1. Penerbit Erlangga BAB 1 PELUANG

2. KompetensiDasar Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi. Menghitung peluang suatu kejadian. 3. A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan (Counting Rules) didefinisikan sebagai suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Beberapa metode Pencacahan a. metode aturan pengisian tempat, b. metode permutasi, c. dan metode kombinasi. 4. 1. Aturan PengisianTempat (Filling Slots) Pada metode aturan pengisian tempat, semua hasil yang mungkin didaftar secara manual. 5. Contoh 6. 2. Notasi Faktorial Perhitungan peluang suatu kejadian dapat dipermudah bila kita mempelajari notasi faktorial. Misalkan n adalah bilangan asli, maka n! dinamakan n faktorial yang didefinisikan sebagai berikut. Jadi n! merupakan perkalian dari n bilangan asli yang terurut. Perlu diperhatikan bahwa faktorial hanya didefinisikan pada bilangan cacah dan tidak terdefinisi untuk bilangan ganjil. 7. Contoh Hitunglah nilai-nilai berikut: a. 4! b. 2! + 3! c. 12! d. 9! 5! Jawab: a. 4! = 4 3 2 1 = 24 b. 2! + 3! = (2 1) + (3 2 1) = 2 + 6 = 8 c. 12! = 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 479.001.600 8. 3. Permutasi Jika terdapat suatu himpunan dengan n unsur yang berlainan, maka banyaknya susunan (cara pengurutan) dari semua atau sebagian unsur tersebut dinamakan permutasi. Unsur-unsur tersebut tidak boleh berulang, kecuali dinyatakan secara khusus. Untuk lebih jelasnya, perhatikan huruf-hurufA, B, dan C. Dari ketiga huruf tersebut dapat disusun urutan sebagai berikut: ABC,ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Jadi, terdapat 6 buah cara untuk menyusun ketiga huruf di atas. Secara formal permutasi didefinisikan sebagai banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda, dinyatakan dengan notasi nPn. 9. Contoh 1.Tentukan banyaknya cara untuk menyusun huruf-huruf H,A,T, dan I. Jawab: n = 4 4P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 cara Susunan huruf-huruf tersebut adalah: HATI ATIH TAIH ITAH HAIT ATHI TAHI ITHA HITA AITH THAI IAHT HIAT AIHT THIA IATH HTAI AHTI TIAH IHAT HTIA AHIT TIHA IHTA 10. i. Permutasi r Unsur dari n Unsur yang Berbeda ii. Permutasi yang Memuat Unsur yang Sama iii. Permutasi Siklis iv. Permutasi Berulang 4. dengan r n. 11. 4. Kombinasi Suatu kombinasi dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi disimbolkan dengan nCn. 12. i. Kombinasi k Unsur dari n Unsur yang Berbeda Misal dari n unsur yang berbeda akan disusun k unsur tanpa memperhatikan urutan. Banyaknya cara untuk menyusun k unsur tersebut merupakan masalah kombinasi k dari n ditulis nCk, yaitu dengan k n. 13. ii. Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan Beberapa Unsur Sama Misalkan 4 bola akan diambil dari dalam kotak yang berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola hijau. Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola hijau. Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur sama.Untuk menyelesaikannya perlu beberapa tahap,yaitu: 1. menentukan banyak cara memilih 2 bola merah dari 4 bola merah yaitu 4C2, 2. menentukan banyak cara memilih 1 bola putih dari 3 bola putih yaitu 3C1, 3. menentukan banyak cara memilih 1 bola hijau dari 2 bola hijau yaitu 2C1. Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4C2 3C1 2C1 cara. 14. Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1,q2,q3, , qe. Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, , unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + + ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, , ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + + ke = k. Banyak cara pengambilan adalah 15. B. PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, DAN PELUANG SUATU KEJADIAN 1. Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Percobaan atau eksperimen adalah suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S Anggota dari ruang sampel disebut titik sampel dan banyak titik sampel dilambangkan dengan n(S). Himpunan bagian dari ruang sampel disebut dengan kejadian atau peristiwa dan dinotasikan dengan E. 16. Contoh 1. Sebuah uang logam dilemparkan sekali, tentukan: a. ruang sampel, b. titik sampel, c. contoh kejadian yang mustahil, d. kejadian yang pasti. Jawab: Uang logam terdiri atas dua sisi yaitu sisi angka (A) dan gambar (G). a. ruang sampel S = {A,G}, b. titik sampelnya yaituA dan G, c. kejadian mustahilnya adalah munculnya angka dan gambar secara bersamaan, d. kejadian pastinya adalah munculnya angka atau gambar. 17. 2. Peluang suatu Kejadian Misalkan suatu percobaan mempunyai ruang sampel yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang kejadian A dinyatakan dengan: P(A) = peluang kejadian A, n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A, (S) = banyaknya titik sampel. Peluang suatu kejadian nilainya berkisar antara 0 dan 1,ditulis 0 P(A) 1. Peluang bear kejadian bernilai 0 untuk suatu kejadian mustahil dan bernilai 1 untuk suatu kejadian yang pasti. 18. Contoh 1. Dalam pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang: a. muncul mata dadu 2, b. muncul mata dadu genap, c. muncul mata dadu prima. Jawab: S = {1,2,3,4,5,6} dan n(S) = 6 a. Misal A = kejadian muncul mata dadu 2,maka A = {2} dan n(A) = 1. Peluang munculnya mata dadu 2 adalah: b. Misal B = kejadian muncul mata dadu genap,maka B = {2,4,6} dan n(B) = 3.Peluang munculnya mata dadu genap adalah: c. Misal C = kejadian muncul mata dadu prima,maka C = {2,3,5} dan n(C) = 3 peluang munculnya mata dadu prima adalah: 19. 3. Frekuensi Harapan Banyaknya kemunculan yang diharapkan dalam suatu percobaan tersebut dinamakan frekuensi harapan Frekuensi harapan suatu kejadian, dinotasikan dengan Fr, pada percobaan yang dilakukan n kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan. 20. Contoh 21. C. KEJADIAN MAJEMUK Beberapa kejadian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan suatu kejadian baru, kejadian baru ini disebut kejadian majemuk. Dua notasi yang biasa digunakan untuk mengkombinasikan beberapa kejadian adalah notasi dan . Misal terdapat kejadian A dan kejadian B,maka: a. A B adalah kejadian A dan B Misalkan dua dadu dilempar bersama-sama sekali. Misal kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu satu pada dadu pertama dan kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu tiga pada dadu kedua, maka A B adalah kejadian munculnya mata dadu satu pada dadu pertama dan mata dadu tiga pada dadu kedua. b. A B adalah kejadian A atau kejadian B, atau kedua-duanya. Misalnya, sebuah koin dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan satu kali. Misal kejadian A adalah kejadian munculnya angka pada koin dan kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu. Maka A B menyatakan munculnya angka pada koin atau mata dadu C pada dadu, atau keduanya. 22. 1. Kejadian Saling Lepas Bila dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan maka dua buah kejadian itu dikatakan saling lepas (mutually exclusive) atau saling asing (disjoint).Dua kejadian A dan B saling lepas jika A dan B tidak memiliki titik sampel yang sama (Gambar 1.2). Contohnya pada pelemparan sekali sebuah uang logam, kejadian munculnya gambar dan kejadian munculnya angka tidak dapat terjadi secara bersamaan, maka kejadian tersebut saling lepas. Peluang kejadian A dan B pada percobaan yang sama dirumuskan sebagai berikut. 23. Pada dua kejadian yang saling lepas (A B) = . Sehingga,peluang dua kejadian A atau B yang saling lepas adalah 24. Contoh 1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10. Jawab: Perhatikan tabel penjumlahan dua mata dadu berikut. 25. Diketahui: n(S) = 36 Misalkan A = kejadian munculnya mata dadu yang berjumlah 4. A = {(1,3),(2,2),(3,1)},maka n(A) = 3. Jadi, Misalkan B = kejadian munculnya mata dadu yang berjumlah 10. B = {(4,6),(5,5),(6,4)},maka n(B) = 3. Jadi, Jika kedua mata dadu berjumlah 4, maka tidak mungkin sekaligus berjumlah 10. Sehingga A B = ,berarti A dan B adalah kejadian saling lepas. Jadi, peluang A atau B adalah 26. 2. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. Misalnya sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. Peluang dua kejadian A dan B yang saling bebas adalah 27. Contoh 1. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan mata dadu 5 pada pelemparan kedua? Jawab: n(S) = 6 MisalkanA = kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama, n(A) = 1, maka Misalkan B = kejadian munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua, n(B) = 1, maka Karena kejadian munculnya mata dadu 3 pada pelemparan pertama dan munculnya mata dadu 5 pada pelemparan kedua tidak saling mempengaruhi kejadian satu dengan lainnya, maka kejadian itu saling bebas. Jadi, peluangA dan B adalah P(A B) = P(A) P(B) = =