partikel dalam suatu kotak satu dimensi
Post on 08-Feb-2016
374 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI
Atom terdiri dari inti atom yang dikelilingi oleh elektron-elektron, di mana elektron
valensinya bebas bergerak di antara pusat-pusat ion. Elektron valensi geraknya dibatasi akibat
adanya gaya tarik elektrostatik antara pusat-pusat ion positif dengan elektron-elektron
valensinya. Tingkah laku elektron-elektron yang bergerak di dalam logam dianggap sama
dengan tingkah laku atom atau molekul di dalam gas mulia, oleh sebab itu elektron-elektron
ini biasa disebut sebagai Gas Elektron Bebas, dengan sifat; bermuatan negatif, dan
konsentrasinya jauh lebih besar dibandingkan dengan konsentrasi molekul dalam gas biasa.
Sommerfeld memperlakukan elektron valensi dengan cara menggunakan statistika kuantum,
sehingga tingkatan energi elektron di dalam kotak potensial dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan Scrodinger.
Contoh
Tinjaulah sebuah electron bermassa m yang bebas bergerak di dalam kotak potensial 1 dimensi yang sangat tebal, lebar kotak L dan tingginya ~ (lihat gambar). Kajilah sifat-sifat dan perilaku electron tersebut di dalam kotak, ditinjau dari tingkatan energi, dan fungsi gelombangnya.
Langkah-langkah yang perlu Anda perhatikan dalam mengkaji sifat-sifat dan perilaku
elektron di dalam kotak potensial tersebut adalah: (1) tentukan terlebih dahulu potensial
elektron di dalam maupun di luar kotak, (2) hitung tingkat energinya ketika berada pada suatu
posisi tertentu, dan (3) lukiskan kerapatan probabilitas elektron dari fungsi gelombang yang
terbentuk.
ENERGI POTENSIAL ELEKTRON.
Energi potensial elektron di dalam kotak sama dengan nol, sebab elektron bebas tidak
memiliki energi potensial, sedangkan potensial elektron di luar kotak adalah tak berhingga
sebab dinding kotak cukup tebal sehingga tidal dimungkinkan elektron tersebut keluar dari
dalam kotak. Informasi ini jika dituliskan dalam formulasi matematik, maka bentuknya
adalah:
(1)
TINGKAT ENERGI ELEKTRON DI DALAM KOTAK
Langkah kedua adalah, kita harus menghitung tingatan energi electron ketika electron
tersebut ‘berada’ pada suatu posisi tertentu. Besarnya energi total electron yang berada di
dalam kota adalah
(2)
di mana adalah operator energi kinetik dan adalah energi potensial.
Karena energi potensial elektron di dalam kotak V(x) = 0, dan dengan merumuskan energi
kinetik , serta mengalikan fungsi gelombang di ruas kiri dan ruas
kanan, maka pers.(2) dapat dituliskan sebagai
(3)
di sini adalah merupakan operator momentum linear untuk 1- dimensi. Apabila
harga operator momentum linear dimasukkan ke dalam pers.(3) dan semua variabelnya
disusun di sebelah kiri, maka hasilnya adalah:
(4)
di mana
(5)
Perhatikanlah bahwa pers. (4) adalah merupakan persamaan difrensial orde-2 yang dapat
diselesaikan melalui persamaan karakteristik. Misalkan solusi pers.(4) berbentuk:
(6)
jika pers.(6) disubstitusikan ke pers.(4) diperoleh:
(7)
pada pers.(7) , sebab jika demikian kita tidak akan mendapatkan arti fisis apa-apa
darinya. Jadi yang harus berharga nol adalah , sehingga dengan mengingat bahwa
harga (i = imaginary), maka harga dari pers.(7) adalah:
(8)
bila pers.(8) disubstitusikan ke dalam pers.(6) diperoleh:
A, dan B adalah merupakan konstanta. Bila exponensial pada pers.(9) diuraikan ke dalam
fungsi sinus dan cosinus, hasilnya adalah:
(10)
di mana C = A+B (bagian real), dan D = (A-B) i (bagian
imaginernya).
Harga C dan Ddari pers.(10) dapat ditentukan melalui masalah syarat batas (boundary value
problem). Marilah kita mencoba untuk menganalisa kotak potensial. Bila kita tinjau dari arah
sebelah kiri pada daerah x = 0, terlihat bahwa , tetapi jika kita tinjau dari arah
sebelah kanan pada daerah x = L, maka
Jika x = 0; pers.(10) dapat ditulis:
(11)
supaya pers.(11) memiliki arti fisis, maka C = 0 dan D � 0, sehingga pers.(11) dapat
dituliskan menjadi:
(12)
Sebelum kita menghitung harga D, terlebih dahulu kita tentukan harga k melalui syarat
batas pula, yaitu Jika x = L; pers.(12) dapat ditulis:
(13)
pada pers.(13) harga D� 0, tetapi yang harus bernilai nol adalah sin kL, dengan demikian
harga k dapat dituliskan sebagai;
(14)
Untuk mengetahui besarnya tingkatan energi elektron tingkat ke-n yang berada di dalam
kotak potensial, substitusikan pers.(14) ke dalam pers.(5) hasilnya adalah:
(15)
Pers.(15) merupakan energi elektron tingkat ke-n didalam kotak yang biasa disebut sebagai
nilai eigen (eigen value). Dari persamaan tersebut terlihat bahwa elektron yang terperangkap
dalam kotak potensial selalu berada pada suatu tingkatan-tingkatan energi tertentu. Hal ini
dapat memberi penjelasan kepada kita, bahwa spectrum suatu atom tidaklah bersifat
kontinu, tetapi bersifat diskrit.
FUNGSI EIGEN DAN RAPAT PROBABILITAS
Untuk menentukan fungsi eigen dan rapat probabilitas elektron di dalam kotak potensial, kita
harus menentukan harga D (konstanta normalisasi) dari pers.(13) melalui syarat normalisasi,
yaitu:
(16)
pers.(16) dapat diselesaikan melalui pengintegralan yang standar, dengan mengingat bahwa:
(17)
Bila pers.(17) disubstitusikan ke dalam pers.(16), maka hasilnya (turunkan sebagai latihan)
adalah:
(18)
harga pada pers.(18) adalah nol, sehingga nilai konstanta D dari pers.(18) adalah:
(19)
Jika factor normalisasi D sebesar ini dimasukkan ke dalam pers. (13), maka fungsi
gelombang elektron pada tingkat ke-n adalah:
(20)
pers.(20) ini yang dikenal sebagai fungsi eigen (eigen function) menunjukkan bahwa
disamping elektron memiliki tingkat-tingkat energi tertentu, dia juga bergerak di dalam kotak
dalam bentuk gelombang sinusoidal menurut tingkatan energinya, seperti digambarkan pada
fungsi gelombang , dan rapat probabilitas sebagai fungsi dari posisi
berikut ini.
Fungsi Gelombang elektron Rapat Probabilitas elektron
top related