MTE3105: StatistikKebarangkalian Pokok (Probability Tree)

Gambar rajah pokok ialah suatu kaedah yang berguna dalam menyelesaikan masalah yang berhubung dengan cubaan berulang, sama ada kebarangkalian pada setiap peringkat bergantung kepada kesudahan percubaan yang lebih awal atau tidak.

Gambar rajah pokok ialah gambar rajah urutan peristiwa-peristiwa dan kebarangkaliannya. Ia memberikan gambaran yang jelas tentang situasi kebarangkalian. Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah kebarangkalian.

Langkah-langkah berikut digunakan untuk membina satu gambar rajah pokok.1.Menentukan keadaan pertama dalam turutan dan mewujudkan cabang bagi setiap peristiwa dari titik yang sama. Tulis kebarangkalian di atas garisan cabang.2.Tentukan keadaan kedua dalam urutan dan mewujudkan cabang bagi setiap akahir cabang pertama dan tuliskan kebarangkalian di atas garisan cabang tersebut.3.Terus proses untuk langkah-langkah seterusnya jika perlu.

Ia harus diperhatikan bahawa semua cabang yang bermula dari titik mestilah(a) peristiwa saling eksklusif dan(b) peristiwa habisan (exhaustive events),

yang jumlah kebarangkalian kesemua peristiwa ialah 1. Kaedah ini ditunjukkan dalam contoh berikut.

Contoh :Duit syiling dilambungkan dan kebarangkalian mendapat kepala dan kebarangkalian mendapat bunga adalah:

P(Kepala) = dan P(Bunga) = Duit syiling dilambungkan tiga kali.(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan gambar rajah pokok,(b) Cari kebarangkalian bahawa(i) 3 kepala diperoleh,(ii) 2 kepala dan 1 bunga diperoleh,(iii) Tiada kepala diperoleh.

Penyelesaian:Kesudahan

P(H) = HTHHHHHHTTTT

P(T) =

P(T) =

P(T) =

P(T) =

P(T) =

P(T) =

P(H) =

P(H) =

P(H) =

P(H) =

P(H) = HHHHHTHTHTHTTTHH

P(T) =

P(H) = THTTTHTTTLambungan 1Lambungan 2

Lambungan 3

T

Katakan H: peristiwa mendapat kepalaT: peristiwa mendapat bungaHHH: peristiwa mendapat 3 kepala dalam 3 kali lambungan iaitu H H H.

(a)P(H H H) = P(HHH)

=

= (b)P(2 kepala 1 bunga) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)

= + +

= + +

= (c)P(tiada kepala) = P(TTT)

=

=

Contoh:Sebuah beg mengandungi 5 biji guli kuning dan 3 biji guli merah. Dua biji guli dipilih secara rawak satu demi satu tanpa pengembalian. Cari kebarangkalian bahawa guli itua. mempunyai warna yang berlainan,b. mempunyai warna yang sama.Penyelesaian:Katakan K1 = Peristiwa guli pertama berwarna kuning,K2 = Peristiwa guli kedua berwarna kuning,M1 = Peristiwa guli pertama berwarna merah, danM2 = Peristiwa guli kedua berwarna merah.

Oleh kerana guli pertama tidak dimasukkan semula ke dalam beg, maka peristiwa di setiap cabang dalam gambar rajah pokok adalah bersandaran.

P(XA) = P(X A) =

P(A) = P(XA) = P(X A) =

P(XB) = P(X B) = P(B) =

P(XB) = P(X B) =

a. P(guli itu mempunyai warna yang berlainan)= P(K1 M2) + P(M1 K2)= =

b. P(guli itu mempunyai warna yang sama)= =

1.6 Kebarangkalian Bersyarat (Conditional Probabilities)

Kebarangkalian bersyarat boleh didefinisikan sebagai satu peristiwa biasanya bergantung kepada kejadian peristiwa lain.

Misalnya, seorang pelajar dipilih secara rawak dari sebuah kelas. Jika A = Peristiwa pelajar itu bercermin mata dan B = Peristiwa pelajar itu adalah perempuan.

Maka kebarangkalian bahawa pelajar yang terpilih itu adalah perempuan jika diberi pelajar itu bercermin mata ialah satu kebarangkalian bersyarat dan ditandakan oleh P(B A).

Secara amnya, jika diberi dua peristiwa A dan B, maka terdapat dua kebarangkalian bersyarat, iaitu P(A B) dan P(B A).

Pertimbangkan gambar rajah Venn yang berikut.SABA B

P(A B) ialah kebarangkalian bahawa peristiwa A berlaku jika peristiwa B telah berlaku. Maka ruang sampel ialah B dan bukan S dan kesudahan peristiwa A yang dikehendaki bukanlah set A yang bersilang dengan set B, iaitu A B.Jadi P(A B) = = P(A B) =

Begitu juga, P(B A) =

Secara amnya, kedua-dua kebarangkalian bersyarat itu adalah tidak sama.

Apabila didarab silang, didapatiP(A B) = P(A B) . P(B) dan P(B A) = P(B A) . P(A)

Oleh kerana P(A B) = P(B A), maka P(A B) . P(B) = P(B A) . P(A)

Jika A dan B ialah dua peristiwa yang saling eksklusif, iaitu P(A B) = 0, maka P(A B) = P(B A) = 0

Jika kebarangkalian peristiwa B berlaku adalah bergantung kepada persitiwa A berlaku, maka dikatakan bahawa peristiwa B adalah bersyarat pada peristiwa A, dan ditulis sebagai P (B | A), yang bermaksud kebarangkalian B diberikan A telah berlaku.Jika dua peristiwa A dan B adalah merdeka, makaP(AB) = P(A)P(BA) = P(B)P(A B) = P(A)P(B)

Persampelan tanpa penggantian adalah contoh yang baik kebarangkalian bersyarat.

Jika dua orang pelajar dipilih secara rawak daripada kumpulan 5 orang perempuan dan 4 orang lelaki, maka kebarangkalian bahawa orang pertama yang dipilih adalah seorang perempuan adalah 5/9 atau 0.5556, dan kebarangkalian bahawa seorang budak lelaki dipilih ialah 1 0.5556 = 0.4444.

kebarangkalian bahawa orang kedua ialah seorang perempuan adalah bergantung kepada kesudahan pilihan pertama.

Kebarangkalian orang kedua ialah seorang perempuan, [boleh gunakan gambar rajah pokok] Jika orang pertama lelaki = 5/8 atau 0.625 Jika orang pertama perempuan = 4/8 or 0.5

Jika kebarangkalian pelajar pertama perempuan dan pelajar kedua perempuan, bermakna peristiwa-peristiwa adalah bersandar, jadi P(A dan B) = P(A) P(B|A) P(perempuan dan perempuan) = 0.5556 0.5 = 0.2778

Jika dua (atau lebih) peristiwa adalah tak bersandaran: P(A dan B) = P(A B)=P(A) P(B)

Contoh:Sebiji dadu adil dilambungkan. Jika diketahui nombor yang diperoleh ialah nombor ganjil, apakah kebarangkalian bahawa nombor itu ialah 5?

PenyelesaianRuang sampel ialah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dengan syarat bahawa nombor ganjil diperoleh, jadi ruang sampel baru, S = {1, 3, 5}.

Jika A ialah mendapat nombor 5 dan B ialah peristiwa mendapat nombor ganjil, maka A = {5}, dan B = {1, 3, 5}, n(A) = 1, n(B) = 3 dan n(A B) = 1.

P(A diberi B telah berlaku) = . P(A given B has occurred) = .

Secara umum, jika A dan B adalah dua peristiwa dengan P (A) 0 dan P (B) 0, maka kebarangkalian B diberi A telah berlaku ditulis sebagai P(AB) dan

P(AB) =

P(A B) = P(AB) P(B)

Dalam cara yang sama, ia dapat menunjukkan bahawa:

P(BA) =

P(B A) = P(BA) P(A)P(A B) = P(BA) P(A)

kerana P(A B) = P(B A)

Maka, boleh dituliskan sebagai:P(A B) = P(AB) P(B) = P(BA) P(A)

Jika A dan B adalah persitiwa saling eksklusif, maka P(A) 0, P(B) 0 dan P(A B) = 0, iaitu diikuti bahawa P(BA ) = = 0

Contoh :Suatu dadu adil dilambung dan mendapat nombor genap. Apakah kebarangkalian bahawa nombor itu adalah lebih besar daripada atau sama dengan 4?

Penyelesaian:Katakan A ialah perisitwa mendapat nombor genap dan B ialah peristiwa mendapat 'nombor lebih besar atau bersamaan dengan 4

P(BA ) =

kerana A B = {4, 6}

Contoh:Satu kajian dilakukan ke atas 100 pelanggan sebuah pasar raya. Hasil kajian menunjukkan bahawa 60 daripada 100 pelanggan mengatakan bahawa mereka melawat pasar raya itu kerana mereka telah membaca iklan di akhbar tempatan, manakala selebihnya (40 orang) tidak membaca iklan. Daripada 45 responden yang membuat pembelian, 10 daripada mereka mengatakan bahawa mereka telah membaca iklan.(a) Paparan maklumat dalam jadual 2 2.(b) Seorang pelanggan dipilih secara rawak daripada 100 orang responden. Apakah kebarangkalian bahawa(i) pelanggan membuat pembelian walaupun dia tidak membaca iklan?(ii) pelanggan membuat pembelian selepas membaca iklan?

Penyelesaian:(a)

Membaca iklan (B)Tidak Membaca iklan (B)Jumlah

Pembelian (A)351045

Tidak membeli (A)253055

Jumlah6040100

(b)Jika A ialah peristiwa pelanggan membuat pembelian dan B ialah peristiwa pelanggan membaca iklan

(i)P(AB ) =

(ii)P(AB ) =

Contoh

Jika P(A) = , P(B) = , dan P(A B) = , tentukan P(BA).

Penyelesaian:P(A B) = P(A) + p(B) P(A B)

P(A B) =

P(BA ) =

Contoh:Sebuah syarikat mempunyai 100 jurujual, 45% daripada mereka adalah lelaki dan selebihnya adalah perempuan. Dua puluh daripada jurujual lelaki bujang. Dari semua jurujual perempuan, 31 daripada mereka telah berkahwin. Seorang jurujual dipilih secara rawak daripada syarikat. Jika diketahui bahawa jurujual yang dipilih adalah bujang, apakah kebarangkalian bahawa jurujual itu ialah lelaki?

PenyelesaianlelakiPerempuanJumlah

Bujang202545

Kahwin243155

Jumlah4456100

P(lelakibujang ) =

Contoh:Satu nombor dipilih secara rawak daripada set integer {1, 2, ..., 30} dan diberi nombor yang terpilih itu adalah ganjil. Apakah kebarangkalian bahawa nombor yang terpilih itu merupakan suatu nombor kuasa dua?

Penyelesaian:Katakan A = Peristiwa nombor terpilih adalah ganjil, danB = Peristiwa nombor terpilih adalah nombor kuasa dua.

Maka P(B A) = = 1, 9, 25 ialah nombor kuasa dua yang ganjil.

=

Contoh:Kebarangkalian bahawa seorang pekerja di syarikat X mendapat kenaikan gaji ialah 0.7, kebarangkalian bahawa dia mendapat kenaikan pangkat ialah 0.5, dan kebarangkalian bahawa dia mendapat kedua-duanya ialah 0.3.a. Encik Yong telah mendapat kenaikan gaji, apakah kebarangkalian bahawa dia juga mendapat kenaikan pangkat?b. Encik Ravi telah mendapat kenaikan pangkat, apakah kebarangkalian bahawa dia juga mendapat kenaikan gaji?Penyelesian:Katakan G = Peristiwa mendapat kenaikan gaji, danH = Peristiwa mendapat kenaikan pangkat.P(G) = 0.7P(H) = 0.5P(G H) = 0.3a. P(H G) = b. P(G H) =

1Dr Hu Laey Nee, IPG Kampus Sarawak