ELIPS

Minggu 16

DEFINISI ELIPS

• Elips ialah lokus bagi

suatu titik yang

bergerak dengan

syarat nisbah jarak

titik tersebut dari titik

tetap S (fokus) dan

garis tetap ZL

(direktriks) adalah

suatu pemalar e (e<1)

FOKUS ELIPS

Katakan AA’ = 2a

SA = e. AZ

SA’ = e. A’Z

(A dan A’ terletak pd ELIPS)

SA’ - SA = e (A’Z – AZ)

(OS+a) – (a-OS) = e(2a)

2.OS = 2.ae

OS = ae

Kordinat S ialah (-ae, 0)

PERSAMAAN DIREKTRIKS

SA = e. AZ

SA’ = e. A’Z

SA’ + SA = e (A’Z + AZ)

(2a) = e[(a+OZ) + (OZ-a)]

2a = 2e. OZ

OZ = a/e

direktriksialahZL

,ZLgarisPersamaan e

ax

PERSAMAAN ELIPS

elipsPersamaan1

1Katakan

11

11

)(

2

2

2

2

222

22

2

2

2

22222

2222

222

b

y

a

x

eab

ea

y

a

x

eayex

e

axeyaex

PQePS

SIFAT ELIPS

• Mempunyai simetri pd

kedua-dua paksi

• Fokus ialah S (-ae, 0)

dan S’ (ae, 0)

• Direktriks ialah

x = -a/e dan x = a/e

SIFAT ELIPS

• AA’ = 2a (paksi major)

• BB’= 2b (paksi minor)

• O ialah pusat

• e ialah “eccentricity”

2

222

a

bae

DEFINISI ALTERNATIF BAGI ELIPS

• Elips ialah set semua

titik pada satah

dengan syarat jumlah

jarak titik tersebut

daripada dua titik

tetap adalah pemalar.

• Tititk-titik tetap itu

ialah fokus elips

PERSAMAAN ELIPS

• Persamaan bagi elips

boleh diperoleh

dengan

menggunakan definisi

alternatif elips dan

rumus jarak.

• Fokus suatu elips

terletak pada (5, 0)

dan (-5, 0). Jarak

pintasan-x daripada

fokus ialah 2 unit dan

12 unit masing-

masing. Cari

persamaan elips.

PERSAMAAN ELIPS

• Titik A merupakan

pintasan-x dan juga salah

sebuah titik pada elips.

• AS+AS’=14 units

• Jumlah jarak sebarang

titik pada ELIPS, P(x, y)

dari titik-titik fokus juga

semestinya 14 unit.

• Oleh itu, rumus jarak

boleh digunakan untuk

mencari persamaan elips

-5,0 5,0

PERSAMAAN ELIPS

12449

11764924

49122549049240149025

549495

57495

52819620

25105281962510

55281965

051405

140505

22

22

222

222

22

22

222222

222222

2222

2222

yx

yx

yxxxx

yxx

yxx

yxx

yxxyxyxx

yxyxyx

yxyx

yxyx

SIFAT ELIPS

• ELIPS merupakan set semua

titik yang memenuhi syarat

jumlah jarak titik dari kedua-dua

fokus adalah pemalar

• ELIPS mempunyai dua paksi

simetri

• Paksi major adalah lebih

panjang daripada paksi minor

• Titik-titik fokus sentiasa terletak

pada paksi major

• Persilangan paksi-paksi ialah

pusat ELIPS

Major Axis

Minor

Axis

Center

Focus

Focus

SIFAT ELIPS

• Jumlah jarak

sebarang titik dari

kedua-dua fokus = 2a

(panjang paksi

major).

• Jarak dari pusat ke

titik fokus = c unit

dengan syarat

222 bac

Maklumat Penting Bagi Elips

Equation of the ellipse Foci PointsIs the major axis

horizontal or vertical?

Center of the

ellipse

(x – h)2 + (y – k)2

a2 b2

( h + c, k) and

(h – c, k)Horizontal (h, k)

(x – h)2 + (y – k)2

b2 a2

(h, k + c) and

(h, k – c)Vertical (h, k)= 1

= 1

Important Notes:

• In the above chart,

•a2 > b2 always so a2 is always the larger number

•If the a2 is under the x term, the ellipse is horizontal, if the a2 is under the y

term the ELIPSe is vertical

•You can tell that you are looking at an ellipse because: x2 is added to y2 and

the x2 and y2 are divided by different numbers (if numbers were the same, it’s

a circle)

22 bac

Contoh 1

1. Given an equation of an ellipse16y2 + 9x2 – 96y – 90x = -225 find the

coordinates of the center and foci as well as the lengths of the major and

minor axis. Then draw the graph.

16 (y2 – 6y + o) + 9 (x2 – 10x + o) = -225 + 16 (o) + 9(o)

16 (y2 – 6y + 9) + 9 (x2 – 10x + 25) = -225 + 16(9) + 9(25)

16 (y – 3)2 + 9 (x – 5)2 = 144(y – 3)2 + (x – 5)2

9 16= 1

Center: (5, 3)

16 > 9 so the foci are on the horizontal axis

c = 16 – 9

c = 7

Foci: ( 5 + 7, 3) and (5 – 7, 3)

Major Axis Length = 4 (2) = 8

Minor Axis Length =

LATIHAN

1. For 49x2 + 16y2 = 784 find the center, the foci, and the

lengths of the major and minor axes. Then draw the

graph.

2. Write an equation for an ellipse with foci (4, 0) and

(-4, 0). The endpoints of the minor axis are (0, 2) and

(0, -2).

1)Foci: (0, -33) (0, 33) Center: (0, 0) Length of major= 14 Length of minor= 8 2)X2 + y2

20 4= 1

#1