gerak harmonik sederhana

Click here to load reader

Post on 03-Jul-2015

348 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Bab I Pendahuluan Suatu gerak yang berulang pada selang waktu yang tetap disebut gerak periodik. Beberapa contohgerak gerak periodik adalah gerak ayunan bandul ,getaran senar biola dll. Dalam kenyataannya kebanyakan gerak diatas tidaklah betul-betul periodik karena pengaruh gaya gesekan yang membuang energi gerak. Jadi benda yang berayun lama akan berhenti. Jika gaya gesekan-gesekan ini dimasukan dalam perhitungan maka gerak yang terjadi adalah gerak periodik teredam. Pemecahan dari masalah gerak periodik atau dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus dan cosinus. Fungsi tersebut dinamakan fungsi harmonik, gerak dengan persamaan berupa fungsi sinus disebut gerak harmonik sederhana. Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang tetap adalah periodik,jika geraknya merupakan gerak bolak-balik pada jalan yang sama gerak ini disebut gerak osilasi atau getaran. Suatu getaran (fibrasi) merupakan satu gerakan pulang dan pergi.

Bab II Gerak harmonik sederhana Jika suatu partikel bergetar sekitar posisi setimbang atau pada saat gaya pada suatu partikel sebanding dengan jarak suatupartikrl dalam posisi setimbang maka partikel tersebut dinamakan melakukan gerak hahmonik serhana. Gaya selalu bermaksud mengembalikan partikel pada posisi setimbang yang disebut gaya balik. Contoh dari gerak harmonik sederhana adalah gerak suatu partikel bermassa yang diikat pada suatu pegas. Pegas mempunyai elastik sifat elastis tidak hanya terjadi pada pegas saja akan tetapi pada hampir setiap benda dalam batas-batas tertentu. Jika batang-batang kawat direnggangkan dengan suatu gaya,maka kawat akan bertambah panjang. Jika gaya yang digunakan kawat tidak terlalu besar,maka perpanjangan kawat adalah setimbang dengan gaya yang bekerja. Ini pertama kali ditemukan oleh Robert Hooks seorang kenalan newton,dan digunakan dalam hulum Hook dan dapat ditulis sebagai berikut : F= - kx Dimana x adalah deformasi atau perubahan panjang, F gaya balik oleh bahan dan k adalah suatu konstanta pembanding. Untuk pegas, k disebut konstanta pegas. Tanda negatif berarti gaya kearah kiri bila x dan kearah kanan positif. Gaya pada partikel selalu menuju posisi setimbang x = 0. Dari hukun II newton diperoleh hubunganF = kx = m d 2x dt 2 d 2x .kx = 0 dt 2

atau

m

(3.2) Ingat bahwa untuk setiap sistem dengan massa m dimana bekerja gaya F = -kx persamaan ini berlaku. Persamaan diatas memberi hubungan antara fungsi waktu dengan turunan kedua dari fungsi tersebut terhadap waktu,yaitud 2x . dt 2

Untuk mendapatkan posisi partikel terhadap waktu kita harus mencari fungsi x(t) yang memenuhi persamaan diatas. Persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai :

d x k = x 2 m dt

2

(3.3)

Dari persamaan (3.3) tampak bahwa fungsi x sedemikian rupa jika diturunkan terhadap t maka kita akan memperoleh angka negatif lalu dikalikan dengan suatu tetapan. Dari kalkulus deferensial bahwa fungsi sinus atau cosinus memenuhi fungsi ini misalnya :d ( cos t ) = sin t dt

dan

d2 ( cos t ) = d ( sin t ) = cos t 2 dt dt

(3.4)

Lebih umum lagi persamaan (3.3) juga dipenuhi oleh fungsi X(t)=A cos ( t + ) Diman A, dan adalah tetapan. Jika persamaan (3.4) kita deferensialkan dua kali maka akan diperoleh :d d x( t ) = A cos ( t + ) = A sin ( t + ) dt dt

Dand2 x( t ) = A 2 cos ( t + ) dt 2

(3,5)

Sedangk k x( t ) = A cos (t + ) m m

(3.6)

Jelas persamaan (3.3) dipenuhi jika :d2 k x( t ) + x( t ) = 0 atau 2 m dt A 2 cos ( t + ) + k A cos ( t + ) = 0 m

Jadi jika 2 =

k maka fungsi x(t ) = A cos (t + ) adalah suatu solusi dari m

persamaan deferensial gerak harmonik. Harga tetapan-tetapan A dan masih belum tentu ,jadi masih masih dapat mempunyai harga sembarang. Karena persamaan yang digunakan berorde dua maka ada dua tetapan yang tidak tentu. Harga A dan untuk gerak harmonik ditentukan oleh suatu gerak partikel pada awal gerak. Jika dilihat dari arti fisis dari tetapan dan waktu t pada persamaan (3.4) dan ditambah 2 / maka akan diperoleh : X = A cos ((t + 2 / )+ ) =A cos (t + 2 + ) =A cos (t + )

Jadi fungsi kembali pada harga semula setelah selang waktu 2 / ,sehingga 2 / adlah periode gerak yaitu T. Karena 2 =T = 2 m = 2 k

k maka akan diperoleh : m

Jadi semua gerak yang memenuhi persamaan (3.3) perioda yang sama.,dan ditentukan oleh massa m dari partikel yang bergetar dan konstanta pegas k. Frekwensi osilator adalah banyaknya getaran penuh dalam satuan waktu.yang dirumuskan oleh :f = 1 1 = = T 2 2 k m

dan

= 2f =

2 T

Besaran sering kali disebut sebagai frekuensi sudut karena mempunyai harga 2 Kali frekwensi f ,sehingga mempunyai satuan radial/detik. Fungsi cosinus mempunyai niali ( +1) dan (-1). Perpindahan x dari posisi setimbang pada X=0 mempunyai harga maksimum A. Besaran ( t + ) disebut fasa dari gerak harmonik. Tetapan disebut tetapan fasa,dua buah gerak mungkin mempunyai amplitudo dan perioda yang sama akan tetapi fasa yang berbeda. Jika = X=A cos (t + ) = A cos (t- 90) = A sin t Sehingga harga perpindahan x sama dengan nol pada saat t=0. Jika harga maka kita peroleh solusi : X = A cos t Yang pada saat t = 0 mempunyai harga maksimum. Harga konstanta yang lain akan memberikan simpangan awal yang berlainan pula. Amplitudo A dan konstanta fasa

2 misalnya :

dari osilasi ditentukan oleh posisi dan laju awal dari partikel. Kedua syarat harga A dan yang tertentu. Sekali gerak sudah dimulai,partikel akan brgerak dengan amplitudo dan tetapan fasa yang konstan pada suatu harga frekwensi.

Keterangan : warna ungu untuk : x 2 (t) Warna kuning untuk : x1 (t) Gambar 3.1 menyatakan gerak harmonik sederhana untuk dua benda dengan pesamaan gerak x1 (t) dan x 2 (t). Kedua gerak ini berbeda fasa 180 . Tampak bahwa jika gerak x1 (t) benda mencapai simpangan maksimum positif,benda dua dengan gerak x 2 (t) selalu berada pada simpangan maksimum negatif. Kedua benda mencapai titik nol (titik setimbang)selalu pada saat yang sama ,sehubungan dengan ini dua benda yang berhubungna harmonik dengan beda fasa 180 f dikatakan berlawanan fasa.

Keterangan : warna ungu untuk : x1 (t) Warna kuning utuk : x3 (t) Gambar 3.2 menunjukan grafik x(t) untuk dua benda yang bergerak dengan harmonik dengan fasa sama. Benda pertama bergerak dengan persamaan x1 (t) danx 3 (t). Walaupun kedua amplitudo gerak ini berbeda , kedua benda selalu pada

simpangan maksimum positif ,titik setimbang,maksimum negatif pada saat yang sama. Gerak seperti ini disebut gerak sefasa. Gambaran fisis untuk dua gerak harmonik berbeda fasa tidaklah mudah untuk dibuat,suatu cara untuk menggambarkan ini dengan melukiskan grafik x(t). Sifat lain dari gerak harmonik sederhana adalah hubungan antara simpangan , percepatan , dan kecepatan dari partikel yang berosilasi.jika dibandingkan ketiga persamaan tersebut menjadi : X(t) = A cos dx dt

Untuk kecepatan v (t ) =

percepatan a (t ) =

d 2x dt 2

Sehingga untuk persamaan gerak diatas kita peroleh persamaan :v (t ) = dx = - A sin t dt

dan

a (t ) =

d 2x = - A 2 cos t dt 2

Grafik persamaan ketiganya dapat dilukiskan sebagai berikut :

Contoh soal! 1. sebuah denda bermasa titik mempunyai berat 500 gram dipasang pada pegas tanpa massa dan digetarkan diatas lantai datar tanpa gesekan. Getaran terjadi sepanjang sumbu x dan mempunyai persamaan gerarak benda x(t)= 100+ 10 cos ( 5 t+ 60) dengan x posisi benda dalam cm.maka tentukan lah :

posisi pegas bila benda dalam keadaan kendor perioda getaran posisi awal , kecepatan awal , dan laju maksimum tetapan pegas basaran dan gaya tarik pada pegas

Jawab : Dalam menentukan posisi benda bila pegas dalam keadaan kendor, kita perlu ingat bahwa simpangan getaran(dihitung dari posisi setimbang)x = 10 cos ( 5 + 60 ) cm

x Pegas dalm keadaan kendor bila = 0 ,jadi posisi posisi benda jika

pegas dlam keadaan kendor adalah x = 100 cm. Posisi setimbang ini dicapai pada saat x = 10 cos ( 5 + 60 )cm = 0 ,jadi posisi setimbang terjadi pada saat :

30 + n( 360 ) t= = 51 2 = n+ det ik 5 30

+ n( 2 ) 6 5

Yaitu untukt= 1 13 25 , , ,......... ... det ik 30 30 30

Guna menentukan perioda getaran perlu diingat bahwa bentuk uum persamaan harmonik adalah : = A cos ( t + 0 ) x

Dengan A amplitudo getaran dan fasa awal,frekwensi sudut 0 dinyatakan dalam bentuk radial/detik dan sebanding dengan f (dalam cps atau herzt sebagai = 2 ) sehingga dapat ditulis persamaan :

= 5 radian detikSehingga diperoleh frekwensi getaran :

radian 5 detik = 5 detik = 5 Hz f = = 2 2 radial 2 2Dalam satu detik terjadi 5/2 getaran,berarti perioda getarannya :T = 1 2 = det ik f 5

Posisi awal benda dapat ditentukan dengan mengambil t = 0,sehingga X(t = 0) = 100+10 cos 60 = 105 cm Dari titik asal sumbu x yaitu disebelah kanan titik setinbang. Pada saat awal tersebut benda sedang bergerak dan kecepatan awal dapat ditentukan dari persamaan gerak benda. Kecepatan sesaat dapat dihitung dari :V (t ) = dx d = {100 + 10 cos ( 5 = 60 )} dt dt= 10 ( 5 ) sin ( 5t + 60 ) = 50 sin ( 5t + 60 )

Pada saat t = 0 kecepatan benda adalah :V (t ) = 0 sin 6 = 5 5 0 2 3 cm d ik et

Tanda negatif berarti pada saat t =0 benda sedang bergerak ke arah sumbu x negatif (kekiri). Tetapan pegas dapat ditentukan bila massa benda dan frekwensi getar diketahui yaitu dari hubungan gerak =k = 2 .mk jadi kita peroleh : m

Dengan menggunakan satuan maksimum kmasukan harga m = 0,5 kg sehingga :k = ( 5 )( 0,5) kg rad2

det ik 2

= 12,5 2 kg det ik 2 Ingat bahwa radail adalah suatu sudut tanpa dimensi karena radial menyatakan sudut dalam satuan panjangbus ur jari jari

Gaya tarik pada pegas dapat dihitung dangan dua cara yang pertama dapat dihitung menggunakan hukum hook