Standar Kompetensi

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat.

Kompetensi Dasar

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dan

kuadrat.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan

linear dan kuadrat serta penafsirannya.

Indikator

Menjelaskan karakteristik masalah yang mempunyai model matematika persamaan linear dan

kuadrat.

Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel sistem linearnya.

Merumuskan sistem persamaan linear yang merupakan model dari masalah.

Menentukan penyelesaian dari model matematika.

Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah.

Materi Bahasan

Sistem persamaan linear dan kuadrat ( S P L K )

Sistem persamaan Kuadrat dan Kuadrat ( S P K K )

Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan.

Inspirasi

Farid membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil seharga Rp. 3.450,00. dan Amir membeli 2

buah buku dan satu buah pensil seharga Rp. 2.100,00. Berapa yang harus dibayar jika Adi

membeli 4 buah buku dan 3 buah pensil ? Untuk mengetahui uang yang harus dibayar Adi,

persoalan tersebut diubah terlebih dahulu ke bahasa matematika dalam sistem persamaan yang

akan kita pelajari dalam pembahasan ini. Untuk itu mari kita pelajari pembahasan sistem

persamaan ini agar kita dapat mengetahui berapa rupiah uang yang harus dibayar oleh Adi

Pokok Pembahasan Materi

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat ( S P L K )

a. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

Bentuk umum :

y = ax + b …… bagian linear

y = px2 + qx + r …… bagian kuadrat berbentuk eksplisit

dengan a, b, p, q dan r bilangan-bilangan real.

Contoh :

y = 3x – 2

b. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit

Bentuk umum

px + qy + r = 0 ……………….. bagian linear

ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0 …… bagian kuadrat berbentuk implisit.

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r adalah bilangan real.

Contoh :

(i) x2 + y2 + 8 = 0

Langkah-langkah menyelesaikan SPLK

1. Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r,

Diperoleh : ax + b = px2 + qx + r

px2 + qx – ax + r – b = 0

px2 + (q – a )x + ( r – b ) = 0

2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b.

Ingat !!

- Jika D > 0, SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.

- Jika D = 0, SPLK mempunyai satu himpunan penyelesaian.

- Jika D < 0, SPLK tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh :

1. y = x – 1

y = x2 – 3x + 2

Jawab :

Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2.

Diperoleh : x – 1 = x2 – 3x + 2

x2 – 4x + 3 = 0

( x – 1 ) ( x – 3 ) = 0

x = 1 atau x = 3

Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x -1

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 ( 1, 0 )

Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 ( 3, 2 )

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { ( 1, 0 ) ; ( 3, 2 ) }.

Ayo, Uji Pemahaman !!

Tentukanlah persamaan di bawah ini yang merupakan persamaan eksplisit dan implisit.

a. y = x2 – 3x + 2

b. x = y – 1

c. x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0

d. x2 + y2 + 6 = 0

e. y = x2

Jawab : a. __________________________________________________________________

b. _________________________________________________________________

c. _________________________________________________________________

d _________________________________________________________________

e. _________________________________________________________________

Mari mencoba menyelesaikan soal berikut !

a. y = x - 3

y = x2 – x – 2

Jawab :

Subtitusikan bagian linear ………… ke bagian kuadrat ……………

Diperoleh : ……………. = …………….

……………. = …………….

……………. = …………….

……………. = …………….

Nilai x = ……. Di subtitusikan ke persamaan ………

Untuk x = ……. Diperoleh ………….

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ……..

LATIHANLATIHAN

b. y = x + 2

y = x2 – 6 + 5

Jawab :

Subtitusikan bagian linear ………… ke bagian kuadrat ……………

Diperoleh : ……………. = …………….

……………. = …………….

……………. = …………….

……………. = …………….

Nilai x = ……. Di subtitusikan ke persamaan ………

Untuk x = ……. Diperoleh ………….

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ……..

B. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat ( S P K K )

Bentuk umum : y = ax2 + bx + c dengan a 0 ; p 0 dan

y = px2 + qx + r a, b, c, p, q, r R

Langkah-langkah untuk menyelesaikan SPKK sama seperti langkah-langkah

penyelesaian SPLK

Contoh :

y = -x2 + x Tentukan himpunan penyelesaiannya dan sketsalah

y = x2 – 3x + 2 grafiknya !

penyelesaian :

- Subtitusikan y = -x2 + x persamaan y = x2 – 3x + 2 diperoleh :

-x + x = x2 – 3x + 2

2x2 – 4x + 2 = 0

x2 – 2x + 1 = 0

( x – 1 )2 = 0

x = 0

- Suntitusikan x = 1 ke y = -x2 + x, diperoleh y = (-1)2 + 1 = 0 ( 1, 0 )

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { ( 1, 0 ) }

2

1

-2 -1 1 2

-1

-2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPKK berikut !

a) y = x2 – 1

y = 1 – x2

Jawab :_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b). y = x2 – 1

y = 1 – x2

Jawab : _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

LATIHANLATIHAN

C. Merancang Model Matematika yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu

masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan.

Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu mengidentifikasi bahwa

karakteristik masalah termasuk ke dalam SPLDV, SPLTV, SPLK atau SPKK. Penyelesaian

selanjutnya melalui langkah-langkah berikut:

1. Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf).

2. Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2.

4. Tafsirkan hasil yang diperoleh dan sesuaikan dengan masalah semula.

Contoh 1

Ali, Beni dan Carli berbelanja disebuah toko buku.

Ali membeli 2 buku tulis, 1 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 4.700,-

Beni membeli 1 buku tulis, 2 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 4.300,-

Carli membeli 3 buku tulis, 2 pensil dan 1 penghapus & harus membayar Rp. 7.100,-

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil dan sebuah penghapus?

Penyelesaian:

Misal : Harga sebuah buku adalah x rupiah.

Harga sebuah pensil adalah y rupiah.

Harga sebuah penghapus adalah z rupiah.

Model matematika yang sesuai dengan persoalan di atas adalah :

2x + y + z = Rp. 4.700

x + 2 y + z = Rp. 4.300

3x + 2y + z = Rp. 7.100

yaitu merupakan SPLTV dengan variabel x, y, z.

penyelesaian SPLTV dapat diselesaikan dengan metode subtitusi, eliminasi atau gabungan dari

keduanya.

Eliminasi peubah z :

2x + y + z = 4. 700 x + 2y + z = 4.300

x + 2y + z = 4. 300 3x + 2y + z = 7.100

x – y = 400 - 2x = - 2.800

x = 1.400

subtitusi nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, diperoleh :

1.400 – y = 400 y = 1.000

Subtitusi nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, maka :

2 ( 1.400 ) + 1.000 + z = 4.700

3.800 + z = 4.700

z = 900

Jadi, Harga untuk sebuah buku adalah Rp. 1.400,00

Harga untuk sebuah pensil adalah Rp. 1.000,00

Harga untuk sebuah penghapus adalah Rp. 900,00

1. Ani berbelanja ke toko buku, ia membeli 4 buah buku gambar dan sebuah pensil, untuk itu ia

harus membayar Rp. 5.600,00. di toko yang sama Didi membeli 5 buah buku gambar dan 3

buah pensil dengan membayar uang sebesar Rp. 8.400,00. tentukanlah harga sebuah buku

gambar dan sebuah pensil ?

Jawab : _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

LATIHANLATIHAN

2. Diketahui bilangan-bilangan x, y, dan z. jumlah ketiga bilangan itu adalah 75. Bilang

pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan kedua sama dengan ¼ dari

jumlah bilangan yang lain. Carilah bilangan-bilangan itu.

Jawab: _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Contoh 2

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan konstan 80 m/detik, mobil lain bergerak dari

keadaan diam dengan percepatan konstan 8 m/detik2. Tentukan waktu yang diperlukan mobil

agar dapat menyusul mobil pertama.

Penyelesaian :

Misal : jarak yang ditempuh (dalam meter) adalah x

Waktu yang ditempuh (dalam detik) adalah t.

Untuk mobil pertama bergerak dengan kecepatan konstan Vo = 80 m/detik

Maka : x = Vo. t

x = 80 t

Untuk mobil kedua yang bergerak dengan percepatan konstan a = 8 m/detik2

Maka : x =

x = 4t2

persamaan yang diperoleh yaitu x = 80t

x = 4t2

penyelesaian dengan menggunakan metode subtitusi, yaitu dengan menyulihkan persamaan x =

80t ke persamaan x = 4t2.

80t = 4t2

4t2 – 80t = 0

4t ( t – 20 ) = 0

t = 0 atau t = 20

untuk t = 0, diperoleh x = 80 (0) = 0

UJI KOMPETENSIUJI KOMPETENSI

untuk t = 20, diperoleh x = 80 (20) = 1.600

Jadi, mobil kedua dapat menyusul mobil pertama dalam waktu 20 detik.

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 30 m/detik mobil lain bergerak dari

keadaan diam dengan percepatan konstan 10 m/ detik2. Tepat setelah mobil pertama

melewatinya. Arah kedua mobil sama. Kapankah mobil kedua dapat menyusul mobil

pertama?

Jawab :________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut ini!

a. y = 2x + 3 b. y = x – 1 c. x + 2y = 4

y = x2 y = x2 – 5x + 4 2x2 – 3xy – 2y2 = 0

Jawab : a. __________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b. _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c. _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2. Carilah himpunan penyelesaian SPKK berikut ini!

LATIHANLATIHAN

a. y = x2 – 1 b. y = 9 – x2

y = x2 – 2x – 3 y = x2 + 1

Jawab : a. __________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

b. _________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari

panjangnya, carilah panjang dan lebar persegi itu?

Jawab :____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik-titik ( 1, 4 ), ( -2, 18 ) dan ( 3, 13 ).

Carilah a, b, c kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat itu?

Jawab:____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

5. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 20m/detik. Mobil lain bergerak dari keadaan

berhenti dengan percepatan konstan 10m/detik2. tepat setelah mobil pertama melewatinya.

Arah kedua mobil sama. Kapankah mobil kedua menyusul mobil pertama? Buatlah

grafiknya!

Jawab :____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

6. Bola A dijatuhkan dari sebuah puncak gedung pada saat yang sama ketika bola B dilemparkan

vertikal ke atas dari tanah, tepat di bawah bola A. Kecepatan awal bola A = 3m/detik dan B =

6m/detik. Ketika terjadi tumbukan kedua bola sedang bergerak dengan arah yang

berlawanan. Jika tinggi gedung 10 m, maka pada ketinggian berapakah terjadi tumbukan

kedua bola itu?

Jawab :____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________