BAB 9PERSAMAAN PEMBEZA

SEPARA

PENGENALAN

Persamaan Pembeza Separa (PPS): Persamaan yg mempunyai suatu kaitan terbitan sebuah

fungsi dengan fungsi tersebut dan beberapa pembolehubah

Cth PPS peringkat kedua yg umum:

PPS dikelaskan kpd 3 jenis: Eliptik Parabolik Hiperbolik

GFuy

uE

x

uD

y

uC

yx

uB

x

uA

2

22

2

2

dlm pembolehubahx dan y dgn A,B,C,D,E,F,G adalah fungsidlm sebutan x dan y

jika B2-4AC< 0= 0> 0

PPS Eliptik Terdiri drpd:

persamaan Laplace Persamaan poisson

dalam p/ubah x dan y di mana A=C=1 dan B=0. Maka B2-4AC=0-4(1)(1)=-4<0

PPS Parabolik Cth: Persamaan Haba iaitu dalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=C=0. Maka B2-

4AC=0-4(1)(0)=0 PPS Hiperbolik

Cth: Persamaan Gelombangdalam p/ubah x dan y di mana A=1 dan B=0 dan C=-a2. Maka B2-

4AC=0-4(1)(-a2)=4a2 >0

02

2

2

2

y

u

x

u

),(2

2

2

2

yxfy

u

x

u

01

2

2

t

u

kx

u

02

22

2

2

y

ua

x

u

Nilai yg hendak dikira bergantung kpd keluasan domain segiempat 0≤x≤a dan 0≤y≤b

Utk memudahkan kiraan selang 0≤x≤a dan 0≤y≤b dibahagikan kpd N jalur dgn keadaan h=a/N dan k=b/N. Maka titik pd paksi x dan y bg domain segiempat seperti berikut:Pada paksi-x : xi = ih di mana i=0,1,2,....,NPada paksi-y : yj = jk di mana j=0,1,2,...,N

KAEDAH BEZA TERHINGGA

a

b

x1

y1

xi

yj

u(xi,yj) ui,j

M jalur

N jalur

Tandaan ui,j digunakan sbg penyelesaian berangka

xi+1

du = ui+1,j - ui-1,j dx i,,j 2h

du = ui+1,j - ui,j dx i,,j h

du = ui,j - ui-1,j dx i,,j h

ATAU

ATAU

DANd2u = ui+1,j - 2ui,j + ui-1,j dx2 i,,j h2

du = ui,j +1 - ui,j -1 dy i,,j 2k

du = ui,j +1 - ui,j dy i,,j k

du = ui,j - ui,j -1 dy i,,j k

ATAU

ATAU

DANd2u = ui,j +1 - 2ui,j + ui,j -1 dy2 i,,j k2

PERSAMAAN LAPLACE

02

2

2

2

y

u

x

u

ui+1,j - 2ui,j + ui-1,j + ui,j +1 - 2ui,j + ui,j -1 = 0 h2 k2

Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehiui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 ]= 0

1

1

11 4ui,jui-1,j ui+1,j

ui,j-1

ui,j+1

contoh

Bagi persamaan Laplace

0<x<1, 0<y<1

Dgn syarat sempadan

u(x, 0) = x, u(x, 1) = 1, 0 x 1

u(0, y) = y, u(1, y) = 1, 0 y 1

Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 3

02

2

2

2

y

u

x

u

Penyelesaian:

h = a/M = 1/3k = b/N = 1/3

1

1

1/3 2/30,0

1/3

2/3

Sempadan bawah : u(x, 0) = xu 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/3, 0) = 1/3 u 2,0 = u(2/3, 0) = 2/3 u 3,0 = u(1, 0) = 1

xi = (1/3) iyj = (1/3) j

i= 0 i=1 i=2 i=3

j=3

j=2

j=1

j=0

Penyelesaian:

1

1

1/3 2/30,0

1/3

2/3

Sempadan atas : u(x, 1) = 1u 0,3 = u(0, 1) = 1, u 1,3 = u(1/3, 1) = 1 u 2,3 = u(2/3, 1) = 2/3 u 3,3 = u(1, 1) = 1

1 1 1

i= 0 i=1 i=2 i=3

j=3

j=2

j=1

j=0

Penyelesaian:

Sempadan kiri : u(0, y) = yu 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/3) = 1/3 u 0,2 = u(0, 2/3) = 2/3 u 0,3 = u(0, 1) = 1

1

1

1/3 2/30,0

1/3

2/3

1 1 1

i= 0 i=1 i=2 i=3

j=3

j=2

j=1

j=0

Penyelesaian:

Sempadan kanan : u(1, y) = 1u 1,0 = u(1, 0) = 1, u 0,1 = u(1, 1/3) = 1 u 1,2 = u(1, 2/3) = 1 u 0,3 = u(1, 1) = 1

1

1

1

1

1/3 2/30,0

1/3

2/3

1 1 1

i= 0 i=1 i=2 i=3

j=3

j=2

j=1

j=0

Penyelesaian:

1

1

1/3 2/30,0

1/3

2/3

Nak cari u 1,1 , u 1,2 , u 2,1 , u 2,2 ,

1 1 1

1

1

i= 0 i=1 i=2 i=3

j=3

j=2

j=1

j=0

U 1,1 = ¼[u 1,2 + u 2,1 + u 1,0 + u 0,1 ]

U 1,2= ¼[u 1,3 + u 2,2 + u 1,1 + u 0,2 ]

U 2,1 = ¼[u 2,2 + u 1,1 + u 2,0 + u 1,1 ]

U 2,2 = ¼[u 2,3 + u 3,2 + u 2,1 + u 1,2 ]

PERSAMAAN POISSON

),(2

2

2

2

yxfy

u

x

u

ui+1,j - 2ui,j + ui-1,j + ui,j +1 - 2ui,j + ui,j -1 = f i, j

h2 k2

Utk memudahkan pengiraan ambil h = k, diperolehi

ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ]

1

1

11 4ui,jui-1,j ui+1,j

ui,j-1

ui,j+1-h2f i, j

contoh

Bagi persamaan poisson

0<x<1, 0<y<1

Dgn syarat sempadan

u(x, 0) = x3,u(x, 1) = x3 -3x+1, 0 x 1

u(0, y) = y, u(1, y) = -2y+1, 0 y 1

Dapatkan SPL dgn menggunakan KBT. Diberi M = N = 2

6x2

2

2

2

y

u

x

u

Penyelesaian:

h = a/M = 1/2k = b/N = 1/2

1

1

1/20,0

1/2

Sempadan bawah : u(x, 0) = x3

u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 1,0 = u(1/2, 0) = 0.125 u 2,0 = u(1, 0) = 1

xi = (1/2) iyj = (1/2) j

i= 0 i=1 i=2

j=2

j=1

j=0

U=0.125

U=1

Penyelesaian:

Sempadan atas : u(x, 1) = x3 -3x+1, u 0,2 = u(0, 1) = 1, u 1,2 = u(1/2, 1) = -0.375 u 2,2 = u(1, 1) = -1

1

1

1/20,0

1/2

i= 0 i=1 i=2

j=2

j=1

j=0

U=-0.375

U=-1

Penyelesaian:

Sempadan kiri : u(0, y) = y, u 0,0 = u(0, 0) = 0, u 0,1 = u(0, 1/2) = 1/2 u 0,2 = u(0, 1) = 1

1

1

1/20,0

1/2

i= 0 i=1 i=2

j=2

j=1

j=0

Penyelesaian:

Sempadan kanan : u(1, y) = -2y+1, u 2,0 = u(1, 0) = 1, u 2,1 = u(1, 1/2) = 0 u 2,2 = u(1, 1) = -1

1

1

1/20,0

1/2

i= 0 i=1 i=2

j=2

j=1

j=0

U=0

U=-1

Penyelesaian:

Nak cari u 1,1

ui,j = ¼[ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 – h2f i, j ]

u 1,1 = ¼[u0,1 + u2,1 + u1,0 + u1,2 – (1/2)2 6x1]

= ¼[0.5+0+0.125-0.375-0.25(6)(0.5)] = -0.125

U=1

U=1

U=0.125U=0

U=1/2

i= 0 i=1 i=2

j=2

j=1

j=0

U=0

U=-1

U=-0.375