8/17/2019 barisan-divergen-sejati.pdf

1/5

BAB V

BARISAN-BARISAN DIVERGEN SEJATI

5.1 Definisi

(xn) adalah barisan bilangan real.

(i)  (xn) menuju ke + , dan ditulis lim (xn) = + , jika untuk semua α ∈ R, terdapat bilangan

asli K(α), sedemikian hingga untuk n ≥ K(α), maka xn > α.

(ii) (xn) menuju ke - , dan ditulis lim (xn) = - , jika untuk semua β ∈ R, terdapat bilangan asli

K(β), sedemikian hingga untuk n ≥ K(β), maka xn  α.

Ambil K(α) ∈ N, K(α) > α 

∀ n ≥ K(α) akan diperoleh n ≥ K(α) > α, sehingga ……..

Jadi, terbukti Lim (n) = + ∼.

(b) lim (n2) = + ∼ 

Bukti :

Untuk sembarang α ∈ R, akan ditentukan K(α) ∈ N, ∋ ∀ n ≥ K(α) → ……

n ∈ N, sehingga n2 …… n

Ambil K(α) ∈ N, K(α) > …….

∀ n ≥ K(α) akan diperoleh n ≥ K(α) > ….., dan n2 ….. n

Maka diperoleh ……..

Jadi, terbukti lim (n2) = + ∼ 

(c ) Jika c > 1, maka lim (cn) = + ∼ 

Bukti :

Karena c > 1, maka dapat dimisalkan c = 1 + b, b > 0.

Untuk sembarang α ∈ R, akan ditentukan K(α) ∈ N, ∋ ∀ n ≥ K(α) → ……

8/17/2019 barisan-divergen-sejati.pdf

2/5

  c = 1 + b, b > 0, maka cn = (1 +b)

n ≥ 1 + nb

Jika diambil K(α)∈ N, K(α) …….., maka ∀ n ≥ K(α) diperoleh ……….

Sehingga, cn = (1 +b)

n ≥ 1 + nb > 1 + α > α 

Jadi, terbukti bahwa : untuk c > 1, maka lim (cn) = + ∼ 

5.2 Teorema

Suatu barisan bilangan real monoton merupakan barisan divergen sejati jika dan hanya jika

 barisan tersebut tidak terbatas.

(a) Jika (xn) barisan naik dan tidak terbatas, maka lim (xn) = + ∼ 

(b) Jika (yn) barisan turun dan tidak terbatas, maka lim (yn) = - ∼ 

Bukti :

(a) Anggap (xn) merupakan barisan naik. Jika (xn) terbatas, maka (xn) barisan konvergen.

Jika (xn) tidak terbatas, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga

xK(α) > α. …… (1)

(xn) merupakan barisan naik, sehingga untuk n ≥ K(α) berlaku …… > …….. (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :

untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk n ≥ K(α) berlaku ……

> …….., dan xK(α) > α sehingga diperoleh : xn > α.

Jadi, terbukti bahwa lim (xn) = + ∼ 

(b) (xn) barisan naik dan tidak terbatas, maka Y = -X = (-xn) merupakan barisan …..

Karena (xn) tidak terbatas, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian

hingga xK(α) > α. Untuk Y = -X, maka untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N,

sedemikian hingga yK(α) = - xK(α)  …….. (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :

untuk sembarang α ∈ R, terdapat K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk n ≥ K(α) berlaku ……

> …….., dan yK(α) = - xK(α) 

8/17/2019 barisan-divergen-sejati.pdf

3/5

5.3 Teorema

(xn) dan (yn) adalah dua barisan bilangan real, dan xn ≤ yn, ∀ n ∈ N.

(a) Jika lim (xn) = + ∼, maka lim (yn) = + ∼ 

(b) 

Jika lim (yn) = - ∼, maka lim (xn) = - ∼ 

Bukti :

(a)  lim (xn) = + ∼, artinya jika diambil sembarang α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga

untuk ……… berlaku ……… (1)

Diketahui : xn ≤ yn, ∀ n ∈ N. (2)

Dari (1) dan (2) : ∀ α ∈ R, maka ∃ K(α) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku …,

dan xn ≤ yn,∀ n ∈ N → ………….

Jadi, terbukti lim (yn) = + ∼ 

(b)  lim (yn) = - ∼, artinya jika diambil sembarang β ∈ R, maka ∃ K(β) ∈ N, sedemikian hingga

untuk ……… berlaku ……… (1)

Diketahui : xn ≤ yn, ∀ n ∈ N. (2)

Dari (1) dan (2) : ∀ β ∈ R, maka ∃ K(β) ∈ N, sedemikian hingga untuk ……… berlaku …,

dan xn ≤ yn,∀ n ∈ N → ………….

Jadi, terbukti lim (xn) = - ∼ 

5.4 Teorema

(xn) dan (yn) merupakan barisan-barisan bilangan real positif, dan untuk suatu L ∈ R, L > 0,

dipenuhi : lim  = L, maka : lim (xn) = + ∼ jika dan hanya jika lim (yn) = + ∼ 

Bukti : 

lim  = L artinya ∀ ε > 0, ∃ K(ε) ∈ N, sedemikian hingga untuk …… …..

 berlaku | 

 - L|

8/17/2019 barisan-divergen-sejati.pdf

4/5

  ⇔ ……. yn 

8/17/2019 barisan-divergen-sejati.pdf

5/5