HUKUM LINEAR
Mengaplikasi Hukum Linear kepada Hubungan Tak linear
Tukarkan setiap yang berikut kepada persamaan dalam bentuk linear Y = mX + c
Non Linear equation Linear equation Y X m c1. Y = px2+qx
Penyelesaian:
¿ x : yx
=px+q
Y=mX+cm=p , c=q
yx
=px+qyx
x p q
2. y=abx
penyelesaian:log10y = log10a + log10bx
log10y = log10a + xlog10blog10y = xlog10b + log10a
Y=mX+cm = log10b , c =log10a
log10y = xlog10b + log10a
log10y x log10b log10a
3. kx=p
x+1
4.y=hx
k
5. ny
=px+1
6. y= hkx
+ 1kx2
6.y= p
x+2 kx
7. y= hk x
8.y−√x=3
√x
9.
nx = py +xy
1
Jawapan :Non Linear equation Linear equation Y X m c
3. kx= p
x+1 k
y=p
k (1x )+1k
ky
1x
pk
1k
4.y=hx
klog10y = xlog10h+ (-
log10k)log10y x log10h -log10k
5. ny
=px+1 1y
=pn
x+1n
1y x
pn
1n
6. y= hkx
+ 1kx2 x2 y=h
kx+ 1
kX2y x h
k1k
6.y= p
x+2 kx xy=2 kx 2+ p xy X2 2k p
7. y= hk x
log10y = - xlog10k + log10h
log10y x - log10k log10h
8.y−√x=3
√xy √x=x+3 y √x
x
1 3
9.
nx = py +xy
1y
=( pn )1
x+1
n1y
1x
pn
1n
2
Contoh Penyelesaian Masalah Hukum Linear
A Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq5x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5y 6.5 10.5 17.4 26.3 44.7 69.2
Jadual 1
(a) Berdasarkan Jadual 1, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]
(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai
(i) x apabila y = 7.2.(ii) p(iii)
Q[6 markah]
3
Langkah jawapan
Langkah 1Selesaikan soalan (a) terlebih dahulu tanpa melihat persamaan di awal soalan.
Langkah 2Plotkan graf dengan menggunakan skala yang diberi.Lukiskan garis penyuaian terbaik.Graf semestinya kena pada sekurang-kurangnya 3 titik
Langkah 3Cari c iaitu pintasan y.Cari m (kecerunan) dengan mengambil mana-mana 2 titk yang kena tepat di atas graf tadi.
Langkah 4Akhir sekali baru selesaikan persamaan yang diberi
Jawapan:
Langkah 1
(a) x 1 1.5 2 2.5 3 3.5log10 y 0.81 1.02 1.24 1.42 1.65 1.84
(b)
Langkah 2
Langkah 3
(c)
C = 0.41
2 titik yang kena tepat atas garisan(1, 0.81) (2.5, 1.42)
m = 1.42 – 0.81 = 0.407 2.5 – 1
Langkah 4
y = pq5x
log10 y = log10 p + 5x log10q = (5 log10q)x + log10 p(i) y = 7.2
log10 y = 0.86x = 1.1
(ii) log10 p = pintasan−Y = 0.41p = 2.57
(iii)
5 log10 q = Kecerunan graf = 0.407log10 q = 0.0814 q = 1.206
4
Cuba jawab soalan berikut:
A(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 7 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq3x , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 2 3 4 5 6 7y 6.3 10.7 19.1 32.4 58.9 102.3
Jadual 7
(a) Berdasarkan Jadual 7, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]
(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai
(i) x apabila y = 14.1.(ii) p(iii)
q[6 markah]
A(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 13 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq6x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 1.5 2 2.5 3 3.5 4y 3.3 3.7 4.3 5.4 6.3 7.2
Jadual 13
(a) Berdasarkan Jadual 13, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]
(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai
(i) x apabila y = 5.9.(ii) p(iii q
5
) [6 markah]
Jawapan:
A(1) (a) x 2 3 4 5 6 7log10 y 0.8 1.03 1.28 1.51 1.77 2.01
(b)
(c) y = pq3x
log10 y = log10 p + 3x log10q = (3 log10q)x + log10 p
(i) y = 14.1log10 y = 1.15x = 3.5
(ii) log10 p = pintasan−Y = 0.32p = 2.09
(iii) 3 log10 q = Kecerunan graf = 0.24log10 q = 0.08 q = 1.2
A(2) (a) x 1.5 2 2.5 3 3.5 4log10 y 0.52 0.57 0.63 0.73 0.8 0.86
(b)
(c) y = pq6x
log10 y = log10 p + 6x log10q = (6 log10q)x + log10 p(i) y = 5.9
log10 y = 0.77x = 3.3
(ii) log10 p = pintasan−Y = 0.27 p = 1.86
6
(iii) 6 log10 q = Kecerunan graf = 0.15log10 q = 0.025 q = 1.06
B Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 8 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 2 3 4 5 6 7y 3.4 5.9 9.8 15.8 25.7 43.7
Jadual 8
(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q
[5 markah]
Jawapan:B (a) (x − 1) 1 2 3 4 5 6
log y 0.53 0.77 0.99 1.2 1.41 1.64
(b) y = pqx − 1
log y = log p + (x − 1) log q = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y
= 0.32p = 2.089
(ii) log q = Kecerunan graf = 0.22q = 1.66
7
Cuba jawab soalan berikut:B(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 14 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 2 3 4 5 6 7y 1.9 2.5 3.2 4.3 5.4 6.9
Jadual 14
(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q
[5 markah]
B(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 3 5 7 9 11 13y 2.9 3.8 5.1 6.5 8.5 11.7
Jadual 2
(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q
[5 markah]
8
Jawapan:B(1) (a) (x − 1) 1 2 3 4 5 6
log y 0.28 0.4 0.51 0.63 0.73 0.84
(b) y = pqx − 1
log y = log p + (x − 1) log q = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y
= 0.18p = 1.514
(ii) log q = Kecerunan graf = 0.11q = 1.288
B(2) (a) (x − 1) 2 4 6 8 10 12log y 0.46 0.58 0.71 0.81 0.93 1.07
(b) y = pqx − 1
log y = log p + (x − 1) log q = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y
= 0.34p = 2.188
9
(ii) log q = Kecerunan graf = 0.06q = 1.148
C Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 6px2 + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 2 3 4 5 6 7y 7.2 11 15 19.5 24.2 29
Jadual 3
(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 5[6 markah]
Jawapan:C (a) x 2 3 4 5 6 7
3.6 3.67 3.75 3.9 4.03 4.14
(b) y = 6px2 + x= 6px +
(i) 6p = Kecerunan graf = 0.1p = 0.01667
(ii) = pintasan−Y= 3.4q = 0.004903
(iii) x = 4.6= 3.9y = 17.94
C(1)
Cuba jawab soalan berikut:
Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
10
Jadual 9 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 7px2 + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 3 4 5 6 7 8y 3.6 5.2 7.1 9 11.3 13.6
Jadual 9
(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 6[6 markah]
C(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 15 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 7px² + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 3 4 5 6 7 8y 10.3 15 19.8 25.6 32.2 39.2
Jadual 15
(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 6[6 markah]
Jawapan:C(1) (a) x 3 4 5 6 7 8
1.2 1.3 1.42 1.5 1.61 1.7
11
(b) y = 7px2 + x= 7px +(i) 7p = Kecerunan graf
= 0.1p = 0.01429
(ii) = pintasan−Y= 0.9q = 0.01588
(iii) x = 3.3= 1.2y = 3.96
C(2) (a) x 3 4 5 6 7 8
3.43 3.75 3.96 4.27 4.6 4.9
(b) y = 7px2 + x= 7px +(i) 7p = Kecerunan graf
= 0.3p = 0.04286
(ii) = pintasan−Y= 2.5q = 0.01714
(iii) x = 3.5= 3.5y = 12.25
D Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 1 2 3 4 5 6y 0.6 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7
Jadual 4
(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
12
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q
[5 markah]Jawapan:
D (a) x2 1 4 9 16 25 36xy 0.6 0.8 1.5 2 3 4.2
(b)y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf
= 0.1(ii) = pintasan−Y
= 0.5q = 0.2
Cuba jawab soalan berikut:
D(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 10 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 3 4 5 6 7 8y 1.9 1.8 1.8 1.9 2 2.1
Jadual 10
(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 2 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
13
(i) p(ii) q
[5 markah]
D(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 3 4 5 6 7 8y 2.7 3.1 3.9 4.5 5.2 5.8
Jadual 4
(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 5 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
(i) p(ii) q
[5 markah]
Jawapan:
D(1) (a) x2 9 16 25 36 49 64xy 5.7 7.2 9 11.4 14 16.8
14
(b) y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf
= 0.2(ii) = pintasan−Y
= 4q = 0.05
D(2) (a) x2 9 16 25 36 49 64xy 8.1 12.4 19.5 27 36.4 46.4
(b) y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf
= 0.7(ii) = pintasan−Y
= 1.8q = 0.3889
5 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 5 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5y 3.5 4.2 4.9 5.9 7.4 9.3
Jadual 5
(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
[3 markah](i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 1.7.[6 markah]
Jawapan:
5 (a) x 1 1.5 2 2.5 3 3.5log10 y 0.54 0.62 0.69 0.77 0.87 0.97
15
(b)
(c) y = log10 y = 9x(log10 p) + (−log10q) = 9(log10p)x + (−log10 q)(i) 9 log10 p = Kecerunan graf
= 0.17log10 p = 0.01889p = 1.044
(ii) −log10 q = pintasan−Y = 0.36log10 q = −0.36p = 0.437
(iii) x = 1.7log10 y = 0.65y = 4.467
Cuba jawab soalan berikut:
E(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 11 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 3.8 6.5 12 20.4 38.9 69.2
Jadual 11
(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
[3 markah](i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 1.9.[6 markah]
E(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
16
Jadual 5 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
x 1 2 3 4 5 6y 2.3 2.9 3.4 4.5 5.2 6.8
Jadual 5
(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
[3 markah](i) p(ii) q(iii)
y apabila x = 3.4.[6 markah]
Jawapan:
E(1) (a) x 0.5 1 1.5 2 2.5 3log10 y 0.58 0.81 1.08 1.31 1.59 1.84
(b)
(c) y = log10 y = 6x(log10 p) + (−log10q) = 6(log10p)x + (−log10 q)(i) 6 log10 p = Kecerunan graf
= 0.51log10 p = 0.085p = 1.216
(ii) −log10 q = pintasan−Y = 0.31log10 q = −0.31p = 0.49
(iii) x = 1.9log10 y = 1.28y = 19.055
E(2) (a) x 1 2 3 4 5 6 = pintasan−Y= 1.8
17
log10
y 0.36 0.46 0.53 0.65 0.72 0.83
(b)
(c) y = log10 y = 8x(log10 p) + (−log10q) = 8(log10p)x + (−log10 q)
(i) 8 log10 p = Kecerunan graf = 0.09log10 p = 0.01125p = 1.026
(ii) −log10 q = pintasan−Y = 0.28log10 q = −0.28p = 0.525
(iii) x = 3.4log10 y = 0.58y = 3.802
q = 0.3889
18