persamaan diferensialsabri.staff.gunadarma.ac.id/downloads/...+persamaan+diferensial.pdf · pd...

Persamaan DiferensialDr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Definisi

• Persamaan diferensial (PD)/differential equation (DE) adalah sebuah persamaan yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunannya

• Sebuah PD dikatakan `PD biasa' (ordinary differential equation) jika fungsi yang dimaksud hanya bergantung pada satu variabel bebas. Jika bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka PD tersebut dikatakan`parsial' (partial differential equation)

• Orde dari sebuah PD adalah turunan tertinggi dari fungsi yang ada pada PD tersebut

Contoh

PD Biasa orde 1

PD Biasa orde 2

PD Biasa orde 3

PD Biasa orde 2

PD Parsial orde 2

Notasi

• Misalkan y=f(x). Notasi y', y'',y''', y(4), ..., y(n) secara berurutan menyatakan turunan pertama, kedua, ketiga, keempat, sampai ke-n (atau dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, d4y/dx4,...,dny/dxn).

Solusi dari PD

• Sebuah solusi dari PD dengan fungsi tak-diketahui y dan variabel bebas x pada interval I, adalah fungsi y(x) yang memenuhi PD yang identik untuk semua x dalam interval I

• Solusi dari PD:– Tak-hingga solusi– Tidak ada solusi– Solusi tunggal

• Periksalah apakah y(x)=c1sin x + c2cos x, di mana c1 dan c2 adalah sebarang konstanta, merupakan solusi dari y''+4y=0 dalam interval (-∞,∞) ?

• Periksalah apakah y=x2-1 merupakan solusi dari PD (y')4+y2=-1

• Tentukan solusi dari (y')4+y2=0

• Solusi khusus dari sebuah PD adalah sebarang sebuah solusi dari himpunan solusi untuk PD tersebut

• Solusi umum dari sebuah PD adalah himpunan dari semua solusi untuk PD tersebut

Problem nilai awal

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang sama, maka kondisi ini disebut problem nilai awal

• Contoh:

Problem nilai batas

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannya diberikan nilai pada variabel bebas yang berbeda, maka kondisi ini disebut problem nilai batas

• Contoh:

Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial

• Sebagian besar, namun tidak semuanya, PD orde satu dapat dituliskan dalam bentuk standar

y'=f(x,y).• f(x,y) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk M(x,y)/-N(x,y),

sehingga diperoleh bentuk diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy=0.

Tuliskan PD berikut dalam bentuk standar, jika memungkinkan1. xy'-y2=02. exy'+e2xy = sin x3. (y'+y)5=sin(y'/x)

Tuliskan dalam bentuk diferensial: y(yy'-1)=x

Jenis-jenis PD orde satu (First order DE)

• PD homogen• PD variabel terpisah• PD eksak• PD linier orde satu• PD non linier orde satu (PD Bernoulli)

PD homogen (homogenous DE)

• PD orde satu dalam bentuk y'=f(x,y) dikatakan homogen jika, untuk sebarang bilangan real t, berlaku:

f(tx,ty)=f(x,y)

Periksalah apakah PD berikut homogen:

Persamaan diferensial terpisahkan (separable DE)

Bentuk umum:

Solusi:

Periksalah apakah PD berikut terpisahkan

Carilah solusi dari PD berikut:

2

2 3

2

1. 02. '

23.

4. 0; (0) 1x

xdx y dyy y xdy xdx ye dx ydy y

Persamaan diferensial eksak

Sebuah persamaan diferensial

adalah eksak jika terdapat fungsi g(x,y) sehingga

Persamaan diferensial eksak: uji eksak

Jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di domain persegi panjang pada bidang xy, maka:

adalah eksak jika dan hanya jika

• Periksalah apakah PD berikut adalah eksak

Persamaan diferensial eksak: solusi

1. Temukan g(x,y) dengan mencari solusi persamaan

2. Solusi: g(x,y)=c, di mana c adalah sebarang konstanta

• Carilah solusi dari PD eksak berikut:

1.

2.

• Apakah PD terpisahkan adalah selalu eksak?

Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi umum

Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi khusus

Persamaan diferensial homogen tingkat dua

Persamaan diferensial homogen tingkat dua: solusi umum

Persamaan diferensial Bernoulli

• Bentuk umum:

• Solusi: gunakan substitusi

sehingga bentuk umum di atas menjadi persamaan diferensial linier dalam z(x). • Carilah solusi dari y'+xy=xy2