persamaan kuadrat
Post on 11-Dec-2014
422 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Disusun Oleh:
Nama : Sulistia Ningrum
Nim : 06111408011
Prodi : Pendidikan Matematika
Kampus Palembang
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
TAHUN AJARAN 2012
1
Peta Konsep
2
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya dua. Bentuk umun
persamaan kuadrat dengan variabel X adalah sebagai berikut.
Dengan a,b,c bilangan real dan a ≠ 0
Bentuk umum persamaan kuadrat diatas disebut juga persamaan kuadrat bentuk real.
Dari bentuk umum diatas dapat diperoleh bentuk-bentuk yang lain,yaitu:
1. Jika a,b,dan c bilangan rasional,maka diperoleh persamaan yang
disebut persamaan kuadrat rasional.
2. Jika a = 1,maka diperoleh persamaan yang dimaksut dengan
persamaan kuadrat biasa.
3. Jika b = 0,maka diperoleh persamaan a yang disebut persamaan kuadrat
sempurna.
4. Jika c = 0,maka diperoleh persamaan yang dimaksud dengan
persamaan kuadrat tak lengkap.
2. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
Untuk menyelesaikan Persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara sebagai berikut:a. Memfaktorkan , b. Melengkapkan bentuk kuadrat.c. Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat).
a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
1. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
3
Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, diperlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
ax2 + bx + c = ( x + m)(x + n)dengan m + n = b dan mn = c
2. Menggunakan Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan
Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, perlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
ax2 + bx + c = ( ax + m)(ax + n)
dengan m + n = b dan mn = ac
Contoh :
Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan!
a. x2 + 2x – 15 = 0 b. 4x2 + 5x – 21 = 0
Jawab :
a. x2 + 2x – 15 = 0x2 + 2x – 15 = 0 = (x + m)( x + n), dengan m + n = 2, mn = -15 Nilai m dan n yang mungkin adalah 5 dan -3, sehingga x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0 x = -5 atau x = 3Jadi, himpunan penyelesaian nya adalah {-5, 3}.
b. 4x2 + 5x – 21 = 0
(4x + m)(4x+ n) = 0, dengan m + n = 5 dan mn = (-21) = -84, maka nilai m
dan n yang mungkin adalah 12 dan -7, sehingga4x2 + 5x – 21 = 0
(4x + 12)(4x - 7) = 0
(x + 3)(4x - 7) = 0
x = -3 atau x =
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah { -3, }
4
b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat
Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk Kuadrat dilakukan dengan cara
mengubah bentuk ax2 + bx + c kebentuk (x+p)2 = q. Hal yang mendasari penggunaan cara ini adalah dengan mengubah ruas kiri persamaan ax2 + x + c, menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Contoh :Dengan cara melengkapkan kuadrat, tentukan penyelesaian dari persamaan berikut!a. x2 – 2x – 4 = 0Jawab :a. .x2 – 2x – 4 = 0Mula-mula pidahkan konstatnta (-4) ke ruas kanan, sehingga x2 – 2x – 4 = 0,
kemudian tambahkan kedua ruas dengan( )2 = 1, sehingga diperoleh:
. x2 – 2x + 1 = 4 + 1(x – 1)2 = 5
x – 1 =
x = 1 + atau x = 1 -
c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kudarat ax2 + bx + c = 0, dengan a 0.
Maka nilai x1 dan x2 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
Contoh :Dengan menggunakan rumus kuadrat tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat
berikut !a. x2 + 3x – 4 = 0Jawab :a. x2 + 3x – 4 = 0, koefisien dari x2 adalah a = 1, koefisien dari x adalah b = 3 dan
suku tetap c = -4.
= =
=
5
X1 = 1 atau x2 = = -4
jadi penyelesaian adalah 1 dan -4.
3. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Akar-akar persamaan kauadrat dengan a,b,c dan a ≠ 0 adalah
. Bilangan disebut diskriminan dari persamaan
dilambangkan dengan D. Diskriminan akan memengaruhi jenis-jenis akar-
akar persamaan kuadrat.Jika D = 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real atau
akar-akar kembar. Jika D>0,maka merupakan bilangan real sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar yang berlainan. Jika D < 0 maka merupakan bilangan imajiner
(khayal) atau tidak real. Dapat dikatakan bahwa,jika D < 0,maka persamaan kuadrat tidak
mempunyai akar real atau kedua akarnya merupakan bilangan imajiner (khayal).
Dari pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan kuadrat
, dengan D = b2-4ac,berlaku sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai
berikut.
1. D > 0 Kedua akar nyata dan berbeda. Jika D merupakan suatu kuadrat
sempurna maka kedua akar adalah rasional,jika tidak maka kedua akar
tersebut adalah bilangan irasional.
2. D = 0 Kedua akar real sama ( kembar )
3. D < 0 Kedua akar tidak nyata ( khayal )
4. D 0 Kedua akarnya nyata
6
Contoh Soal :
1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut.
a.
b.
c.
Penyelesaian :
a.
D = b2- 4ac
= 32- 4(1)(-28)
= 9 +112
= 121
D > 0 maka akar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang berlainan
b.
D = b2- 4ac
= 122- 4(4)(9)
= 144 -144
= 0
D = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang sama atau
akar-akar kembar.
c.
D = b2- 4ac
= 42- 4(3)(6)
= 16 - 72
= -56
7
D < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang merupakan
bilangan imajiner (khayal).
4. DISKRIMINAN
Jenis – jenis akar dari persamaan kuadrat dapat ditentukan
berdasarkan yang sering dinotasikan dengan huruf D dan disebut diskriminan.
Perhatikan skema sifat akar berikut
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan ( D = )
a. Jika D ≥ 0 maka kedua akarnya nyata (real).
b. Jika D > 0 maka kedua akarnya nyata dan berbeda ( .
i. D = , maka kedua akarnya rasional (terukur).
ii. D , maka kedua akarnya irasional (tidak terukur).
k bilangan bulat.
c. Jika D = 0 maka kedua akarnya nyata dan sama/akar kembar ( , serta
rasional.d. Jika D < maka kedua akarnya tidak nyata (tidak real), tidak real sering dosebut khayal
atau imajiner.
8
Contoh 1:Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut:
1. 2x2 + 4x –1 =02. 4x2 + 12x +9 =0
Jawab:
a. 2x2 + 4x –1 =0,
D= b2 – 4ac D= 42 – 4.2.(-1) = 16 +8 D= 24Jadi D>0 , tetapi Bukan Bilangan kuadrat sehinggaakar-akarnya: Real, Berbeda, bilangan Irasional
b. 4x2 +12 4x +9 =0,
D= b2 – 4ac D= 122 – 4.4.9 = 144-144 = 0
Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Real, kembar, bilangan rasional
Contoh 2:
Tentukan nilai m agar x2 + (m+3)x + 4m-3 =0 mempunyai akar kembar !
Jawab:
a= 1 , b= m+3, c= 4m-3 akar kembar , syarat D=0D= b2 – 4ac =0(m+3)2 – 4.1 (4m-3)=0m2 +6m + 9 – 16m +12 =0m2 - 10m + 21=0(m-7 )(m-3) =0(m-7 )=0 atau (m-3) =0
Jadi, akar-akarnya adalah m=7 atau m=3
5. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Kita ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0) ditentukan dengan
rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut
9
x1 = atau x2 =
Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan rumus jumlah akar-akar (x1 + x2) dan
hasil kali akar-akar (x1 . x2) persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 yang dinyatakan dalam
koefisien-koefisien a, b, dan c.
Jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) dapat ditentukan dengan
manipulasi aljabar dan perhitungan teknis sebagai berikut
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat :
x1 + x2 =
=
=
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
x1 . x2 =
=
=
=
=
=
Hasil perhitungan diatas menunjukan berlakunya sifat berikut
10
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0, dengan a ≠ 0, maka
jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadarat itu di tentukan dengan rumus :
x1 + x2 = dan x1 . x2 =
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk :
a. menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat,
b. menghitung koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi
sifat-sifat tertentu,
c. menyusun persamaan kuadrat.
a. Menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri atas dua variabel dikatakan simetri/setangkup jika
letak peubah itu ditukarkan maka nilai bentuk itu tetap.
Bentuk a + b; a2 + b2; merupakan contoh bentuk simetri, sebab
a + b = b + a; a2 + b2 = b2 + a2;
tetapi, a – b; a2 – b2; bukan bentuk simetri, sebab
a – b ≠ b – a; a2 – b2 ≠ b2 – a2;
Bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat dapat dihitung tanpa harus
menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu. Agar lebih jelas, simaklah beberapa
contoh berikut
Contoh 1 :
Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 adalah x1 dan x2. tanpa harus menyelesaikan
persamaannya terlebih dahulu, hitunglah :
a) x1 + x2 c) x12 + x2
2
11
b) x1 . x2 d)
Jawab :
Persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 3, dan c = -1.
a) x1 + x2 = =
b) x1 . x2 =
c) x12 + x2
2 = x12 + 2x1 . x2 + x2
2 – 2x1 . x2
= (x1 + x2)2 – 2x1 . x2
=
=
= 9 + 2 = 11
d)
b. Menghitung koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memiliki ciri-ciri
tertentu
Dalam pasal ini akan dibahas cara menghitung koefisien persaman kuadrat yang akar-
akarnya memiliki ciri-ciri tertentu tetapi dikaitkan dengan jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil
kali akar-akar (x1 . x2) dari persamaan kuadrat yang diketahui. Cirri-ciri tertenu yang
dimaksud itu, misalnya :
salah satu akarnya dua kali akar yang lain
salah satu akarnya dua lebihnya adri akar yang lain
12
salah satu akarnya lawan dari akar yang lain
salah satu akarnya kebalikan dari akar yang lain, dan sebagainya.
Contoh 1 :
Salah satu akar persamaan x2 + 6x + p = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai p?
Jawab :
Kofisien-koefisien x2 + 6x + p = 0 adalah a = 1, b = 6, dan c = p.
Jika akar-akar persamaan itu x1 dan x2 maka x1 = 2x2 (perhatikan pada soal: salah satu
akarnya 2 akar yang lain).
Rumus jumlah akar-akar : Rumus hasil kali akar-akar :
x1 + x2 = x1 . x2 =
2x2 + x2 = -6 (-4)(-2) = p
3x2 = -6 p = 8
x2 = -2 jadi, nilai p = 8
Dari x1 = 2x2 diperoleh x1 = 2(-2) = -4
Contoh 2 :
Persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α2 + β2 = 45,
hitunglah nilai p.
Jawab :
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 adalah a = 1, b = -(p + 3), dan
c = 3p, sehingga
13
(α + β) =
= p + 3
(α . β) =
α 2 + β2 = (α + β)2 - 2α . β
= (p + 3)2 – 2(3p)
= p2 + 6p + 9 – 6p
= p2 + 9
Diketahui α2 + β2 = 45, maka
p2 + 9 = 45
p2 = 36
p = -6 atau p = 6
jadi nilai p = -6 atau p = 6
Jumlah dan hasil kali akar-akar dapat digunakan untuk membedakan cirri akar yang
satu dengan akar yang lain dalam sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real.
Perbedaan cirri akar yang satu dengan akar yang lain itu dapat dideskripsikan sebagai berikut.
1. akar yang satu merupakan lawan akar yang lainnya atau sering dikatakan akar-
akarnya berlawanan : x1 = -x2
x1 = -x2
x1 + x2 = 0
b = 0
14
2. akar yang satu merupakan kebalikan akar yang lainnya atau sering dikatakan akar-
akarnya berkebalikan : x1 =
x1 =
x1 . x2 = 1
a = c
3. sebuah akarnya sama dengan 0: x1 = 0
x1 . x2 = x1 + x2 =
(0)x2 = (0) + x2 =
0 = x2 =
c = 0
4. kedua akarnya mempunyai tanda yang sama atau sering dikatakan akar-akarnya
bertanda sama : x1 > 0 dan x2 > 0 atau x1 < 0 dan x2 < 0.
x1 . x2 > 0
, a dan c bertanda sama
5. kedua akarnya mempunyai tanda yang tidak sama atau sering dikatakan akar-
akarnya berlainan tanda : x1 > 0 dan x2 < 0 atau x1 < 0 dan x2 > 0
x1 . x2 < 0
, a dan c berlainan tanda
Deskripsi diatas menunjukan berlakunya sifat yang berkaitan dengan cirri-ciri akar
persamaan kuadrat sebagai berikut :
15
Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0).
1) akar-akarnya berlawanan (x1 = - x2) b = 0
2) akar-akarnya berkebalikan (x1 = ) a = c
3) sebuah akarnya sama dengan 0 (x1 = 0) c = 0 dan x2 =
4) kedua akarnya bertanda sama
5) kedua akarnya berlainan tanda
Contoh :
Persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 akar-akarnya berkebalikan. Hitunglah nilai p dan
akar-akar itu !
Jawab :
2x2 – px + (p – 3) = 0; koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -p, dan c = p – 3. supaya
akar-akarnya berkebalikan, haruslah a = c
2 = p – 3
p = 5
akar-akarnya dapat diperoleh dengan mensubtitusi nilai p = 5 ke persamaan 2x2 – px + (p –
3) = 0, sehingga :
2x2 – (5)x + (5 – 3) = 0
2x2 + 5x + 2 = 0
(2x – 1)(x -2) = 0
x = atau x = 2
jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 berkebalikan untuk nilai p = 5, dan
akar-akar itu adalah x = atau x = 2
16
6. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akanya diketahui
setelah mempelajari cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ,selanjutnya kita akan mempelajari proses kebalikannya, yaitu baaimna menyusun suatu persamaan kuadrat jika
akar-akarnya diketahui. Jika dan adlah kr-akar persaman kuadrat ,
maka untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan cara berikut.
1) Perkalian Faktor
Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat
tersebut adalah sebgai berikut.
2) Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan
Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat
tersebut adalah sebgai berikut.
Contoh :Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!
a. 2 dan b. 2 - dan 2 +
Jawab :
a. Dengan perkalian faktor diperoleh:
b. Dengan jimlah dan hasil kalikar diperoleh:
17
Diketahui 2 - dan 2 +
2 - + 2 +
= 4
(2 - )( 2 + )
= 4 – 3 = 1
Jadi persamaan kuadratnya adalah
b. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya
Jika suatu persamaan kuadrat akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
Jika merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka untuk
menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlahdan hasil kaliakar-akarnyadigunakan sebagai berikut.
Contoh :
Diketahui dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dari . Tentukan
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah
a. 2 dan 2
b. Berkebalikan dengan dan
c. dan
Jawab ;
18
Dari persamaan diperoleh dan 3. Jika dan
adalah akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka
a. = 2 + 2
= 2 + = 2 (5) = 10
= (2 (2 = 4 = 4 (3) = 12
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
b. Akar-akar yang berkebalikan dengan dan adalah , maka
+ = =
= x = =
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
c.
=
= ( )
+16
= 3 – 4(5) + 16 = -1
Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
19
B. FUNGSI KUADRAT
1. BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT
Simaklah beberapa fungsi berikut ini :
a.
b.
c.
d.
Perhatikan bahwa pangkat tertinggi dari variabel x pada tiap funsi di atas =2. Fungsi yang mempunyai ciri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam variabel x. Dengan demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Misalkan a,b,dan c bilngan real dan a 0,maka funsi yang dirumuskan oleh
Dinamakan fungsi kuadrat dalam variabel x
Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y= dan grafik fungsi kuadrat
disebut senagai parabola.
2. MENGGAMBAR GRAFIK FUGSI KUADRAT
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠
0 disebut fungsi derajad dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f: ax2
+ bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.
I. Nilai Ekstrim Fungsi
20
f(x) = ax2 + bx + c , a≠0
= a(x2 + x) + c
= a(x + )2 - , dimana D = b2 – 4ac
Jika a > 0, maka a(x + )2 ≥ 0, nilai minimum f(x) = - untuk x= -
Jika a < 0, maka a(x + )2 ≤ 0, nilai maksimum f(x)= - untuk x= -
D = b2 – 4ac disebut diskriminan
Jika titik P adalah titik puncak parabola maka P ( - , - ). sumbu simetri parabola
adalah x= - .
II. Kedudukan Grafik y= ax2+ bx + c terhadap sumbu x
Nilai- niao x yang menyebabkan nilai f(x) = ax2 + bx + c dengan nol, disebut nilai nol
fugsi f(x). Nilai nol fungsi uadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diperoleh dari penyelesaian
persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0.
Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat
21
Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa
kurva y= ax2 + bx + c dengan cara sebagai berikut:
a. Jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan.
• Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y
• Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x
• Tentukan titik puncak
b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan.
– Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y.
– Tentukan titik puncak dengan memperhatikan sumbu simetri.
– Tentukan beberapa titik lain yang mudah.
22
a > 0
D < 0
a < 0
D < 0
a > 0
D = 0
a < 0
D = 0
a < 0
D > 0
a > 0
D > 0
Contoh Soal:
Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x – x2, jika asalnya
{x│-2 ≤ x ≤ 6, x R}
Jawab:
f(x) = 5 + 4x – x2 tidak dapat difaktorkan, maka:
a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, (0, 5)
b. y = - = 9 ; x = - = 2. Jadi (2, 9)
c. Mengambil titik lain yang lebih mudah
x = 5 maka y = 0; (5, 0)
x = -1 maka y = 0; (-1, 0)
23
9
5
-1 2 5
Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain
pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f(x) yang bersesuain dengan titik
maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi.
3. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT SECARA UMUM
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum . Dari bentuk aljabar tersebut dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut.
Jika,
1. a > 0, maka parabola terbuka ke atas2. a < 0, maka parabola terbuka ke bawah3. D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X4. D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X5. D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut
a. Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
c. Menentukan persamaan sumbu simetri
d. Menentukan nilai ekstrim grafik
e. Koordinat titik balik
Contoh soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat
Penyelesaian:
a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0= 0
24
= 0
x = 0 atau (x + 4) = 0
x = – 4
Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0)
b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0maka,
y = 02 + 4.0
= 0
Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0)
c. Persamaan sumbu simetri
Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2
d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2y = (–2)2 + 4(–2)
= –4
e. Koordinat titik balik:(–2, –4)
4. MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT
Apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui,maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat.
Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut
1. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan B(X2,0) serta melalui sebuah titik tertentu .Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
y=f(x)=a(x-x1)(x-x2)dengan nilai a ditentukan kemudian.
2. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :Y=f(x)= a(x-x1)2
Dengan nilai a ditentukan kemudian.3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak dan titik balik P(xp-yp) dan melaui titik
tertentu.
25
-4
-4
-2 X
Y
0
x = -2
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :y=f(x)=a(x-xp)2+yp
dengan nilai a ditentukan kemudian.4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(X1,Y1), B(X2,Y2),dan B(X3,Y3).
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
y=
dengan nilai a,b,dan c ditentukan kemudian.
Contoh soal :1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(1,0),B(2,0). Jika fungsi kuadrta
otu melalui titik (0,4), tentukan persamaan fungsi kuadrat itu ?Penyelesaian :Persaman fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai y= a(x-1)(x-2) nilai an di tentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu mellui titik (0,4),aretinya untuk x=0 diperoleh y= 4. 4 = a(0-1)(0-2)
Jadi,persamaan fungsi kuadratnya adalah :y =f(x)y =2(x-1)(x-2)y =2x2-6x+4
C. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Pada perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentu sering Anda
jumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Permasalahan-
permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat itu mempunyai karakteristik atau ciri
tertentu. Agar Anda memahami dan terampil merancang(menyusun) model matematika yang
berkaitan dengan persamaan kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3.
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Langkah 1:
Misalkan bilangan itu = x
26
Di sini x dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan
kuadrat.
Langkah 2:
Berdasarkan ketentuan, pada soal diperoleh hubungan x2 – 4x = -3
bentuk x2 – 4x = -3 merupakan persamaan kuadrat sebagai model matematika
dari permasalahan di atas.
Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah x2 – 4x = -3.
Contoh 2:Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya!
Jawab:
•) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y,maka x + y = 20y = 20 – x
•) Anda buat model matematikanya sebagai berikut:⇔ x . y = 75⇔ x (20 – x) = 75⇔ 20x – x2 = 75⇔ -x2 + 20 – 75 = 0 (kedua ruas dikalikan (-1))⇔ x2 – 20 x + 75 = 0
•) Penyelesaiannya:⇔ (x –15) (x – 5) = 0⇔ x – 15 = 0 atau x – 5 = 0⇔ x = 0 + 15 atau x = 0 + 5⇔ x = 15 atau x = 5
•) Anda cari nilai y sebagai berikut:Untuk x = 15, maka y = 20 – 15⇔ y = 5lalu diperiksa: x + y = 15 + 5 = 20x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar)Untuk x = 5, maka y = 20 – 15⇔ y = 15lalu diperiksa: x + y = 5 + 15 = 20x . y = 5 . 15 = 75 (ternyata benar)
Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya pada
permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang dengan
pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menuju
27
jaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuran lipatan
talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya.
Matematika dalam kehidupan sehari-hari dapat dipergunaan sebagai alat untuk
menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah, misalnya fungsi kuadrat dalam
kegiatan ekonomi dapat dipakai dalam berbagai analisis berbagai permasalahan yang
berkaitan dengan permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas, harga keseimbangan, dan
sebagainya.
Dalam penelitian ini penulis bertujuan unuk mengetahui bagaimanakah fungsi kuadrat
dapat diaplikasikan dalam estimasi kegiatan ekonomi terutama berkaitan dengan masalah
permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas serta estimasi keuntungan dari produk
barang atau jasa.
Fungsi kuadrat bentuk umum y = f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c suatu konstanta dalam
penelitian ini membuktikan bahwa penerapannya dapat dipergunakan untuk melakukan
estimasi harga dan fakor-faktor produksi dalam menentukan besarnya permintaan,
penawaran, penerimaan, harga keseimbangan, titik impas dan estimasi keuntungan.
Bagaimana memecahkan masalah, misalnya pada contoh berikut ini :
Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk
kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi
panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluas-luasnya.
Penyelesaian:
Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam
m2 adalah
L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat
dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut :
L = 400x – 2x2
= – 2x2 + 400x
= - 2( x - 100 )2 + 20000
Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x
=100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000
Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m
28
Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan
dengan kata-kata yang berlainan :
a. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, dan lain sebaginya dapat
dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat.
b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat
dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat.
Contoh soal :
1. Tentukan luas terbesar dari suatu persegi panjang jika keliling persegi panjang
diketahui 60 cm
2. Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang
dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?
Penyelesaian:
1. Misal : panjang = x cm
lebar = y cm
keliling = 2(x + y) cm
maka,
2(x + y) = 60
x + y = 30
y = (30 – x) cm
Misal luas persegi panjang L(x) = x . y cm
= x (30 – x)
= 30x – x2
Luas bernilai maksimum = = = 225 cm2
29
Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm2
2. h(t) = 40t – 5t2
Waktu saat mencapai tinggi maksimum
t =
=
= 4 detik
Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik
h(t) = 40(4) – 5(4)2
= 160 – 80
= 80 meter
SOAL-SOAL EVALUASI
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3+ dan 3- !
2. Tentukan nilai p agar persamaan mempunyai akar
kembar !
3. Tentukan batas-batas nilai k agar persamaan
tidak mempunyai akar real !
4. Diketahui dan merupakan akar-akar persamaan .
Tentukan nilai p dan q !
5. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan
kuadrat!
30
a. x2 – 2 = 0
b. x2 + 3x – 1 = 0
c. x2 + 2x – 3 = 0
6. Jika x = -7 adalah salah satu persamaan kuadrat px2 + (7p + 1)x + (3p + 1) =
0, tentukan :
a. Nilai p
b. Jumlah akar-akarnya.
c. Hasil kali akar-akarnya
7. dan adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 1 = 0, tentukan nilai dari
:
a. (
b. (
8. Tentukan jenis akar masing- masing persamaan kuadrat di bawah ini tanpa
menyelesaikan persamaannya :
a.
b.
c.
9. Tentukan nilai m agar persamaan
mempunyai akar kembar.
10. Tentukan nilai m agar persamaan mempunyai akar tidak
real.
11. Salah satu akar persamaan x2 + mx + 10 = 0 adalah 3 lebihnya dari akar yang
lain. Hitunglah nilai m.
12. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 adalah α dan β. Tanpa harus
menyelesaikan persamaanya terlebih dahulu, hitunglah :
a) α + β c) (α – β)2
b) α . β d)
31
13. Jika akar-akar persamaan 2x2 – 6x – p = 0 adalah x1 dan x2 serta x1 – x2 = 5,
tentukan nilai p.
14. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 2a + 2 = 0 adalah x1 dan x2,
tentuka nilai a positif agar x1 = 3x2.
15. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah sebagai berikut!
a. 2 dan -3
b. dan
c.
d. 2 - dan 2 +
16. Jika adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 - x - 4 = 0,
tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!a. x1x2 dan x1 + x2
b. dan +
c.
d.
17. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x –2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnyaadalah sebagai berikut!
a. 3x1 dan 3x2
b. x1 – 2 dan x2 -2
c.
d.
18. Jika adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 -b x - c = 0,
tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut!a. x1 + p dan x2 – pb. px1 dan px2
c.
d.
32
19. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 5x - 1 = 0
20. Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.21. Jumlah 2 bilangan sama dengan 100. Tentukan hasil kali bilangan itu yang
terbesar.
22. Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setelah t
detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t2. Tentukan berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?
23. Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa
tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 x 2 cm2 di masingmasing
pojoknya. Panjang kotak 4 cm lebih dari lebarnya dan volum
kotak itu 90 cm3. Tentukan panjang dan alas kotak tersebut serta jelaskan penafsiran
solusi masalahnya.
24. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah inia. y = (x – 2)2
b. y = x2 – 4x + 3c. y = 8 – 2x – x2
d. y = (1 + x) ( 3 – x )e. y = (2x – 9) (2x + 7)
25. Manakah yang benar dan manakah yang salah?a. kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis x = 3b. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis x = - 2 c. kurva y = x2 – 2x + 5 tidak memotong sumbu Xd. Titik balik minimum kurva y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2)e. Nilai maksimum kurva y = -x2 + 2x + 4 adalah 4
33
DAFTAR PUSTAKA
Cunayah, dkk. 2007. Pelajaran Matematika. Jakarta : Yrama Widya.
Marwanta, dkk.. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Yudhistira.
Sukino. 2007. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Erlangga.
Sunardi, dkk.. 2008. Matematika 1 SMA/MA. Jakarta : Bumi Aksara.
Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika Untuk SMA Kelas X Semester 1. Jakarta :
Erlangga.
34
top related