belajar hitung rangka

2

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya dalam rangka batang dengan metoda Keseimbangan titik kumpul, Cremona, Ritter dan Culman.

Mahasiswa mampu menghitung garis pengaruh gaya dalam balok dan rangka batang akibat pengaruh beban berjalan.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung perpindahan titik simpul rangka batang dengan cara Williot dan usaha virtuil.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung lendutan balok dengan metoda analitis dan metoda luasan bidang momen.

Mahasiswa mampu menjelaskan teori energi regangan batang tertarik, benda tergeser, balok terlentur, benda dengan beban kejut, teorema Castigliano, Teorema Betti dan teorema Maxwell dan dapat menghitung lendutan balok maupun rangka batang dengan teorema Castigliano, Betti dan Maxwell.

5. Indikator

Indikator keberhasilan mahasiswa dalam setiap bahasan adalah mampu menghitung benar untuk kasus-kasus yang diberikan dengan prosentase mahasiswa menghitung benar mencapai 85 %. Indikator kemampauan meliputi :

Mampu menghitung gaya batang dengan cara keseimbangan titik kumpul, Cremona, Ritter maupun Culman secara benar untuk persoalan atau kasus yang diberikan.

Mampu menghitung secara benar garis pengaruh gaya dalam balok dan rangka batang akibat beban berjalan dari kasus yang diberikan.

Mampu menghitung secara benar perpindahan titik simpul persoalan rangka batang yang diberikan dengan cara Williot dan usaha virtuil.

Mampu menghitung secara benar lendutan balok tertumpu sederhana, balok kantilever dan balok beroverstek dengan cara analitis maupun metoda luasan bidang momen.

Mampu menghitung secara benar lendutan balok, portal sederhana, rangka batang dengan menggunakan teorema Castigliano dan Maxwell dari kasus yang diberikan.

POKOK BAHASAN I : Gaya dalam rangka batang

1.1 SUB POKOK BAHASAN : Keseimbangan titik kumpul

3

1.1.1 Pendahuluan

1.1.1.1 Deskripsi singkat

Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul, formulasi indikator pembedaan jenis rangka batang statis tertentu dan tak tertentu.

1.1.1.2 Relevansi

Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.

1.1.1.3.1 Standar kompetensi

Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan keseimbangan benda dan titik simpul rangka batang.

1.1.1.3.2 Kompetensi dasar

Mahasiswa menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya batang dengan cara keseimbangan titik simpul.

1.1.2 Penyajian

1.1.2.1 Keseimbangan Titik Kumpul

PRINSIP KESEIMBANGAN

Dalam benda bidang, syarat seimbang adalah :

Kalau semua gaya yang bekerja pada benda baik beban maupun reaksi perletakan melalui 1 titik syarat seimbang cukup :

o = 0Kx o = 0Ky (1)

Kalau gaya beban dan reaksi perletakan tidak melalui 1 titik syarat seimbang :

o = 0Kx o = 0Ky o = 0Mz (2)

P1

P2

P3

Pi

Pn

R1

R2 R3

Gambar1:Bendabidangseimbang

4

RANGKA BATANG

Struktur rangka batang adalah struktur yang tersusun oleh kumpulan elemen batang yang tersambung satu sama lain secara sendi. Gaya dalam yang ada hanya gaya normal yaitu gaya yang tegak lurus penampang dan sejajar dengan sumbu batang. Gaya-gaya batang dan beban luar yang bekerja pada 1 titik simpul dalam keadaan seimbang. Persamaan keseimbangan yang dimiliki 1 titik kumpul ada 2. Kalau jumlah titik simpul rangka batang K, jumlah persamaan keseimbangan yang dimiliki adalah 2K. Jumlah anu yang dicari adalah gaya batang sebanyak batang S dan reaksi perletakan sebanyak R. Kalau jumlah anu yang dicari sama dengan jumlah persamaan keseimbangan yang ada dikatakan rangka batang adalah Rangka Batang Statis Tertentu.

S + R = 2 K Rangka Batang Statis Tertentu

Kalau jumlah anu yang dicari lebih banyak dari jumlah persamaan keseimbangan yang ada, dikatakan rangka batang adalah Rangka Batang Statis Tak Tertentu.

S + R > 2 K Rangka Batang Statis Tak Tertentu.

Terdapat beberapa cara untuk mencari gaya batang Rangka Stastis Tertentu :

Keseimbangan Titik Simpul Cara Cremona Cara Ritter Cara Culman

KESEIMBANGAN TITIK SIMPUL

Banyak persamaan keseimbangan yang dimiliki 1 titik simpul adalah 2. Maka banyak gaya batang yang akan dipecahkan maksimum harus 2. Dengan menguraikan gaya-gaya batang baik yang sudah diketahui harganya atau yang belum dan gaya luar yang bekerja menjadi 2 gaya yang sejajar sumbu X dan sumbu Y, akan diperoleh 2 persamaan dengan 2 anu gaya batang yang dicari. Dengan menggunakan eliminasi Gauss kedua gaya batang akan didapat.

Contoh :

4M 4M 4M 4M

4M

20T

D

A

B

2

11

I

1 3

4 5 6 7

8 9 10 12 13 14 15

C E G

F H

RAV

RAH

RB

Gambar 2 : Rangka Batang Bidang

5

Mencari Reaksi Perletakan :

= 0Ky RAV 20 = 0 RAV = 20 ton = 0MzA - RBx4 + 20x8 = 0 RB = 40 ton (3) = 0Kx RB RAH = 0 RAH = 40 ton Dimulai dari titik simpul yang jumlah anu maksimum 2. Yang memenuhi titik simpul B dan I. Dicoba dari titik simpul B :

= 0Kx S4 + RB = 0 S4 = - 40 ton = 0Ky S8 + 0 = 0 S8 = 0 ton Catatan : Permisalan semua gaya batang yang belum diketahui besar dan arah adalah tarik, dengan arah meninggalkan titik simpul. Apabila dari hasil perhitungan didapat harga negatip, berarti arah gaya batang yang bersangkutan berlawanan dengan arah permisalan semula. Dengan demikian batang tersebut adalah tekan.

Simpul A :

= 0Ky RAV - S8 - S9 sin = 0 20 - S9x 21 = 0 S9 = 20 2 ton = 0Kx - RAH + S1 + S9 cos = 0 S1 = 40 20 = 20 ton Dengan cara yang sama diterapkan pada titik-titik simpul D, C, F, E, H, G dan I akan didapat hasil analisis seperti tersebut pada tabel 1 :

Tabel 1 : Hasil Analisis Keseimbangan Titik Simpul

Batang Gaya Batang (ton) Batang Gaya Batang (ton)

S1 20 S9 20 2

S2 0 S10 - 20

S3 0 S11 20 2

S4 - 40 S12 0

S5 - 20 S13 0

S6 0 S14 0

S7 0 S15 0

S8 0

6

1.1.2.2 Latihan

Rangka batang pada gambar (2) : titik kerja gaya 20 ton berada di H

Tabel 2 : Gaya batang akibat beban 20 ton vertikal di H


S1 40 S9 20 2

S2 20 S10 - 20

S3 0 S11 20 2

S4 - 60 S12 - 20

S5 - 40 S13 20 2

S6 - 20 S14 0

S7 0 S15 0

S8 0

1.1.3. Penutup

1.1.3.1 Tes formatif

Tentukan gaya batang rangka batang gambar (2) ababila gaya 20 ton bekerja dititik I dengan arah mendatar.

1.1.3.2 Umpan balik

Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua titik simpul harus 0.

1.1.3.3 Tindak lanjut

Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang dengan membuat soal latihan sendiri.

1.1.3.4 Rangkuman

Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan keseimbangan dapat menghitung gaya dalam.

7

1.1.3.5 Kunci jawaban tes formatif

Tabel 3 : gaya batang akibat 20 ton horisontal di I


S1 0 S9 0

S2 0 S10 0

S3 0 S11 0

S4 20 S12 0

S5 20 S13 0

S6 20 S14 0

S7 20 S15 0

S8 0

1.2 SUB POKOK BAHASAN : Cara Cremona

1.2.1 Pendahuluan


Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul dengan cara grafis pada rangka batang statis tertentu.

1.2.1.2 Relevansi

Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasahan keseimbangan benda dan titik simpul rangka batang.


Mahasiswa mampu menghitung gaya batang dengan cara Cremona.

1.2.2 Penyajian

1.2.2.1 Cara Cremona

8

CREMONA

Cara Cremona adalah cara untuk menghitung reaksi perletakan dan gaya batang secara grafis. Dalam mencari reaksi perletakan berpegang pada prinsip benda seimbang bahwa resultante gaya luar dan reaksi perletakan harus sama dengan 0

r.

Sedang dalam mencari gaya batang berpegang pada prinsip titik simpul seimbang bahwa resultante gaya-gaya batang dan beban luar dititik simpul harus sama dengan 0

r. Seluruh diagram keseimbangan vektor gaya dari reaksi perletakan,

beban luar hingga gaya-gaya batang di semua titik simpul dijadikan 1. Diagram gabungan akan berupa 1 diagram gaya-gaya yang menutup. Analisis dapat dilakukan dalam arah searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam.

Penataan arah reaksi perletakan juga harus sesuai dengan arah analisis yang ditetapkan. Arah yang tidak konsisten akan menyebabkan diagram vektor tidak menutup. Arah gaya reaksi yang sudah diketahui adalah RB. Ditentukan titik potong RB dan beban 20 ton. Resultan RB dan gaya 20 ton akan melalui titik potong

4M 4M 4M 4M

4M

20T

D

A

B

2

11

I

1 3

4 5 6 7

8 9 10 12 13 14 15

C E G

F H

RAV

RAH

RB

4

+1

+910

5

+11

20T RB

RA

Gambar 3 : Rangka Batang Seimbang (a) Garis-garis Kerja Gaya (b) Diagram Cremona

(a)

(b)

9

tersebut. Resultan antara resultan RB dan 20 ton dengan RA akan berupa vektor 0r

. Hal ini hanya bisa dipenuhi apabila kedua vektor segaris kerja, sama besar dan berlawanan arah. Dengan demikian arah gaya reaksi RA melalui A dan titik potong RB dan 20 ton (F). Dengan mengambil arah searah jarum jam, diagram gaya reaksi dan gaya-gaya batang disajikan dalam diagram Cremona berikut :

Gaya gaya batang yang tidak tersebut berharga 0. + menyatakan tarik dan menyatakan tekan. Arah reaksi perletakan yang tergambar merupakan arah yang benar.

Gaya-gaya batang dihitung berdasar besaran skala. Kalau disajikan dalam tabel sesuai dengan tabel 1.

1.2.2.2 Latihan

Rangka batang pada gambar (2) : titik kerja gaya 20 ton berada di H Dikerjakan secara grafis akan diperoleh gaya batang seperti pada tabel 2.

1.2.3. Penutup


Tentukan gaya batang rangka batang gambar (2) ababila gaya 20 ton bekerja dititik I dengan arah mendatar dengan cara Cremona.

1.2.3.2 Umpan balik

Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua titik simpul harus 0.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang cara Cremona dengan membuat soal latihan sendiri.

1.2.3.4 Rangkuman

Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan penerapan keseimbangan grafis dapat menghitung gaya dalam.


Hasil perhitungan dengancara Cremona sama seperti pada tabel 3.

2. POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh

2.1. SUB POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh Balok

10

2.1.1 Pendahuluan


Membahas gaya lintang dan momen suatu titik di balok yang besarnya dipengaruhi oleh posisi beban berjalan.

2.1.1.2 Relevansi

Pengaruh beban berjalan pada gaya lintang dan momen pada balok merupakan gambaran pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya lintang dan momen jembatan balok.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban bergerak pada jembatan balok.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya lintang dan momen pada balok.

2.1.2. Penyajian

2.1.2.1. Garis Pengaruh Balok

Garis pengaruh gaya lintang dan momen adalah grafik yang menyajikan besar gaya lintang dan momen suatu titik di balok akibat pengaruh beban berjalan satu satuan gaya.

Dengan menerapkan prinsip keseimbangan balok atau bagian balok, gaya lintang dan momen suatu titik akan diperoleh.

Contoh : Menggambar garis Pengaruh Gaya Lintang dan Momen titik C

Gambar6:GarisPengaruhReaksiPerletakan

(a) Balokdenganbebanberjalan(b) GarisPengaruhRA(c) GarisPengaruhRB(d) Potongankanan( ) P ki i

0.6L

x

L

0.4LA

C

B

0.4LC

BDC

MC

0.6LA

MC

DC

1

1

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

11

= 0MzB RAxL 1*(L - x) = 0 RA = 1 x/L RA merupakan fungsi x pangkat 1, fungsi RA merupakan garis lurus seperti tergambar (6.b)

= 0MzA - RBxL + 1* x = 0 RB = x/L RB juga merupakan fungsi x pangkat 1, fungsi RB merupakan garis lurus seperti tergambar (6.c)

Kalau beban di kiri C, dikaji keseimbangan potongan CB :

= 0Ky DC = RB Sesuai ketentuan gaya lintang dinyatakan negatip. Dengan demikian beban berjalan dari A C, gaya lintang C = - RB.

= 0MzB MC = RB*0.4 L Sesuai ketentuan momen dinyata kan positip.

Kalau beban dikanan C, dikaji keseimbangan potongan AC :

= 0Ky DC = RA Sesuai ketentuan gaya lintang dinyatakan positip. = 0MzA MC = RA*0.6 L Sesuai ketentuan momen dinyata kan positip. Gambar garis pengaruh gaya lintang dan momen di C dinyatakan dalam gambar (7).

2.1.2.2. Latihan

Garis pengaruh gaya lintang dan momen untuk titik D ditengah bentang disajikan pada gambar (7.b).

0.6

0.4

_+

+

0.24L

(a)

(b)

Gambar7a:GarisPengaruhGayaDalamdiC(a) GarisPengaruhGayaLintang(b) GarisPengaruhMomen

0.5

0.5

_+

+

0.25L

(a)

(b)

Gambar7.b : Garis Pengaruh Gaya Dalam di D (c) Garis Pengaruh Gaya Lintang (d) Garis Pengaruh Momen

12

2.1.3. Penutup


Tentukan garis pengaruh gaya lintang dan momen untuk titik E yang berjarak 0.2 L dari tumpuan kiri balok gambar (6).

2.1.3.2 Umpan balik

Jumlah gaya lintang posistip dan negatip sama dengan 1. Besar momen ekstrim sama dengan perkalian bentang kiri dan kanan dibagi bentang tottal.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya lintang dan momen soal soal berikut :

Hitung dan gambar garis pengaruh gaya lintang di C dan D kedua balok berikut :

2.1.3.4 Rangkuman

Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya lintang dan momen akan dapat digambar dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban.


0.6 L

x

L

0.4 L A

C

B

0.2 L

D

0.5 L

x

L

0.5 L A

C

B

0.2 L

D

02

0.8

_ +

+

0.16 L

(a)

(b)

(a) Garis Pengaruh Gaya Lintang (b) Garis Pengaruh Momen

13

2.2. SUB POKOK BAHASAN : Garis Pengaruh Rangka Batang

Pendahuluan


Membahas gaya normal suatu batang pada rangka batang yang besarnya dipengaruhi oleh posisi beban berjalan.

2.2.1.2 Relevansi

Pengaruh beban berjalan pada gaya normal rangka batang merupakan gambaran pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya dalam jembatan rangka batang.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban bergerak pada jembatan rangka batang.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya normal pada rangka batang.

2.2.2. Penyajian

2.2.2.1. Garis Pengaruh Rangka Batang

Garis pengaruh pada rangka batang merupakan grafik yang menggambarkan besar gaya normal suatu batang akibat pengaruh beban berjalan 1 satuan gaya. Untuk menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya normal suatu batang dipergunakan cara analisis Ritter.

2.2.2.2. Latihan

Sebagai contoh akan menghitung garis pengaruh gaya normal batang 2, 6 dan 12 rangka batang yang tercantum pada gambar (8), diambil potongan Ritter I I.

Untuk beban dikiri potongan, dikaji keseimbangan potongan kanan :

= 0MzI - S2x4 RBx8 = 0 S2 = - 2 RB = 0MzD S6x4 RBx12 = 0 S6 = 3 RB = 0Ky S12xsin + RB = 0 S12 = -RB 2 Untuk beban dikanan potongan, dikaji keseimbangan potongan kiri :

14

= 0MzI S2x4 + RAx8 = 0 S2 = - 2 RA = 0MzD - S6x4 + RAx4 = 0 S6 = RA = 0Ky - S12xsin + RA = 0 S12 = RA 2

(a)

4M 4M 4M 4M

4M

D

x

B

2

11

I

1 3

5 6 7 8

9 10 12 13 14

15

C E GF

HRA RB

I

I

Gambar8:PotonganRitterpadaRangkaBatang Bidang(a)Rangkabatangdenganbebanberjalan(b)GarisPengaruhRA(c)GarisPengaruhRB(d)Potongankiri(e)Potongankanan

17

4

15 16

A J

(d)

4M 4M

HA

2

12

6

D

IRA

I

C

4M 4M

4M

J B

12

6

F

I

RB

(e)

E G2

6

(b)

(c)

15

Grafik garis pengaruh dinyatakan dalam gambar (9).

2.2.3. Penutup


Tentukan garis pengaruh gaya batang 3, 7, 14 rangka batang gambar (8).

2.2.3.2 Umpan balik

Garis pengaruh gaya batang atas umumnya negatip, gaya batang bawah umumnya tarik dan gaya batang vertikal dan diagonal terjadi silang tanda.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya batang soal soal berikut :

Hitung dan gambar garis pengaruh batang 10, 11 dan 13. Hitung dan gambar garis pengaruh batang 1, 5 dan 10.

2.2.3.4 Rangkuman

Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya batang akan dapat digambar dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban.


(a)

0.5V2

0.25V2

+

_

_

+

(b)

1

0.5

0.750.5

(c)

Gambar9:GarisPengaruhGayaNormalRangkaBatang(a) GarisPengaruhS12(b) GarisPengaruhS2(c) GarisPengaruhS6

16

3. POKOK BAHASAN : Lendutan

3.1. SUB POKOK BAHASAN : Lendutan Rangka Batang

3.1.1. Pendahuluan


Membahas perpindahan titik-titik simpul rangka batang akibat beban luar yang bekerja. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara analitis yaitu dengan usaha virtuil atau dengan cara grafis yaitu cara Williot.

3.1.1.2 Relevansi

Lendutan rangka batang sesuai dengan lendutan rangka batang jembatan datu atap. Lendutan yang besar akan dirasakan tidak aman oleh pemakai. Sehingga lendutan terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. Materi ini akan diperlukan bagi seorang sarjana teknik sipil dalam bertindak sebagai perencana struktur.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan rangka batang yang berhubungan dengan beban, dimensi, bentang dan lendutan.


Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik lendutan rangka batang.

(a)

0.5V2

0.25V2

+

_

_

+

(b)

1

0.5

0.750.5

(c)

Gambar9.b:GarisPengaruhGayaNormalRangkaBatang(a)GarisPengaruhS14(b)GarisPengaruhS3(c)GarisPengaruhS7

17

3.1.2. Penyajian

2.1.2.1. Lendutan Rangka batang

Ada beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya :

Cara Williot Usaha Virtuil Formulasi Castigliano

Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan Energi Regangan.

1.1 Cara Williot

Menggambarkan perpindahan suata titik pertemuan 2 buah batang, diawali dengan

menempatkan kedua batang pada posisi akhir yaitu batang mengikuti perpindahan

ujung yang lain. Dalam pergeseran batang tetap diposisikan sejajar arah semula.

Dengan demikian perpindahan ujung batang yang berhubungan dengan titik yang

akan digambarkan perpindahannya sama dengan perpindahan titik ujung yang lain.

Perubahan panjang digambarkan dengan arah sesuai arah batang. Kedua batang

yang ujung-ujung batangnya tidak bertemu dilingkarkan sampai kedua ujung

bertemu. Titik temu hdala posisi baru titik tersebut. Dalam batasan deformasi

Sangay kecil gerakan melingkar batang dapat didekati dengan gerakan tegak lurus.

Penggambaran diagram Williot hanya menampilkan perpindahan titik-titik

C

A B

C

+1 2

A

B

1

2

C

L1

L2

(a) (b) (c)

L1

L2

AC

BO

Gambar10:DiagramWilliot

(a) KondisiawalTitikC(b) SketsaperpindahantitikC(c) DiagramWilliotperpindahantitikC

18

sebelumnya, perubahan panjang dan gerakan tegak lurus. Semua perpindahan titik

simpul diukur dari titik awal O. Sketsa penggambaran perpindahan titik simpul dan

diagram Williot disajikan pada gambar (10).

Contoh 1 :

Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang pada

gambar (12) yang berbeban 20 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang tercantum

dalam gambar. Berdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang batang dihitung

dengan menggunakan humus Robert Hooke :

E= AS=

LL= dengan demikian

EASLL =

Dimana : L perubahan panjang batang regangan normal L panjang batang

S gaya batang (gaya normal penampang)

E modulus elastisitas

A luas penampang batang

Perhitungan perubahan panjang batang disajikan pada tebel 4.

Gambar11:PerpindahantitiksimpulRangkaBatangbeban20ton (a)SketsaRangkaBatang (b)DiagramWilliot

4M

D

A

B

2

1C

RAV

RAH

4M

3 4

5

RB

20t

20

20

20V20

0

O

D

C

L3

L4L1

B

(b)

(a)

19

Tabel 4 : Perubahan Panjang Batang

i Si (Kg) Li (cm) Ai (cm2) Li = EAiSiLi (cm)

1 -20000 400 20 -0.2

2 0 400 20 0

3 20000V2 400V2 20 0.4

4 -20000 400 20 -0.2

5 0 400 20 0

Berdasar perubahan panjang batang yang dihasilkan dipergunakan untuk

menggambar diagram Williot seperti ditunjukkan pada gambar (11.b).

Contoh 2 :

Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang pada

gambar (12) yang berbeban beban 20 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang

tercantum dalam gambar. Berdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang

batang dihitung. Hasilnya disajikan pada tabel 5.

Gambar12:PerpindahantitiksimpulRangkaBatangbeban20ton(a) RangkadanGayabatang(b) DiagramWilliot

4M 4M

4M

20TDA B

21 3

4 5

C

RA RB

20

10V2 10V2

1010

(a)

O

DC

B

D

B

C

L5

L31

L1

L2

L4

(b)

20

Tabel 5 : Perubahan Panjang Batang

i Si (Kg) Li (cm) Ai (cm2) Li = EAiSiLi (cm)

1 -10000V2 400V2 20 -0.2

2 20000 400 20 0.2

3 -10000V2 400V2 20 -0.2

4 10000 400 20 0.1

5 10000 400 20 0.1

Persoalan berbeda dengan contoh 1 dimana titik kedua setelah titik sendi adalah titik

rol yang tidak mungkin pindah vertikal. Contoh 2 titik kedua adalah titik yang

dimungkinkan berpindah vertical. Untuk mengatasi kesulitan ini, titik kedua setelah

sendi dianggap tidak pindah vertical. Kemudian dilanjutkan penggambaran

perpindahan titik-titik yang lain. Setelah tergambar ternyata titik rol B pindah vertical.

Ini merupakan kesalahan akibat asums titik D tidak pindah vertical. Kesalahan harus

dikoreksi dengan cara rangka batang diputar secara kaku dengan titik pusat titik

sendi A. Besar pemutaran sebesar kesalahan yang terjadi. Hasil pemutaran kaku

akan memberikan perpindah titik kumpul tergambar sebagai (). Perpindahan yang

benar adalah dari () ke (). Dengan demikian titik rol B hanya perpindah horisontal

dari B ke B.

1.2 Usaha Virtuil

Benda yang seimbang kalau diberi beban/perpindahan maya, usaha yang dilakukan

oleh beban luar akan sama dengan energi regangan yang tersimpan dalam benda.

Rangka batang seperti pada gambar (13), diberi beban maya satu satuan gaya yang

sangat kecil di B dalam arah horisontal. Gaya ini akan menimbulkan gaya batang i.

Berdasar Hukum Usaha Virtuil akan diperoleh persamaan seperti berikut :

=

=n

i i

iiiBH EA

LS1

*1 atau

==

n

i i

iiiBH EA

LS1

Si adalah gaya batang yang ke i akibat beban luar

i adalah gaya batang yang ke i akibat beban satu satuan gaya di B dalam

arah horisontal.

21

Li adalah panjang batang yang ke i

Ai adalah luas penampang batang yang ke i

E adalah modulus elastisitas.

Tabel 6 : Perpindahan horizontal titik B BH

i Si (Kg) i Li (cm) Ai (cm2) EAiiLiSi (cm)

1 -10000V2 0 400V2 20 0

2 20000 0 400 20 0

3 -10000V2 0 400V2 20 0

4 10000 1 400 20 0.1

5 10000 1 400 20 0.1

BH 0.2

Penempatan posisi dan arah beban maya disesuaikan dengan perpindahan titik dan

arah yang diinginkan. Apabila ternyata perpindahan yang dihitung berharga negatip

berarti arah perpindahan berlawanan denga arah beban maya.

3.1.3. Penutup


Tentukan perpindahan vertikal titik D rangka batang gambar (13).

0

4M 4M

4M

20TDA B

21 3

4 5

C

RA RB

20

10V2 10V2

1010

1

Gambar 13 : Beban maya di B dalam arah horisontal (a) Rangka, Gaya batang akibat beban luar. (b) Gaya batang akibat beban satu satuan gaya di B arah horisontal

4M 4M

4M

DA B

21 3

4 5

C

RA RB

11

1

0 0

0

(a) (b)

22

3.1.3.2 Umpan balik

Pada rangka batang tertumpu sendi dan rol umumnya perpindahan vertikal titik-titik simpul oleh beban gravitasi mempunyai arah kebawah, perpindahan horisontal titik-titik simpul bawah mempunyai arah kekanan dan titik-titik simpul atas kekiri


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya batang soal soal berikut :

Hitung perpindahan vertikal titik C rangka batang gambar (13) Hitung perpindahan horisontal titik D rangka batang gambar (11)

3.1.3.4 Rangkuman

Untuk menghitung perpindahan suatu titik lebih efisien mempergunakan cara uasah virtuil dan kalau menghitung perpindahan seluruh titik simpul lebih cepat dipergunakan cara Williot.


Tabel 7 : Perpindahan vertikal titik D DV

i Si (Kg) i Li (cm) Ai (cm2) EAiiLiSi (cm)

1 -10000V2 -0.5V2 400V2 20 0.1V2

2 20000 1 400 20 0.2

3 -10000V2 -0.5V2 400V2 20 0.1V2

4 10000 0.5 400 20 0.05

5 10000 0.5 400 20 0.05

DV 0.3 + 0.2V2

3.2. SUB POKOK BAHASAN : Lendutan Balok

3.2.1. Pendahuluan


23

Lendutan balok dapat dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda Luasan Bidang Momen dan Teorema Castigliano. Cara analitis adalah cara yang menggunakan integrasi persamaan diferensial turunan kedua lendutan. Metoda Luasan Bidang momen mengembangkan persamaan turunan kedua lendutan kearah lausan dan statis momen bidang momen. Dan Teorema Castigliano merupakan hasil jabaran lanjut dari teori energi regangan beban satis.

3.2.1.2 Relevansi

Lendutan balok sesuai dengan lendutan balok jembatan, balok gedung bertingkat. Lendutan terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. Lendutan yang melampaui batas dapat dirasakan oleh pemakai, sehingga timbul kesan tidak aman. Materi ini sangat diperlukan bagi seorang sarjana teknik sipil saat terjun dalam dunia perencanaan struktur.


Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan balok yang berhubungan dengan beban, dimensi , bentang dan lendutan.


Mahasiswa mampu menghitung lendutan balok statis tertentu.

3.2.2. Penyajian

3.2.2.1. Lendutan Balok

Ada beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya :

Cara Analitis Metoda Luasan Bidang Momen Formulasi Castigliano

Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan Beban Impact.

1 Cara Analitis

Untuk mencari lendutan balok dengan cara analitis, dilakukan integrasi persamaan hubungan lendutan dengan momen lapangan. Momen lapangan disesuaikan momen lapangan balok yang dikaji yang sangat dipengaruhi oleh macam beban yang bekerja. Integrasi turunan kedua fungsi lendutan akan terdapat 2 konstanta integrasi untuk setiap momen lapangan. Dengan memanfaatkan harga batas, konstanta integrasi akan dapat ditemukan.

C

24

1. Balok Dengan Beban Merata

Mx = RA x q x2

Mx = q L x q x2

z

x

EIM

y ="

EIz y = - Mx

EIz y = q x2 - q L x

EIz y = 1/6 q x3 qLx2 + C1

EIz y = 1/24 q x4 1/12 qLx3 +

C1 x + C2

Dari lendutan yang terjadi terdapat 2 titik yang diketahui harganya, yaitu titik A dan B :

x = 0 y = 0 memberikan harga C2 = 0

x = L y = 0 memberikan harga C1 = 24

3qL

Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi :

EIz y = 61 q x3

41

qLx2 + 24

3qL

EIz y = 241 q x4

121 qLx3 +

24

3qL x

Fungsi lendutan sudah definitip. Kalau harga E, Iz, q dan L diketahui fungsi lendutan dan turunan dapat digambar. Dalam bangunan sipil lendutan umumnya sangat kecil sehingga sudut yang dibentuk oleh garis singgung menyinggung balok melendut dengan sumbu x juga sangat kecil. Tangen sudut yang sangat kecil akan sama dengan sudutnya itu sendiri. Hanya sudut harus dalam radial.

A = sudut yang dibentuk oleh garis singgung di A terhadap sumbu x atau terhadap arah sebelum dibebani. A juga menyatakan rotasi penampang atau titik di A.

L

X

Y

B

RA RB

q

A

x

A B

Gambar14:Balokdenganbebanmerata

25

A = y untuk x = 0 z

A EIqL24

3

=

B = y untuk x = L z

B EIqL24

3

=

Lendutan terbesar ymax terjadi kalau y = 0 atau :

61 q x3

41

qLx2 + 24

3qL = 0 ini merupakan polinom pangkat 3 yang

mempunyai akar x 3 buah. Karena kondisi simetris salah satu akar pasti x = L. Kalau dimasukkan akan memenuhi persamaan. Harga lendutan didapat dengan memasukkan x = L ke persamaan y :

zEI

qly3845 4

max =

2. Balok Dengan Beban Terpusat

LPbRA = L

PaRB = Terdapat 2 momen lapangan : Lapangan 1 : 0 < x < a

Mx = RA x = xLPb

EIz y = - Mx

EIz y = - xLPb

EIz y = - 22

xLPb + C1

EIz y = - 36

xLPb + C1 x + C2

Lapangan 2 : a < x < L

Mx = xLPb - P (x-a)

EIz y = - Mx

EIz y = - xLPb + P (x-a)

Gambar15:Balokdenganbebanterpusat

L

X

Y

B

RA RB

P

A

x

baA B

26

EIz y = - 22

xLPb + P (x-a)2 + C3

EIz y = - 36

xLPb + + 1/6 P (x-a)3 + C3 x + C4

Konstanta C1, C2, C3 dan C4 dapat dipecahkan dengan menggunakan 4 buah persamaan harga batas :

x = 0 y = 0 (a) x = a yL = yR (b) yL = yR (c) x = L y = 0 (d)

Dari harga batas (a) didapat C2 = 0 Dari harga batas (b) didapat C1 = C3 Dari harga batas (c) didapat C4 = 0

Dari harga batas (d) didapat C3 = LbLPab

6)( +

Dengan demikian fungsi turunan lendutan dan lendutan adalah : Lapangan 1 : 0 < x < a

EIz y = - 22

xLPb +

LbLPab

6)( +

EIz y = - 36

xLPb +

LbLPab

6)( + x

Lapangan 2 : a < x < L

EIz y = - 22

xLPb + P (x-a)2 +

LbLPab

6)( +

EIz y = - 36

xLPb + + 1/6 P (x-a)3 +

LbLPab

6)( + x

Rotasi penampang di A dan B adalah :

A = y untuk x = 0 LEIbLPab

zA 6

)( +=

B = y untuk x = L LEIaLPab

zB 6

)( += Lendutan terbesar untuk keadaan a = b = L akan terjadi di titik x = L :

zEIPLy48

3

max =

27

3. Balok Dengan Beban Momen diujung

LMRA =

Mx = - xLM

EIz y = xLM

EIz y = 22

xLM + C1

EIz y = 36

xLM + C1 x + C2

Harga batas : x = 0 y = 0 memberikan harga C2 = 0

x = L y = 0 memberikan harga C1 = -6ML

Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi :

EIz y = 22

xLM -

6ML

EIz y = 36

xLM -

6ML x

Rotasi dan lendutan terbesar :

A = y untuk x = 0 z

A EIML6

=

B = y untuk x = L z

B EIML3

= Ymax terjadi bila y = 0 atau :

22

xLM -

6ML = 0 didapat akar yang rasional x = 331 L

Y max = 23271 ML

2 Metoda Luasan Bidang Momen

Akibat beban sebarang balok seperti pada gambar (17) melendut. Turunan kedua fungsi lendutan adalah :

z

x

EIM

y ="

Ditarik garis singgung melalui kedua ujung elemen sepanjang dx. Kedua garis singgung akan membentuk sudut sebesar d dan akan memotong garis vertikal

Gambar16:BalokdenganbebanMomen

L

X

Y

BRA RB

A

x

A BM

28

melalui B di 2 titik. Jarak kedua titik potong adalah df. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu x dinyatakan oleh y. Selisih arah kedua garis singgung atau sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung adalah dy. Dengan demikian :

dy' = y dx atau

dy = z

x

EIM dx atau

d = z

x

EIM dx

untuk perhitungan semi grafis tanda minus tidak diperhatikan, dengan demikian :

d = z

x

EIM dx

Kalau seluruh d dijumlah dari A sampai B, maka hasil penjumlahan akan sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis

singgung melalui A dan melalui B.

dxEIMB

A z

xAB =

Formulasi ini menyatakan bahwa sudut yang dibentuk oleh garis singgung memalui A dan B sama dengan luas bidang momen dari A sampai B dibagi EIz. Dengan mengacu pada asumsi bahwa lendutan sangat kecil, besar df = x d atau :

df = z

x

EIM x dx

Kalau seluruh df yang dihasilkan oleh garis singgung dari A sampai B dijumlah akan sama dengan fB, yaitu panjang bagian garis vertical melalui B yang terpotong oleh garis singgung melalui A dan melalui B :

xdxEIMf

B

A z

xB =

Formulasi ini menyatakan bahwa fB sama dengan statis momen luasan bidang momen antara A dan B terhadap B dibagi EIz.

Contoh 1 : Balok dengan 2 buah beban terpusat dengan posisi simetris gambar (18). Reaksi di A dan B sama dengan P. Momen di bawah beban sama dengan Pa. Bidang momen berupa trapesium.

L

X

Y

B

q

A

xdx

Mx

df fB

BidangM

Gambar17:LendutandanBidangMomen

29

Menghitung rotasi penampang atau rotasi garis singgung di A dan B :

{ }LPaLaLEIz

f A 2121 )2(1 += )(

2aL

EIzPaLf A =

Lf A

B = )(2 aLEIzPa

B = idem )(2 aLEIzPa

A =

Menghitung Lendutan maksimum : Dikaji bagian A C. Berhubung simetris titik tengah bentang C mempunyai lendutan yang maksimum. ymaks = fA sama dengan statis momen luasan bidang momen antara A C terhadap A dibagi EIz

)}42)(2(

{1

21

322

21

aLaaLPa

aPaEIz

ymaks

+

+=

=

68

22 aLEIzPaymaks

Luasan dan posisi titik berat bentuk-bentuk Bidang Momen : 1. Segi tiga

Gambar18:Balokdengan2bebanterpusat(a)Bidangmomen(b)Sketsalendutanditengahbentang

L

X

Y

B

fA fB

P

A

aa

A B

P

L2a

Pa Pa+ Bid.M

ymax

ymax

C

fA

(a)

(b)A

*C

a b

)(31 aL + )(31 bL +

Luas= Lh21 h

30

2. Parabola 1

Luasan yang dinyatakan merupakan setengan bidang momen balok dengan beban merata. 3. Parabola 2

Luasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan beban merata. 4. Hiperbola

Luasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan beban merata.segitiga. Contoh 2 :

Balok tertumpu sederhana sendi dan rol dengan beban merata segitiga seperti gambar (19). Dengan menggunakan 3 persamaan keseimbangan diperoleh reaksi perletakan : RA = 1/6 qL RB = 1/3 qL.

*C

L

L85 L83

Luas= Lh32

h

q

h

L

*C

LL

Luas=1/3Lh q

h

L

*C

4/5L1/5L

Luas=1/4Lh

q

31

Dengan menggunakan perban dingan seharga didapat : qx = x/L q Mx = 1/6 qL x 1/6 qx 3/L Untuk mempermudah penyele saian, bidang momen dipisah menjadi 2 bentuk segitiga untuk RA dan hiperbola untuk akibat q. fB = (1/6 qL2 L/2 1/3L 1/6 qL2 L/4 1/5L)/EIz

fB = EIzqL

3607 4

dengan demikian A = EIzqL

3607 3

fA = (1/6 qL2 L/2 2/3L 1/6 qL2 L/4 4/5L)/EIz

fA = EIzqL

3608 4 B = EIz

qL3608 3

Posisi lendutan maksimum ymaks berada dititik C yang ber garis

singgung sejajar sumbu X. Misal posisi titik tersebut berjarak x dari titik A. Tentukan M1 dan M2 dalam x :

M1 = 1/6 qL x

M2 = 1/6 qx 3/L Untuk seksi A C : Sudut yang dibentuk garis singgung mealalui A dan C = A. Persamaan ini adalah : 1/6 qL x x 1/6 qx 3 /L x = 7/360 q L3 atau x4 2 L2 x2 + 7/15 L4 = 0

x2 = L2 L21571 x = 0.5193 L

ymaks = fA ymaks =

LLqLLqL

EIz1)5193.0()5193.0(1 54

5241

322

121

ymaks = EIzqL400652.0

L

q

1/6qL2

1/6qL2_

+M1

M2

fB

fA

ymaks

x(a)

(b)

(c)

Gambar19:Balokdenganbebanmeratasegitiga(a)Sketsalendutan(b)BidangmomenakibatRA(c)Bidangmomenakibatq

A B

32

3. Teorema Castigliano

3.1. Energi Regangan dalam Tarikan

Btang ditarik secara statis artinya beban berkembang secara bertahap tanpa hentakan. Kondisi awal batang mempunyai panjang L dan luas penampang A dengan gaya tarik 0. Kondisi akhir panjang batang berubah menjadi (L + ) dengan gaya tarik P. Diamati kondisi antara :

Panjang batang (L+x) dengan beban Px.

Beban ditambar sebesar dPx dan batang bertambah panjang sebesar dx. Dengan adanya pertambahan panjang dx beban bergerak dan melakukan usaha sebesar (Px+dPx)dx. dPx dan dx sangat

kecilmendekati 0, maka dPxdx diabaikan. Sehingga usaha saat penambahan beban dPx adalah Pxdx. Atau :

dW = Pxdx. (4)

Material bersifat elastis linier, dengan mengacu rumus Robert Hooke :

x = E x padahal x = Px/A dan x = x/L, sehingga

Px = EAx/L (5)

Persamaan (5) masuk ke (4) diperoleh :

dW = EAx/L dx (6)

Kalau seluruh dU dari awal hingga akhir dijumlah, akan diperoleh total usaha :

xdxLEAW =

0

atau 22

L

EAW =

Menurut Hukum Kekekalan Energi, usaha yang dilakukan beban akan berubah menjadi Energi Regangan dalam benda. Energi regangan batang dinyatakan dengan U, sehingg :

2

2

LEAU = (7)

Formulasi energi regangan dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

L

xdx

P

Px

dPx

Awal Antara Akhir

Gambar20:Batangditariksecarastatis

33

2PU = dan

EALPU

2

2

= (8)

Energi regangan persatuan volume :

2

2 E= 2 = dan

E2

2 = (8)

3.2. Batang tertarik secara mendadak

Suatu beban berat W dijatuhkan setinggi h seperti gambar (21). Setelah menekan platform, platform masih tersu turun hingga mencapai . Beban mealakukan usaha sebesar : W(h+ ). Pada batang yang bertambah panjang tersimpan energi

regangan 22

L

EAU = . Menurut hukum kekekalan energi usaha yang dilakukan beban sama dengan energi yang tersimpan, sehingga diperoleh persamaan :

22

L

EA = W (h+ ) atau 2 - EAWL2 - h

EAWL2 = 0

Misal EAWL dinyatakan sebagai St maka persamaan

menjadi

2 - 2 St - 2 St h = 0 diperoleh

= St + hStSt 22 + (9) St adalah perubahan panjang kalau seandainya W bekerja secara statis.

Contoh : Memasukkan paku ke kayu dengan menggunakan Palu.

Paku diameter 4 mm panjang 5 cm dipukul dengan palu berat 0.30 Kg dengan tinngi jatuh 30 cm. Berapa tegangan kerja paku?.

Jawab :

W = 0.30 Kg A = (0.4)2 = 0.12566 cm2. L = 5 cm

E = 2.1 106 Kg/cm2. h = 30 cm

St = EAWL St = 5.684 10-6 cm

L

h

Gambar21:Batangdengan bebanimpact

W

34

= St + hStSt 22 + = 0.01847 cm = E /L = 7758.83 Kg/cm2. Ini merupakan tegangan yang terjadi akibat beban impact palu. Bandingkan dengan tegangan yang terjadi kalau palu dibebankan di pakau secara statis :

St = 12566.03.0 = 2.39 Kg/cm2.

Tegangan hancur kayu sekitar 4 kali tegangan ijin. Misal tegangan ijin kayu 150 Kg/cm2 maka tegangan hancur = 600 Kg/cm2. Kayu tidak kuat menahan tegangan ujung paku sebesar 7758.83 Kg/cm2. Maka kayu akan hancur dan paku akan masuk kedalam kayu.

3.3. Energi Regangan dalam Geseran

Benda seperti gambar (22) memikul gaya geser P secara statis. Pada kondisi beban akhir benda berubah bentuk dengan kedua penampang bergeser relatip sebesar . Analog penjabaran seperti pada pembebanan tarik statis, energi regangan pada benda :

U = 2P (10)

Tinjau rumusan Robert Hooke untuk geser :

= G padahal = L dan

AP=

sehingga LGAP = (11)

Persamaan (11) dimasukan ke persamaan (10) didapat energi regangan :

2

2

LGAU = dan 2

2P

GALU = (12)

Kalau dibagi dengan volume AL akan diperoleh energi persatuan volume :

2 =

2

2 G= dan G2

2 = (13)

3.4 Energi Regangan Lentur

Berdasar metoda luasan bidang momen,

diperoleh :

LM

Gambar23:KantileverdenganbebanMomen

P

P

L

Gambar22:Bendadibebanigesersecarastatis

35

EIzML=

Berdasar analogi pembebanan statis tarik, pada pembebanan statis momen

diperoleh energi regangan :

2MU = ,

EIzLMU

2

2

= dan L

EIzU2

2= (14)

Dikaji balok melendut seprti gambar (24). d = dy padahal dy = y dx, sehingga :

d = y dx atau d = dxEIzMx

Elemen dx yang semula lurus menjadi

melengkung dengan sudut lengkung kedua garis singgung ujung elemen = d.

Berdasar humus (13), energi remangan dalam eleven sepanjang dx adalah :

dU = dxEIzMx2

2

Kalau energi regangan lentur seluruh elemen dijumlah, didapat :

=

=L

x

dxEIzMxU

0

2

2 atau

=

=

L

x

dxdxydEIzU

0

2

2

2

2 (15)

Contoh : Lendutan oleh Momen Lentur dan Gaya Geser

Balok kantilever berpenampang empat persegi panjang lebar b, tinggi h dengan beban statis P diujung seperti pada gambar (25). Dengan menggunakan metoda luasan bidang momen, lendutan ujung kantilever dapat dihitung.

EIzPL3

3

= (16)

Persamaan (16) merupakan lendutan hanya oleh momen lentur.

Untuk mendapatkan lendutan oleh gaya geser, dikaji elemen kecil panjang dx tinggi dy dan lebar b. Energi yang tersimpan dalam elemen tersebut adalah dU :

x

Gambar24:BalokMelendut

dxd

L

P

P

(a)

(b)

(c)PL

Gambar25:Kantileverdenganbebanterpusat

(a) Sketsabalokmelendut(b) BidangGayaLintang(c) BidangMomen

36

dU = G2

2 b dx dy Distribusi tegangan geser pada lapis y : )4(

22

2

yhIzP =

Sehingga dU = bdxdyyhGIzP 222

2

2

)4(

8 . Persamaan ini menyatakan energi geser

yang tersimpan dalam elemen. Total energi regangan geser dalam balok adalah :

= bdxdyyhGIzPUG 222

2

2

)4(

8 didapat

GIzLhPUG 20

22

=

Kalau energi regangan momen lentur dan energi regangan geser dijumlah diadapat Total energi regangan U :

GIzLhP

EIzLPU

206

2232

+= Untuk pembebanan statis U = 2P

Dengan demikian diperoleh persamaan :

2P =

GIzLhP

EIzLP

206

2232

+ atau = GIz

PLhEIzPL

103

23

+ atau

=

+

GE

Lh

EIzPL

2

23

1031

3 Untuk

101

201

Lh dan = 0.25 diperoleh :

=

+ 5.21001

1031

3

3

EIzPL = ( )0075.01

3

3

+EIzPL

Karena lendutan akibat geser sangat kecil dibanding akibat momen lentur, untuk perhitungan lendutan yang diperhitungkan hanya pengaruh momen lentur.

3.5. Beban Impact pada balok

Analogi pemecahan pembebanan impact gambar (26) seperti pemecahan beban impact pada batang tarik.

EIzWL

St 48

3

=

St hdala lendutan dibawah beban seandai nya beban bekerja secara status.

Persamaan energi adalah :

W(h+) = 23

24 LEIz atau

L

P

Gambar26:BalokdibebaniP(a)PembebananstatisP(b)PembebananImpactW

L/2 L/2

h

W(a)

(b)

37

02424

332 = h

EIzWL

EIzWL atau

0222 = hStSt Merupakan persamaan kuadrat dalam dan mempunyai akar :

hStStSt 22 ++= sama seperti persamaan (9). Contoh :

Pembebanan impact dengan h = 0.

Dengan menggunakan persamaan (9) didapat = 2 St. Difleksi sebesar ini

sepadan dengan pembebanan statis akibat P = StLEIz 248 3 atau P = 2 W.

3.6 . Persamaan Umum Energi Regangan Benda memikul beban sebarang dalam kondisi seimbang seperti gambar (27). Benda mengalami deformasi dan titik-titik dimana Pi bekerja mengalami perpin dahan. Besarnya energi regangan tidak terpengaruh oleh proses pembebanan tetapi hanya tergantung pada kondisi akhir pembebanan. Besar energi regangan : U = P1 1 + P2 2 +. + Pn n (17)

U merupakan fungsi P1, P2 , . , Pn. Untuk membuktikan energi regangan hanya tergantung pada kondisi akhir pembebanan, dikaji contoh seperti gambar (28) berikut : Balok dengan beban P ditengah bentang dan M di atas perletakan. Kalau dikaji secara terpisah hanya akibat P seperti (b) :

EIzPL48

3

1 = EIzPL16

2

1 = dan akibat M seperti (c) :

EIzML16

2

2 = EIzML32

=

L

P

Gambar28:BalokdibebaniP&M(a)PembebananstatisBersamasama(b)PembebananStatisP(c)PembebananStatisM

L/2 L/2

1

(a)

(b)

M

P

1

L

2 (c)M2

P1

P2

P3

P4

Pn1

2

34

n

Gambar27:Bendamemikulbeban

d l k d b

38

Kalau P dan M bekerja bersama secara statis seperti (a), energi regangan :

U = P (EIz

PL48

3

+EIz

ML16

2

) + M (EIz

PL16

2

+EIzML3

)

U = EIzLP

96

32

+EIz

PML16

2

+ EIzLM

6

2

(18)

Dicoba M bekerja lebih dulu baru P bekerja kemudian :

Saat M bekerja U1 = M EIzML3

= EIzLM

6

2

Saat P bekerja U2 = M EIzPL16

2

+1/2 P EIz

PL48

3

= EIz

PML16

2

+ EIzLP

96

32

Sehingga total energi regangan : U = EIzLM

6

2

+ EIz

PML16

2

+ EIzLP

96

32

sama seperti (18).

3.7. Teorema Castigliano

Akibat penambahan beban sebesar dPn energi remangan akan bertambah :

U + nn

dPPU

(19)

Pembebanan dibalik dPn bekerja lebih dulu baru P1, P2 , . , Pn bekerja kemudian. Energi regangan saat dPn bekerja : dPn dn. karena sangat kecil diabaikan. Energi regangan saat P1, P2 , . , Pn bekerja : P1 1 + P2 2 +. + Pn n + dPn n = U + dPn n (20)

Energi regangan tidak tergantung pada proses, dengan demikian persamaan (19) sama dengan persamaan (20) dan diperoleh :

nn P

U= (21)

Rumusan ini menyatakan bahwa perpindahan suatu titik sama dengan turunan parsial energi regangan ke gaya dititik itu bekerja. Rumusan tersebut ditemukan oleh seorang Italian dari Torino yang bernama Castigliano (1875). Contoh : Balok kantilever dengan beban terpusat dan momen diujung. Diminta menentukan dan diujung kantilever.

P1

P2

P3

P4

Pn1

2

34

n

Gambar29:Bendamendapat

b h b b d

dPndn

L

P

M

Gambar30:Kantileverdenganbebanterpusatdanmomen

x

39

Mx = - M P x Menggunakan persamaan (14), energi regangan :

= L dxEIzMxU 02

2

dxxEIz

PxMdxPMx

EIzMx

PU LL === 00 )(

)(

EIzML

EIzPL

23

23

+=

dxEIz

PxMdxMxEIzMxU LL === 00 )1(

)(

EIzML

EIzPL +=2

2

3.8. Teorema Betti (1872)

Benda saat memikul beban P1 dan P2 mengalami deformasi. Pada titik-titik terjadi perpindahan 1, 2, 3, 4.

Pada saat memikul P3 dan P4, pada titik-titik terjadi perpindahan 1, 2, 3, 4.

Kalau P1, P2 bekerja lebih dulu baru P3, P4 bekerja kemudian, energi regang an :

U1 = P1 1 + P2 2

U2 = P1 1 + P2 2 + P3 3 + P4 4

Total energi regangan U = U1 + U2

U = P1 1 + P2 2 + P1 1 + P2 2 + P3 3 + P4 4 (22)

Kalau dibalik, P3, P4 bekerja lebih dulu baru P1, P2 bekerja kemudian, energi regangan :

U1 = P3 3 + P4 4

U2 = P3 3 + P4 4 + P1 1 + P2 2

Total energi regangan U = U1 + U2

P1

P2

1

2

34

Gambar29:Bendamendapatmemikul2ragam

b b

P3

P4

1

2

34

40

U = P3 3 + P4 4 + P3 3 + P4 4 + P1 1 + P2 2 (23)

Karena kondisi akhir sama, persamaan (22) sama dengan persamaan (23), didapat :

P1 1 + P2 2 = P3 3 + P4 4 (24)

Rumusan (23) dikenal sebagai teorema timbal balik (Reciprocal Theorem) dari Betti.

3.9. Teorema Maxwell

Langkah sama seperti pada pembahas an teorema Betti, diperoleh rumusan :

P1 1 = P2 2

Untuk P1 = P2 diperoleh :

1 = 2 (25)

Contoh :

Dari perhitungan dengan menggunakan metoda luasan bidang momen atau analitis, akibat beban terpusat seperti gambar (31 a), didapat :

EIzPL48

3

1 = EIzPL16

2

1 =

Dan akibat beban momen seperti gambar (31 b) didapat :

EIzML32

=

Dengan menggunakan teorema Maxwell diperoleh persamaan :

P 2 = M 1 atau

2 = M EIzPL16

2

/P = EIz

ML16

2

P1

1

2

Gambar30:Bendamendapatmemikul

b b

P2

1

2

L

Gambar31:BalokdibebaniP&M (a)PembebananStatisP

(b)PembebananStatisM

L/2 L/2

1 (a)P

1

L

2 (b)M2

41

3.2.3. Penutup


Tentukan perpindahan vertikal titik D balok pada gambar (31).

3.2.3.2 Umpan balik

Teorema Castigliano merupakan cara menghitung lendutan yang paling mudah

dibanding kedua cara yang lain.


Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung lendutan balok berikut :

Hitung perpindahan vertikal titik tengah bentang C balok gambar (31) Hitung Rotasi titik-titk diatas perletakan dan ujung overstek balok gambar (31)

3.2.3.4 Rangkuman

Perhitungan lendutan yang dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda

luasan bidang momen dan teorema Castigliano akan memberikan hasil yang sama.

Untuk struktur yang relatip rumit teorema castigliano paling mudah untuk

diaplikasikan.


RA = P arah kebawah

Untuk sona 0 < x < L : Mx = - P x

U1 = dxEIPxL

0

241

2

Untuk sona L < x < 5/4 L : Mx = - P x + 5/4 P (x-L)

P

L L/4

DEI

Gambar31:Balokdenganoverstek

C

42

U2 = dxEI

LxPPxL

0

245

41

2)(

U = dxEIPxL

0

241

2 + dx

EILxPPxL

0

245

41

2)(

PU

D = =

EIPL3

485

belajar hitung rangka

Documents