LOGO

PROBABILITAS BERSYARAT & TEOREMA BAYES

E-Learning

Pendahuluan

Permasalahan kebebasan (independence) dan peluang bersyarat (conditional probability) memainkan peran

yang penting dalam teori probabilitas (peluang)

Peluang bersyarat merupakan pengetahuan bagaimana suatu informasi tambahan dapat mengubah pola pikir

kita mengenai suatu event dapat terjadi

Teorema Bayes merupakan aplikasi dari permasalahan peluang bersyarat untuk memecahkan permasalahan

yang biasanya dinyatakan dalam complicated

statements.

PROBABILITAS BERSYARAT

Probabilitas Bersyarat adalah peluang suatu event terjadi, jika diketahui event yang lain

terjadi lebih dulu

P(B)

B)P(AB)|P(A

P(A)

B)P(AA)|P(B

dimana P(A dan B) = j joint probability dari A dan B

P(A) = marginal probability dari A

P(B) = marginal probability dari B

Probabilitas Event A terjadi

jika diketahui (given) Event

B terjadi lebih dulu

Probabilitas Event B terjadi

jika diketahui (given) Event

A terjadi lebih dulu

)( BAP

Conditional Probability

Contoh 1 :

Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali

akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika

a. Tidak diberikan informasi lain

b. Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka

ganjil

Conditional Probability

2

1

6

3

6

1

6

1

6

1)3()2()1()( PPPBP

Pemecahan :

a. Misalkan B menyatakan kejadian kurang dari 4, maka

b. Misalkan A menyatakan kejadian bilangan ganjil, maka

2

1

6

3

6

1

6

1

6

1)5()3()1()( PPPAP

3

1

6

2

6

1

6

1)3()1()( PPBAP

Conditional Probability

Sehingga

3

2

21

31

)(

)(

AP

BAPABP

Jadi, informasi tambahan bahwa pengundian

tersebut menghasilkan angka ganjil membuat nilai

peluangnya naik dari 1/2 menjadi 2/3

Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebut juga dilengkapi AC ?

Jadi, yang ditanyakan adalah P(CD | AC)

Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut.

Contoh 2 PROBABILITAS BERSYARAT

No CD CD Total

AC 0.2 0.5 0.7

No AC 0.2 0.1 0.3

Total 0.4 0.6 1.0

0.28570.7

0.2

P(AC)

AC)P(CDAC)|P(CD

(lanjutan) Contoh PROBABILITAS BERSYARAT

Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut.

No CD CD Total

AC 0.2 0.5 0.7

No AC 0.2 0.1 0.3

Total 0.4 0.6 1.0

Given AC, dari 70% mobil yang menggunakan AC dimana 20%nya dilengkapi dengan CD player, sehingga 20% dari 70% adalah 28.57%.

0.28570.7

0.2

P(AC)

AC)andP(CDAC)|P(CD

Contoh PROBABILITAS BERSYARAT (lanjutan)

Menggunakan Diagram Pohon

P(AC dan CD) = 0.2

P(AC dan CD*) = 0.5

P(AC * dan CD*) = 0.1

P(AC * dan CD) = 0.2

7.0

5.0

3.0

2.0

3.0

1.0

Mobil

7.0

2.0

Given ada AC atau

tidak ada AC:

Diagram Pohon

P(CD dan AC) = 0.2

P(CD dan AC*) = 0.2

P(CD* dan AC*) = 0.1

P(CD* dan AC) = 0.5

4.0

2.0

6.0

5.0

6.0

1.0

All

Cars

4.0

2.0

Given ada CD atau

tidak ada CD:

(lanjutan)

Sifat-sifat peluang bersyarat :

ABPABPABBP 2121

ABPABP 1

1. P(BA) > 0

2. P(A) = 1

3. Jika B1 B2 = , maka

4. Hukum komplemen

5. Hukum perkalian

BAPBPABPAPBAP

Independent Events

Jika 2 events tidak berhubungan, dimana muncul

(atau tidak munculnya) salah satu event tidak akan

mempengaruhi kemungkinan event lainnya, maka

events tersebut dinamakan independent.

Secara matematis, event A dan B dikatakan

independent, jika dan hanya jika

BPAPBAP

Independent Events

Jika dikombinasikan dengan hukum perkalian

(multiplicative rule), maka peluang bersyarat :

Jika event A dan B independent, maka

ABPAPBAP

BPABP

Dengan cara yang sama diperoleh

APBAP

P(B)B)|P(AB)P(A atau

Independent Events

Theorema :

Definisi : jika A, B, dan C independent, maka

BdanA

Jika A dan B independent, maka event berikut

juga independent

BdanA

BdanA

CPBPAPCBAP

Independent Events

Terdapat kecenderungan untuk menyamakan makna mutually exclusive dan probabilistically independent

Mutually exclusive tidak akan pernah menjadi probabilistically independent, atau sebaliknya

Sebagai ilustrasi, misalkan A dan B adalah events dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.4

Jika A dan B mutually exclusive, maka A B = dan P(A B) = P( ) = 0

Dilain pihak, jika A dan B probabilistically independent, maka

P(A B) = P(A) P(B) = (0.3) (0.4) 0

TEOREMA BAYES

Ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18.

Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.

Aplikasi banyak digunakan untuk : DSS (Decision Support System)

persamaan paling bermanfaat

dalam teori peluang dan statistik

Partisi dan Peluang Total

Definisi :

Jika B1, B2, , Bn adalah subset-subset dari S dengan kondisi :

i. BiBj= , untuk i j

ii. B1U B2U U Bn= S

maka B1, B2, , Bn disebut partisi dari S

S

B1

B2

B3

Bn

12/09/2014 18

Partisi dan Peluang Total

B1

B2

B3

Bn

S

A

A = A S

= A ( B1U B2U B3 U U Bn)

= (A B1) U (A B2) U U (A Bn)

P(A) = P(A B1) + P (A B2) + + P (A Bn)

Teorema Probabilitas Total

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space

Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka

berdasarkan sifat probabilitas

didapatkan :

Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka

dapat didefinisikan theorema

probabilitas total sbb :

B1

B2

B3

Bn

S

A

Teorema Bayes

Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i.

Maka :

Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total,diperoleh :

Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila

diketahui event A terjadi)

TEOREMA BAYES

Teorema bayes yang hanya dibatasi oleh dua buah

kejadian dapat diperluas untuk kejadian n buah.

Teorema bayes untuk kejadian bersyarat dengan i

kejadian adalah sebagai berikut:

)2...(0)P(B bahwaketentuan dengan )(

)()|(

....(1) 0P(A) bahwaketentuan dengan )(

)()|(

i

i

ii

ii

BP

BAPBAP

AP

ABPABP

Contoh Teorema Bayes

Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang pengeoboran itu sukses adalah 40%. Dari

pengalaman perusahaan tsb diketahui bahwa 60%

keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan dengan

prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20%

pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan

prosedur yang benar dan tepat.

Jika perusahaan pengeboran tsb sudah melaksanakan prosedur yang benar dan tepat berapa peluang

perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran

minyaknya?

Misal S = sukses pengeborannya

G = gagal pengeboranny

M = Pengeboran berhasil dengan metode

yang benar dan tepat

P(S) = 0.4 , P(G) = 0.6 (prior probabilities)

Probabilitas bersyarat:

P(M|S) = 0.6 P(M|G) = 0.2

Tentukan P(S|M)?

Contoh Teorema Bayes (lanjutan)

Menggunakan Diagram Pohon

Pengeboran

%60

(lanjutan)

%20

%40

%80

0.6670.120.24

0.24

(0.2)(0.6)(0.6)(0.4)

(0.6)(0.4)

G)P(G)|P(MS)P(S)|P(M

S)P(S)|P(MM)|P(S

Contoh Teorema Bayes

Jadi peluang perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran,jika diketahui sudah menggunakan prosedur yang benar dan tepat adalah 0.667

(lanjutan)

Event Prior

Prob.

Conditional

Prob.

Joint

Prob.

Revised

Prob.

S (sukses) 0.4 0.6 (0.4)(0.6) = 0.24 0.24/0.36 = 0.667

G (gagsl) 0.6 0.2 (0.6)(0.2) = 0.12 0.12/0.36 = 0.333

Tot = 0.36

(lanjutan)

Menggunakan Tabel Kontingensi

Jadi peluang perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran,jika diketahui sudah menggunakan prosedur yang benar dan tepat adalah 0.667

Latihan :

Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :

a. Laki-laki b. wanita

Bekerja Menganggur Jumlah

Laki-laki

Wanita

460

140

40

260

500

400

Jumlah 600 300 900

PROBABILITAS BERSYARAT

Latihan Teorema Bayes

Contoh 1:

Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan

yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari perusahaan X, 20% dari

perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3%

microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan

4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai

di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi

atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu.

a). Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan

ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari

perusahaan Y?

b). Jika pada saat diambil sampel secara acak dan diketahui microchip

yang terambi tidak cacat, berapa peluangnya berasal dari perusahaan Z?

2. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B.

Dia menduga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A

adalah 0.4, dan di perusahaan B 0.3. Diasumsikan

penerimaan karyawan pada kedua perusahaan tersebut

adalah independen, hitung peluang :

a. Dia akan diterima di kedua perusahaan

b. Dia akan diterima paling sedikit di satu perusahaan

c. Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di

perusahaan B

Latihan

Soal- soal

3. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh kebiasaan merokok terhadap kanker paru-paru, dikumpulkan data yang melibatkan 180 orang yang dijelaskan dalam tabel di bawah ini :

Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat

Kanker paru-paru

Tidak kanker paru-paru

21

48

36

26

30

19

Satu orang diambil secara acak dari kelompok ini, dan

ternyata orang tersebut orang yang bukan perokok. Berapa

peluang orang tersebut adalah penderita kanker paru-paru?

(sebagai alat bantu, buat diagram pohonnya terlebih dahulu)

12/09/2014 31

Latihan

4. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C

dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan

50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-

masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C)

a. Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan

produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV

yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat?

b. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalam

keadaan cacat, berapakah peluang TV yang cacat tersebut

berasal dari produksi pabrik C?

c. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalam

keadaan tidak cacat, berapakah peluang TV yang tidak

cacat tersebut berasal dari produksi pabrik A?

Latihan

5. Yayasan Pendidikan Telkom (YPT) akan memberikan beasiswa

kepada 2 orang mahasiswa IT Telkom berdasarkan kriteria

tertentu. Berdasarkan kriteria tersebut terkumpul beberapa

mahasiswa yang dicalonkan sebagai penerima beasiswa, yaitu :

Jurusan TI : 5 orang mahasiswi dan 6 orang mahasiswa, TE: 4

orang mahasiswi dan 5 orang mahasiswa, dan IF : 3 orang

mahasiswi dan 7 orang mahasiswa. Dari ketiga jurusan tersebut

dipilih satu jurusan secara acak, kemudian dipilih 2 (dua) orang

mahasiswa sekaligus.

a. Berapakah peluangnya bahwa 2 orang mahasiswa yang

terpilih tsb terdiri dari 1 mahasiswi dan 1 mahasiswa?

b. Bila yang terpilih adalah seperti pada kondisi di bagian a,

berapakah peluangnya mahasiswa-mahasiswa tsb berasal dari

Jurusan TE?

LOGO

Tim Dosen E-Learning STATISTIKA