Bab 4Lingkaran

April 15, 2023

Melalui Titik Di luar Lingkaran

Bergradien mMelalui Titik Singgung

Persamaan Garis Singgung

Di Satu Titik= Menyinggung

Di LuarDi DalamPada

Bentuk Umum

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Memotong Dua Titik

Persamaan Lingkaran

Tidak Memotong

Pusat P (a,b)

Pusat O (0,0)

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Lingkaran

April 15, 2023

1. Gambarlah sebuah lingkaran. Dari gambar yang kalian

buat, jelaskan apa yang dimaksud dengan busur

lingkaran, titik pusat, jari-jari, tali busur, diameter, sudut

pusat, sudut keliling, tembereng, dan garis singgung

lingkaran. Tunjukkan dengan gambar.

2. Tentukan luas dan keliling lingkaran yang mempunyai

panjang jari-jari 21 cm.

3. Buatlah garis dan persamaan x + y = 5 pada bidang

Cartesius. Berbentuk apakah garis itu?

April 15, 2023

Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.

Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

Titik C adalah titik pusat. Jarak titik-titik itu ke pusat

lingkaran dinamakan jari-jari lingkaran.

C

P

Q

R

S

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

April 15, 2023

1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r

Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dan

berjari-jari r adalah

Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di O dan

berjari-jari r maka:

L = {(x, y) | x2 + y2 = r2}

April 15, 2023

x2 + y2 = r2

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan

melalui titik P(6, 8).

Jawab:

Lingkaran berpusat di O(0, 0).

Titik P(6, 8), berarti x = 6 dan y = 8.

Akibatnya, r2 = 62 + 82 = 100.

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 100.

April 15, 2023

2.Persamaan Lingkaran Berpusat di P(a, b) dan Berjari-jari r

Persamaan lingkaran berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r adalah

Jika L himpunan titik-titik pada lingkaran berpusat di P dan

berjari-jari r maka:

April 15, 2023

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

{(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran

yang berpusat di P(4, 6) dan

menyinggung garis x = 2.

Jawab:

Pusat P(4, 6) dan menyinggung

garis x = 2. Jadi, jari-jari

lingkaran adalah 4 – 2 = 2.

(x – 4)2 + (y – 6)2 = 22

(x – 4)2 + (y – 6)2 = 4

April 15, 2023

x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = 0

Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 mempunyai pusat P(–A, –B) dan jari-jari

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0.

Jawab:

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0.

2A = –6 A = –3

2B = –4 B = –2

C = –3

P(–A, –B) = P(–(–3), –(–2)) = P(3, 2)

April 15, 2023

1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

a. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Berpusat di O(0, 0)

April 15, 2023

Titik A dan P di dalam lingkaran.

Titik C dan R di luar lingkaran.

Titik B dan Q pada lingkaran.

Kedudukan tersebut ditentukan

berdasar ketentuan berikut.

1) Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran berpusat

O(0, 0) jika x2 + y2 < r2.

2) Titik A(p, q) terletak pada lingkaran berpusat

O(0, 0) jika x2 + y2 = r2.

3) Titik A(p, q) terletak di luar lingkaran berpusat

O(0, 0) jika x2 + y2 > r2.

April 15, 2023

1) Titik A(p, q) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika

(x – a)2 + (y – b)2 < r2.1) Titik A(p, q) terletak pada

lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.1) Titik A(p, q) terletak di luar

lingkaran yang berpusat di P(a, b) jika

(x – a)2 + (y – b)2 > r2.

X

Y

b

a

L’

0

P(a, b)

L

April 15, 2023

b. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Berpusat di P(a, b)

Contoh:

Tentukan kedudukan titika. K(2, 3) terhadap lingkaran L : x2 + y2 = 25;b. K(4, 5) terhadap lingkaran L : (x – 1)2 + (x – 3)2 = 9.

Jawab:

Titik K(2, 3); Lingkaran L berpusat di O(0, 0).

22 + 32 = 13 < 25

Titik K terletak di dalam lingkaran L.

a.Titik K(4, 5); Lingkaran L berpusat di P(1, 3).

(4 – 1)2 + (5 – 3)2 = 13 > 9

Titik K di luar lingkaran L.

April 15, 2023

Misal persamaan lingkaran L = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

dan garis g : y = mx + n.

Substitusi persamaan g ke L memperoleh bentuk

ax2 + bx + c = 0, dengan diskriminan.

Kedudukan garis ditentukan nilai D.

Jika D < 0, garis g tidak memotong dan tidak menyinggung

lingkaran L.

Jika D = 0, garis g menyinggung lingkaran L.

Jika D > 0, garis g memotong di dua titik pada lingkaran L.

D = b2 – 4ac

April 15, 2023

2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Contoh:

Tentukan kedudukan garis y = 2x terhadap lingkaran x2 + y2 = 25.Jawab:

Substitusi y = 2x ke persamaan x2 + y2 = 25 sehingga diperoleh

x2 + (2x)2 = 25

5x2 – 25 = 0

D = 02 – 4(5)(–25) = 500 > 0.

5x2 – 25 = 0

5(x - )(x + ) = 0

x1 = − dan x2 = .

Substitusikan x1 dan x2 ke y = 2x sehingga diperoleh titik

potongnya, yaitu (− , −2 ) dan ( , 2 ).April 15, 2023

5 555

55

55

1. Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik

R(x1, y1) seperti pada gambar adalah

April 15, 2023

x1x + y1y = r2

Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di

titik Q(x1, y1) seperti pada gambar di atas adalah

April 15, 2023

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 di

titik A(1, ).

Jawab:

Titik A(1, ) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 4 (tunjukkan).

Dengan menggunakan rumus x1x + y1y = r2, diperoleh

1(x) + y = 4

x + y – 4 = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

x + y – 4 = 0.April 15, 2023

3

3

3

3

3

Contoh 2:Tentukan persamaan garis singgung lingkaran(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 di titik B(–1, 2).Jawab:

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(–1 – 1)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4

(–2)(x – 1) + (2 – 2)(y – 2) = 4

–2(x – 1) = 4

–2x = 2

x = –1

Jadi, garis singgung yang dimaksud adalah x = –1.

April 15, 2023

1) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada

lingkaran x2 + y2 = r2.

x1x + y1y = r2

2) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada

lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

3) Persamaan garis singgung di titik R(x1, y1) pada

lingkaran x2 + y2+ 2Ax + 2By + C = 0.

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

April 15, 2023

Agar mudah diingat!

2. Garis Singgung Lingkaran jika diketahui Gradiennya

Nilai n ditentukan dengan langkah-langkah berikut.Langkah 1:Substitusikan y = mx + n ke persamaan x2 + y2 = r2

Persamaan kuadrat hasil substitusi variabel x, yaitu(1 + m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0.

April 15, 2023

Misal persamaan ling-karan L : x2 + y2 = r2 dan garis singgungnya y = mx + n.

Langkah 2:

Tentukan nilai diskriminan D.

D = 0 (karena garis menyinggung lingkarannya).

D = –4(n2 – r2 – m 2r2) = 0 sehingga diperoleh

Langkah 3:

Dengan menyubstitusikan nilai n1 dan n2 diperoleh

persamaan garis singgung .

Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

dengan gradien m adalah sebagai berikut.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 dengan gradien 3.

Jawab:

r =

m = 3.

Jadi, persamaan garis singgungnya ada 2, yaitu

1.

2.

April 15, 2023

10

April 15, 2023

3. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung yang melalui titik C di luar lingkaran seperti pada gambar adalah

y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1.

Langkah-langkahnya:

Langkah 1:

Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran

sehingga diperoleh persamaan kuadrat.

Langkah 2:

Tentukan nilai diskriminan D dari persamaan yang

diperoleh pada Langkah 1.

Karena persamaan garis singgung, syaratnya D = 0.

Dengan demikian, akan diperoleh nilai m.

Langkah 3:

Substitusikan kedua nilai m ke persamaan y= mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh dua persamaan garis singgung yang dimaksud.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25

yang ditarik dari titik (10, 0) di luar lingkaran.

Jawab:

Gradien m melalui titik (10, 0) di luar lingkaran.

y = mx – mx1 + y1 y = mx – m(10) + 0 y = mx – 10m.

Langkah 1:

Substitusikan y = mx – 10m ke persamaan lingkaran

x2 + y2 = 25

x2 + (mx – 10m)2 = 25

x2 + (m2x2 – 20m2x + 100m2) – 25 = 0

(1 + m2)x2 – 20m2x + (100m2 – 25) = 0

April 15, 2023

Langkah 2:

Nilai diskriminan D = b2 – 4ac

= (–20m2)2 – 4(1 + m2)(100m2 – 25)

= 400m4 – 400m2+ 100 – 400m4 +

100m2

= –300m2 + 100

D = 0 –300m2 + 100 = 0

300m2 = 100

April 15, 2023

Langkah 3:

Substitusikan m1 dan m2 ke y = mx – 10m.

Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

dan

April 15, 2023

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah

y – y1 = m(x – x1), dengan

Persamaan garis singgung lingkaran berpusat O(0, 0), jari-jari r, dan melalui titik (x1, y1) adalah y – y1 = m(x – x1), dengan

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 yang melalui titik (8, 0).

Jawab:

Diketahui a = 1, b = 2, r = 2, x1 = 8, dan y1 = 0.

Kita tentukan gradien (m) terlebih dahulu.

April 15, 2023

Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y – y1 = m(x – x1)

y – 0 = 0(x – 8)

y = 0

dan

April 15, 2023