Petrus Fendiyanto/1213201002 1

EVALUASI TENGAH SEMESTER DAN EVALUASI AKHIR SEMESTER

S2 MATEMATIKA-INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER (ITS)

MATAKULIAH : TOPIK ANALISIS TERAPAN

Untuk Mahasiswa : Petrus Fendiyanto, 1213201002

Model Subsistem pada Lokasi 1.

Model matematika berikut ini merupakan bagian dari model system yang dikembangkan

dari model yang dibuat oleh Blyuss yaitu penyebaran virus yang mempunyai massa

inkubasi dan berada pada subpopulasi Exposed, fungsi transmisi dinyatakan

SIISf ),( dengan parameter sbg rate transmisi, bd , sbg rate kematian dan

kelahiran, sbg rate kesembuhan alamiah, sbg rate transisi dari ekspose menjadi Infeksi

dan ),( txK sebagai fungsi densitas Kernel.

2 1

1211112

1

2

11 )()(

1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS

x

SSDt

S

2 1

112111112

1

2

1

1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx

EEDt

E

12

1111112

1

2

11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE

x

ID

t

I I

11112

1

2

1

1 RRdEIx

RRDt

R

Kondisi awal

),0()0,( 1101 SSxS ),0()0,( 1101 IIxI

).0()0,( 1101 EExE ),0()0,( 1101 RRxR

Kondisi batas

)0(1

x

S,0)(1

L

x

S

)0(1

x

E

)(1 L

x

E0,

)0(1

x

I0)(1

L

x

I

)0(1

x

R,0)(1

L

x

R

Petrus Fendiyanto/1213201002 2

Model matematika tersebut menunjukkan penyebaran penyakit dengan Recovered yang

tidak tetap artinya setiap individual yang sembuh setelah diobati dapat terinfeksi kembali.

Tugas yang harus diselesaikan adalah

1. Lakukan analisa tentang eksistensi dan ketunggalan penyelesaian model,

Petunjuk.

1. Bentuk integral yang menyatakan diffusi global dapat direduksi seperti pada model

yang dibuat oleh Blyuss dan ),( txK dapat diasumsikan sebagai fungsi densitas

uniform atau rumpun eksponensial.

2. Kumpulkan informasi pendukung dalam bentuk jurnal.

3. Reduksi model dengan menggunakan bentuk

dxtxStS ),()( atau

dx

t

txS

dt

tdS ),()(

Penyelesaian :

Model di bawah ini merupakan pengembangan dari model (Blyuss, 2005) yaitu penyebaran

virus yang mempunyai massa inkubasi dan berada pada subpopulasi Ekspose. Model

tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk kompartemen sebagai berikut.

Berdasarkan kompartemen di atas, populasi dibagi menjadi 4 subpopulasi yaitu Suspectible

(individu yang rentan terinfeksi), Ekspose (massa inkubasi infeksi, individu yang tertular

tetapi belum bias menularkan ke individu yang lain), Infected (terinfeksi dan menularkan

ke individu yang lain), dan Recovery (individu yang sembuh). Model subsistem ini hanya

S1 E1 I1 R1

𝛿

𝛼

𝛽 ∗ 𝛾 𝛿 𝛿 𝑏

𝑏 𝑏 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑

Petrus Fendiyanto/1213201002 3

pada lokasi 1 yaitu Ω1 dengan ukuran 𝐿1 dan lebih menekankan pada pergerakan spasial

individu interlokasi atau antarlokasi.

Fungsi densitas spasial dapat dinyatakan sebagai S1(x,t), E1(x,t), I1(x,t), R1(x,t).

Sedangkan densitas populasi dapat dinyatakan sebagai N1(x,t). Adapun parameter yang

terlibat dalam model ini adalah

𝛽∗ : rate transmisi

d : rate kematian

b : rate kelahiran

𝛿 : rate kesembuhan alamiah

𝛾 : rate transisi dari ekspose menjadi terinfeksi

),( txK sebagai fungsi densitas Kernel.

S1 : Manusia yang rentan terhadap virus

E1 : Manusia yang telah terinfeksi virus namun belum menunjukkan gejala dan tidak

menularkan penyakit (dalam masa inkubasi).

I1 : Manusia yang terinfeksi virus (sudah menunjukkan gejala dan dapat menularkan

penyakit).

R1 : Manusia yang telah sembuh dari infeksi

Pada penelitian yang telah dilakukan oleh (Hariyanto, 2013) mengasumsikan bahwa

transimis virus dapat terjadi setelah terjadinya interaksi atau kontak langsung dengan

individu terinfeksi dan pergerakan spasial di dalam suatu lokasi dapat dilakukan oleh setiap

individual pada subpopulasi sedangkan pergerakan diantara lokasi hanya dilakukan oleh

individu subpopulasi Suspectible dan Ekspose. Pada tugas ini, perpindahan atau pergerakan

antar lokasi tidak hanya dilakukan oleh individu subpopulasi Suspectible dan Ekspose saja,

tetapi individual yang berada pada subpopulasi Infected dan Recovery juga bergerak atau

berpindah dari lokasi 1 menuju 2 atau sebaliknya.

1) Penyelesaian Positif Dari Model Subsistem Pada Lokasi 1

Berdasarkan model subsistem pada lokasi 1 di atas, akan dianalisa bahwa subsistem

tersebut mempunyai penyelesaian positif, yang berarti akan ditunjukkan bahwa 𝑆1 >

0, 𝐸1 > 0, 𝐼1 > 0, dan 𝑅1 > 0. Untuk menunjukkan bahwa model tersebut mempunyai

penyelesaian positif, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Petrus Fendiyanto/1213201002 4

a. Mereduksi integral yang menyatakan difusi global

b. Menyajikan model subsistem lokasi 1 dalam bentuk persamaan yang telah direduksi

c. Mereduksi suku pada persamaan hasil langkah 2 dengan parameter yang sesuai

d. Menyubstitusikan persamaan hasil langkah 3 ke dalam persamaan laju perubahan

populasi total pada lokasi 1, yaitu 𝑁1(𝑥1, 𝑡) = 𝑆1(𝑥1, 𝑡) + 𝐸1(𝑥1, 𝑡) + 𝐼1(𝑥1, 𝑡) +

𝑅1(𝑥1, 𝑡)

e. Menganalisa parameter-parameter yang ada dalam persamaan dan menafsirkannya

sehingga diperoleh penyelesaian positif

Model Penyebaran Virus

Model matematika berikut merupakan model sistem yang merupakan pengembangan

dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).

2 1

1211112

1

2

11 )()(

1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS

x

SSDt

S (1)

2 1

112111112

1

2

1

1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx

EEDt

E (2)

12

1211112

1

2

11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE

x

ID

t

I I (3)

11112

1

2

1

1 RRdEIx

RRDt

R

(4)

Kondisi awal

),0()0,( 1101 SSxS ),0()0,( 1101 IIxI

).0()0,( 1101 EExE ),0()0,( 1101 RRxR (5)

Kondisi batas

)0(1

x

S,0)(1

L

x

S

)0(1

x

E

)(1 L

x

E0,

)0(1

x

I0)(1

L

x

I

)0(1

x

R,0)(1

L

x

R (6)

Petrus Fendiyanto/1213201002 5

Total Populasi :

Jumlah populasi (𝑁1(𝑡) atau 𝑁1(𝑥1, 𝑡)) di lokasi 1 merupakan hasil kumulatif dari

subpopulasi Supspectible, subpopulasi Ekspose, subpopulasi Infected, dan subpopulasi

Recovery, sehingga dapat ditulis sebagai:

𝑁1(𝑡) = 𝑆1(𝑡) + 𝐸1(𝑡) + 𝐼1(𝑡) + 𝑅1(𝑡) (7)

atau

𝑁1(𝑥1, 𝑡) = 𝑆1(𝑥1, 𝑡) + 𝐸1(𝑥1, 𝑡) + 𝐼1(𝑥1, 𝑡) + 𝑅1(𝑥1, 𝑡) (8)

a. Mereduksi integral yang menyatakan difusi global

Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4), tampak bahwa difusi lokal (perpindahan dalam

satu lokasi) pada subpopulasi Supspectible dinyatakan dalam 𝐷1𝑆 𝜕

2𝑆1

𝜕𝑥2, difusi lokal pada

subpopulasi Exposed dinyatakan dalam 𝐷1𝐸 𝜕

2𝐸1

𝜕𝑥2, sedangkan difusi local pada subpopulasi

Infected dinyatakan dalam 𝐷1𝐼 𝜕

2𝐼1

𝜕𝑥2, dan difusi lokal pada subpopulasi Recovery dinyatakan

dalam 𝐷1𝑅 𝜕

2𝑅1

𝜕𝑥2. Sedangkan difusi global atau perpindahan individu dari lokasi 1 ke lokasi

2, atau sebaliknya (perpindahan antar lokasi) dinyatakan sebagai berikut:

∫ 𝑆2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝑆1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1 (9)

∫ 𝐸2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐸1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1 (10)

∫ 𝐼2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐼1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1 (11)

Dari persamaan (9), (10), (11), dan (12) diketahui bahwa suku-suku yang bernilai

positif masing-masing menunjukkan adanya perpindahan individu dari lokasi 2 masuk ke

lokasi 1, sehingga terjadi penambahan pada lokasi 1. Sedangkan suku-suku yang bernilai

negatif masing-masing menunjukkan adanya perpindahan individu dari lokasi 1 keluar ke

lokasi 2, sehingga terjadi pengurangan pada lokasi 1. Diasumsikan bahwa setiap individual

pada subpopulasi Suspectible, subpopulasi Exposed, subpopulasi Infected, dan subpopulasi

Petrus Fendiyanto/1213201002 6

Recovery melakukan perpindahan antar lokasi sehingga dapat ditunjukkan dalam bentuk

berikut:

1. Suspectible

∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡) 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦

Menunjukkan subpopulasi Suspectible yang bergerak dari posisi 𝑦 ∈ Ω2 menuju

posisi 𝑥 ∈ Ω1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi

2 menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi 𝑆1.

𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥Ω1

Menunjukkan subpopulasi Suspectible yang bergerak dari posisi 𝑥 ∈ Ω1 menuju

posisi 𝑦 ∈ Ω2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi

1 menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi 𝑆1.

2. Exposed

∫ 𝐸2(𝑦, 𝑡) 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦

Menunjukkan subpopulasi Exposed yang bergerak dari posisi 𝑦 ∈ Ω2 menuju posisi

𝑥 ∈ Ω1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 2

menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi 𝐸1.

𝐸1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥Ω1

Menunjukkan subpopulasi Exposed yang bergerak dari posisi 𝑥 ∈ Ω1 menuju posisi

𝑦 ∈ Ω2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 1

menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi 𝐸1.

3. Infected

∫ 𝐼2(𝑦, 𝑡) 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦

Menunjukkan subpopulasi Infected yang bergerak dari posisi 𝑦 ∈ Ω2 menuju posisi

𝑥 ∈ Ω1. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 2

menuju ke lokasi 1 sehingga menambah jumlah populasi 𝐼1.

𝐼1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥Ω1

Petrus Fendiyanto/1213201002 7

Menunjukkan subpopulasi Infected yang bergerak dari posisi 𝑥 ∈ Ω1 menuju posisi

𝑦 ∈ Ω2. Dalam hal ini, terjadi perpindahan individu yang bergerak dari lokasi 1

menuju ke lokasi 2 sehingga mengurangi jumlah populasi 𝐼1.

Dalam hal ini (Blyuss, 2005) menyatakan bahwa lokasi Ω1 dan Ω2 merupakan

domain yang terbatas pada [0,L], sehingga pergerakan subpopulasi baik bergerak pada

lokasi sendiri ataupun antar lokasi bergantung pada status subpopulasi tersebut.

Selanjutnya akan direduksi integral dari difusi global di atas, yaitu

∫ 𝑆2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝑆1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1> 0 (12)

∫ 𝐸2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐸1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 > 0

Ω1 (13)

∫ 𝐼2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐼1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1> 0 (14)

Untuk mereduksi difusi global dari persamaan (12), (13), dan (14), diasumsikan

bahwa perpindahan dari lokasi satu ke lokasi yang lain terjadi sedemikian sehingga

populasi pada suatu lokasi yang berpindah ke lokasi yang lain mempunyai proporsi yang

sama. Misalkan konstanta proporsi perpindahan individu dinyatakan sebagai 𝜇 baik pada

lokasi 1 maupun lokasi 2. Diasumsikan pula bahwa gejala infeksi dapat menghambat

mobilitas individu terinfeksi sebesar 0 ≤ 𝜎 ≤ 1. Sedangkan individu sehat (Recovery)

dan Ekspose dapat berpindah ke lokasi yang lain dengan tingkat mobilitas yang sama.

Misalkan, fungsi densitas kernel dinyatakan sebagai fungsi Laplace, yaitu

𝐾(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝛽∗𝑥 (15)

𝐾(𝑦, 𝑡) = 𝑒−𝛽∗𝑦 (16)

sehingga persamaan (13) dapat direduksi menjadi:

∫ 𝑆2 (𝑦, 𝑡)𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2𝑑𝑦 − 𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1= ∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡)𝑒

−𝛽∗𝑦𝑑𝑦 −Ω2

𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝑒−𝛽∗𝑥𝑑𝑥

Ω1

= −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝑦𝑆2(𝑦, 𝑡)) |0𝐿2 − ∫ 𝑒−𝛽

∗𝑦 𝜕𝑆2(𝑦,𝑡)

𝜕𝑡Ω2𝑑𝑦 +

1

𝛽∗ 𝑆1(𝑥, 𝑡)[𝑒

−𝛽∗𝑥]0

𝐿1

Petrus Fendiyanto/1213201002 8

= −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝑦𝑆2(𝑦, 𝑡)) |0𝐿2 − (𝑒−𝛽

∗𝑦𝑆2∗(𝑡) − ∫ 𝑆2

∗(𝑡)(−𝛽∗)Ω2

𝑒−𝛽∗𝑦𝑑𝑦) +

1

𝛽∗𝑆1(𝑥, 𝑡)(𝑒

−𝛽∗𝐿1 − 1)

= −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑒−𝛽∗(0)𝑆2(0, 𝑡)) − (𝑒

−𝛽∗𝑦𝑆2∗(𝑡) − 𝑒−𝛽

∗𝑦𝑆2∗(𝑡)) +

1

𝛽∗𝑆1(𝑥, 𝑡)(𝑒

−𝛽∗𝐿1 − 1)

= −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑒−𝛽∗(0)𝑆2(0, 𝑡)) +

1

𝛽∗𝑆1(𝑥, 𝑡)(𝑒

−𝛽∗𝐿1 − 1)

= −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆2(0, 𝑡) − 𝑒−𝛽∗𝐿1𝑆1(𝑥, 𝑡) + 𝑆1(𝑥, 𝑡))

= −1

𝛽∗ (𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑒−𝛽∗𝐿1𝑆1(𝑥, 𝑡) − 𝑆2(0, 𝑡) + 𝑆1(𝑥, 𝑡))

Dengan domain Ω = [0, 𝐿] dan 𝑥, 𝑦 ∈ Ω = [0, 𝐿], dimana 𝐿 = 𝐿1 = 𝐿2 maka

∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡)𝐾(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 = −1

𝛽∗Ω1Ω2(𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) −

𝑒−𝛽∗𝐿1𝑆1(𝑥, 𝑡) − 𝑆2(0, 𝑡) + 𝑆1(𝑥, 𝑡))

= −1

𝛽∗ (𝑒−𝛽

∗𝐿2(𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)) − 𝑆2(0, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡))

Agar −1

𝛽∗ (𝑒−𝛽

∗𝐿2(𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)) − 𝑆2(0, 𝑡) + 𝑆1(𝑥, 𝑡)) > 0, maka haruslah

𝑒−𝛽∗𝐿2(𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)) − 𝑆2(0, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡) < 0, sehingga diperoleh

𝑒−𝛽∗𝐿2(𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)) < 𝑆2(0, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡) < 0

𝑒−𝛽∗𝐿2 <

𝑆2(0, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)

𝑆2(𝐿2, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)

Misalkan 𝑆2(0,𝑡)−𝑆1(𝑥,𝑡)

𝑆2(𝐿2,𝑡)−𝑆1(𝑥,𝑡)= 𝑘, 𝑘 bilangan pecahan rasional maka 𝑒−𝛽

∗𝐿2 < 𝑘 yang berarti

bahwa fungsi densitas kernel sebagai fungsi bobot dari pergerakan antara lokasi yang dapat

dinyatakan dalam bentuk proporsi yang mempunyai nilai 0 < 𝐾(𝑦, 𝑡) < 1, ∀ 𝑦 ∈ Ω dan

∀ 𝑡 ∈ [0,∞). Sehingga diperoleh

Petrus Fendiyanto/1213201002 9

∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡)𝐾(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 = −1

𝛽∗Ω1Ω2(𝑒−𝛽

∗𝐿2𝑆2(𝐿2, 𝑡) −

𝑒−𝛽∗𝐿1𝑆1(𝑥, 𝑡) − 𝑆2(0, 𝑡) + 𝑆1(𝑥, 𝑡))

=1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿2(𝑆2(𝐿, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)) − 𝑘(𝑆2(𝐿, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡))

=1

𝛽∗((𝑒−𝛽

∗𝐿2 − 𝑘)(𝑆2(𝐿, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡))

Dimana −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿 − 𝑘) menyatakan konstanta proporsi perpindahan individu 𝑆2 dari

lokasi 2 menuju ke lokasi 1 dan perpindahan individu 𝑆1 dari lokasi 1 menuju 2. Oleh

karena telah diasumsikan bahwa konstanta proporsi perpindahan individu dinyatakan

sebagai 𝜇, baik pada lokasi 1 maupun lokasi 2,maka −1

𝛽∗(𝑒−𝛽

∗𝐿 − 𝑘) = 𝜇. Dengan

demikian

∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡)𝐾(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 = 1

𝛽∗((𝑒−𝛽

∗𝐿2 − 𝑘)(𝑆2(𝐿, 𝑡) −Ω1Ω2

𝑆1(𝑥, 𝑡))

= 𝜇 (𝑆2(𝐿, 𝑡) − 𝑆1(𝑥, 𝑡)

= 𝜇𝑆2(𝐿, 𝑡) − 𝜇𝑆1(𝑥, 𝑡) (17)

Oleh karena 𝑥, 𝑦 ∈ Ω = [0, 𝐿], maka persamaan (19) menjadi

∫ 𝑆2(𝑦, 𝑡)𝐾(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑆1(𝑥, 𝑡) ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 = Ω1Ω2

𝜇𝑆2(𝑦, 𝑡) − 𝜇𝑆1(𝑥, 𝑡) (18)

Untuk mereduksi persamaan (14), (15), dan (16) dapat dilakukan dengan cara yang sama.

Sehingga hasil reduksi persamaan (13), (14), (15), dan (16) adalah sebagai berikut:

∫ 𝑆2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝑆1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1= 𝜇𝑆2 − 𝜇𝑆1 (19)

∫ 𝐸2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐸1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝜇𝐸2 − 𝜇𝐸1Ω1

(20)

∫ 𝐼2 𝐾(𝑥 − 𝑦)Ω2 𝑑𝑦 − 𝐼1 ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥

Ω1= 𝜇𝜎𝐼2 − 𝜇𝜎𝐼1 (21)

Petrus Fendiyanto/1213201002 10

Untuk persamaan (21) pada populasi Individu Infected (𝐼1 dan 𝐼2) telah diasumsikan bahwa

gejala infeksi dapat menghambat mobilitas individu terinfeksi sebesar 0 ≤ 𝜎 ≤ 1.

Dengan demikian, selain dipengaruhi oleh konstanta proporsi 𝜇, perpindahan individu

Infected dari lokasi 1 menuju lokasi 2 atau sebaliknya juga dipengaruhi oleh 𝜎.

b. Menyajikan model subsistem lokasi 1 dalam bentuk persamaan yang direduksi

Dengan mensubstitusikan persamaan (19), (20), dan (21) ke dalam persamaan (1),

(2), (3), dan (4), maka model subsistem pada lokasi 1 menjadi

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑆 𝜕2𝑆1

𝜕𝑥2− 𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿𝑅1 + 𝜇𝑆2 − 𝜇𝑆1 (22)

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2+ 𝛽∗𝐸1𝐼1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇𝐸2 − 𝜇𝐸1 + 𝛼𝑅1 (23)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼1

𝜕𝑥2+ 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿𝐼1 + 𝜇𝜎𝐼2 − 𝜇𝜎𝐼1 (24)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑅 𝜕2𝑅1

𝜕𝑥2+ 𝛿𝐼1 − 𝑑𝐸1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 (25)

c. Mereduksi hasil langkah 2 dengan parameter yang sesuai

Dengan memperhatikan suku-suku yang terdapat pada persamaan (22), (23), (24),

dan (25) maka dapat ditafsirkan sebagai berikut:

i. Persamaan (22)

𝜕𝑆1𝜕𝑡= 𝐷1

𝑆𝜕2𝑆1𝜕𝑥2

− 𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿𝑅1 + 𝜇𝑆2 − 𝜇𝑆1

𝛽∗𝑆1𝐼1 mengartikan individu Suspectible dari populasi 𝑆1 melakukan kontak

dengan individu Infected dari populasi 𝐼1 dengan rate transmisi sebesar 𝛽∗.

Dengan demikian, individu Suspectible 𝑆1 dapat menjadi Exposed 𝐸1

(misalkan 𝑡 → 𝑡2), sehingga mengurangi jumlah populasi 𝑆1. Misalkan rate

Petrus Fendiyanto/1213201002 11

berkurangnya jumlah populasi 𝑆1 yang disebabkan oleh individu 𝑆1 menjadi

bagian 𝐸1 adalah 𝜆1, maka 𝛽∗𝑆1𝐼1 = 𝜆1𝑆1.

𝛿𝑅1 mengartikan individu Recovery (𝑅1) yang sembuh dari penyakit sehingga

menjadi sehat (Suspectible) dengan rate kesembuhan alami sebesar 𝛿. Dengan

demikian, individu 𝑅1 dapat menjadi bagian 𝑆1, sehingga menambah jumlah

populasi 𝑆1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝑆1 yang sebanding

dan disebabkan individu 𝑅1 menjadi bagian 𝑆1 adalah 𝜆2, maka 𝛿𝑅1 = 𝜆1𝑆1.

𝜇𝑆2 mengartikan pergerakan individu 𝑆2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju

ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar 𝜇. Maka individu 𝑆2 akan

menjadi bagian 𝑆1, sehingga menambah jumlah populasi 𝑆1. Misalkan rate

bertambahnya jumlah populasi 𝑆1 yang sebanding dan disebabkan individu 𝑆2

menjadi bagian 𝑆1 adalah 𝜆3, maka 𝜇𝑆2 = 𝜆3𝑆1.

Sehingga persamaan (22) dapat dinyatakan dalam bentuk

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑆 𝜕2𝑆1

𝜕𝑥2− 𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜆3𝑆1 − 𝜇𝑆1 (26)

ii. Persamaan (23)

𝜕𝐸1𝜕𝑡

= 𝐷1𝐸𝜕2𝐸1𝜕𝑥2

+ 𝛽∗𝐸1𝐼1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇𝐸2 − 𝜇𝐸1 + 𝛼𝑅1

𝛽∗𝑆1𝐼1 mengartikan individu Suspectible dari populasi 𝑆1 melakukan kontak

dengan individu Infected dari populasi 𝐼1 dengan rate transmisi sebesar 𝛽∗.

Misalkan, individu Suspectible 𝑆1 tidak langsung menjadi Infected 𝐼1 (misal

𝑡 → 𝑡2), melainkan masih dalam masa inkubasi, maka individu Suspectible

𝑆1 menjadi individu Exposed 𝐸1 sehingga menambah jumlah populasi 𝐸1.

Misalkan rate berkurangnya jumlah populasi 𝐸1 yang sebanding dan

Petrus Fendiyanto/1213201002 12

disebabkan oleh individu 𝑆1 menjadi bagian dari 𝐸1 adalah 𝜆4, maka 𝛽∗𝑆1𝐼1 =

𝜆4𝐸1.

𝜇𝐸2 mengartikan pergerakan individu 𝑆2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju

ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar 𝜇. Maka individu 𝐸2 akan

menjadi bagian 𝐸1, sehingga menambah jumlah populasi 𝐸1. Misalkan rate

bertambahnya jumlah populasi 𝐸1 yang sebanding dan disebabkan individu 𝐸2

menjadi bagian 𝐸1 adalah 𝜆5, maka 𝜇𝐸2 = 𝜆5𝐸1.

𝛼𝑅1 mengartikan individu Recovery 𝑅1 yang terjangkit penyakit kembali

tetapi belum menunjukkan gejala atau masih dalam masa inkubasi dengan

rate sebesar 𝛼. Dengan demikian menambah jumlah populasi 𝐸1. Misalkan

rate bertambahnya jumlah populasi 𝐸1 yang sebanding dan disebabkan

individu 𝑅1 menjadi bagian 𝐸1 adalah 𝜆6, maka 𝛼𝑅1 = 𝜆6𝐸1.

Sehingga persamaan (23) dapat dinyatakan dalam bentuk

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2+ 𝜆4𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜆5𝐸1 − 𝜇𝐸1 + 𝜆6𝐸1 (27)

iii. Persamaan (24)

𝜕𝐼1𝜕𝑡= 𝐷1

𝐼𝜕2𝐼1𝜕𝑥2

+ 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿𝐼1 + 𝜇𝜎𝐼2 − 𝜇𝜎𝐼1

𝛾𝐸1 mengartikan pergerakan individu Exposed 𝐸1 yang menjadi terinfeksi 𝐼1

dengan rate transmisi Exposed menjadi Infected sebesar 𝛾, sehingga

menambah jumlah populasi 𝐼1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi

𝐼1 yang disebabkan oleh transisi individu 𝐸1 menjadi 𝐼1 adalah 𝜆7, maka

𝛾𝐸1 = 𝜆7𝐼1.

Petrus Fendiyanto/1213201002 13

𝜇𝜎𝐼2 mengartikan pergerakan individu 𝐼2 yang berpindah dari lokasi 2 menuju

ke lokasi 1 dengan proporsi perpindahan sebesar 𝜇 dan mobilitas sebesar 𝜎.

Maka individu 𝐼2 akan menjadi bagian 𝐼1, sehingga menambah jumlah populasi

𝐼1. Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝐼1 yang disebabkan oleh

individu 𝐼2 menjadi bagian 𝐼1 adalah 𝜆8, maka 𝜇𝜎𝐼2 = 𝜆8𝜎𝐼1.

Sehingga persamaan (24) dapat dinyatakan dalam bentuk

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼1

𝜕𝑥2+ 𝜆7𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿𝐼1 + 𝜆8𝜎𝐼1 − 𝜇𝜎𝐼1 (28)

iv. Persamaan (25)

𝜕𝑅1𝜕𝑡

= 𝐷1𝑅𝜕2𝑅1𝜕𝑥2

+ 𝛿𝐼1 − 𝑑𝐸1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1

𝛿𝐼1 mengartikan individu Infected 𝐼1 yang sembuh menjadi Recovery dengan

rate kesembuhan alami sebesar 𝛿, sehingga menambah jumlah populasi 𝑅1.

Misalkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝑅1 yang disebabkan individu

Infected 𝐼1 yang sembuh menjadi Recovery adalah 𝜆9 maka 𝛿𝐼1 = 𝜆9𝑅1.

𝑑𝐸1 mengartikan individu Exposed 𝐸1 yang mati dengan rate kematian sebesar

𝑑, sehingga akan mengurangi jumlah populasi Recovery. Misalkan rate

berkurangnya jumlah populasi 𝑅1 yang sebanding dan disebabkan oleh

kematian individu 𝐸1 adalah 𝜆10, maka 𝑑𝐸1 = 𝜆10𝑅1.

Sehingga persamaan (25) dapat dinyatakan dalam bentuk

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑅 𝜕2𝑅1

𝜕𝑥2+ 𝜆9𝑅1 − 𝜆10𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 (29)

Dengan menulis kembali hasil reduksi dengan parameter yang sesuai pada persamaan (26),

(27), (28), dan (29) sehingga diperoleh

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑆 𝜕2𝑆1

𝜕𝑥2− 𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜆3𝑆1 − 𝜇𝑆1 (30)

Petrus Fendiyanto/1213201002 14

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2+ 𝜆4𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜆5𝐸1 − 𝜇𝐸1 + 𝜆6𝐸1 (31)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼1

𝜕𝑥2+ 𝜆7𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿𝐼1 + 𝜆8𝜎𝐼1 − 𝜇𝜎𝐼1 (32)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝐷1

𝑅 𝜕2𝑅1

𝜕𝑥2+ 𝜆9𝑅1 − 𝜆10𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 (33)

d. Menyubstitusikan persamaan hasil langkah 3 ke dalam persamaan laju

perubahan populasi total pada lokasi 1, yaitu 𝑵𝟏(𝒙𝟏, 𝒕) = 𝑺𝟏(𝒙𝟏, 𝒕) + 𝑬𝟏(𝒙𝟏, 𝒕) +

𝑰𝟏(𝒙𝟏, 𝒕) + 𝑹𝟏(𝒙𝟏, 𝒕)

Misalkan total populasi di lokasi 1 adalah 𝑁1(𝑥, 𝑡) dan total populasi di lokasi

2 adalah 𝑁2(𝑥, 𝑡) maka total populasi dalam sistem (lokasi 1 dan lokasi 2) adalah

𝑇𝑃(𝑡) = ∫ 𝑁1(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 +

Ω1

∫ 𝑁2(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥

Ω2

= 𝑁1∗(𝑡) + 𝑁2

∗(𝑡) (34)

Karena total subsistem dilokasi 1 saja sehingga 𝑁1∗(𝑡) = ∫ 𝑁1(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥Ω1

, dengan

𝑁1(𝑥, 𝑡) = 𝑆1(𝑥, 𝑡) + 𝐸1(𝑥, 𝑡) + 𝐼1(𝑥, 𝑡) + 𝑅1(𝑥, 𝑡), sehingga

𝑁1∗(𝑡) = ∫ 𝑁1(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥Ω1

𝑁1∗(𝑡) = ∫ (𝑆1(𝑥, 𝑡) + 𝐸1(𝑥, 𝑡) + 𝐼1(𝑥, 𝑡) + 𝑅1(𝑥, 𝑡)) 𝑑𝑥Ω1

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡=

𝜕

𝜕𝑡(∫ (𝑆1(𝑥, 𝑡) + 𝐸1(𝑥, 𝑡) + 𝐼1(𝑥, 𝑡) + 𝑅1(𝑥, 𝑡)) 𝑑𝑥Ω1

)

= ∫ (𝜕𝑆1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝐸1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝐼1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝑅1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡) 𝑑𝑥

Ω1

= ∫𝜕𝑆1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡 𝑑𝑥 + ∫

𝜕𝐸1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡 𝑑𝑥

Ω 1Ω1+ ∫

𝜕𝐼1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡 𝑑𝑥 + ∫

𝜕𝑅1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡 𝑑𝑥

Ω 1Ω 1

= ∫ (𝐷1𝑆 𝜕

2𝑆1

𝜕𝑥2− 𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜆3𝑆1 − 𝜇𝑆1)Ω1

dx

Petrus Fendiyanto/1213201002 15

+ ∫ (𝐷1𝐸 𝜕

2𝐸1

𝜕𝑥2+ 𝜆4𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜆5𝐸1 − 𝜇𝐸1 + 𝜆6𝐸1) 𝑑𝑥Ω1

+∫ (𝐷1𝐼 𝜕

2𝐼1

𝜕𝑥2+ 𝜆7𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿𝐼1 + 𝜆8𝐼1 − 𝜇𝜎𝐼1) 𝑑𝑥Ω1

+∫ (𝐷1𝑅 𝜕

2𝑅1

𝜕𝑥2+ 𝜆9𝑅1 − 𝜆10𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1) 𝑑𝑥Ω1

= 𝐷1𝑆 𝜕

2𝑆1

𝜕𝑥2+ 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2+ 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼1

𝜕𝑥2+ 𝐷1

𝑅 𝜕2𝑅1

𝜕𝑥2+ ∫ (−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 −Ω1

𝜇)𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜆5 − 𝜇 + 𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥Ω1 + ∫ (𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 +Ω1

𝜆8𝜎 − 𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥 + ∫ (𝜆9 − 𝜆10 − 𝛼 − 𝛿) 𝑅1𝑑𝑥Ω1 (35)

Dengan menggunakan kondisi batas pada persamaan (6) sehingga diperoleh:

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= ∫ (−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 − 𝜇)𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜆5 − 𝜇 +Ω1Ω1

𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜆8𝜎 − 𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥Ω1+ ∫ (𝜆9 − 𝜆10 − 𝛼 −Ω1

𝛿) 𝑅1𝑑𝑥 (36)

e. Menganalisa Parameter Yang Ada Dalam Persamaan

Suku-suku yang terdapat dalam persamaan (36) dianalisa dan menafsirkannya

sehingga diperoleh penyelesaian positif.

Suspectible

i. Parameter 𝜆1 menunjukkan rate berkurangnya populasi 𝑆1 menjadi bagian 𝐸1

dikarenakan 𝑆1 melakukan kontak dengan 𝐼1. Oleh karena −𝜆1𝑆1 menunjukkan

berkurangnya jumlah populasi 𝑆1, maka wajar jika keadaan akhir diinginkan

jumlah individu dalam populasi semuanya sehat (suspectible), yaitu pada 𝑡 =

[0,∞), sehingga di keadaan akhir diharapkan besarnya 𝜆1 akan semakin kecil

dan mendekati nol. Dengan demikian, diasumsikan lim𝑡 →∞

𝜆1(𝑡)𝑆1 ≈ 0.

Petrus Fendiyanto/1213201002 16

ii. Suku (−𝑑 + 𝑏)𝑆1 mempresentasikan jumlah populasi alami 𝑆1. Diasumsikan

rate kelahiran (𝑏) lebih besar dari pada rate kematian (𝑑) dan diinginkan

kelahiran meningkat dan kematian menurun mendekati nol. Dengan demikian,

dikeadaan akhir lim𝑡 →∞

(−𝑑(𝑡) + 𝑏(𝑡))𝑆1 = 𝑝1𝑆1 > 0.

iii. Parameter 𝜆2 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝑆1 yang

sebanding dan disebabkan oleh bertambahnya jumlah individu sembuh 𝑅1,

sehingga 𝑅1 menjadi bagian 𝑆1. Di keadaan akhir diharapkan semua individu

sakit menjadi sembuh semuanya sehingga menambah jumlah populasi 𝑆1.

Dengan demikian, lim𝑡 →∞

( 𝜆2(𝑡))𝑆1 = 𝑝2𝑆1 > 0.

iv. Parameter 𝜆3 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi 𝑆1 yang

sebanding dan disebabkan oleh berpindahnya individu 𝑆2 ke lokasi 1, sehingga

menjadi bagian 𝑆1. Karena diharapkan 𝑆1 semakin meningkat, dengan demikian

lim𝑡 →∞

( 𝜆3(𝑡))𝑆1 = 𝑝3𝑆1 > 0.

v. Parameter 𝜇 mengartikan rate perpindahan individu 𝑆1 ke lokasi 2 sehingga

menjadi bagian 𝑆2. Dengan demikian akan mengurangi jumlah populasi 𝑆1.

Diasumsikan bahwa dengan bertambahnya waktu, laju perpindahan individu 𝑆1

ke lokasi 2 semakin menurun mendekati nol sehingga lim𝑡 →∞

( 𝜇(𝑡))𝑆1 ≈ 0.

Exposed

i. Parameter 𝜆4 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝐸1 dikarenakan

𝑆1 melakukan kontak dengan 𝐼1 dan menjadi 𝐸1. Dengan demikian

lim𝑡 →∞

( 𝜆4(𝑡))𝐸1 = 𝑞1𝐸1 > 0.

Petrus Fendiyanto/1213201002 17

ii. Suku 𝛾𝐸1 mendefinisikan jumlah populasi individu 𝐸1 yang menjadi 𝐼1 dengan

𝛾 adalah rate transisi dari Exposed menjadi Infected, sehingga mengurangi

jumlah populasi 𝐸1 dan menambah jumlah populasi 𝐼1. Di keadaan akhir

tentunya diharapkan jumlah individu yang sakit (atau dari Exposed menjadi

Infected) semakin berkurang. Dengan demikian, diasumsikan lim𝑡 →∞

( 𝛾(𝑡))𝐸1 ≈

0 .

iii. Suku (−𝑑 − 𝑏)𝐸1 mempresentasikan berkurangnya jumlah populasi 𝐸1

dikarenakan oleh individu 𝐸1 yang mati dengan kelajuan 𝑑 dan berkurangnya

jumlah populasi 𝐸1 dikarenakan kelahiran dengan laju kelahiran 𝑏, di mana bayi

yang lahir diasumsikan sehat. Oleh karena diinginkan jumlah populasi Exposed

semakin menurunn maka diharapkan lim𝑡 →∞

(−𝑑(𝑡) − 𝑏(𝑡))𝐸1 ≈ 0.

iv. Parameter 𝜆5 menunjukkan rate bertambahnya jumlah populasi 𝐸1 dikarenakan

pergerkan individu 𝐸2 ke lokasi 1 sehingga menjadi bagian 𝐸1. Dengan

demikian, lim𝑡 →∞

( 𝜆5(𝑡))𝐸1 = 𝑞2𝐸1 > 0

v. Parameter 𝜇 mengartikan rate perpindahan individu 𝐸1 ke lokasi 2, sehingga

menjadi bagian 𝐸2. Dengan demikian akan mengurangi jumlah populasi 𝐸1.

Diasumsikan bahwa dengan bertambahnya waktu, laju perpindahan individu 𝐸1

ke lokasi 2 semakin menurun mendekati nol karena berkurangnya populasi 𝐸1,

sehingga lim𝑡 →∞

( 𝜇(𝑡))𝐸1 ≈ 0.

vi. Parameter 𝜆6 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi 𝐸1

dikarenakan oleh individu 𝑅1 yang terjangkit penyakit kembali tetapi belum

menunjukkan gejala, sehingga menjadi bagian 𝐸1. Diharapkan di keadaan akhir

Petrus Fendiyanto/1213201002 18

jumlah individu 𝑅1 semakin banyak dan tidak terjangkit penyakit kembali.

Dengan demikian, lim𝑡 →∞

( 𝜆6(𝑡))𝐸1 ≈ 0.

Infected

i. Parameter 𝜆7 mendefinisikan rate bertambahnya jumlah populasi 𝐼1 yang

disebabkan oleh transisi individu 𝐸1 menjadi 𝐼1. Oleh karena diinginkan

bahwa jumlah populasi 𝐼1 semakin menurun dengan berjalannya waktu 𝑡 =

[0,∞), dengan kata lain populasi sehat bertambah banyak, maka

lim𝑡 →∞

( 𝜆7(𝑡))𝐼1 ≈ 0.

ii. Suku (−𝑑 − 𝑏)𝐼1 mendeskripsikan jumlah populais 𝐼1 dikarenakan oleh

individu 𝐼1 yang mati dengan kelajuan 𝑑 dan berkurangnyan jumlah

populasi 𝐼1 dikarenakan kelahiran dengan laju kelahiran 𝑏, dimana bayi

yang lahir diasumsikan sehat. Oleh karena diinginkan jumlah populasi

Infected semakin menurun, maka asumsikan lim𝑡 →∞

(−𝑑(𝑡) − 𝑏(𝑡))𝐼1 ≈ 0.

iii. Suku 𝛿𝐼1 mengartikan jumlah populasi 𝐼1 yang sembuh secara alami dengan

kelajuan 𝛿 sehingga mengurangi jumlah populasi 𝐼1. Oleh karena

diinginkan jumlah populasi 𝐼1 semakin menurun dengan bertambahnya

waktu, maka diasumsikan lim𝑡 →∞

( 𝛿(𝑡))𝐼1 ≈ 0.

iv. Suku 𝜎𝜆8𝐼1 menyatakan bertambahnya jumlah populasi 𝐼1 yang sebanding

dengan perpindahan 𝐼1 ke lokasi 1. Oleh karena diinginkan jumlah populasi

𝐼1 semakin menurun dengan bertambahnya waktu maka

lim𝑡 →∞

( 𝜆8(𝑡)𝜎(𝑡))𝐼1 ≈ 0.

Petrus Fendiyanto/1213201002 19

v. Suku 𝜇𝜎𝐼1 menyatakan berkurangnya jumlah populasi 𝐼1 dikarenakan

pergerakan populasi 𝐼1 ke lokasi 2. Oleh karena diinginkan jumlah populasi

𝐼1 semakin menurun dengan bertambahnya waktu maka

lim𝑡 →∞

( 𝜎(𝑡) 𝜇(𝑡))𝐼1 ≈ 0

Recovery

i. Parameter 𝜆9 menyatakan rate bertambahnya jumlah populasi 𝑅1 yang

sebanding dengan jumlah individu Infected 𝐼1 yang sembuh menjadi

Recovery, sehingga menjadi 𝑅1. Di keadaan akhir diinginkan bahwa jumlah

populasi sakit yang sembuh semakin banyak. Dengan demikian

lim𝑡 →∞

( 𝜆9(𝑡))𝑅1 = 𝑟1𝑅1 > 0.

ii. Parameter 𝜆10 menyatakan rate berkurangnya jumlah populasi 𝑅1 yang

sebanding dan disebabkan oleh kematian individu 𝐸1. Dengan

mengasumsikan jumlah populasi Exposed 𝐸1 semakin menurun dengan

bertambahnya waktu, maka lim𝑡 →∞

( 𝜆10(𝑡))𝑅1 ≈ 0

iii. Suku 𝛼𝑅1 mengartikan individu Recovery 𝑅1 yang terjangkit penyakit

kemabali tetapi belum menunjukkan gejala atau masih dalam masa inkubasi

dengan rate sebesar 𝛼. Dengan demikian aka mengurangi jumlah populasi

𝑅1. Dengan mengasumsikan bahwa jumlah populasi sehat semakin

meningkat bersamaan dengan bertambahnya waktu, maka berakibat akan

menurunkan populasi Recovery 𝑅1 itu sendiri karena sembuh menjadi

bagian 𝑆1. Sehingga lim𝑡 →∞

(α(𝑡))𝑅1 ≈ 0.

Petrus Fendiyanto/1213201002 20

iv. Dengan mengasumsikan bahwa jumlah populasi sehat akan semakin

meningkat bersamaan dengan bertambahnya waktu, maka berakibat akan

menurunkan populasi Recovery 𝑅1 itu sendiri karena sembuh manjadi

bagian 𝑆1. Maka dengan bertambahnya waktu 𝛿𝑅1 akan menuju nol Karena

berkurangnya jumlah populasi 𝑅1 sehingga lim𝑡 →∞

(δ(𝑡))𝑅1 ≈ 0 .

Berdasarkan analisis yang telah dikemukakan di atas, maka dapat dibuat suatu teorema

sebagai berikut:

Teorema 1

Jika (𝑆1∗, 𝐸1

∗, 𝐼1∗, 𝑅1

∗ ) merupakan sub sistem dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) maka

terdapat parameter 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 > 0 yang berasosiasi dengan 𝑆1∗, parameter 𝑞1, 𝑞2 > 0 yang

berasosiasi dengan 𝐸1∗ dan parameter 𝑟1 > 0 yang berasosiasi dengan 𝑅1

∗ sedemikian

hingga subsistem persamaan (1), (2), (3), dan (4) mempunyai penyelesaian positif.

Bukti:

Dari persamaan yang telah direduksi pada jumlah populasi sub sistem di lokasi 1

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= ∫ (−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 − 𝜇)𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜆5 − 𝜇 +Ω1Ω1

𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜆8𝜎 − 𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥Ω1+ ∫ (𝜆9 − 𝜆10 − 𝛼 − 𝛿) 𝑅1𝑑𝑥Ω1

Dengan mengambil nilai limit 𝑡 → ∞ sehingga diperoleh

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= lim𝑡→∞

(∫ (−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 − 𝜇)𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜆5 −Ω1Ω1

𝜇 + 𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥 + ∫ (𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜆8𝜎 − 𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥Ω1+ ∫ (𝜆9 − 𝜆10 −Ω1

𝛼 − 𝛿) 𝑅1𝑑𝑥)

Petrus Fendiyanto/1213201002 21

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= lim𝑡→∞

(∫ (−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 − 𝜇)𝑆1 𝑑𝑥Ω1) + lim

𝑡 →∞( ∫ (𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 −Ω1

𝑏 + 𝜆5 − 𝜇 + 𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥) + lim𝑡 →∞

(∫ (𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜆8𝜎 −Ω1

𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥 ) + lim𝑡 →∞

(∫ (𝜆9 − 𝜆10 − 𝛼 − 𝛿) 𝑅1𝑑𝑥Ω1)

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= ∫ lim

𝑡 →∞(−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜆3 − 𝜇) 𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ lim

𝑡 →∞(𝜆4 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 +Ω1Ω1

𝜆5 − 𝜇 + 𝜆6) 𝐸1 𝑑𝑥 + ∫ lim𝑡 →∞

(𝜆7 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜆8𝜎 − 𝜇𝜎) 𝐼1𝑑𝑥 +Ω1

∫ lim𝑡 →∞

(𝜆9 − 𝜆10 − 𝛼 − 𝛿) 𝑅1𝑑𝑥 Ω1

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= ∫ (0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + 0)𝑆1 𝑑𝑥 + ∫ (𝑞1 + 0 + 0 + 𝑞2 + 0 + 0) 𝐸1 𝑑𝑥 Ω1Ω1

+

∫ (0 − 0 − 0 − 0 + 0 − 0)𝐼1𝑑𝑥 + ∫ (𝑟1 − 0 − 0 − 0) 𝑅1𝑑𝑥 Ω1Ω1

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= ∫ (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3)𝑆1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + ∫ (𝑞1 + 𝑞2) 𝐸1(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 Ω1Ω1

+ ∫ (0)𝐼1𝑑𝑥 +Ω1

∫ (𝑟1) 𝑅1(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 Ω1

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3) ∫ 𝑆1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + (𝑞1 + 𝑞2) ∫ 𝐸1(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 Ω1Ω1

+

𝑟1 ∫ 𝑅1(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥Ω1

Misalkan :

𝑆1∗(𝑡) = ∫ 𝑆1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥Ω1

𝐼1∗(𝑡) = ∫ 𝐼1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥Ω1

𝐸1∗(𝑡) = ∫ 𝐸1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥Ω1

𝑅1∗(𝑡) = ∫ 𝑅1 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥Ω1

Sehingga diperoleh

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3)𝑆1

∗(𝑡) + (𝑞1 + 𝑞2)𝐸1∗(𝑡) + 𝑟1𝑅1

∗(𝑡)

Oleh karena (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3)𝑆1∗(𝑡) > 0 , (𝑞1 + 𝑞2)𝐸1

∗(𝑡) > 0, dan 𝑟1𝑅1∗(𝑡) > 0

Petrus Fendiyanto/1213201002 22

Maka

lim𝑡→∞

𝑑𝑁1∗(𝑡)

𝑑𝑡= (𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3)𝑆1

∗(𝑡) + (𝑞1 + 𝑞2)𝐸1∗(𝑡) + 𝑟1𝑅1

∗(𝑡) > 0

Dengan demikian terbukti bahwa persamaan (1), (2), (3), dan (4) yang merupakan model

sub sistem di lokasi 1 mempunyai penyelesaian positif.

2). Model Mempunyai Penyelesaian Dan Bersifat Tunggal

Misalkan sistem dinamik tak linear berbentuk 𝑑𝑋

𝑑𝑡= 𝑓(𝑋(𝑡), 𝑡), 𝑋(0) = 𝑋0, dengan

𝑋 ∈ ℝ𝑛 dan 𝑡 ∈ ℝ+, untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian global

dari model digunakan Asumsi Desoure, yaitu:

a. 𝑇 ⊂ ℝ+ memuat titik berhingga tiap satuan interval.

b. Untuk setiap 𝑋 ∈ ℝ𝑛, 𝑓(𝑋, 𝑡) kontinu pada 𝑡 ∉ 𝑇

c. Untuk setiap 𝑡𝑖 ∈ 𝑇, 𝑓(𝑋, 𝑡) mempunyai limit kiri dan kanan pada 𝑡 = 𝑡𝑖.

d. 𝑓: ℝ𝑛 × ℝ → ℝ𝑛 memenuhi global Lipshitz, yaitu terdapat fungsi kontinu

sebagian demi sebagian 𝑘: ℝ+ → ℝ+ sehingga ‖𝑓(𝑋1(𝑡), 𝑡) − 𝑓(𝑋2(𝑡), 𝑡)‖ ≤

𝑘(𝑡)‖𝑋1 − 𝑋2‖ untuk semua 𝑡 ∈ ℝ+dan semua titik 𝑋1, 𝑋2 ∈ ℝ𝑛

Dengan menggunakan asusmsi di atas, akan ditunjukkan bahwa model sub sistem di lokasi

1 memenuhi Asumsi Desoure:

a. 𝑻 ⊂ ℝ+ memuat titik berhingga tiap satuan interval.

Misalkan untuk semua 𝑡 ∈ ℝ+ dan semua titik-titik 𝑋1 = {𝑆11, 𝐸1

1, 𝐼11, 𝑅1

1 } ∈ 𝑅𝑛

dan 𝑋2 = {𝑆12, 𝐸1

2, 𝐼12, 𝑅1

2 } ∈ 𝑅𝑛 terdapat 𝑻 ⊂ ℝ+ memuat titik-titik berhingga tiap satuan

Petrus Fendiyanto/1213201002 23

interval yaitu 𝑇 = {0 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑙1, 0 ≤ 𝑡2 ≤ 𝑙2, 0 ≤ 𝑡3 ≤ 𝑙3, 0 ≤ 𝑡4 ≤ 𝑙4 } dan 0 ≤ 𝑋1 ≤

𝑚1, 0 ≤ 𝑋2 ≤ 𝑚2.

b. Untuk setiap 𝑿 ∈ ℝ𝒏, 𝒇(𝑿, 𝒕) kontinu pada 𝒕 ∉ 𝑻

Misalkan 𝑋 = {𝑆1, 𝐸1, 𝐼1, 𝑅1} ∈ 𝑅𝑛, maka

𝑆1(𝑡) dengan 𝑡1 = [0, 𝑙1] sedemikian sehingga 𝜕𝑆1(𝑥,𝑡1)

𝜕𝑡= 𝑓(𝑆1, 𝑡1) kontinu pada

𝑡1 = [0, 𝑙1].

𝐸1(𝑡) dengan 𝑡2 = [0, 𝑙2] sedemikian sehingga 𝜕𝐸1(𝑥,𝑡2)

𝜕𝑡= 𝑓(𝐸1, 𝑡2) kontinu pada

𝑡2 = [0, 𝑙2].

𝐼1(𝑡) dengan 𝑡3 = [0, 𝑙3] sedemikian sehingga 𝜕𝐼1(𝑥,𝑡3)

𝜕𝑡= 𝑓(𝑆1, 𝑡3) kontinu pada

𝑡3 = [0, 𝑙3].

𝑆1(𝑡) dengan 𝑡1 = [0, 𝑙1] sedemikian sehingga 𝜕𝑅1(𝑥,𝑡4)

𝜕𝑡= 𝑓(𝑆1, 𝑡4) kontinu pada

𝑡4 = [0, 𝑙4].

Dengan demikian 𝑓(𝑋, 𝑡) kontinu pada 𝑇 sehingga 𝑓(𝑋, 𝑡) kontinu pada 𝑡 ∉ 𝑇.

c. Untuk setiap 𝒕𝒊 ∈ 𝑻, 𝒇(𝑿, 𝒕) mempunyai limit kiri dan kanan pada 𝒕 = 𝒕𝒊.

lim𝑡→ 𝑡1

+

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= ada lim

𝑡→ 𝑡1−

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= ada

lim𝑡→ 𝑡2

+

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= ada lim

𝑡→ 𝑡2−

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= ada

lim𝑡→ 𝑡3

+

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= ada lim

𝑡→ 𝑡3−

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= ada

lim𝑡→ 𝑡4

+

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= ada lim

𝑡→ 𝑡4−

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= ada

Petrus Fendiyanto/1213201002 24

d. 𝒇: ℝ𝒏 × ℝ → ℝ𝒏 memenuhi global Lipshitz, yaitu terdapat fungsi kontinu

sebagian demi sebagian 𝒌: ℝ+ → ℝ+ sehingga ‖𝒇(𝑿𝟏(𝒕), 𝒕) − 𝒇(𝑿𝟐(𝒕), 𝒕)‖ ≤

𝒌(𝒕)‖𝑿𝟏 − 𝑿𝟐‖ untuk semua 𝒕 ∈ ℝ+dan semua titik 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 ∈ ℝ𝒏

Model matematika berikut merupakan model sistem yang merupakan pengembangan

dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).

2 1

1211112

1

2

11 )()(

1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS

x

SSDt

S

2 1

112111112

1

2

1

1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx

EEDt

E

12

1211112

1

2

11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE

x

ID

t

I I

11112

1

2

1

1 RRdEIx

RRDt

R

Mereduksi bentuk integral dengan 𝐷1𝑆 𝜕

2𝑆1

𝜕𝑥2 = 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2 = 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼

𝜕𝑥2= 0 sehingga

persamaan di atas menjadi:

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 + 𝜇 𝑆1 − 𝜇𝑆2 (37)

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇 𝐸1 − 𝜇𝐸2 + 𝛼𝑅1 (38)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 + 𝜇 𝐼1 − 𝜇𝐼2 (39)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝛿𝐼1 + 𝑑𝐸1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 (40)

Dengan menggunakan asumsi yang ada, maka diperoleh

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜇 𝑆1 − 𝜇𝑆2 (41)

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝜆3𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇 𝐸1 − 𝜇𝐸2 + 𝜆4𝐸1 (42)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝜆5𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 + 𝜇 𝐼1 − 𝜇𝐼2 (43)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝜆6𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 (44)

Sehingga dapat dibentuk menjadi

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜇 𝑆1 − 𝜇𝑆2 = 𝑓(𝑆1, 𝑡) (45)

Petrus Fendiyanto/1213201002 25

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝜆3𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇 𝐸1 − 𝜇𝐸2 + 𝜆4𝐸1 = 𝑓(𝐸1, 𝑡) (46)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝜆5𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 + 𝜇 𝐼1 − 𝜇𝐼2 = 𝑓(𝐼1, 𝑡) (47)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝜆6𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 = 𝑓(𝑅1, 𝑡) (48)

Dapat ditulis menjadi

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= 𝑓(𝑆1(𝑡), 𝑡) (49)

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝑓(𝐸1(𝑡), 𝑡) (50)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝑓(𝐼1(𝑡), 𝑡) (51)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝑓(𝑅1(𝑡), 𝑡) (52)

Dengan bentuk 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 yang kontinu di 𝑡 ∉ 𝑇. Dimana 𝑓: 𝑅𝑛 × 𝑅+ ⟶ 𝑅+ dengan

𝑛 = 4 yang memenuhi bentuk berikut:

‖𝑓(𝑥1, 𝑡) − 𝑓(𝑥2, 𝑡)‖ ≤ 𝑘(𝑡)‖𝑥1 − 𝑥2‖ (53)

Dalam hal ini 𝑘(𝑡) menunjukkan kontinu sebagian demi sebagian.

Misalkan terdapat vektor 𝑆1 = [𝑆11, 𝑆1

2], 𝐸1 = [𝐸11, 𝐸1

2], 𝐼1 = [𝐼11, 𝐼1

2], dan 𝑅1 = [𝑅11, 𝑅1

2]

sedemikian sehingga memenuhi:

i. Suspectible

𝑓(𝑆11, 𝑡) = −𝜆1𝑆1

1 − 𝑑𝑆11 + 𝑏𝑆1

1 + 𝜆2𝑆11 + 𝜇 𝑆1

1 − 𝜇𝑆21 (54)

𝑓(𝑆12, 𝑡) = −𝜆1𝑆1

2 − 𝑑𝑆12 + 𝑏𝑆1

2 + 𝜆2𝑆12 + 𝜇𝑆1

2 − 𝜇𝑆22 (55)

Dari persamaan (34) dan (35) diperoleh:

𝑓(𝑆11, 𝑡) − 𝑓(𝑆1

2, 𝑡) = (−𝜆1𝑆11 − 𝑑𝑆1

1 + 𝑏𝑆11 + 𝜆2𝑆1

1 + 𝜇𝑆11 − 𝜇𝑆2

1) −

(−𝜆1𝑆12 − 𝑑𝑆1

2 + 𝑏𝑆12 + 𝜆2𝑆1

2 + 𝜇𝑆12 − 𝜇𝑆2

2)

= −𝜆1𝑆11 − 𝑑𝑆1

1 + 𝑏𝑆11 + 𝜆2𝑆1

1 + 𝜇𝑆11 − 𝜇𝑆2

1 +

𝜆1𝑆12 + 𝑑𝑆1

2 − 𝑏𝑆12 − 𝜆2𝑆1

2 − 𝜇𝑆12 + 𝜇𝑆2

2

= −𝜆1𝑆11 + 𝜆1𝑆1

2 − 𝑑𝑆11 + 𝑑𝑆1

2 + 𝑏𝑆11 − 𝑏𝑆1

2 +

Petrus Fendiyanto/1213201002 26

𝜆2𝑆11 − 𝜆2𝑆1

2 + 𝜇𝑆11 − 𝜇𝑆1

2 − 𝜇𝑆21 + 𝜇𝑆2

2

= −𝜆1(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝑑(𝑆11 − 𝑆1

2) + 𝑏(𝑆11 − 𝑆1

2) +

𝜆2(𝑆11 − 𝑆1

2) + 𝜇(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2) (56)

ii. Exposed

𝑓(𝐸11, 𝑡) = 𝜆3𝐸1

1 − 𝛾𝐸11 − 𝑑𝐸1

1 − 𝑏𝐸11 + 𝜇𝐸1

1 − 𝜇𝐸21 − 𝜆4𝐸1

1 (57)

𝑓(𝐸12, 𝑡) = 𝜆3𝐸1

2 − 𝛾𝐸12 − 𝑑𝐸1

2 − 𝑏𝐸12 + 𝜇𝐸1

2 − 𝜇𝐸22 − 𝜆4𝐸1

2 (58)

Dari persamaan (37) dan (38) diperoleh:

𝑓(𝑆11, 𝑡) − 𝑓(𝑆1

2, 𝑡) = (𝜆3𝐸11 − 𝛾𝐸1

1 − 𝑑𝐸11 − 𝑏𝐸1

1 + 𝜇𝐸11 − 𝜇𝐸2

1 − 𝜆4𝐸11) −

−(𝜆3𝐸12 − 𝛾𝐸1

2 − 𝑑𝐸12 − 𝑏𝐸1

2 + 𝜇𝐸12 − 𝜇𝐸2

2 − 𝜆4𝐸12)

= 𝜆3𝐸11 − 𝛾𝐸1

1 − 𝑑𝐸11 − 𝑏𝐸1

1 + 𝜇𝐸11 − 𝜇𝐸2

1 − 𝜆4𝐸11 +

−𝜆3𝐸12 + 𝛾𝐸1

2 + 𝑑𝐸12 + 𝑏𝐸1

2 − 𝜇𝐸12 + 𝜇𝐸2

2 + 𝜆4𝐸12

= 𝜆3𝐸11 − 𝜆3𝐸1

2 − 𝛾𝐸11 + 𝛾𝐸1

2 − 𝑑𝐸11 + 𝑑𝐸1

2 − 𝑏𝐸11 +

𝑏𝐸12 + 𝜇𝐸1

1 − 𝜇𝐸12 − 𝜇𝐸2

1 + 𝜇𝐸22 − 𝜆4𝐸1

1 + 𝜆4𝐸12

= 𝜆3(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝛾(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝑑(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝑏(𝐸11 − 𝐸1

2)

+𝜇(𝐸11 − 𝜇𝐸1

2) − 𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2) − 𝜆4(𝐸11 + 𝐸1

2) (59)

iii. Infected

𝑓(𝐼11, 𝑡) = 𝜆5𝐼1

1 − 𝑑𝐼11 − 𝑏𝐼1

1 − 𝛿𝐼11 + 𝜇𝐼1

1 − 𝜇𝐼21 (60)

𝑓(𝐼12, 𝑡) = 𝜆5𝐼1

2 − 𝑑𝐼12 − 𝑏𝐼1

2 − 𝛿𝐼12 + 𝜇𝐼1

2 − 𝜇𝐼22 (61)

Dari persamaan (40) dan (41) diperoleh:

𝑓(𝐼11, 𝑡) − 𝑓(𝐼1

2, 𝑡) = (𝜆5𝐼11 − 𝑑𝐼1

1 − 𝑏𝐼11 − 𝛿𝐼1

1 + 𝜇𝐼11 − 𝜇𝐼2

1) −

(𝜆5𝐼12 − 𝑑𝐼1

2 − 𝑏𝐼12 − 𝛿𝐼1

2 + 𝜇𝐼12 − 𝜇𝐼2

2)

= 𝜆5𝐼11 − 𝑑𝐼1

1 − 𝑏𝐼11 − 𝛿𝐼1

1 + 𝜇𝐼11 − 𝜇𝐼2

1 −

𝜆5𝐼12 + 𝑑𝐼1

2 + 𝑏𝐼12 + 𝛿𝐼1

2 − 𝜇𝐼12 + 𝜇𝐼2

2

Petrus Fendiyanto/1213201002 27

= 𝜆5𝐼11 − 𝜆5𝐼1

2 − 𝑑𝐼11 + 𝑑𝐼1

2 − 𝑏𝐼11 + 𝑏𝐼1

2 −

𝛿𝐼11 + 𝛿𝐼1

2 + 𝜇𝐼11 − 𝜇𝐼1

2 − 𝜇𝐼21 + 𝜇𝐼2

2

= 𝜆5(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝑑(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝑏(𝐼11 − 𝐼1

2) −

𝛿(𝐼11 − 𝐼1

2) + 𝜇(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2) (62)

iv. Recovery

𝑓(𝑅11, 𝑡) = 𝜆6𝑅1

1 − 𝛼𝑅11 − 𝛿𝑅1

1 (63)

𝑓(𝑅12, 𝑡) = 𝜆6𝑅1

2 − 𝛼𝑅12 − 𝛿𝑅1

2 (64)

Dari persamaan (43) dan (44) diperoleh:

𝑓(𝑅11, 𝑡) − 𝑓(𝑅1

2, 𝑡) = (𝜆6𝑅11 − 𝛼𝑅1

1 − 𝛿𝑅11) −(𝜆6𝑅1

2 − 𝛼𝑅12 − 𝛿𝑅1

2)

= 𝜆6𝑅11 − 𝛼𝑅1

1 − 𝛿𝑅11 − 𝜆6𝑅1

2 + 𝛼𝑅12 + 𝛿𝑅1

2

= 𝜆6𝑅11 − 𝜆6𝑅1

2 − 𝛼𝑅11 + 𝛼𝑅1

2 − 𝛿𝑅11 + 𝛿𝑅1

2

= 𝜆6(𝑅11 − 𝑅1

2) − 𝛼(𝑅11 − 𝑅1

2) − 𝛿(𝑅11 − 𝑅1

2) (65)

Matriks Norm

‖𝑓(𝑥1, 𝑡) − (𝑥2, 𝑡)‖ = ‖‖

𝑓(𝑆11, 𝑡) − 𝑓(𝑆1

2, 𝑡)

𝑓(𝐸11, 𝑡) − 𝑓(𝐸1

2, 𝑡)

𝑓(𝐼11, 𝑡) − 𝑓(𝐼1

2, 𝑡)

𝑓(𝑅11, 𝑡) − 𝑓(𝑅1

2, 𝑡)

‖‖ = ‖

𝑎11𝑎21𝑎31𝑎41

‖ (66)

Karena dalam tugas ini yang menjadi bahan pengamatan hanya satu lokasi saja

yaitu subpopulasi pada lokasi 1, maka 𝑎11 = 𝑏11. Dengan:

‖𝑎11‖ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 ‖∑|𝑎𝑖𝑗|

3

𝑖=1

‖ (67)

Dengan ketentuan 𝑎11 = 𝑏11 + 𝑐11 → ‖𝑎11‖ ≤ ‖𝑏11‖ + ‖𝑐11‖ (68)

Sehingga dipeoleh:

1. Suspectible

𝑎11 = −𝜆1(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝑑(𝑆11 − 𝑆1

2) + 𝑏(𝑆11 − 𝑆1

2) + 𝜆2(𝑆11 − 𝑆1

2) + 𝜇(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2)

𝑎11 = (−𝜆1 − 𝑑 − +𝑏 − +𝜆2 + 𝜇)(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2)

Petrus Fendiyanto/1213201002 28

‖𝑎11‖ = ‖(−𝜆1 − 𝑑 − +𝑏 − +𝜆2 + 𝜇)(𝑆11 − 𝑆1

2) − 𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2)‖

Dengan menggunakan aturan (48), maka diperoleh:

‖𝑎11‖ ≤ ‖(−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜇)(𝑆11 − 𝑆1

2)‖ − ‖𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2)‖ (69)

2. Exposed

𝑏11 = 𝜆3(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝛾(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝑑(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝑏(𝐸11 − 𝐸1

2) + 𝜇(𝐸11 − 𝜇𝐸1

2)

−𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2) − 𝜆4(𝐸11 + 𝐸1

2)

𝑏11 = (𝜆3 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜇 − 𝜆4)(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2)

‖𝑏11‖ = ‖(𝜆3 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜇 − 𝜆4)(𝐸11 − 𝐸1

2) − 𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2)‖

Dengan menggunakan aturan (39), maka diperoleh sebagai berikut:

‖𝑏11‖ ≤ ‖𝜆3 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜇 − 𝜆4)(𝐸11 − 𝐸1

2)‖ − ‖𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2‖ (70)

3. Infected

𝑐11 = 𝜆5(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝑑(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝑏(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝛿(𝐼11 − 𝐼1

2) + 𝜇(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2)

𝑐11 = (𝜆5 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜇)(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2)

‖𝑐11‖ = ‖(𝜆5 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜇)(𝐼11 − 𝐼1

2) − 𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2)‖

Dengan menggunakan aturan (39), maka diperoleh sebagai berikut:

‖𝑐11‖ ≤ ‖(𝜆5 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜇)(𝐼11 − 𝐼1

2)‖ − ‖𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2)‖ (71)

4. Recovery

𝑑11 = 𝜆6(𝑅11 − 𝑅1

2) − 𝛼(𝑅11 − 𝑅1

2) − 𝛿(𝑅11 − 𝑅1

2)

𝑑11 = (𝜆6 − 𝛼 − 𝛿)(𝑅11 − 𝑅1

2)

‖𝑐11‖ = ‖(𝜆6 − 𝛼 − 𝛿)(𝑅11 − 𝑅1

2)‖ (72)

Selanjutnya persamaan (49), (50), (51) dan (52) akan dibuat kedalam bentuk matrik

norm seperti pada persamaan (47), sehingga persamaan tersebut menjadi:

‖𝑓(𝑥1, 𝑡) − (𝑥2, 𝑡)‖ = ‖‖

(−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜇)(𝑆11 − 𝑆1

2)

(𝜆3 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜇 − 𝜆4)(𝐸11 − 𝐸1

2)

(𝜆5 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜇)(𝐼11 − 𝐼1

2)

(𝜆6 − 𝛼 − 𝛿)(𝑅11 − 𝑅1

2)

‖‖ = ‖‖

𝜇(𝑆21 − 𝑆2

2)

𝜇(𝐸21 − 𝐸2

2

𝜇(𝐼21 − 𝐼2

2)0

‖‖ (73)

Petrus Fendiyanto/1213201002 29

Dari semua uraian di atas, maka dapat dibentuk suatu teorema sebagai berikut:

Teorema 2

Jika parameter-parameter laju transmisi, laju perubahan, dan laju penyembuhan antara

subpopulasi maupun antara lokasi pada model (1), (2), (3), dan (4) merupakan fungsi

kuadrat, dan S1(t), E1(t), E1(t), R1(t) masing-masing adalah fungsi kontinu pada ℛ+,

serta diasumsikan proporsi perpindahan populasi antara lokasi dan gejala infeksi bernilai

konstan, maka model (1), (2), (3), dan (4) mempunyai penyelesaian tunggal.

Bukti:

Model sistem persamaan setelah direduksi

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝜆1𝑆1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝜆2𝑆1 + 𝜇 𝑆1 − 𝜇𝑆2 = 𝑓𝑆1(𝑆1, 𝑡)

𝜕𝐸1

𝜕𝑡= 𝜆3𝐸1 − 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐸1 − 𝑏𝐸1 + 𝜇 𝐸1 − 𝜇𝐸2 + 𝜆4𝐸1 = 𝑓𝐸1(𝐸1, 𝑡)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝜆5𝐼1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 + 𝜇 𝐼1 − 𝜇𝐼2 = 𝑓𝐼1(𝑆𝐼1, 𝑡)

𝜕𝑅1

𝜕𝑡= 𝜆6𝑅1 − 𝛼𝑅1 − 𝛿𝑅1 = 𝑓𝑅1(𝑅1, 𝑡)

Persamaan di atas dapat ditulis menjadi

𝑓(𝑋1, 𝑡) =𝑑𝑋1(𝑡)

𝑑𝑡 (74)

dimana

𝑋1 = (

𝑆1𝐸1𝐼1𝑅1

)

Pada kasus ini parameter-parameter laju transmisi, laju perpindahan, dan laju

penyembuhan antar subpopulasi maupun antar lokasi yaitu 𝜆1, 𝑑, 𝑏, 𝜆2, 𝜇, 𝜆3, 𝛾, 𝜆4, 𝛿, 𝜆6,

dan 𝛼 diasumsikan sebagai fungsi kuadrat dengan variabel waktu 𝑡.

Misalkan :

(−𝜆1 − 𝑑 + 𝑏 + 𝜆2 + 𝜇) = 𝑄𝑠(𝑡) (75)

(𝜆3 − 𝛾 − 𝑑 − 𝑏 + 𝜇 + 𝜆4) = 𝑄𝐸(𝑡) (76)

(𝜆5 − 𝑑 − 𝑏 − 𝛿 + 𝜇) = 𝑄𝐼(𝑡) (77)

(𝜆6 − 𝛼 − 𝛿) = 𝑄𝑅(𝑡) (78)

Petrus Fendiyanto/1213201002 30

Maka masing-masing persamaan di atas adalah fungsi kuadrat. Di samping itu, berdasarkan

(75), (76), (77), dan (78) maka persamaan (74) menjadi

𝑓(𝑋1, 𝑡) =

(

𝑄𝑆(𝑡)𝑆1(𝑡)

𝑄𝐸(𝑡)𝐸1(𝑡)

𝑄𝐼(𝑡)𝐼1(𝑡)

𝑄𝑅(𝑡)𝑅1(𝑡))

=

(

𝑓𝑆1(𝑆1, 𝑡)

𝑓𝐸1(𝐸1, 𝑡)

𝑓𝐼1(𝐼1, 𝑡)

𝑓𝑆1(𝑅1, 𝑡))

(79)

Sebelum ditunjukkan bahwa persamaan (59) mempunyai penyelesaian tunggal, maka

terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa 𝑄𝑆(𝑡), 𝑄𝐸(𝑡), 𝑄𝐼(𝑡), dan 𝑄𝑅(𝑡), dimana telah

diketahui bahwa 𝑄𝑆(𝑡), 𝑄𝐸(𝑡), 𝑄𝐼(𝑡), dan 𝑄𝑅(𝑡) masing-masing adalah jenis fungsi

kuadrat. Dengan konsep pada Analisis Real, akan dibuktikan bahwa sebarang fungsi

kuadrat 𝑄(𝑡) = 𝑝𝑡2 + 𝑞𝑡 + 𝑟, dengan 𝑝, 𝑞, 𝑟 adalah suatu konstanta, adalah fungsi kontinu

pada ℛ.

Ambil sebarang 휀 > 0, lalu untuk setiap 𝑢 ∈ ℛ ambil suatu 𝜎′ > 0 sedemikian

hingga |𝑡 − 𝑢| < 𝜎′, maka jika diberikan 𝜎 > 0 dimana 𝜎 = inf {𝜎′,|𝑝(𝑡+𝑢) +𝑞|

}, maka

untuk setiap 𝑢 yang memenuhi |𝑡 − 𝑢| < 𝜎 diperoleh

|𝑡 + 𝑢| < inf {𝜎′,휀

|𝑝(𝑡 + 𝑢) + 𝑞|}

Maka

|𝑡 + 𝑢| <휀

|𝑝(𝑡 + 𝑢) + 𝑞|

Sehingga |𝑡 − 𝑢||𝑝(𝑡 + 𝑢) + 𝑞| < 휀 dengan demikian didapat |𝑝(𝑡 − 𝑢)(𝑡 + 𝑢) + 𝑞(𝑡 −

𝑢)| < 휀 maka didapat |𝑝(𝑡2 − 𝑢2) + 𝑞(𝑡 − 𝑢) − 𝑟 + 𝑟| < 휀,ini berarti (𝑝𝑡2 + 𝑞𝑡 + 𝑟) −

(𝑝𝑢2 + 𝑞𝑢 + 𝑟) < 휀.

Jadi |𝑄(𝑡) − 𝑄(𝑢)| < 휀 untuk |𝑡 − 𝑢| < 𝛼, ini artinya sebarang fungsi kuadrat 𝑄(𝑡)

kontinu pada ℛ.

Selanjutnya akan dicari eksistensi ketunggalan penyelesaian dari persamaan (59) dengan

Asumsi Desoure.

i. Ambil 𝑇 ⊆ ℛ+ yang memuat titik-titik berhingga persatuan interval sedemikian

sehingga:

𝑇 = [0, 𝑙1] ∪ [0, 𝑙2] ∪ [0, 𝑙3] ∪ [0, 𝑙4], dengan 𝑙1, 𝑙2, 𝑙3, 𝑙4 ∈ ℛ+ memenuhi

𝑆1(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑙1

𝐸1(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑙2

Petrus Fendiyanto/1213201002 31

𝐼1(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑙3

𝑅1(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑙4

ii. Akan ditunjukkan 𝑓𝑠1 , 𝑓𝐸1 , 𝑓𝐼1 dan , 𝑓𝑅1 adalah fungsi kontinu pada 𝑡 ∉ 𝑇. Dalam hal

ini dianggap 𝑆1(𝑡), 𝐸1(𝑡), 𝐸1(𝑡), dan 𝑅1(𝑡) adalah fungsi kontinu pada ℛ+, maka

𝑓𝑆1(𝑆1, 𝑡) = 𝑄𝑠(𝑡) 𝑆1(𝑡)

𝑓𝐸1(𝐸1, 𝑡) = 𝑄𝑠(𝑡) 𝐸1(𝑡)

𝑓𝐼1(𝐼1, 𝑡) = 𝑄𝑠(𝑡) 𝐼1(𝑡)

𝑓𝑅1(𝑅1, 𝑡) = 𝑄𝑠(𝑡) 𝑅1(𝑡)

Masing-masing adalah fungsi kontinu pada ℛ+, sebab telah diketahui

𝑄𝑆(𝑡), 𝑄𝐸(𝑡), 𝑄𝐼(𝑡), dan 𝑄𝑅(𝑡) adalah fungsi kuadrat, akibat ontinu pada pada ℛ+,

sedangkan perkalian antara fungsi kontinu dengan fungsi kontinu menghasilkan

fungsi kontinu, maka otomatis 𝑓𝑠1 , 𝑓𝐸1 , 𝑓𝐼1 dan , 𝑓𝑅1 juga fungsi kontinu pada ℛ+\𝑇 ⊆

ℛ+ yang berarti kontinu pada 𝑡 ∉ 𝑇.

iii. Jelas bahwa 𝑓(𝑋1, 𝑡) (kasus di lokasi 1) 𝑓(𝑋2, 𝑡) (kasus di lokasi 2) dan merupakan

fungsi dari ℛ3 × ℛ+ ke ℛ3. Diberikan ‖ ⋅ ‖ adalah norm baku Euclid di ℛ𝑛, yaitu

‖𝑦‖ = √∑ 𝑦𝑖2𝑛

𝑖=1 , dimana 𝑦 = (𝑦𝑖)𝑖=1𝑛 ∈ ℛ𝑛, maka dalam hal ini untuk kasus

model di atas berada dalam ℛ3 didapat

‖𝑓(𝑋2, 𝑡) − 𝑓(𝑋1, 𝑡)‖ = ‖‖

𝑄𝑠(𝑡) (𝑆2(𝑡) − 𝑆1(𝑡))

𝑄𝐸(𝑡) (𝐸2(𝑡) − 𝐸1(𝑡))

𝑄𝐼(𝑡) (𝐼2(𝑡) − 𝐼1(𝑡))

𝑄𝑅(𝑡) (𝑅2(𝑡) − 𝑅1(𝑡))

‖‖

= √(𝑄𝑠(𝑡) (𝑆2(𝑡) − 𝑆1(𝑡))2 + (𝑄𝐸(𝑡) (𝐸2(𝑡) − 𝐸1(𝑡)))

2 + (𝑄𝐼(𝑡) (𝐼2(𝑡) − 𝐼1(𝑡)))2 + (𝑄𝑅(𝑡) (𝑅2(𝑡) − 𝑅1(𝑡)))

2

≤ √𝑚𝑎𝑘𝑠{|𝑄𝑆(𝑡)|, |𝑄𝐸(𝑡)|, |𝑄𝐼(𝑡)|, |𝑄𝑅(𝑡)|}2 ×

√ (𝑆2(𝑡) − 𝑆1(𝑡))2 + (𝐸2(𝑡) − 𝐸1(𝑡)))2 + (𝐼2(𝑡) − 𝐼1(𝑡)))2 + (𝑅2(𝑡) − 𝑅1(𝑡)))2

=𝑚𝑎𝑘𝑠{|𝑄𝑆(𝑡)|, |𝑄𝐸(𝑡)|, |𝑄𝐼(𝑡)|, |𝑄𝑅(𝑡)|} ×

√ (𝑆2(𝑡) − 𝑆1(𝑡))2 + (𝐸2(𝑡) − 𝐸1(𝑡)))

2 + (𝐼2(𝑡) − 𝐼1(𝑡)))2 + (𝑅2(𝑡) − 𝑅1(𝑡)))

2

= 𝐾(𝑡)‖𝑋2 − 𝑋1‖

Petrus Fendiyanto/1213201002 32

Dengan 𝐾(𝑡) = 𝑚𝑎𝑘𝑠{|𝑄𝑆(𝑡)|, |𝑄𝐸(𝑡)|, |𝑄𝐼(𝑡)|, |𝑄𝑅(𝑡)|}

Jadi :

‖𝑓(𝑋2, 𝑡) − 𝑓(𝑋1, 𝑡)‖ ≤ 𝐾(𝑡)‖𝑋2 − 𝑋1‖

dengan 𝐾(𝑡) = 𝑚𝑎𝑘𝑠{|𝑄𝑆(𝑡)|, |𝑄𝐸(𝑡)|, |𝑄𝐼(𝑡)|, |𝑄𝑅(𝑡)|}

Terlihat jelas bahwa 𝐾(𝑡) adalah fungsi kuadrat pada ℛ dan telah diketahui bahwa

sebarang fungsi kuadrat adalah kontinu pada ℛ, dengan demikian 𝐾(𝑡) adalah fungsi

kontinu pada ℛ.

Karena persamaan (79) yang merupakan representasi dari model sistem yang merupakan

pengembangan dari model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005) yaitu persamaan (1), (2), (3),

dan (4) memenuhi Asumsi Desour, maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian

tunggal.

3). Analisis Kestabilan

Dari persamaan model sub sistem di lokasi 1 yang merupakan pengembangan dari

model yang dibuat oleh (Blyuss, 2005).

2 1

1211112

1

2

11 )()(

1* dxxyKSdyyxKSRbSdSIS

x

SSDt

S

2 1

112111112

1

2

1

1 )()( RdxxyKEdyyxKEbEdEEISx

EEDt

E

12

1211112

1

2

11 )()( dxxyKIdyyxKIIbIdIE

x

ID

t

I I

11112

1

2

1

1 RRdEIx

RRDt

R

Mereduksi bentuk integral dengan 𝐷1𝑆 𝜕

2𝑆1

𝜕𝑥2 = 𝐷1

𝐸 𝜕2𝐸1

𝜕𝑥2 = 𝐷1

𝐼 𝜕2𝐼

𝜕𝑥2= 0 sehingga

persamaan di atas menjadi :

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 + 𝜇 𝑆1 − 𝜇𝑆2

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 + 𝜇 𝐼1 − 𝜇𝐼2

Karena pergerakan individu secara lokal tidak mempengaruhi jumlah populasi atau

sub populasi yang ada, maka:

𝜇𝑆2 − 𝜇𝑆1 = 0 (80)

Petrus Fendiyanto/1213201002 33

𝜇𝐼2 − 𝜇𝐼1 = 0 (81)

Substitusi persamaan (80) dan (81) ke dalam persamaan yang telah direduksi

sehingga diperoleh:

𝜕𝑆1

𝜕𝑡= −𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 (82)

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= 𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 (83)

a. Stabilitas Titik Kesetimbangan Model

Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Dengan demikian titik-

titik setimbang diperoleh dari:

𝜕𝑆1𝜕𝑡= 0,

𝜕𝐼1𝜕𝑡= 0

Sehingga persamaan (82) dan (83) menjadi

−𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 = 0 (84)

𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 = 0 (85)

Selanjutnya akan didapatkan titik kesetimbangan dari model dinamik dari subsistem di

atas. Ada dua titik kesetimbangan yang akan didapatkan yaitu tiik kesetimbangan yang

akan didapatkan yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik.

b. Titik Setimbang Bebas Penyakit

Jika diambil 𝐼1 = 0 maka akan diperoleh titik keseimbangan bebas penyakit, dimana

keadaan ini semua individu masuk ke dalam populasi Suspectible dan tidak ada individu

Infected yang dapat menyebarkan penyakit. Dengan mensubstitusikan 𝐼1 = 0 ke persamaan

(84) sehingga diperoleh

−𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 = 0

−𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 = 0

𝑑𝑆1 − 𝑏𝑆1 = 𝛿 𝑅1

(𝑑 − 𝑏)𝑆1 = 𝛿 𝑅1

𝑆1 =𝛿𝑅1

(𝑑−𝑏) (86)

Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit model sub sistem adalah 𝑃1(𝑆1,̇ 𝐼1̇) =

(𝛿𝑅1

(𝑑−𝑏), 0).

Petrus Fendiyanto/1213201002 34

c. Titik Setimbang Endemik

Titik setimbang endemik dipengaruhi oleh munculnya subpopulasi 𝐼1 > 0. Dari

persamaan (84) dan (85) akan dicari titik kesetimbangan endemik.

Dari persamaan (85)

𝛾𝐸1 − 𝑑𝐼1 − 𝑏𝐼1 − 𝛿 𝐼1 = 0

(𝑑 + 𝑏 + 𝛿) 𝐼1 = 𝛾𝐸1

𝐼1 =𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) (87)

Dari persamaan (84)

−𝛽∗𝑆1𝐼1 − 𝑑𝑆1 + 𝑏𝑆1 + 𝛿 𝑅1 = 0

(𝛽∗𝐼1 + 𝑑 − 𝑏)𝑆1 = 𝛿𝑅1

𝑆1 =𝛿𝑅1

𝛽∗𝐼1+𝑑−𝑏

Dengan 𝐼1 =𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) sehingga diperoleh

𝑆1 =𝛿𝑅1

𝛽∗(𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿))+𝑑−𝑏

𝑆1 =𝛿𝑅1 (𝑑+𝑏+𝛿)

𝛽∗(𝛾𝐸1)+(𝑑−𝑏)(𝑑+𝑏+𝛿) (88)

Jadi titik kesetimbangan bebas penyakit model subsistem adalah 𝑃2(𝑆1,̇ 𝐼1̇) =

(𝛿𝑅1 (𝑑+𝑏+𝛿)

𝛽∗(𝛾𝐸1)+(𝑑−𝑏)(𝑑+𝑏+𝛿),

𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) ).

d. Kestabilan Lokal Titik Setimbang

Sekarang akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan model, setelah

dilakukan proses linearisasi didapat matriks Jacobian untuk model sebagai berikut:

𝐽 = [−𝛽∗𝐼1 − 𝑑 + 𝑏 −𝛽∗𝑆1

0 −𝑑 − 𝑏 − 𝛿]

Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑃1(𝑆1,̇ 𝐼1̇) = (𝛿𝑅1

(𝑑−𝑏), 0)

adalah

𝐽(𝑃1) = [−𝑑 + 𝑏 −𝛽∗(

𝛿𝑅1(𝑑 − 𝑏)

)

0 −𝑑 − 𝑏 − 𝛿

]

Nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑃1) diperoleh dari

|𝐽(𝑃1) − 𝜆𝐼| = 0

Petrus Fendiyanto/1213201002 35

|−𝑑 + 𝑏 − 𝜆 −𝛽∗(

𝛿𝑅1

(𝑑−𝑏))

0 −𝑑 − 𝑏 − 𝛿 − 𝜆| = 0

(−𝑑 + 𝑏 − 𝜆) (−𝑑 − 𝑏 − 𝛿 − 𝜆) = 0

𝜆1 = −𝑑 + 𝑏

𝜆2 = −(𝑑 + 𝑏 + 𝛿) < 0

Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:

i. 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐽(𝑃1)) = (−𝑑 + 𝑏) + (−𝑑 − 𝑏 − 𝛿) = −2𝑑 − 𝛿 = −(2𝑑 + 𝛿) < 0

sehingga titik stasioner atau kesetimbangan adalah stabil.

ii. 4det(𝐽(𝑃1)) − 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐽(𝑃1))2 = −(4 + (−𝑑 + 𝑏)(𝑑 + 𝑏 + 𝛿))(−𝑑 +

𝑏)(𝑑 + 𝑏 + 𝛿) < 0, sehingga titik kesetimbangan 𝑃1 adalah titik yang stabil.

iii. Jika 𝑑 > 𝑏, maka 𝜆1 < 0 dan 𝜆2 < 0 sehingga titik kesetimbangan bebas

penyakit stabil.

Selanjutnya akan di cari stabilitas lokal dari titik kesetimbangan endemik model

subsistem. Matriks Jacobian untuk titik kesetimbangan 𝑃2(𝑆1,̇ 𝐼1̇) =

(𝛿𝑅1 (𝑑+𝑏+𝛿)

𝛽∗(𝛾𝐸1)+(𝑑−𝑏)(𝑑+𝑏+𝛿),

𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) ) adalah

𝐽(𝑃2) = [−𝛽∗

𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) − 𝑑 + 𝑏 −𝛽∗

𝛿𝑅1 (𝑑+𝑏+𝛿)

𝛽∗(𝛾𝐸1)+(𝑑−𝑏)(𝑑+𝑏+𝛿)

0 −𝑑 − 𝑏 − 𝛿]

Nilai eigen matriks 𝐽(𝑃2) diperoleh dari

|𝐽(𝑃2) − 𝜆𝐼| = 0

|𝐴 − 𝜆 𝐵0 𝐶 − 𝜆

| = 0

(𝐴 − 𝜆) (𝐶 − 𝜆) = 0

𝜆2 − (𝐴 + 𝐶)𝜆 + 𝐴𝐶 = 0

Sehingga didapat persamaan kuadrat dengan bentuk 𝑎0𝜆2 + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0 dengan

nilai

𝑎0 = 1

𝑎1 = −(𝐴 + 𝐶)

𝑎2 = 𝐴𝐶

Petrus Fendiyanto/1213201002 36

Dengan menggunakan Metode Routh-Hurwitz untuk menunjukkan kestabilan

sistem dengan memperhatikan koefisien 𝜆2, 𝜆 dan konstanta dari persamaan karakteristik

tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

Tabel 1 Metode Routh-Hurwitz untuk koefisien 𝜆2, 𝜆 pada Persamaan Karakteristik

𝑎0 = 1 𝑎2 = 𝐴𝐶 𝑎4 = 0

𝑎1 = −(𝐴 + 𝐶) 𝑎3 = 0 𝑎5 = 0

𝑏1 = 𝐴𝐶 𝑏2 =𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5

𝑎1

𝑐1 =𝑏1𝑎3−𝑎1𝑏2

𝑏1 𝑐1 =

𝑏1𝑎5 − 𝑎1𝑏3𝑏1

Titik kesetimbangan 𝑃2 dari tabel 1 dikatakan stabil atau mempunyai nilai eigen

dengan bagian real negatif jika dan hanya jika 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0 dan 𝑏1 > 0.

Nilai 𝑎1 dapat dianalisa sebagai berikut:

𝑎1 > 0

−(𝐴 + 𝐶) > 0

(𝐴 + 𝐶) < 0

Selanjutnya untuk 𝑏1 dapat dianalisa sebagai barikut:

𝑏1 = 𝑎2 > 0

𝐴𝐶 > 0

Supaya 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0 dan 𝑏1 > 0 maka

(𝐴 + 𝐶) < 0 dan 𝐴𝐶 > 0

Agar memenuhi dua kondisi di atas maka 𝐴 < 0 dan 𝐶 < 0

𝐴 < 0

−𝛽∗𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿)− 𝑑 + 𝑏 < 0

𝐶 < 0

−𝑑 − 𝑏 − 𝛿 < 0

Dari hasil uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa

i. jika 𝑑 > 𝑏 maka 𝑎1 > 0, 𝑎2 > 0 dan 𝑏1 > 0 sehingga titik kesetimbangan endemik

stabil.

Petrus Fendiyanto/1213201002 37

ii. 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐽(𝑃2)) = −𝛽∗ 𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) − 𝑑 + 𝑏 + (−𝑑 − 𝑏 − 𝛿) = −2𝑑 − 𝛿 = −(2𝑑 +

𝛿 + 𝛽∗𝛾𝐸1

(𝑑+𝑏+𝛿) ) < 0 sehingga titik stasioner atau kesetimbangan adalah stabil.

Berdasarkan hasil analisa kestabilan, jika 𝑑 > 𝑏 maka titik kesetimbangan bebas penyakit

stabil dan titik kesetimbangan endemik stabil sehingga jumlah penderita banyaknya tidak

bertambah dan tidak berkurang. Sedangkan jika 𝑑 < 𝑏 maka titik kesetimbangan bebas

penyakit tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik tidak stabil sehingga jumlah individu

terinfeksi bertambah dan penyebaran penyakit semakin meningkat.