x

b

a

dc

kR),( kk yx

z

y

BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT

Oleh: ENDANG LISTYANI

KALKULUS LANJUT

A. INTEGRAL RANGKAP DUA

1. Integral Rangkap Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk

fungsi dua variabel. Integral untuk fungsi dua variabel disebut integral integral

rangkap dua. Untuk integral rangkap dua dari fungsi dua variabel daerah

batasnya terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut ini apabila

fungsi dua variabel terdefinisi pada daerah persegi panjang.

Gambar 1

Misalkan R berupa daerah persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar

sumbu-sumbu koordinat, yakni: R : {(x,y) : a≤x≤b , c≤x≤d }. Dibentuk

suatu partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini

membagi R menjadi n persegi panjang kecil , yang ditunjukkan dengan k =

1,2,...n. Tetapkan Δx k dan Δy k adalah panjang sisi-sisi Rk dan ΔA k = Δx k .

Δy k adalah luas. Pada Rk ambil sebuah titik misal ( xk , yk ) dan bentuk

penjumlahan Riemann ∑k=1

n

f ( xk , yk )ΔAk.

Definisi :

Integral Rangkap dua

Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi

panjang tertutup R, jika :

limIpI→0

∑k=1

n

f ( xk , yk )ΔAk ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut

∬R

f (x , y )dA, yang disebut integral rangkapdua dan pada R diberikan oleh

∬R

f (x , y )dA =

limIpI→0

∑k=1

n

f ( xk , yk )ΔAk

Sifat-sifat Integral Rangkap Dua :

1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

∬R

kf ( x , y )dA=k∬R

f ( x , y )dA

∬R

[ f ( x , y )+g( x , y )]dA=∬Rf (x , y )dA+∬

Rg( x , y )dA

2.∬R

f (x , y )dA=∬R1

f ( x , y )dA+∬R2

f ( x , y )dA

3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) ¿ g(x,y) untuk semua (x,y) di R,

maka :

∬Rf (x , y )dA≤∬

Rg( x , y )dA

Contoh Soal

1. Misalkan f didefinisikan sebagai berikut

f(x,y) = {1,0≤x≤3,0≤ y≤1¿ {2,0≤ x≤3,1≤ y≤2¿ ¿¿¿

hitung ∬R

f (x , y )dA dengan R = {( x , y ):0≤x≤3,0≤ y≤3¿¿

jawab :

misal persegi panjang R1, R2, R3

R1 = {( x , y ):0≤x≤3,0≤ y≤1¿¿

R2 = {( x , y ):0≤x≤3,1≤ y≤2 ¿¿

R3 = {( x , y ):0≤x≤3,2≤ y≤3¿¿ ,

gunakan sifat penjumlahan di integral rangkap dua, diperoleh :

∬R

f (x , y )dA=∬R1

f (x , y )dA+ ∬R2

f (x , y )dA+∬R3

f (x , y )dA

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

2. Tentukan∬Rf (x , y )dA

dengan f ( x , y )=64−8 x+ y2

16 ,

R = {( x , y ):0≤x≤4,0≤ y≤8 ¿¿ , dengan menghitung jumlah Riemann

Jawab :

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar

yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh

yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :

( x1 , y1 )= (1,1), f( x1 , y1 )=

1716

( x2 , y2)= (1,3), f ( x2 , y2)=

6516

( x3 , y3 )= (1,5), f( x3 , y3 )=

8116

( x4 , y 4 )= (1,7), f( x4 , y 4 )=

10516

( x5 , y5 )= (3,1), f( x5 , y5)=

4116

( x6 , y6)= (3,3), f( x6 , y6 )=

4916

( x7 , y7)= (3,5), f( x7 , y7 )=

6516

( x8 , y8 )= (3,7), f( x8 , y8 )=

8916

Jadi karena ΔA k = 4, ΔA k= Δx k Δy k= 2.2 = 4

∬R

f (x , y )dA≈∑k=1

8

f ( xk , yk )ΔAk

4

8

(4,8)

(0,8,8)

(4,8,6)

(4,0,2)

(0,0,4)

x

y

z

= 4∑k=1

8

f (xk , y k )

= 4 (57+65+81+105+41+49+65+8916

= 138

23

Soal

Hitung :

a.∫0

4

[∫1

3

( x+4 y )dx ]dy

b.∫1

3

[∫0

2

(2x+ y )dy ]dx

c.∫0

4

∫0

2

(32−4 x+ y2 )dxdy

Volume dengan Integral Rangkap dua

Jika f ( x , y )≥0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V = ∬R

f (x , y )dA, R = {( x , y ):a≤x≤b ,c≤ y≤d ¿¿ .

b

a

a b

R Gb. 1

Gambar 2

Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 3)

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) Δy

Volume Δv dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh Δv ≈ A(y) Δy ,

diintegralkan ,

V = ∫c

d

A ( y )dy, untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) = ∫a

b

f ( x , y )dx, sehingga : V =

∫c

d

[∫a

b

f ( x , y )dx ]dy …….. (2)

Dari (1) dan (2) :

LA(y)

Δyx

y

z

y Gb. 3

Gb. 2b

∬Rf (x , y )dA

= ∫c

d

[∫a

b

f ( x , y )dx ]dy begitu juga

∬Rf (x , y )dA

= ∫a

b

[∫c

d

f ( x , y )dy ]dx

Contoh

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan

dibawah persegi panjang R = {( x , y ):0≤x≤1,0≤ y≤2 ¿¿

Jawab :

Jawab :

V = ∬Rf (x , y )dA

= ∬R

( 4− x2− y )dA =

∫0

2

∫0

1

(4−x2− y )dxdy

= ∫0

2

[ [ 4 x− 13x3− yx ]0

1 ]dy= ∫0

2

(4−13− y )dy

=

163 satuan volum

12

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x

Soal

1. Misalkan R = {( x , y ):1≤x≤4,0≤ y≤2¿¿ .

, 1≤x≤3 , 0≤ y≤2 , 3≤x≤4 , 0≤ y≤2

Hitung ∬Rf (x , y )dA

2. Misalkan R = ¿¿ , 0≤ y≤2 }

R1=¿¿0≤x≤2 , 0≤ y≤1 }

R2=¿¿0≤x≤2 , 1≤ y≤2 }

Jika ∬Rf (x , y )dA

= 3, ∬Rg( x , y )dA

=5, ∬R1

g( x , y )dA= 2, tentukan :

a.∬R

[ 3 f ( x , y )−g( x , y ) ]dA

b.∬R1

2g (x , y )dA+∬R1

3dA

c.∬R2

g( x , y )dA

3. Hitung :

f ( x , y )=¿ {2 ¿ ¿¿¿

a.∫−1

4

∫1

2

(x+ y2)dydx

b.∫0

π

∫0

1

( x sin y )dxdy

4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z

= x+y+1 diatas R = {( x , y ):0≤x≤1,1≤ y≤3¿¿

Soal-soal

1. Hitung ∬R

( x2+ y2 )dA jika R = {( x , y ):−1≤x≤1,0≤ y≤2¿¿ !

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =

2x + 3y atas R = {( x , y ):1≤x≤2,0≤ y≤4¿¿