go to siti's file siti fatimah/jurdikmat/upi 1

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 1Go to Siti’s file

Photo-Video.ppt

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 2

Motivasi

Jumlah Riemann-Integral Tentu

Teorema Dasar Kalkulus

Sifat-sifat Integral Tentu Anti Derivatif-Integral Tak tentu

Teknik Pengintegralan


Luas Bidang Lengkung

1P 2P 3P

Empat sisi Delapan sisi


Luas Bidang Lengkung

1P 2P 3P

Untuk

,...,, 321 PPPn

Empat sisi Delapan sisi Enambelas sisi

…

…

)(limn)A(Lingkara nn

PA

)(n)A(Lingkara nPA atau

Deskripsi


George Friedrich Bernhard Riemann

(1826-1866)

Deskripsi


Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva-y sedemikian sehingga

kecepatannya pada saat t ≥ 0 diberikan oleh meter perdetik.

Seberapa jauh partikel tersebut bergerak antara dan ?0t 3t

Fakta: Benda bergerak dengan Kecepatan

tetap k selama selang waktu ∆t.

Jarak tempuh=k. ∆t.

k

∆t

134

1)( ttv

Masalah 1: (Purcell)

Pembahasan


Sn

S1 S2

14

1 3tyBagi selang [0,3]

pada sumbu t menjadi

n selang bagian

dengan lebar ∆t=3/n.

Pandang

poligon luar

Sn.

Luas Sn=A(Sn)

Luas poligon Si, misalkan y=f(t)

ni

nnn

ittf i

3

4

8131

3

4

1)( 3

4

3

Diperoleh

0=t0<t1<t2<t3<…<tn=3

ti=3i/n∆tt1 t2 =tn


312

116

81

3)12(

16

81

3

2

)1(

4

81

3

4

81

3

4

81

)(

)(...)()()(

2

4

22

2

4

1 1

3

4

1

3

4

1

2

nn

n

nnn

nn

nn

n

ni

n

ni

n

ttf

ttfttfttfSA

n

i

n

i

n

i

n

i

i

nin

Selanjutnya diperoleh06,8

16

1293

16

81)(lim n

nSA

Benda bergerak sejauh 8,06 meter antara 0t dan 3t

Deskripsi


Fungsi terintegralkan pada [a,b], jhj fn

i

iiP

xxf1

0||)(lim ada. Selanjutnya

b

a

dxxf )(

disebut integral tentu (integral Riemann)

fungsi f dari a ke b.

Diberikan fungsi

(tidak perlu kontinu asalkan terbatas pada [a,b])

)(xfy pada selang [a,b]

4x

0x

0xa

1x

2x

3x

bxn

1x 2x

ix Titik sampel pada selang [xi-1,xi]

n

i

iip xxfR1

)(

Jumlah Riemann (Rp)

x

y

b

a

n

i

iiP

xxfdxxf1

0||)(lim)(

a b

Deskripsi

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 10Deskripsi


Pandang Kembali Masalah 1

' '( )y F t( )y F t

14

1)()(' 3ttvty ( )y F t

14

1 3t

14

1 3t

14

1 3t

tt 4

16

1

316

1 4 tt

716

1 4 tt

ctt 4

16

11

4

1 3t

Substitusikan dan

ke . Selanjutnya;

0t 3t

)(tfy

(3) (0)

1 14 43 3 0 016 16

81 1293

16 16

F F

c c

3

0

( ) (3) (0)v t dt F F

Dalam hal ini,


f xa

bdx F b F a .

F' x f x , F' x f x ,Jika pada [a,b] maka

Jika )()(' tvty makaT

yTydttv0

)0()()(

atau

T

dttvyTy0

)()0()(

Catatan:Jika

pada [a,b], maka f kontinu pada

[a,b]

Fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh

kurva , sumbu x, garis x=a dan x=b ditentukan oleh

L=

F disebut anti derivatif dari fungsi f dengan .

)(xfy

f xa

bdx F b F a .

F' x f x ,

Deskripsi


Masalah 2

Penjelasan

11 1 2 12

2

1 1 1

1

1

1

2 1

1 1 1 2.

1 1

xdx x dx

x

x

Pembahasan

Grafik fungsi 1/x2 seperti pada gambar tidak terbatas, karenanya tidak dapat dihitung menggunakan Teorema Dasar Kalkulus.

Jawaban di atas tidak benar karena hasilnya bernilai negatif, padahal fungsi yang diintegralkan adalah fungsi positif.

1

1

2dx

x

1Periksa

Deskripsi


SIFAT LINEAR

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfii

kdxxfkdxxkfi

)()()()()(

konstanta,)()()(

SIFAT PENAMBAHAN SELANG

c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf )()()(

x

y

2S

c

1S

a b

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

f terintegralkan pada [a,b]


SIFAT PENDIFERENSIALAN

INTEGRAL TENTU

Jika f fungsi kontinu pada selang [a, b],

dan maka

Jika

maka Jika maka

),(0 xf

b

a

dxxf )(0

a

SIFAT PERBANDINGAN

Diberikan fungsi-fungsi f ,g terintegralkan pada [a,b]

),()( xgxf

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

],[ bax

)(xf

x

y

b

)(xg ],[ bax

)()( xfdttfD

x

a

x

Deskripsi

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 16Deskripsi


Fungsi F disebut anti derivatif

dari fungsi f pada interval I, jika

F’(x)=f(x), untuk setiap x di I.

CONTOH 1:

Selanjutnya, jika f terintegralkan pada

interval I dan F anti derivatif dari

fungsi f maka intregral tak tentu

fungsi f adalah

CxFdxxf )()(

Misalkan f(x)=x3. Jika F(x)=1/4x4

maka F’(x) = f(x)

Bentuk paling umum dari anti

derivatif f pada I adalah F(x) + C dengan

C sembarang konstanta.

Deskripsi


METODE SUBSTITUSI

METODE PENGINTEGRALAN

PARSIAL

Substitusi langsung ke bentuk standar

Substitusi yang merasionalkan

Substitusi trigonometri

Substitusi dengan melengkapkan menjadi

bentuk kuadrat

Deskripsi


1. METODE SUBSTITUSI

Andaikan g fungsi

yang terdiferensialkan

dan F anti derivatif dari

f, jika u=g(x), maka

CxgFCuF

duufdxxgxgf

))(()(

)()('))((

b

a

bg

ag

duufdxxgxgf

)(

)(

)()('))((

Jika f dan g terdiferensialkan

pada [a,b] dan u=g(x), , maka

Arahkan penggantian untuk

memperoleh bentuk-bentuk standar

Catatan:

1,,1

1 1 nQnCxn

dxx nn

1. Pengintegralan Fungsi Aljabar

2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

Cxecdxxecx

Cxdxxx

Cxdxxec

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

coscoscot

secsectan

cotcos

tansec

cossin

sincos

2

2




Penggantian yang Merasionalkan

Integran memuat bentukn bax

Substitusin baxu

Contoh 2:

Tentukan

Pembahasan

Misalkan:

maka

Cxx

Cuuduuu

duuuu

dxxxdxxx

57

512

712611

425

52

5 2

17

51

12

5

7

5

12

55

5.1

1)1(

dxxx5 21

51

1xu

15 xu

dan dxduu 45




Substitusi Trigonometri

Integran berbentuk

Fungsi

integral

Substitusi

dengan

Hasil

222222 atau,, axxaxa

22 xa

uax sinua

ua

cos

sin1 2

22 xa

22 xa

uax tan

uax sec

ua

ua

sec

tan1 2

ua

ua

tan

1sec2

Contoh 2:

Tentukan dxxa 22

Pembahasan

Misalkan x=a sin u

)sin1(sin 2222222 uauaaxa

uaua coscos22

duuadxuax cossin

)cos(cos22 duuauadxxa

duuaduua 2222 coscos

Cuuua

Cuua

duua

)cossin(2

)2sin2

1(

2)2cos1(

22

22



Nyatakan kembali ke dalam variabel x

ax

u

x=a sin u

a

xau

a

xarcu

a

xu

22

cos

sinsin

Jadi

Cxax

a

xarc

adxxa 22

222

2sin

2




Melengkapkan menjadi Kuadrat

CBxx2Integran memuat bentuk Lengkapkan

menjadi bentuk kuadrat

CBxx2

Gunakan Substitusi

Triginometri

Contoh 4

Tentukan dxxx 245



2. METODE PENGINTEGRALAN PARSIAL

dxxgdv )(' )(' xfdu

Pengintegralan Parsial Intergral

Taktentu

duvuvdvu

Pengintegralan Parsial Intergral tentub

a

b

a

b

a duvuvdvu ][

Misalkan )(dan)( xgvxfu

maka

)()(')(')()()( xgxfxgxfxgxfDx

dxxfxgdxxgxfxgxf )(')()(')()()(

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

Karena dan

Arti geometri Pengintegralan

Parsial

)(vhu

)(au

)(bu

)(av )(bv

b

a

vdu

b

a

udv

maka

b

a

b

a

vduavaubvbuudv )()()()(

Deskripsi


go to siti's file siti fatimah/jurdikmat/upi 1

Documents