BAHAN AJAR FISIKA STATISTIKAAPLIKASI STATISTIK FERMI-DIRAC

Oleh:SRISA OKTAWERI (1305747)

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI PADANG2015

STATISTIK FERMI-DIRAC

I.GAS ELEKTRON

STATISTIK FERMI-DIRAC

A. Dasar Pemikiran Statistik Fermi-Dirac 1. Partikel identik tidak dapat dibedakan antara partikel satu dengan partikel yang lainnya.2. Memenuhi prinsip eksklusi (larangan) Pauli, dimana jumlah keadaan hanya dapat ditempati oleh satu partikel atau kosong. Dua partikel/lebih dalam masing-masing keadaan tidak diizinkan dalam statistic Fermi-Dirac. Partikel yang memenuhi statistik Fermi-Dirac disebut dengan Fermion.3. Diperuntukan partikel-partikel dengan spin tak bulat, seperti: neutron, proton, elektron, 3He yang dikenal sebagai fermion. 4. Jumlah partikel Ni dalam beberapa tingkat energy tidak boleh melebihi jumlah keadaan gi dalam tingkat tertentu.(Nigi)

B. Hukum Distribusi Fermi-Dirac Elektron bebas mempunyai spin s=1/2, sehingga bilangan kuantum magnetiknya ms=1/2; dalam keadaan tidak ada medan magnet electron memiliki 2 keadaan yang berenergi sama (degenerate). Jadi gi=2. Elektron dalam atom memiliki fungsi keadaan yang ditandai dengan bilangan-bilangan kuantum: n, l, ml, s, ms.Untuk suatu harga ada (2 +1) buah harga m ;sedangkan dengan s=1/2, ada dua harga ms=1/2, -1/2. Jadi, tanpa medan magnet, ada 2(2 +1) buah keadaan yang degenerate. Jadi gi= 2(2 +1). Berdasarkan prinsip Pauli, untuk suatu pasangan n, l, ml, s, ms hanya bisa ditempati oleh satu elektron. JadiNigi. Jika tingkat energi Ei, akan diisi dengan Ni buah elektron, maka dengan degenerasi gi, jumlah cara mengisikan partikel adalah: gi(gi-1) (gi-2).(gi-Ni+1) atau..............................................................................................................(1) Karena partikel-partikel tak dapat dibedakan maka jumlah kemungkinan distribusi untuk statistik Fermi-Dirac adalah:Wi = .....................................................................................................(2) Probabilitas termodinamik untuk setiap keadaan makro dari partikel yang memenuhi statistic Fermi-Dirac adalah:i................................(3)Jika ditulis dalam bentuk ln

Dengan menggunakan pendekatan Stirling maka diperoleh :

=

ln W= ...(4)Probabilitas termodinamik maksimum dari keadaan makro diperoleh dengan menurunkan ln w terhadap Ni

=

(5)Untuk menyelesaikan persamaan differensial diatas, perlu digunakan metode pengali tak tentu lagrange, dengan konstanta tak tentu , dimana dan atau

Sehingga distribusi Fermi-Dirac dapat dinyatakan sebagai berikut: (6)

C. Fungsi Distribusi Fermi-Dirac pada suhu 0 KAda satu ciri yang dimliki oleh statistic Fermi-Dirac dan tidak dimiliki oleh statistic Maxwell Boltzmann maupun Bose-Einstein yaitu pada suhu 0 K, fungsi distribusi Fermi-Dirac tiba-tiba diskontinu pada energy tertentu (energy maksimum).Semua fermion terkumpul pada tingkat energy dibawah energy maksimum tersebut dengan kerapatan yang persisi sama. Tiap keadaan energy diisi oleh dua fermion dengan arah spin berlawanan. Diatas energy batas tersebut tidak ditemukan satu fermion pun.Artinya diatas energi tersebut, keadaan energy kosong.Sifat ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.Fungsi distribusi Fermi-Dirac adalah :........................................................................................(7)

dalam bentuk lain fungsi distribusi Fermi-Dirac dapat ditulis sebagai :..............................................................................(8)Dalam persamaan ini kita telah mengganti nilai dan . adalah besar energi Fermi. Dari bentuk persamaan diatas dapat diidentifikasi bahwa pada saatmaka , berapapun suhu assembli. Dengan demikian dapat didefinisikan bahwa energi Fermi-Dirac sama dengan energy ketika fungsi distribusi memiliki nilai setengah. Namun pada saat suhu 0 K didapatkan bahwa fungsi distribusi Fermi-Dirac adalah :1) Jika maka ()/kT = ()/0 = sehingga

2) Jika maka ()/kT = /0 = sehingga

Hal ini menunjukkan bahwa pada T = 0, fungsi distribusi Fermi-Dirac berharga 1 untuk semua energi dibawah energi Fermi dan 0 untuk semua energi diatas energi Fermi. Jika digambar maka bentuk fungsi distribusi tersebut pada T = 0 tampak pada gambar 1

Figure 1Fungsi Distribusi fermi-Dirac pada suhu 0 K

Dengan untuk untuk Kerapatam dari elektron pada temperature 0 K adalah

(9)

D. Gas ElektronSalah satu penerapan dari statistik Fermi-Dirac adalah electron bebas yang berada pada logam konduktor.Aplikasi ini berdasarkan asumsi bahwa pada setiap bagian kisi Kristal dari logam terdapat beberapa electron valensi luar dan electron tersebut dapat bergerak dengan bebas di dalam logam. Namun ada potensial penghalang yang menyebabkan electron tidak bias keluar dari logam. Elektron-elektron bebas tersebut terkurung di dalam logam seperti molekul-molekul gas yang terkurung di dalam wadah.Sistem fisis gas electron dapat digambarkan seperti di bawahini :

Figure 2 Sistem Fisis Gas ElektronElemen ruang untuk ruang posisi dan ruang momentum berdasarkan prinsip ketidakpastian Heisenberg.

Elemen volume dalam ruang fase :(10)Jumlah keadaan electron :(11)Kerapatan electron dengan meomentum antara dan dalam kulit bola tipis adalah :

(12)Dengan

Dengan (13)

Karena tingginya nilai suhu Fermi untuk gas elektron di dalam logam diharapkan peningkatan suhu T dari nol mutlak untuk nilai di sekitar ruangsuhu hanya akan mempengaruhi elektron-elektron dengan energi yang dekatdengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 3 dimana diasumsikanbahwa dan nilai-nilai dari fungsi Fermi disertakanuntuk tiga kasus tertentu:

Figure 3 Fungsi Fermi untuk tiga kasus1. Potensial Kimia Elektron dalam logam termasuk tidak terbedakan dan memenuhi eksklusi (larangan) Pauli.Hal ini berarti gas electron memenuhi prinsip statistik Fermi-Dirac.Apabila distribusi Fermi-Dirac dinyatakan dalam :..........................................................................................(14) Pernyataan degenerasi g sebagai fungsi kecepatan :Pada statistic Fermi Dirac jumlah partikel sama dengan degenerasi sehingga

.........................................................................................(15) Pernyataaan degenerasi g sebagai fungsi energi: .........................................................................................................(16) v2= v = E1/2 v= E-1/2 E ............................................................................(17)Dengan maka persamaan g() menjadi ................................................................................................. (18)Dari persamaan di atas persamaan fermi-dirac dapat dinyatakan kembali dalam bentuk : = -1/kT dan = EF/kT..........................................................(19) Potensial kimia dapat diketahui dengan menganggap sehingga ................................................................(20) Solusi dalam bentuk deret oleh Sommerfeld :..................................................... (21) adalah energy Fermi dengan ketentuan : 1. Konstan untuk setiap logam. 2. Bergantung jumlah electron persatuan volume (N/V).

Distribusi Fermi-Dirac Gas Elektron Pada Suhu Nol MutlakDistribusi fermi-dirac pada T = 0 K: (22)Pada kasus (23)maka, (24)Pada T = 0 K jumlah elektron sama dengan jumlah keadaan energi dan semua tingkat energi di bawah EF terisi penuh elektron.Pada kasus (25) (26)Pada T= 0 K, tidak ada elektron pada tingkat ini. Energi Fermi adalah energi maksimum yang dimiliki oleh elektron pada T = 0 KGrafik fungsi distribusi elektron bebas dalam logam, pada T=0 dan dua temperatur yang lebih tinggi T1 dan T2

2. Energi Fermi Nilai ditemukan dengan menggunakan kondisi bahwa..(27)Karena bentuk dari fungsi Fermi pada T = n(E) = g(E) untuk sementara n(E) = 0 untuk jadi kondisi ini sama dengan .....(28)Kerapatan energi g() untuk volume V ...(29)Maka persamaan 29 menjadi A = N

.......(30)Kita dapat menyederhanakan persamaan diatas menjadisehingga diperoleh energi Fermi yaitu : ......(31)Energi Fermi bergantung jumlah electron persatuan volume (N/V) dan tidak bergantung temperatur.

3. Suhu Fermi pada suhu 0 K melalui hubungan...........(32)........(33)

4. Energi Rata-Rata Gas ElektronEnergi rata-rata dari electron pada T=0 adalah:.............................(34)Untukdan pada suhu T = nilai adalah sehingga diperoleh :.........(35)

......................................(36)Atau dapat juga:

Energi kinetik rata-rata yang dimiliki oleh gas electron jauh lebih besar di banding energi kinetik yang dimiliki oleh molekul gas.Energi kinetik rata-rata gas electron padasuhu 0 K hamper sama dengan energi kinetik yang dimiliki oleh molekul gas padasuhu 29.000 K.

5. Energi Total Gas ElektronBesar energi total U sistem :U = N. .........(37).....(38)Solusinya dalam bentuk deret :..(39)Untuk T = 0 K, maka energi total adalah :(40)

atauBesar energi total U sistem : (41) dE (42)Solusinya dalam bentuk deret :(43)Untuk T = 0 K, maka energy total adalah : (44)

6. Kapasitas Kalor Gas Elektron Pada Volume TetapBesar kapasitas kalor gas electron pada volume tetap :.(45)....................................................(46)Jika temperatur tidak terlalu besar, aproksimasi:............................................................................(47)Jika N bilangan Avogadro maka Nk=R dan diperoleh kapasitas kalor spesifik per mol :.(48)

7. Entropi Gas ElektronBesar entropi gas elektron :(49)(50)(51)Pada suhu nol mutlak entropi gas electron adalah nol.

8. Tekanan Gas elektronBesar tekanan pada gas elektron :Fungsi Helmholtz:.........(52)..(53)Tekanan gas elektron:.....(54)Persamaan keadaan gas elektron....(55)

II.PARAMAGNETISME PAULI

Dari hasil pengamatan diperoleh bahwa untuk logam, magnetisasi tidak bergantung pada suhu. Bagaimana menjelaskan pengamatan ini? Kontribusi terbesar paramagnetisme logam berasal dari elektron-elektron bebas dalam logam tersebut. Tiap elektron memiliki spin magnetik dengan momen magnetik spin kita simbolkan dengan . Tanpa medan magnetik, arah spin elektron acak sehingga magnetisasi total logam nol.Jika diterapkan medan magnet maka sebagian spin mengambil arah sejajar medan dan sebagaian berlawanan dengan arah medan. Jumlah spin yang searah dan berlawanan medan tidak sama sehingga magnetisasi tidak nol. Karena elektron adalah fermion maka kita harus menggunakan statistik Fermi-Dirac untuk menjelaskan fenomena ini.Jumlah partikel pada tingkat energy ke-i adalah.(56)Fungsi distribusi Fermi-Dirac sama dengan jumlah partikel pada tingkat energy ke-i perjumlah keadaan.(57)

Pada temperature 0 K fungsi distribusi Fermi berbentuk fungsi tangga

Gambar1. Fungsi fermI saat temperature 0 mutlakUntuk ,< maka f() = > maka f()=

Dalam tidak adanya medan magnet yang dikenakan disana tidak akan ada gaya luar momen magnet pada logam. Namun, ketika medan magnet H diterapkan pada logam, spin elektron-elektron memiliki momen magnetik sejajar dengan arah medan dan akan memiliki energi magnetik.

...(58)

Pengurangan dari pada itu yang spinnya memiliki moment magnetik dalam arah yang berlawanan dengan medan (di sini B, yang magneton Bohr, adalah momen magnetik karena spin dari elektron dalam medan magnet saat ini bisa memakan waktu hingga satu dari dua posisi, baik paralel atau antiparalel ke medan ) karena perbedaan energi untuk dua keadaan beberapa elektron akan menyesuaikan arah sampai lebih banyak elektron memiliki momen magnetik yang sejajar dengan medan dari pada yang memiliki arah berlawanan dengan medan. Diagram tingkat energi untuk dua keadaan spin elektron pada suhu mutlak nol yang ditunjukkan pada gambar 1 di mana kepadatan keadaan g () diambil dari persamaan (5.14) dan elektron dengan spin . diambil untuk memiliki momen antiparalel ke H. beberapa keadaan ditunjukkan sebagai karena hanya setengah dari elektron akan berada dalam keadaan spin yang diberikan. Elektron dengan spin dapat dianggap energi mereka meningkat dengan jumlah yang sementara itu spin energi mereka berkurang dengan jumlah yang sama.Ini akan terlihat dari gambar (1b) bahwa, untuk keseimbangan, elektron dengan spin dan energi yang lebih besar dari pada f (0) harus menyesuaikan arah untuk konfigurasi yang telah diberikan pada gambar (1c). Karena 0 , namum m 0 , dan m >> 1 : bahan ferromagnetikBentuk paramagnetisme ini dikenal dengan paramagnetisme pauli yang membedakannya dari sifat normal ketergantungan paramagnetisme yang sudah didiskusikan pada sesi sebelumnya seperti suhu bebas paramagnetisme. Temperatur ini hanya bergantung dari melalui energy Fermi dan variasi ini dapat diabaikan untuk rentangan suhu yang luar biasa. (hal ini harus dicatat bahwa suseptibilitas seperti yang ditunjukkan pada persamaan diatas. tidak hanya kontribusi suseptibilitas dari satu electron gas.tetapi juga kontribusi diamagnetic dari magnitude -1/3 yang timbul dari gerak tranlasi electron disamping kontribusi dari inti ion positif).

III.EMISI TERMIONIK

Elektron didalam sebuah konduktor, yang keluar menuju permukaan konduktor dengan energi yang cukup, bisa mencapai permukaan, fenomena ini disebut emisi termionik. Emisi termionik juga dapat dikatakan sebagai pancaran elektron bebas dari permukaan logam semikonduktor oleh perubahan suhu. Pada suhu yang cukup tinggi elektron dapat keluar dari permukaan logam. Pada suhu tersebut sebagian elektron memiliki energi yang sangat besar yang sanggup melewati potensial penghalang di dinding logam. Filamen didalam tabung sinar katoda dipanaskan agar elektron keluar dari logam lamen. Elektron yang keluar kemudian ditarik dengan medan listrik yang cukup besar sehingga menumbuk material luminisens pada layar untuk menghasilkan spot bercahaya. Kebergantungan arus elektron yang keluar meninggalkan permukaan logam terhadap suhu dapat kita lihat pada asumsi bahwa logam merupakan sumur potensial dengan ketinggian dinding Eo. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar dibawah yang mana elektron menempati tingkat-tingkat energi dalam sumur potensial tersebut. Pada suhuT = 0, energi maksimum yang dimiliki elektron adalah Ef (0).

Gambar : Elektron dalam logam dapat dipandang terperangkap dalam sumur potensial dengan ketinggian dinding Eo.

Elektron yang sedang bergerak ke arah permukaan logam akan meninggalkan logam jika energi kinetik dalam arah tersebut melebihi Eo. Misalkan elektron sedang bergerak ke arah x. Elektron akan lepas dari permukaan logam tersebut jika terpenuhi :

o (68)Jumlah elektron persatuan volum yang memiliki komponen kecepatan arah x antara vx dan vx+ dvx nx(vx)dvx = dvx (69)Untuk elektron, satu tingkat energi dapat ditempati oleh dua elektron dengan arah spin berlawanan. Sehingga kita kerapatan elektron dapat ditulis :

n( ) dvx dvy dvz = f (E) => =m3 dvx dvy dvz = f (E) dvx dvy dvz .. (70)

Dengan f (E) adalah fungsi Fermi-diract ,f(E) =

=

Karena kita tertarik pada elektron yang meninggalkan permukaan logam maka,fokus perhatian kita adalah pada elektron yang memiliki energi cukup jauh di atas energi Fermi. Dengan pembatasan ini maka, kita dapat mengaproksimasi (E Ef ) >> kT sehingga :

dan persamaan menjadi :

n( ) dvx dvy dvz dvx dvy dvz . (71)

substitusi persamaan 71 ke persamaan 69 kita peroleh :

nx(vx)dvx = (72)

Selesaikan satu per satuPada sumbu ydvy mis u = vy2 vy2 = vy = 1/2

du = dvy =

= =1/2 u-1/2 dufungsi gamman-1 =-1/2n= (1/2) = Karena batas dari - sampai makan 2 kali pengintegralan sehingga 2 (1/2) = =1/2 u-1/2 du=1/2 =

Pada sumbu zdvz mis u = Vz2 = Vz = 1/2 du = dvz =

=1/2 u-1/2 du

fungsi gamman-1 =-1/2n= (1/2) = Karena batas dari - sampai makan 2 kali pengintegralan sehingga 2 (1/2) = =1/2 u-1/2 du=1/2 =

nx(vx)dvx= = = = . (73) Jumlah elektron yang meninggalkan permukaan logam tiap satuan luas permukaan tiap satuan waktu dengan jangkauan kecepatan antara vx sampai vx+ dvx adalah : nx(vx)dvxAsalkan terpenuhi o. Jika q adalah muatan elektron maka rapat arus yang dihasilkan adalah : J = () d = . (74)

Untuk menyelesaikan integral persamaan 74, kita misalkan y= . dy = maka : dvx = dy (75)Untuk kepadatan arus dJvx yang berasal dari electron dengan kepadatan vx maka,dJ vx = dEodimana vx dvx telah digantikan oleh dEoKepadatan arus saturasi dengan menyatukan Eq dari wB hingga tak terbatasJ vx = dEoSelanjutnya kita tentukan syarat batas untuk u. Syarat batas bawah ekivalen dengan u = . Syarat batas ekivalen dengan u =

Gambar : Rapat arus termionik sebagai fungsi suhu. Pada perhitungan digunakan = 2,5 eV,dan juga sebagai contoh kebergantungan kerapatan arus termionik.

Dengan demikian persamaan 8 dapat ditulis menjadi : J = = dvy = = = /kT = A exp (-/kT). (76) dimana A = 4mq/ dan = () merupakan tinggi dinding potensial.

Gambar . Elektron near boundary pada logam

Anggap poros X normal ke permukaan, dan pertimbangkan dulu elektron dengan komponen kecepatan tertentu vx. Pada interval waktu dt, semua electron di dalam jarak vxdt dari permukaan akan mencapainya. Untuk permukaan area A, jumlah electron yang mencapai permukaan dalam waktu dt dengan komponen kecepatan vx sama jumlahnya dengan komponen kecepatan yang diperoleh dalam sebuah volume . Mengganti nilai V dalam Eq. (16-30), membagi kedua sisi dengan Adt, dan mengalikannya dengan beban elektron e, kita mendapatkan beban per waktu unit dan per area unit, atau kepadatan arus dJvx, yang berasal dari elektron dengan kepadatan vx.

...................................... (77)dimana vxdvx telah digantikan dengan dwx/m. Di sanalah muncul ke permukaan dari konduktor sebuah hambatan potensi, yang merupakan sebuah wilayah sempit yang memiliki sebuah bidang elektris yang diarahkan seperti halnya berangsur-angsur sebuah elektron mendekati permukaan di dalamnya. Hal inilah yang menjadi masalahnya, atau dengan kata lain, semua electron yang mencapai permukaan akan hilang. Hanya electron dengan energy besar yang cukup yang bisa mengatasi hambatan potensi, mencapai permukaan, dan berkontribusi pada arus emisi. Electron dengan energy yang lebih kecil akan dikembalikan. wBmenjadi energy kinetis terkecil, normal ke permukaan, di mana sebuah elektron harus mengatasi hambatan potensi. Kepadatan arus saturasi lalu diperoleh dengan menyatukan Eq. (2) dari wB hingga tak terbatas.

........................................ (78)

Dalam jarak penggabungan, wx selalu lebih besar dari wB. Lebih jauh lagi, wB harus lebih besar daripada wm, karena pada suhu biasa elektron pada logam tidak bocor secara spontan. Dengan demikian (wm wx)/kT, pada jarak penggabungan, merupakan angka negative yang besar, istilah eksponensial kecil, dan menggunakan perkiraan , Eq. (3) menjadi Jsat = = = = = A exp (-/kT)

.................................................................................... (79)

di mana dan .Persamaan (12) adalah persamaan Dushman untuk emisi termionis. Ini sama dalam bentuk persamaan yang berasal dari pendahulunya Richardson, berdasarkan asumsi bahwa elektron pada logam mematuhi Boltzman daripada statistik Fermi-Dirac .Sebuah teks tentang elektronik harus dilihat kembali untuk diskusi yang detail tentang penyesuaian antara eksperimen dan teori. Harus jelas di sini untuk menyatakan bahwa teori memprediksi ketergantungan fungsi yang terobservasi dari Jsat pada suhu T, dan bahwa dari eksperimen seseorang bisa menyimpulkan tinggi wB dari hambatan potensi, yang berubah menjadi sedikit tegangan lebih besar dari energi wm.

DAFTAR PUSTAKA

A.J.Pointon.1967.An Introduction to Statistical Physics for Student.London and New York:Longman

Francis Weston Sears. 1953. An Introduction to Thermodinamics, The Kinetic Theory of Gases and Statistical. Mechanics. Addision-Wesley Publishing. Company Inc.

Francis W.Sears and Gerhard L.Salinger.1974.Thermodynamics,Kinetic Theory and Statistical Thermodynamic.Addison-Wesley Publishing Company