BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT

Oleh: ENDANG LISTYANI

Volume dengan Integral Rangkap dua

Jika f ( x , y )≥0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V = ∬Rf (x , y )dA

, R = {( x , y ):a≤x≤b ,c≤ y≤d ¿¿ .

Gambar 2

b

a

a b

R Gb. 1

Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 3)

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) Δy

Volume Δv dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh Δv ≈ A(y) Δy ,

diintegralkan ,

V = ∫c

d

A ( y )dy, untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) = ∫a

b

f ( x , y )dx, sehingga : V =

∫c

d

[∫a

b

f ( x , y )dx ]dy …….. (2)

Dari (1) dan (2) :

∬Rf (x , y )dA

= ∫c

d

[∫a

b

f ( x , y )dx ]dy begitu juga

∬Rf (x , y )dA

= ∫a

b

[∫c

d

f ( x , y )dy ]dx

Contoh

LA(y)

Δyx

y

z

y Gb. 3

Gb. 2b

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan

dibawah persegi panjang R = {( x , y ):0≤x≤1,0≤ y≤2 ¿¿

Jawab :

Jawab :

V = ∬Rf (x , y )dA

= ∬R

( 4− x2− y )dA =

∫0

2

∫0

1

(4−x2− y )dxdy

= ∫0

2

[ [ 4 x− 13x3− yx ]0

1 ]dy= ∫0

2

(4−13− y )dy

=

163 satuan volum

12

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x

Soal

1. Misalkan R = {( x , y ):1≤x≤4,0≤ y≤2¿¿ .

, 1≤x≤3 , 0≤ y≤2 , 3≤x≤4 , 0≤ y≤2

Hitung ∬Rf (x , y )dA

2. Misalkan R = ¿¿ , 0≤ y≤2 }

R1=¿¿0≤x≤2 , 0≤ y≤1 }

R2=¿¿0≤x≤2 , 1≤ y≤2 }

Jika ∬Rf (x , y )dA

= 3, ∬Rg( x , y )dA

=5, ∬R1

g( x , y )dA= 2, tentukan :

a.∬R

[ 3 f ( x , y )−g( x , y ) ]dA

b.∬R1

2g (x , y )dA+∬R1

3dA

c.∬R2

g( x , y )dA

3. Hitung :

a.∫−1

4

∫1

2

(x+ y2)dydx

f ( x , y )=¿ {2 ¿ ¿¿¿

b.∫0

π

∫0

1

( x sin y )dxdy

1. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z

= x+y+1 diatas R = {( x , y ):0≤x≤1,1≤ y≤3¿¿

Soal-soal

1. Hitung ∬R

( x2+ y2 )dA jika R = {( x , y ):−1≤x≤1,0≤ y≤2¿¿ !

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =

2x + 3y atas R = {( x , y ):1≤x≤2,0≤ y≤4¿¿