bahan ajar matdas

T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar

kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi

dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral.

B. Prasarat

-

C. Petunjuk Belajar

Dalam perkuliahan ini, beberapa metode akan digunakan yaitu ceramah, tanya jawab, dan

diskusi. Metode ceramah dan tanya jawab akan digunakan dalam penyajian materi.

Sedangkan untuk meningkatkan pemahaman materi mahasiswa dibentuk kelompok.

Mahasiswa diberikan soal-soal latihan untuk diselesaikan dan ada soal yang dikerjakan

secara individu dan ada pula soal yang dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman dalam

kelompoknya.

D. Kompetensi Dasar dan Indikator

1. Kompetensi

Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar

kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear,

fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral dan dapat

mengerjakan soal atau permasalahan yang relevan.

2. Indikator

a. Mahasiswa memahami materi sistem bilangan real

b. Mahasiswa memahami materi ketaksamaan

c. Mahasiswa memahami materi nilai mutlak

d. Mahasiswa memahami materi akar kuadrat dan kuadrat

e. Mahasiswa memahami materi koordinat kartesius


2

f. Mahasiswa memahami materi koordinat kutub

g. Mahasiswa memahami materi sistem persamaan linear

h. Mahasiswa memahami materi fungsi

i. Mahasiswa memahami materi limit dan kekontinuan fungsi

j. Mahasiswa memahami materi turunan

k. Mahasiswa memahami materi aplikasi turunan

l. Mahasiswa memahami materi intgral

m. Mahasiswa memahami materi penggunaan integral

3. Tujuan Penulisan Bahan Ajar

Dengan ditulisnya bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar ini diharapkan dapat

membantu mahasiswa di dalam mempelajari materi sistem bilangan real, ketaksamaan,

nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem

persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan

integral.


3

BAB II

KEGIATAN BELAJAR 1

A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.

Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar

kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan linear

B. Indikator Perkuliahan

1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang sistem bilangan real,

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang ketaksamaan,

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang nilai mutlak,

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang akar kuadrat dan kuadrat,

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang koordinat kartesius dan kutub,

serta grafik,

6. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang sistem persamaan linear

C. Uraian Materi

Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan

bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

Bilangan Rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q 0.

Notasinya: Q = {x|x = , p dan q Z, dengan q 0}

contoh :

Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :

Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}

Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

1 4 57, ,

3 9 1

p

q

p

q


4

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .

Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5.

Jika Bilangan Real dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut:

Desimal Berulang dan Tak Berulang

Desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama.

contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….

13/11 =1.1818181818…

Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya

contoh : x = 0.136136136….

y = 0.271271271…..

Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional !

Desimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya,

contoh : 0.101001000100001….

Garis Bilangan

Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis

bilangan, yang disebut garis bilangan real.

N

Z Q

R

p

qp

q


5

SISTEM BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

* Sifat-sifat aljabar

* Sifat-sifat urutan

* Sifat-sifat kelengkapan

Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,

dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh:

2 + 5⅛ = 7⅛

5-0,4 = 4,6

4 x ¾= 1

3 : 4 = ¾

Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.

Contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positif

Contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut

0-1 1 2-4 25

2 3 5


6

a < b a + c < b + c

a < b a - c < b – c

a < b, c > 0 ac < bc

a < b, c < 0 ac > bc

a > 0

Jika a dan b bertanda sama maka

Sifat-sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat

cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga

tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh :

Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah!

a. -2 < -5

b.

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2

bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Untuk setiap x, a, b R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup

2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka

3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup

4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Selain interval-interval di atas juga terdapat interval-interval tak hingga

1. (–∞, b] = {x | x ≤ b}

2. (–∞, b) = {x | x < b}

3. (a, ∞] = {x | x ≥ a}

4. (a, ∞) = {x | x > a}

5. (–∞, ∞] = {x | x R}

10

a 1 1a b

b a

6 34

7 39


7

KETAKSAMAAN

Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau interval-interval dari

bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.

Cara menyelesaikan ketidaksamaan :

1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama

2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif

3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah

Contoh:

Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan

real!

a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b.

c. (x – 1)2 ≤ 4

NILAI MUTLAK

Definisi nilai mutlak :

Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan

|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

|x| dapat juga didefinisikan sebagai:

Secara Geometri:

|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.

|x – y| = jarak diantara x dan y

Sifat-sifat Nilai Mutlak

• |-a| = |a|

• |ab| = |a||b|

0,

0,

xx

xxx

2x x

aa

b b


8

• |a + b| ≤ |a| + |b|

• |x|2 = x2

• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a

• |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a

• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

Contoh:

SISTEM KOORDINAT CARTESIUS (PERSEGI PANJANG)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada

beberapa macam system koordinat yaitu:

Sistem Koordinat Cartesius;

Sistem Koordinat Kutub;

Sistem Koordinat Tabung, dan

Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat Cartesius

Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain

tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut

sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O.

Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real

positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian

pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan

bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat)

terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV

1. 5 2 6x x

2. 2 11 1x x

3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan ?t a a t

http://mathematica.aurino.com/?p=471#sistem%20koordinat%20cartesius


9

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannya

Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik

P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x|.

Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O

dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal

O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

r

O


10

Definisi

Y Perhatikan di samping.

A(x,y) Gambar di samping adalah sebuah

lingkaran pada bidang Cartesius yang

X berpusat di O(0,0) dan barjari-jari r

satuan. Titik A(x,y) adalah sebarang

titik yang terletak pada lingkaran.

Berdasarkan Definisi 1, titik A(x,y) berjarak r satuan dari titik O(0,0).

Jarak A(x,y) ke O(0,0) adalah

|AO| = r

22 )0()0( yx = r

22 yx = r

22 yx = r

2.

Contoh 1:

Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah

22 yx = 52

atau 22 yx = 25.

Lingkaran adalah tempat titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tetap.

Titik tetap itu disebut titik pusat lingkaran, dan jarak titik-pada lingkaran ke pusat adalah jari-

jari lingkaran.

r O(0,0)

Persamaan 22 yx = r

2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik

O(0,0) dan berjari-jari r.


11

Contoh 2.

Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 22 yx = 27.

Jawab:

Pusat lingkaran 22 yx = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3 satuan.

Contoh 3

Y Tulislah persamaan lingkaran yang

A(12,5) berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik

A(12,5)

O X

Jawab:

Jarak AO sama dengan jari-jari lingkaran, sebut r.

r = 22 )05()012(

= 22 512

= 25144

= 169

= 13 satuan.

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 13 satuan adalah

22 yx = 132

atau 22 yx = 169.


12

Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b)

Y Perhatikan Gambar di samping.

A(x,y) Sebuah lingkaran pada bidang

Cartesius dengan pusat P(a,b) dan

berjari-jari r. Titik A(x,y) adalah

sebarang titik yang terletak pada

lingkaran.

O X

Berdasarkan Definisi 1, pada Gambar 4, sebarang titik A(x,y) pada lingkaran berjarak r satuan

dari titik tetap P(a,b). Jarak A(x,y) ke P(a,b) adalah

r = 22 )()( ybxa

= 22 )()( byax

r 2 = 22 )()( byax .

Catatan: Untuk a = 0 dan b = 0, titik P(a,b) adalah titik P(0,0). Persamaan lingkarannya menjadi

2x + 2y = r 2 , yakni persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari

r.

Contoh:

Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah

22 )4()2( yx = 5 2 atau 22 )4()2( yx = 25.

r

P(a,b)

Persamaan 22 )()( byax = r 2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik

P(a,b) dan berjari-jari r.


13

Persamaan Lingkaran 2x + 2y + A x + B y + C = 0.

Perhatikan persamaan

2x +

2y + A x + B y + C = 0

2x + A x + 2y + B y = - C

2x + A x + 41 A 2 + 2y + B y +

41 B 2 =

41 A 2 +

41 B 2 - C

2

212

21 )()( ByAx =

41 A 2 +

41 B 2 - C.

Ini adalah persamaan lingkaran dengan

Pusat : P(-21 A, -

21 B)

Jari-jari : r = CBA 2

412

41 satuan.

Contoh:

Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya

2x + 2y - 6 x + 4 y - 12 = 0.

Jawab:

Pada persamaan 2x + 2y - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.

Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.

Pusat lingkaran : P(-21 A, -

21 B) atau P(3,-2)

Jari-jari : r = CBA 2

412

41 = 1216.36.

41

41 = 25 = 5 satuan.

Latihan

1. Lingkaran L1 = x2 + y

2 + 2x -4y – 4, lingkaran L2 mempunyai pusat di (3,5) serta

menyinggung lingkaran L1. Tentukan persamaan lingkaran L2.

2. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = 3 x dan sumbu

X di titik (4,0).

3. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran x2 + y

2 -10x – 14y -151 = 0.

4. Diketahui titik P(5,-2) dan lingkaran x2 + y

2 -3x +y – 4 = 0. Melalui P dibuat garis sehingga

menyinggung lingkaran di T, hitung panjang PT.

5. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran (x+3)2 + (y-4)

2 = 16. Hitung jarak terdekat P ke

lingkaran.


14

Garis Lurus

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah

Ax + By + C = 0,dengan A, B tak keduanya nol.

Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai

y = mx + c, dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut.

Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah

y – yo = m(x – xo).

KOORDINAT KUTUB

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan

koordinat kutub.

Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang

diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat kutub (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

r: koordinat radial

O (the pole) ray (polar axis)


15

: koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat kutub

(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil

= ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Example:

the following polar coordinates represent

the same point

(2, /3), (-2, 4 /3), (2, 7 /3), (-2, -2 /3).

Konversi koordinat kutub kedalam koordinat kartesius. Gunakan relasi:

x = r cos , y = r sin

Maka r2 = x2 + y2,

tan = y/x, jika x 0

Catt. menentukan

Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4

jadi - /2 < < /2 = arctan(y/x).

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,

= + arctan(y/x).

Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a

Untuk lingkaran berjari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin

- berpusat di (a,0): r = 2a cos

Konversikan persamaan kutub r = 2 sin kedalam sistem koordinat kartesius:


16

Kalikan kedua sisi dengan r:

r2 = 2r sin

x2 + y2 = 2y

x2 + y2 - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat kartesius adalah x2 + (y -1)2 = 1

Cari titik potong antara 2 persamaan kutub berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin )2 = 4 sin

1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0

sin2 - 2 sin + 1 = 0

(sin - 1)2 = 0 sin = 1

Jadi sudut = /2 + 2n , dimana n = 0,1,…

Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan Kutub

Cardioid:

)cos1()sin1( ardanar


17

Limaçon:

r = a + b cos , r = a + b sin

Persamaan berbentuk

r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);

dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,

2n jika n genap

Lemniscate:

Contoh: untuk

)2sin(atau )2cos( 22 arar

)2sin(42r


18

Spiral: r =

Grafik dari “butterfly curve”

r( ) = exp(cos( ))- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3


19

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Bentuk umum:

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.


20

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.

Penyajian SPL dalam Bentuk Grafik

SPL BENTUK MATRIKS

Strategi Menyelesaikan SPL

Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi

bentuk yang lebih sederhana.

Tiga Operasi Yang Mempertahankan Penyelesaian SPL

SPL

1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan


21

MATRIKS

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol

pada suatu baris.

Contoh:

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemudian tambahkan ke

pers (ii).

kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke

baris (ii).

…………(i) …………(ii) …………(iii)


pers (iii).


baris (iii).

kalikan pers (ii)

dengan (1/2).

kalikan baris (ii)

dengan (1/2).


22

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan

representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers

(i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs

(i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan

ke pers (ii)

DIKETAHUI


pers (ii).


baris (ii).

…………(i) …………(ii) …………(iii)


pers (iii).


baris (iii).

kalikan pers (ii)

dengan (1/2).

kalikan baris (ii)

dengan (1/2).


23

Bentuk Echelon-Baris

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.

3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading

1 baris berikut.

4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk echelon-baris.

CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:


24

Bentuk Umum Echelon-Baris

Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi

dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Latihan:

Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas!


25

Metoda Gauss-Jordan

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris

tereduksi.

CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1 + B2B2 B2B2

5B2+B3 B3

6 18 0 8 4 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1- 3- 0 2- 1- 0 0

0 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2

B3

⇄ B4 B3 B3/

3 -3B3+B2B2

2B2+B1B1


26

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:

Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak

penyelesaian.

Metode Substitusi Mundur

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:


27

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai.

Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Eliminasi Gaussian

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan

substitusi mundur.

CONTOH:

Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN:

Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:


28

BAB III

KEGIATAN BELAJAR 2


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan.

Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi fungsi dan limit

B. Indikator Perkuliahan

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Fungsi

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Limit

C. Uraian Materi

FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI

Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x

di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil).

Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.

Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.

Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E R,

yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti

y = x2 atau f(x) = x

2, x є R.

Contoh 1.

Fungsi f(x) = x2 memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x

2. Daerah asalnya adalah

R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).

Contoh 2.

Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah

asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.


29

Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian pada fungsi, sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan

daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }.

Contoh

jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g

adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x.

Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni

f p(x) = [f(x)]

p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

KOMPOSISI FUNGSI

Aturan fungsi komposisi

Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut

mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan x

ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalah

komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.

A B C

g h

f

x

y

z


30

Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus

f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

Perhatikan bahwa h g g h.

(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).

h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g

h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.

Contoh :

Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus:

g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.

b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.

Jawab:

a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.

(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81.

(iii) Misalkan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2 untuk semua x R.

Jadi Rf = {x R/ x 1}.

b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.

Berdarkan a(iii);

(2x + 1) 2 = 100

2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10

x = 421 atau x = - 5

21 .


31

FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut

1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β)

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuk

sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.

AOC = α dan BOC = β.

Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan (cos β, sin β).

Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah:

AB2 = (xA – xB )

2 + (yA – yB )

2

= (cos α – cos β )2

+ (sin α – sin β)2

= cos2 α – 2cosα cos β + cos

2 β + sin

2 α – 2sinα sinβ + sin

2 β

= cos2 α + sin

2 α + cos

2 β + sin

2 β – 2cos α cos β – 2sin α sin β

= 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

= 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) ........................ ( 1 )

Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh

AB2 = OA

2 + OB

2 – 2.OA.OB cos AOB

= 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β)

= 2 – 2 cos (α – β) ............................................................ ( 2 )

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:

2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

-2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

O

α β

A

B

C

X

Y


32

cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β )

Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh :

cos (α + β) = cos (α – (– β))

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)

= cos α cos β – sin α sin β

Contoh:

Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini!

a. cos (2a – b)

b. cos (2p + 3q)

Jawab:

a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b

b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q

Buktikan bahwa:

a. cos(2

- A) = sin A

b. cos8

5cos

8

1 - sin

8

5sin

8

1 = 2

2

1

c. cos p2

cos p6

+ sin p2

sin p6

= 2

1

d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2

Bukti:

a. cos(2

- A) = cos 2

. cos A + sin2

. sin A

= 0. cos A + 1 . sin A

= sin A (terbukti)

Ingat !

sin (-α ) = - sin α

cos (-α) = cos α

Jadi :

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Jadi:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β


33

b. cos8

5cos

8

1 - sin

8

5sin

8

1 = cos

8

1

8

5

= cos 4

3

= 22

1 (terbukti)

c. cos p2

cos p6

+ sin p2

sin p6

= cos pp62

= cos 3

= 2

1 (terbukti)

d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A }

= cos 2 (terbukti)

2. Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.

sin = cos 090

= cos 090

= cos 090 cos + sin 090 sin

= sin cos + cos sin

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih dua

sudut sebagi berikut:

sin = sin

= sin cos + cos sin

Ingat !!

sin 090 = cos

cos 090 = sin

Jadi:

Sin = sin cos + cos sin


34

= sin cos + cos sin

= sin cos - cos sin

3. Menentukan rumus untuk tan

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus

tan (α+β) sebagai berikut :

tan (α+β) = )cos(

)sin( =>ingat! tan α =

cos

sin

= sinsincoscos

cossincossin

=

coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

=

cos

sin.

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

= tantan1

tantan

Jadi:

sin = sin cos - cos sin

Jadi:

tan (α+β) = tantan1

tantan

Ingat: Pembilang dan penyebut

dibagi dengan cos α cosβ


35

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Menentukan Sudut Rangkap

a. Menentukan rumus sin 2α

Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat sin 2α = sin(α + α)

= sinα cosα + cosα sinα

= 2 sinα cosα

b. Menentukan rumus cos 2α

Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat cos 2α = cos(α + α)

= cosα cosα – sinα sinα

= cos2α – sin

2α

Rumus cos 2α = cos2α – sin

2α

dapat dinyatakan dalam bentuk lain

cos 2α = cos2α – sin

2α

= cos2α – (1 – cos

2α)

= cos2α – 1 + cos

2α

= 2 cos2α – 1

Jadi:

sin 2α = 2 sinα cosα

Jadi:


2α

Jadi:

cos 2α = 2cos2α – 1

Ingat !!

cos2α + sin

2α = 1

sin2α = 1 – cos

2α

cos2α = 1 – sin

2α


36


2α

= (1 – sin2α )– sin

2α

= 1 – sin2α - sin

2α

= 1 – 2 sin2α

2. Identitas Trigonometri

Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan

rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas

trigonometri

Contoh:

Buktikan identitas berikut!

a. (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α

b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3 α

c. 4

4

44

costan1

sincos

Bukti:

a. (sin α + cos α)2 = sin

2 α + 2 sin α cos α + cos

2 α

= sin2 α + cos

2 α + 2sin αcos α

= 1 + sin2 α

(terbukti)

b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga :

sin 3 α = sin (2 α + α)

= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2 α)sin α

= 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin

3 α

= 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin

3α

= 2sin α – 2 sin3 α + sin α – 2sin

3 α

= 3 sin α – 4 sin3 α

(terbukti)

Jadi:

cos 2α = 1 – 2 sin2α


37

c. 4

44

tan1

sincos =

)tan1)(tan1(

)sin)(cossin(cos22

2222

=

)cos

sincos(

cos

1

)sin.(cos1

2

22

2

22

=

)cos

sincos(

cos

1

sincos

2

22

2

22

=

)sin(coscos

1

sincos

22

4

22

=

4cos

1

1

= cos4 α

(terbukti)

Latihan

a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x 4

, tentukan tan 2x.

b. Nilai maksimum dari 25cos8sin15 xx

madalah 25. Tentukan nilai m

c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga.

Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan

d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 13

2, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B.

e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2 , tentukan nilai tan .


38

LIMIT FUNGSI

Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali

mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh

juga tidak

Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke

nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara

memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asal

fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x

mendekati a sama dengan L, ditulis

ax

lim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:

axlim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < .

Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilai

x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.

Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah

= 3

untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.

Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan ax

lim f(x) = L tidak

ada.


39


40

LIMIT SEPIHAK

Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1

Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:


41

Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5

Definisi Limit Kanan

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan εLxfδcx0δ0,εLxlimfcx

Definisi Limit Kiri

Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)

untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan εLxfδx-c0δ0,εLxlimfcx


42

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan

kontinu kiri di b


43

2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh

3. Misalkan fungsi f diberikan oleh

Tunjukkan

4. Hitunglah

0x

0x,

1x

xsin

xf

12xxxf

16xf lim0,xf lim5x1x

xtan2x

xsinxlim

0x


44

BAB IV

KEGIATAN BELAJAR 3


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan

masalah

3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

dan penafsirannya

B. Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang turunan fungsi

C. Uraian Materi

Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.

Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah

diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:

kecepatan rata-rata = diperlukanyangwaktu

ditempuhyangjarak =

waktuperubahan

jarakperubahan.

Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas

menunjukkan perubahan nilai rata-rata:

perubahan nilai rata-rata = xiabelperubahan

fungsinilaiperubahan

var.


45

Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x).

Y y = f(x) Gambar di samping adalah

f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x).

Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h))

f(a) A adalah dua titik yang terletak pada

kurva.

Apa yang terjadi jika h mendekati

O a a+h X nilai nol?

Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai

fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h.

Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-rata

nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni:

Perubahan rata-rata = iabelnilaiperubahan

fungsinilaiperubahan

var

= aha

afhaf

)(

)()(

= h

afhaf )()(.

Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju perubahan

nilai fungsi pada x = a.

Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) = 0

limh h

afhaf )()(.

Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f (a) (dibaca: f aksen a).

f (a) = 0

limh h

afhaf )()(.

Jika 0

limh h

afhaf )()( ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a.

f (a) adalah turunan fungsi f di x = a.


46

Contoh :

Misalkan f(x) = 18x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4.

Jawab:

Turunan fungsi f(x) = 18x 2 + 19x di x = 4 adalah f (4).

f (4) = 0

limh h

fhf )4()4(

= 0

limh h

hh )4.194.18())4(19)4(18( 22

= 0

limh h

hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222

= 0

limh h

hh 218163

= 0

limh

(163 + 18h)

= 163.

Turunan dari fungsi f

Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f

memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A,

f (a) = 0

limh h

afhaf )()(, f (b) =

0limh h

bfhbf )()(, … ada nilainya;

maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A.

Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f . Jadi kita memperoleh

fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu.

f : A R dengan A R.

Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus:

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(.


47

Contoh:

Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 .

Jawab:

Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 adalah

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(

= 0

limh h

xhx 33 3)(3

= 0

limh

h

xhxhhxx 33223 3)33(3

= 0

limh

h

xhxhhxx 33223 33993

= 0

limh

h

hxhhx 322 399

= 0

limh

(9x 2 + 9xh + 3h 2 )

= 9x 2 .

Turunan Beberapa Fungsi Khusus

(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta.

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(

= 0

limh h

aa

= 0.

(Lihat latihan 7 nomor 1)

Jika f(x) = a, a konstanta; maka f (x) = 0.

(2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n .

Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:


48

f(x) x x 2 x 3 x 4 … x n

f (x) 1 2x 3x 2 4x 3 … ……

Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu dapat

mengisi …… di bawah x n ?

Jika f(x) = x n , maka f (x) = nx 1n .

(3) Turunan f(x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional.

Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:

Jika f(x) = ax n , maka f (x) = anx 1n

(4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) = nx

1

Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat polanya

turunannya, yaitu:

Jika f(x) = nx

1, maka f (x) = -

1nx

n.

Karena nx

1 = x n , maka pernyataan di atas setara dengan:

Jika f(x) = x n , maka f (x) = -nx )1(n .

Turunan f(x) yaitu f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni

f (x) = 0

limh h

xfhxf )()(.


49

Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan:

1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika

ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga

fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g 0)

adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I.

2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah:

a. (f + g) (x) = f (x) + g (x).

b. (f - g) (x) = f (x) - g (x).

c. (cf) (x) = cf (x), c konstanta.

d. (f g) (x) = f(x)g (x) + g(x) f (x)

e. (f/g) (x) = 2)]([

)(')()(')(

xg

xgxfxfxg, g(x) 0.

Notasi yang juga sering digunakan adalah:

a. Jika y = u + v, maka y = u + v .

b. Jika y = u - v, maka y = u - v .

c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta.

d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3 – y

3 =2xy di titik (-1,1)

2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di sumbu

Y dan C pada kurva y = a2 – x

2. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang tersebut agar

luasnya maksimum

3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x

2 pada [-

2

1,2]

4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi

bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut

agar :

- jumlah seluruh luasnya minimum

- jumlah seluruh luasnya maksimum

5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum


50

BAB V

KEGIATAN BELAJAR 4


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi

trigonometri yang sederhana


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tak tentu

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tentu

B. Uraian Materi

Pengertian Integral

Untuk memahami pengertian operasi tentang pengintegralan, perhatikan suatu fungsi

turunan F (x) = f(x) = 2x yang dihasilkan dari berbagai dari bentuk F(x) yang mungkin. Hal ini

akan diperlihatkan pada tabel berikut.

Melalui contoh di atas jika F (x) = f(x) = 3x2, maka rumus untuk F(x) mempunyai banyak

kemungkinan, yaitu berbeda pada konstantanya, sedangkan bagian variabel x selalu berbentuk x3.

F(x) sialanPendiferen F (x) = f(x)

alanPengintegr

x3 ..…….………………..……………… 3x2

x3 - 1 ………………..………………………. 3x2

x3 + 2 ………………..………………………. 3x2

x3 + 3 ………………..………………………. 3x2

x3 + c ………………..………………………. 3x2


51

Oleh karena itu himpunan semua fungsi pengintegralan dari F (x) = f(x) = 3x2 dapat disajikan

dalam bentuk:

F (x) = x3 + c

dengan c adalah sebuah konstanta, di mana c R.

Integral Tak Tentu

Definisi:

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat F´(x) = f(x) atau F(x) dapat

didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai

himpunan anti-pendiferensialan (anti turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi

F΄(x) = f(x).

Operasi pengintegralan ditulis dengan notasi integral ∫. Misalkan ∫ f(x) dx adalah

pengintegralan dari fungsi f(x) terhadap variabel x. Hasil dari pengintegralan di atas adalah F(x)

+ C, di mana F(x) adalah fungsi integral umum dan F(x) bersifat F´(x) = f(x), f(x) disebut fungsi

integran, dan c konstanta real sembarang dan sering disebut konstanta pengintegralan.

Untuk lebih jelasnya kalian lihat contoh berikut!

1) 4x dx = 2x2 + c, jelas bahwa F(x) = 2x

2+c, sebab F (x) = 4x = f(x)

2) x2 dx = cx

3

1 3 , jelas bahwa F(x) = 3x3

1+ c, sebab F (x) = x

2 = f(x)

3) 3x2 dx = cx

4

3 4 , jelas bahwa F(x) = 4x4

3+c, sebab F (x)=3x

3 = f(x)

Teorema:

Jika n sembarang bilangan rasional keciali -1,

maka

c 1

x dx x

1 n n

n


52

f(x1)

x1

y = f(x)

f(x2)

x2

f(x3)

x3

f(xn)

xn

0 a= 0 x1 0 x2 0 x3 xn

Sifat-sifat umum integral tak tentu di bawah ini!

1. (i) cxdx

(ii) a dx ax c

2. (i) dx g(x) dx f(x) dx g(x) f(x)

(ii) dx g(x) -dx f(x) dx g(x) f(x)

3. 1- n dan rasionalbilangan n , c x

1

a dx ax 1 n n

n

Integral Tentu

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas yang di batasi oleh kurva y

= f(x) sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b, atau dalam interval tertutup [a, b] dapat ditentukan

dengan proses limit seperti berikut.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas, luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang.

Jadi L = f(x1) . x1 + f(x2) . x2 + f(x3) . x3 + … + f(xn) . xn

Dengan menggunakan notasi sigma ( ) bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat ditulis

menjadi:

n

ii xxfL1 i

. )(

Andaikan luas daerah dibawah kurva y = f(x), di atas sumbu x, antara garis x = a dan x = b

adalah L, maka n

ii xxf1 i

. )( akan mendekati L, sehingga bisa dituliskan n

ii xxfL1 i

. )( .

L1 = f(x1) . x1

L2 = f(x2) . x2

L3 = f(x3) . x3

Ln = f(xn) . xn


53

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah interval [a, b] maka

ditulis bx

xxfLa x

. )(

Bentuk penjumlahan n

ii xxf1 i

. )( disebut sebagai Jumlah Riemann.

Contoh:

Hitung

3

2

!)3( dxx

Penyelesaian:

Partisikan inteval [-2, 3] menjadi n interval bagian yang sama. Masing-masing panjangnya adalah

x = n

5.

Dalam tiap bagian interval [xi-1, xi]. Gunakan xi = xi sebagai sampel.

Diperoleh:

x0 = -2

x1 = -2 + x = -2 +n

5

x2 = -2 + 2 x = -2 +2n

5

xi = -2 + n

ixi5

2.

. ..

xn = -2 + nn

nx5

2. = 3


54

Jadi f(xi) = xi + 3 = 1 + i(n

5), sehingga

xx i

n

i if )(

1 = xx i

n

i if )(

1

= nn

in

i

5)

5(1

1

=

n

i

n

ii

nn 121

251

5

= 2

)1(2552

nn

nn

n

= 5 + n

11

2

25

Ingat:

f(x) = x + 3

Karena partisinya tetap, maka untuk

0x setara dengan n

Kita simpulkan bahwa

3

2

!)3( dxx = xx iixfLim )(

0

= nlim 5 +

n

11

2

25

= 2

35

3 -2

y = x+3

3


55

Sifat-sifat Integral tertentu

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat

sebagai berikut ini.

(1) a

a

dxxf 0)(

(2) b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

(3) b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()( , k konstanta riil sembarang

(4) b

a

b

a

b

a

dxxgdxfdxxgxf )()()()(

(5) cbadxxfdxxfdxxf

c

b

c

a

b

a

,)()()(

(6) a) Jika f(x) > 0 dalam interval a < x < b

maka

b

a

dxxf 0)(

b) Jika f(x) < 0 dalam interval a < x < b

maka

b

a

dxxf 0)(

Latihan

1. Tentukan dxxx

xx

3 24

3

4

2

2. Tentukan dxx

xx sincos3

3. Tentukan xdx7sin

4. Tentukan 29 x

dx

5. Tentukan x

dx

sin2


56

BAB VI

KEGIATAN BELAJAR 5


Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda

putar


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang luas daerah di bawah kurva

dan

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang volum benda putar.

B. Uraian Materi

Luas Daerah yang Di Batasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X

Pembahasan luas daerah dibawah kurva yang telah dipelajari dalam bagian terdahulu.

Pada sub bab ini akan diawali dengan membahas luas daerah untuk kurva yang sederhana.

Perhatikan gambar berikut!

D1

0

y

y = f(x)

x = b x = a

x

(a)

D2

0

y

y = f(x)

x = b x = a

x

(b)


57

Pada gambar 1-6 (a) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu

dan tak negatif (f(x) > 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D1 daerah yang dibatasi oleh kurva y

= f(x), sumbu x dan garis x = a dan x = b.

Luas D1 ditentukan dengan rumus

L (D1) =

b

a

dxxf )(

Pada gambar (b) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan tak positif

(f(x) < 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D2 daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu

x dan garis x = a dan x = b.

Luas D2 ditentukan dengan rumus

L (D2) =

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

atau

L (D2) = b

a

dxxf )(

Contoh:

Nyatakan dengan Integral luas daerah yang diarsir berikut:

(a) (b)

y = f(x)

y

a

c b x

y = f(x)

y

a

c d

b x


58

Penyelesaian:

(a) c

a

b

c

dxxfdxxfL )()(

(b) c

a

b

d

d

c

dxxfdxxfdxxfL )()()(

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x) merupakan

kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang di batasi oleh

kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan x = b diperlihatkan pada gambar berikut :

Luas daerah ABCD = L daerah EFCD - L daerah EFBA

=

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

=

b

a

dxxgxf )()(

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan x = b ditentukan

dengan rumus :

L =

b

a

dxxgxf )()(

dengan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b

y D

y = f(x)

c

0

A

y = g(x)

B

E F

x = a x = b

x


59

Contoh:

Hitunglah luas daerah yang di batasi oleh kurva y = 3 + x - 2x2 dan

kurva y = -2x + 3!

Penyelesaian:

Sketsa grafik :

* Dicari titik potong kurva y = 3 + x - 2x2

dan y = -2x + 3

3 + x - 2x2 = -2x + 3

2x2 - 3x = 0

x (2x - 3) = 0

x = 0 atau x = 2

3

** Dari sketsa grafik tampak bahwa untuk 2

3,0 kurva y = 3 + x - 2x

2 berada diatas kurva y =

-2x + 3, ini berarti 3 + x - 2x2 > -2x + 3

Jadi luas L = 2

3

0

2 )32(23 dxxxx

= 2

3

0

2 32 dxxx

=

23

0

23

2

3

3

2 xx

= 02

)(3

23

3

22

233

= 8

11 satuan luas.

Pengintegralan Dengan Substitusi

y

-1 0 1 2

y = -2x+3 y = 3+x-2x

2

x

Teorema: Misalkan dengan substitusi u = g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai

turunan, dxxgxgf )(')( dapat diubah menjadi duuf )( jika F(u) adalah anti

pendiferensialan dari f(u), maka:

∫ f [g(x)]g (x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F[g(x)] + c


60

Untuk menyelesaikan pengintegralan dengan substitusi ini diperlukan dua langkah

sebagai berikut:

(1) Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f [g(x)]g (x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du

(2) Mencari fungsi integral umum F(u) yang bersifat F (u) = f(u)

Contoh:

Hitunglah: ∫ (4x – 3)3dx

Penyelesaian:

Pilih u = 4x – 3

du = 4 dx

4

1du = dx

Jadi dxx3

34 = duuduu 33

4

1

4

1.

= cx

cu

cu

16

)34(

1644

1 444

Latihan

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x2 di kuadran I, garis x + y = 2,

dan garis y = 4.

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang didefinisikan

f(x) = x2 + 2x – 3, x = -3, x = 1

3. Tentukan volum benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4

diputar mengelilingi sumbu Y

4. Tentukan volum benda putar yang terjadi bila daerah diantara kurva y = x2 + 1 dan

y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu X.

5. Tentukan volum benda putar daerah yang dibatasi grafik y = x , x = 4, dan sumbu

X koordinat putar terhadap garis x = -1


61

TES KOMPETENSI AKHIR SEMESTER

1. Draw the curve r = 8 sin

2. Prove that (1 – cos 2x)(1 + cot

2x) = 1

3. Find tx

txLim

tx

22

4. Find X1, X2 and X3 from

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + X2 + X3 = 6

2X1 + X2 + X3 = 7

5. Find dx

dyif y = (3x – 2)

2(3 – x

2)2

6. If f(x) = 2x – 5 and g(x) = 392x

a. Find (f 0 g)(x)

b. Find (f 0 g)(5)


62

Daftar Pustaka

GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising. Singapore

Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th

edition, New York: John Wiley & Sons,

Inc.

M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar Perkuliahan.

Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES

Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 2. Grafindo Media Pratama. Bandung

Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 3. Grafindo Media Pratama. Bandung

Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University Press

Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga

Rochmad, Mulyono. 2005. Matematika Untuk Kelas XI Program Ilmu Alam (Kelas 2 SMA/MA).

Semarang: PT Bengawan Ilmu

Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jakarta: Erlangga

Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 2. Jakarta: Erlangga

Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 1.Jakarta: Erlangga.

Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 2.Jakarta: Erlangga.

Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson Blackie Ltd

London

Subanji. 2005. Matematika Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam (Kelas 3 SMA/MA). Semarang:

PT. Bengawan Ilmu

bahan ajar matdas

Documents