ELIPS

1. Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua

titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus /

titik api.

Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang

perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui

besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut

direktriks. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips

disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik

puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2

bagian yang sama disebut sumbu minor.

1

Unsur – unsur elips yaitu :

1) Pusat elips O (0,0)

2) Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y

3) Fokusnya F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0)

4) Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b

5) LL2 = Latus Rectum =

6) PF1 + PF2 = 2a

7) Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis

direktris g disebut eksentrisitas (e) atau . persamaan garis direktriks

8)

2. Persamaan Elips

1) Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)

Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat

elips.

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

2

Dengan :

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :

Dengan :

- Pusat (0,0)

- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)

Catatan : Contoh 1

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0)

dengan sumbu mayor 10 satuan.

Jawab :

Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )

Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

Persamaan elipsnya :

Jadi persamaan elipnya adalah

Contoh 2

Diketahui persamaan elips , tentukan koordinat titik

puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor,

eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !

Jawab :

3

Dari persamaan elips , diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9,

maka b = 3.

c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = .

Dari data diatas diperoleh :

- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

- Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=( ,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8

- Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

- Eksentrisitas:

- Persamaan direktriks :

- Panjang lactus rectum =

Contoh 3

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek,

direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 =

900

Jawab:

Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku

dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk

baku

a = 10, b = 6, c = 8

pusat O(0,0)

Fokus (8, 0) dan (-8, 0)

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y

4

Sumbu panjang = 2a = 20

Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x = = =

Eksentrisitas : e =

2) Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

- Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 F2

- Titik puncak

- Panjang sumbu mayor = 2

- Panjang sumbu minor = 2b- Persamaan direktriks

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar

sumbu y, persamaan elipsnya adalah

5

Dengan :

- Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c)

- Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a)- Panjang sumbu mayor = 2a- Panjang sumbu minor = 2b- Persamaan direktriks

Contoh 4

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan

sumbu minor dari persamaan elips

Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam

bentuk baku

6

Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4

maka a = 2,

- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )

- Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 - ,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+ ,1 )

- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) =

( 5,1 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6

- Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4

Contoh 5

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek,

direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0Jawab :x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36

pusat (2, -3)a = 6, b = 3, c = Fokus (3 2, -3)Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3

Sumbu panjang = 2a = 12

Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x = =

Eksentrisitas : e =

Contoh 6

Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor

dan sumbu pendek berturutturut 6 dan 4.

7

Jawab :

Sumbu panjang = 6, berarti a = 3

Sumbu pendek = 4, berarti b = 2

Jadi persamaan ellipsnya adalah :

3) Persamaan Garis Singgung Elips

a) Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)

Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips =1, maka

besarnya diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan

dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas

adalah D = -4a2b2 (n2-b2 – a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0 n2 - b2 – a2m2 = 0 n2 = b2 + a2m2

n = ±

8

Jadi, persamaan garis singgung pada elips =1 dengan gradient m

didefinisikan dengan persamaan :

y = mx ±

4) Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat P(α,β)

Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis

singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:

5) Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat

O (0,0)

y

h

P

x

+

Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang

menyinggung elips = 1 di titik P (x1, y1).

9

Persamaan garis singgung elips = 1 di titik P (x1, y1) didefinisikan

dengan persamaan.

+ = 1

6) Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat

P (α,β)

Contoh :

Persamaan garis singgung pada elips = 1, dengan gradient m = 3.

Tentukan persamaan garis singgung tersebut!

Jawab:

= 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2

b2 = 16 ⟶ b = 4Persamaan garis singgungnya adalah:

10

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada elips , dititik

P(2 ,2) ?

Jawab:x2 + 2y2 - 16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16

11

Di titik P

ini artinya P(2 ,2) terletak pada elips , jadi persamaan garis

singgungnya:

=1 1

x + 4y = 1 6

x + 2y = 8 2y = 8

y = 4

12

7) Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di

Luar Elips.

Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak

terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus

pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan.

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada elips melalui titik p

(2,7), tentukan titik singgungnya?

Jawab :

⟺

x2 – 2x - 48 = 0 ( x - 8) (x + 6) = 0x = 8 dan x = -6untuk maka

untuk maka

titik singgungnya adalah dan

13

Persamaan garis singgung melalui titik dan titik adalah

14