3=-2b1=3, b2=0, b3=-1b1=2, b2=5, b3=3


Tantangan 3Tentukan X dari persamaan-persamaan matrik berikut:X2x3 + X2x3 = X3x2=


bab 3 invers matrik

Documents