HUKUM LINEAR

Mengaplikasi Hukum Linear kepada Hubungan Tak linear

Tukarkan setiap yang berikut kepada persamaan dalam bentuk linear Y = mX + c

Non Linear equation Linear equation Y X m c1. Y = px2+qx

Penyelesaian:

¿ x : yx

=px+q

Y=mX+cm=p , c=q

yx

=px+qyx

x p q

2. y=abx

penyelesaian:log10y = log10a + log10bx

log10y = log10a + xlog10blog10y = xlog10b + log10a

Y=mX+cm = log10b , c =log10a

log10y = xlog10b + log10a

log10y x log10b log10a

3. kx=p

x+1

4.y=hx

k

5. ny

=px+1

6. y= hkx

+ 1kx2

6.y= p

x+2 kx

7. y= hk x

8.y−√x=3

√x

9.

nx = py +xy

1

Jawapan :Non Linear equation Linear equation Y X m c

3. kx= p

x+1 k

y=p

k (1x )+1k

ky

1x

pk

1k

4.y=hx

klog10y = xlog10h+ (-

log10k)log10y x log10h -log10k

5. ny

=px+1 1y

=pn

x+1n

1y x

pn

1n

6. y= hkx

+ 1kx2 x2 y=h

kx+ 1

kX2y x h

k1k

6.y= p

x+2 kx xy=2 kx 2+ p xy X2 2k p

7. y= hk x

log10y = - xlog10k + log10h

log10y x - log10k log10h

8.y−√x=3

√xy √x=x+3 y √x

x

1 3

9.

nx = py +xy

1y

=( pn )1

x+1

n1y

1x

pn

1n

2

Contoh Penyelesaian Masalah Hukum Linear

A Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq5x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5y 6.5 10.5 17.4 26.3 44.7 69.2

Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]

(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai

(i) x apabila y = 7.2.(ii) p(iii)

Q[6 markah]

3

Langkah jawapan

Langkah 1Selesaikan soalan (a) terlebih dahulu tanpa melihat persamaan di awal soalan.

Langkah 2Plotkan graf dengan menggunakan skala yang diberi.Lukiskan garis penyuaian terbaik.Graf semestinya kena pada sekurang-kurangnya 3 titik

Langkah 3Cari c iaitu pintasan y.Cari m (kecerunan) dengan mengambil mana-mana 2 titk yang kena tepat di atas graf tadi.

Langkah 4Akhir sekali baru selesaikan persamaan yang diberi

Jawapan:

Langkah 1

(a) x 1 1.5 2 2.5 3 3.5log10 y 0.81 1.02 1.24 1.42 1.65 1.84

(b)

Langkah 2

Langkah 3

(c)

C = 0.41

2 titik yang kena tepat atas garisan(1, 0.81) (2.5, 1.42)

m = 1.42 – 0.81 = 0.407 2.5 – 1

Langkah 4

y = pq5x

log10 y = log10 p + 5x log10q   = (5 log10q)x + log10 p(i) y = 7.2

log10 y = 0.86x = 1.1

(ii) log10 p = pintasan−Y   = 0.41p = 2.57

(iii)

5 log10 q = Kecerunan graf   = 0.407log10 q = 0.0814 q = 1.206

4

Cuba jawab soalan berikut:

A(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 7 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq3x , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 2 3 4 5 6 7y 6.3 10.7 19.1 32.4 58.9 102.3

Jadual 7

(a) Berdasarkan Jadual 7, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]

(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai

(i) x apabila y = 14.1.(ii) p(iii)

q[6 markah]

A(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 13 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pq6x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 1.5 2 2.5 3 3.5 4y 3.3 3.7 4.3 5.4 6.3 7.2

Jadual 13

(a) Berdasarkan Jadual 13, bina satu jadual bagi nilai-nilai log10 y.[1 markah]

(b) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[3 markah](c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai

(i) x apabila y = 5.9.(ii) p(iii q

5

) [6 markah]

Jawapan:

A(1) (a) x 2 3 4 5 6 7log10 y 0.8 1.03 1.28 1.51 1.77 2.01

(b)

(c) y = pq3x

log10 y = log10 p + 3x log10q   = (3 log10q)x + log10 p

(i) y = 14.1log10 y = 1.15x = 3.5

(ii) log10 p = pintasan−Y   = 0.32p = 2.09

(iii) 3 log10 q = Kecerunan graf   = 0.24log10 q = 0.08 q = 1.2

A(2) (a) x 1.5 2 2.5 3 3.5 4log10 y 0.52 0.57 0.63 0.73 0.8 0.86

(b)

(c) y = pq6x

log10 y = log10 p + 6x log10q   = (6 log10q)x + log10 p(i) y = 5.9

log10 y = 0.77x = 3.3

(ii) log10 p = pintasan−Y   = 0.27 p = 1.86

6

(iii) 6 log10 q = Kecerunan graf   = 0.15log10 q = 0.025 q = 1.06

B Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 8 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 2 3 4 5 6 7y 3.4 5.9 9.8 15.8 25.7 43.7

Jadual 8

(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q

[5 markah]

Jawapan:B (a) (x − 1) 1 2 3 4 5 6

log y 0.53 0.77 0.99 1.2 1.41 1.64

(b) y = pqx − 1

log y = log p + (x − 1) log q   = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y

   = 0.32p = 2.089

(ii) log q = Kecerunan graf   = 0.22q = 1.66

7

Cuba jawab soalan berikut:B(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 14 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 2 3 4 5 6 7y 1.9 2.5 3.2 4.3 5.4 6.9

Jadual 14

(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q

[5 markah]

B(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 3 5 7 9 11 13y 2.9 3.8 5.1 6.5 8.5 11.7

Jadual 2

(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q

[5 markah]

8

Jawapan:B(1) (a) (x − 1) 1 2 3 4 5 6

log y 0.28 0.4 0.51 0.63 0.73 0.84

(b) y = pqx − 1

log y = log p + (x − 1) log q   = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y

   = 0.18p = 1.514

(ii) log q = Kecerunan graf   = 0.11q = 1.288

B(2) (a) (x − 1) 2 4 6 8 10 12log y 0.46 0.58 0.71 0.81 0.93 1.07

(b) y = pqx − 1

log y = log p + (x − 1) log q   = (log q)(x − 1) + log p(i) log p = pintasan−Y

   = 0.34p = 2.188

9

(ii) log q = Kecerunan graf   = 0.06q = 1.148

C Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 6px2 + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 2 3 4 5 6 7y 7.2 11 15 19.5 24.2 29

Jadual 3

(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 5[6 markah]

Jawapan:C (a) x 2 3 4 5 6 7

3.6 3.67 3.75 3.9 4.03 4.14

(b) y = 6px2 + x= 6px +

(i) 6p = Kecerunan graf   = 0.1p = 0.01667

(ii) = pintasan−Y= 3.4q = 0.004903

(iii) x = 4.6= 3.9y = 17.94

C(1)

Cuba jawab soalan berikut:

Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

10

Jadual 9 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 7px2 + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 3 4 5 6 7 8y 3.6 5.2 7.1 9 11.3 13.6

Jadual 9

(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 6[6 markah]

C(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 15 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 7px² + x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 3 4 5 6 7 8y 10.3 15 19.8 25.6 32.2 39.2

Jadual 15

(a) Plotkan melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[4 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 6[6 markah]

Jawapan:C(1) (a) x 3 4 5 6 7 8

1.2 1.3 1.42 1.5 1.61 1.7

11

(b) y = 7px2 + x= 7px +(i) 7p = Kecerunan graf

   = 0.1p = 0.01429

(ii) = pintasan−Y= 0.9q = 0.01588

(iii) x = 3.3= 1.2y = 3.96

C(2) (a) x 3 4 5 6 7 8

3.43 3.75 3.96 4.27 4.6 4.9

(b) y = 7px2 + x= 7px +(i) 7p = Kecerunan graf

   = 0.3p = 0.04286

(ii) = pintasan−Y= 2.5q = 0.01714

(iii) x = 3.5= 3.5y = 12.25

D Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 1 2 3 4 5 6y 0.6 0.4 0.5 0.5 0.6 0.7

Jadual 4

(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 0.5 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

12

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q

[5 markah]Jawapan:

D (a) x2 1 4 9 16 25 36xy 0.6 0.8 1.5 2 3 4.2

(b)y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf

   = 0.1(ii) = pintasan−Y

= 0.5q = 0.2

Cuba jawab soalan berikut:

D(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 10 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 3 4 5 6 7 8y 1.9 1.8 1.8 1.9 2 2.1

Jadual 10

(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 2 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

13

(i) p(ii) q

[5 markah]

D(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 3 4 5 6 7 8y 2.7 3.1 3.9 4.5 5.2 5.8

Jadual 4

(a) Plotkan xy melawan x2, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x2 dan 2cm kepada 5 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[5 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

(i) p(ii) q

[5 markah]

Jawapan:

D(1) (a) x2 9 16 25 36 49 64xy 5.7 7.2 9 11.4 14 16.8

14

(b) y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf

   = 0.2(ii) = pintasan−Y

= 4q = 0.05

D(2) (a) x2 9 16 25 36 49 64xy 8.1 12.4 19.5 27 36.4 46.4

(b) y = px + xy = px2 +(i) p = Kecerunan graf

   = 0.7(ii) = pintasan−Y

= 1.8q = 0.3889

5 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 5 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5y 3.5 4.2 4.9 5.9 7.4 9.3

Jadual 5

(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

[3 markah](i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 1.7.[6 markah]

Jawapan:

5 (a) x 1 1.5 2 2.5 3 3.5log10 y 0.54 0.62 0.69 0.77 0.87 0.97

15

(b)

(c) y = log10 y = 9x(log10 p) + (−log10q)   = 9(log10p)x + (−log10 q)(i) 9 log10 p = Kecerunan graf

   = 0.17log10 p = 0.01889p = 1.044

(ii) −log10 q = pintasan−Y   = 0.36log10 q = −0.36p = 0.437

(iii) x = 1.7log10 y = 0.65y = 4.467

Cuba jawab soalan berikut:

E(1) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Jadual 11 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 3.8 6.5 12 20.4 38.9 69.2

Jadual 11

(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

[3 markah](i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 1.9.[6 markah]

E(2) Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.

16

Jadual 5 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x 1 2 3 4 5 6y 2.3 2.9 3.4 4.5 5.2 6.8

Jadual 5

(a) Plotkan log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2cm kepada 0.1 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.

[1 markah](b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai

[3 markah](i) p(ii) q(iii)

y apabila x = 3.4.[6 markah]

Jawapan:

E(1) (a) x 0.5 1 1.5 2 2.5 3log10 y 0.58 0.81 1.08 1.31 1.59 1.84

(b)

(c) y = log10 y = 6x(log10 p) + (−log10q)   = 6(log10p)x + (−log10 q)(i) 6 log10 p = Kecerunan graf

   = 0.51log10 p = 0.085p = 1.216

(ii) −log10 q = pintasan−Y   = 0.31log10 q = −0.31p = 0.49

(iii) x = 1.9log10 y = 1.28y = 19.055

E(2) (a) x 1 2 3 4 5 6 = pintasan−Y= 1.8

17

log10

y 0.36 0.46 0.53 0.65 0.72 0.83

(b)

(c) y = log10 y = 8x(log10 p) + (−log10q)   = 8(log10p)x + (−log10 q)

(i) 8 log10 p = Kecerunan graf   = 0.09log10 p = 0.01125p = 1.026

(ii) −log10 q = pintasan−Y   = 0.28log10 q = −0.28p = 0.525

(iii) x = 3.4log10 y = 0.58y = 3.802

q = 0.3889

18