determinan

Determinan

Pertemuan 2

Fungsi Determinan

24

13A Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10

87

54

21

987

654

321

B

Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240

Landasan Teori Determinan

Permutasi

Perhatikan himpunan integer { 1, 2, 3, …, n }.

Susunan ke-n integer ini dengan urutan tertentu (tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang) disebut permutasi.

Contoh: himpunan S = { 1, 2, 3, 4 }; ada 24 permutasi dari S

(1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) (3, 1, 2, 4) (4, 1, 2, 3)

(1, 2, 4, 3) (2, 1, 4, 3) (3, 1, 4, 2) (4, 1, 3, 2)

(1, 3, 2, 4) (2, 3, 1, 4) (3, 2, 1, 4) (4, 2, 1, 3)

(1, 3, 4, 2) (2, 3, 4, 1) (3, 2, 4, 1) (4, 2, 3, 1)

(1, 4, 2, 3) (2, 4, 1, 3) (3, 4, 1, 2) (4, 3, 1, 2)

(1, 4, 2, 3) (2, 4, 3, 1) (3, 4, 2, 1) (4, 3, 2, 1)

Pohon Permutasi

contoh pohon dengan “akar” integer 1

1

4

3 4

3 4 2

2

2 3

4 3 4 2 3 2

Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}:

Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j1, j2, j3, …, jn)

Inversi dalam permutasi (j1, j2, j3, …, jn) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

Contoh:

dalam urutan (4, 2, 1, 3) terdapat 4 inversi: 4 > 2, 4 > 1, 4 > 3, 2 > 1

Suatu inversi disebut genap jika banyaknya inversi dalam urutan genap, dan disebut gasal jika banyaknya inversi dalam urutan adalah gasal.

Dalam contoh di atas inversinya adalah genap.

Hasil kali elementer (elementary product):

Dalam sebuah matriks A (n x n) yang disebut perkalian elementer

a1 a2 a3 ……………an j1 j2 j3 jn

Catatan: indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n

indeks kolom: urutan permutasi j1, j2, j3, …, jn

Hasil kali elementer bertanda (signed elementary product):

Jika (j1, j2, j3, …, jn) merupakan inversi

•genap, maka perkalian elementer adalah positif

•gasal, maka perkalian elementer adalah negatif

Definisi (formal) DETERMINAN:

+ a11a22a33 – a11a23a32

+ a12a23a31 – a12a21a33

+ a13a21a32 – a13a22a31

Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut.

Matriks A (n x n). Fungsi determinan, dinotasikan det(A), adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda.

Contoh: A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda

adalah jumlah dari semua elemen berikut ini:

Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya:

a11 a12 a13 a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33

+ a11a22a33 (inversi = 0) – a11a23a32 (inversi = 1)



review:

1. Menghitung det(A) di mana A matriks (2x2) atau (3x3) cukup mudah.

2. Menghitung det(A) di mana A matriks (nxn) untuk semua n 2 secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matriks A.

Cara lain untuk menghitung det(A) di mana A(nxn) adalah dengan Reduksi Baris ( Operasi Baris Elementer ).

1. Matriks A diubah menjadi matriks segi-3 atas (segi-3 bawah), matriks segi-3 ini disebut A’.

2. Det(A) = det(A’) = hasil kali semua entri diagonal utama matriks A’.

Teorema:

1. Bila A(n x n) matriks segitiga atas/bawah, maka Det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama.

Contoh:

Bukti:

600

730

372

ADet(A) = 2(-3) 6 = -36

00

30

72

600

730

372

A

a11 a12 a13 a11 a12 a13

A = 0 a22 a23 0 a22 a23

0 0 a33 0 0 a33

diagonal utama

+ a11a22a33 0 – a11a23a32

+ a12a23a31 – a12a21a33

+ a13a21a32 – a13a22a31

Secara umum: untuk A(3 x 3)

Teorema Matriks A (n x n), terhadap A dilakukan

OBE

2. Bila B berasal dari matriks A yang salah satu barisnya dikalikan dengan skalar k, maka det(B) = k x det(A)

3. Bila B berasal dari matriks A dengan menukar dua barisnya, maka det(B) = – det(A)

4. Bila B berasal dari matriks A dengan menambahkan kelipatan salah satu baris A pada baris lain, maka det(B) = det(A)

Teorema5. Det(A) = Det(AT)

6. Det(A) = 0 bila• Ada 2 baris / 2 kolom yang sebanding

• Ada satu baris-nol / satu kolom-nol

7. Jika A dan B matriks bujur sangkar berukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B)

8. Jika A, B, C matriks bujur sangkar berukuran sama, dan baris ke-r matriks C didapat dari penjumlahan baris ke-r matriks A dan baris ke-r matriks B, maka det(C) = det(A) + det(B)

9. “idem” untuk kolom

Terminologi: A matriks (3 x 3)

Minor (aij) disingkat Mij: determinan dari sub-matriks yang tersisa jika baris-i dan kolom-j dihapus dari matriks A

Cofactor (aij) disingkat Cij : ( –1 )i+j Mij

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Cofactor (aij) disingkat Cij : ( –1 )i+j Mij

Adjoint(A) disingkat adj(A): Matriks yang terbentuk dari cofactors A

C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33

METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka

yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j.

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D

Maka MINOR unsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2

444341

242321

141311

32

aaa

aaa

aaa

M

Sedangkan yang dimaksud dengan KOFAKTOR suatu unsur determinan aij adalah

Maka KOFAKTOR unsur

3223

32 )1( MC

ijji

ij MC )1(

32a

Contoh :

198

765

432

A

620145.47.275

4232

MMinor 32a

Kofaktor 32a 6)6()1( 2332 C

Teorema Laplace

A matriks (nxn).

Det(A) dapat dihitung dengan ekspansi cofactor sepanjang salah satu baris, atau sepanjang salah satu kolom dari A.(“Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”.)

Ekspansi sepanjang baris-i:

Det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

Ekspansi sepanjang kolom-j:

Det (A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

Contoh

751

432

321

A

43

32)1.(1

75

32)1.(2

75

43)1.(1)det( 131211A

11.1.1)1).(1.(21.1.1)det( A

determinan

Documents