kalkulus 3 leng

PERSAMAAN DIFERENSIAL

(KALKULUS III)

Pendahuluan

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih dari

satu turunan (derivative) dan digolongkan berdasarkan :

(i) Tipenya, yaitu :

(a) Jika pada persamaan diferensial terdapat hanya satu ubahan (variabel)

bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial

biasa.

Contoh :

1.dydx

= x + 5

2.d2 ydx2 + 3

dydx

+ 2y = 0

(b) Jika pada persamaan diferensial terdapat lebih dari satu ubahan (variabel)

bebas, maka persamaan diferensial disebut persamaan diferensial parsial.

Contoh :

1. ∂ Z∂ x = z + x

∂ z∂ y

2.∂2 z∂ x2 +

∂2 z∂ y2 = x2 + y

(ii) Jenis (order)nya, yaitu :

Jenis (order) persamaan diferensial ditentukan oleh jenis tertinggi dari

turunan (derivative) yang terdapat pada persamaan diferensial tersebut.

(iii) Pangkat (degree)nya, yaitu

1

2

Pangkat dari turunan jenis tertinggi yang terdapat pada persamaan diferensial

tersebut, setelah persamaan diferensial itu dibersihkan dari pecahan dan akar

dalam ubahan (variabel) dan turunannya.

Penyelesaian Persamaan Diferensial

y = f(x) dikatakan penyelesaian suatu persamaan diferensial, jika persamaan

diferensial itu tetap memenuhi kalau y dan turunan-turunannya digantikan pada

f(x)

Contoh :

y = c1 cos x + c2 sin x adalah penyelesaian dari persamaan diferensial

d2 ydx2

+ y=0…………………………………………………….(1)

Penyelesaian :

y = c1 cos x + c2 sin x

dydx

= d ¿¿

= -c1 sin x + c2 cos x

d2 ydx2 = d ¿¿

= -c1 sin x - c2 cos x

Jika y dan turun-turunannya digantikan pada persamaan diferensial (1), diperoleh:

-c1 cos x - c2 sin x + c1 cos x + c2 sin x = 0

Sehingga benar bahwa y = c1 cos x + c2 sin x merupakan penyelesaian dari

d2 ydx2 + y = 0

1. Variabel-variabel yang Dapat Dipisahkan

Persamaan Diferensial

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan persamaan diferensial dengan

ubahan terpisah jika dapat dikembalikan ke bentuk.

f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (x) dy = 0 …………………….(1)

×1

y x2

3

Kedua ruas dari (1) dikalikan 1

f 2 ( x ) . g2( y ) diperoleh :

f 1(x)f 2( y ) dx +

g1( y)g2( y) dy = 0

Selanjutnya dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh penyelesaiannya.

Catatan :

1f 2 ( x ) . g2(x) disebut faktor integrasi dari persamaan diferensial……………...(1)

Contoh :

1. Tentukan penyelesaian umum dari :

x3 dx + (y + 1)2 dy = 0

Penyelesaian :

∫ x3 dx + ∫¿¿y + 1)2 dy = ∫0

∫ x3+1

3+1 dx + ∫( y+1)2 d(y+1) = c1

x4

4 + ∫ ( y+1)2+1

2+1 = c

x4

4 + y+13

3 = c

2. Tentukan penyelesaian umum dari :

(x–1)2 ydx + x2 (y+1) dy = 0 ………………….(1)

Penyelesaian :

(x – 1)2 ydx + x2 (y + 1) dy = 0

( x−1 )2

yx 2ydx+x2 ( y+1)

yx2dy=0

( x−1 )2

x2dx+

( y+1 )y

dy=0

4

( x2−2x+1)x2

dx+( yy+ 1

y )dy=0

( x2

x2

−2 xx2

+ 1x2 )dx+(1+ 1

y )dy=0

∫(1−2x+

1

x2 ) dx + ∫(1+ 1y ) dy = ∫0

∫ dx - 2∫ dxx + ∫ x−2

dx + ∫ dy + ∫ dyy = ∫0

x – 2 ln x + x−2+11

−2+1 + y + ln y = c

x – 2 ln x - 1x + y + ln y = c

x - 1x

+ y – ln x2 + ln y = c

x - 1x + y + ln

y

x2 = c

3. Tentukan penyelesaian umum dari 4xdy – ydx – x2dy = 0

Penyelesaian :

4xdy – ydx – x2dy = 0

ydx + (x2 – 4x) dy = 0………………………………….(1)

1

y ( x2−4 x ) , merubah persamaan diferensial (1) menjadi :

dxx (x−4 )

+ dyy

=0

14

.dx

x−4− 1

4.

dxx

+ dyy

=0

dxx−4

−dxx

+4dyy

=0

5

Dengan mengintegralkan diperoleh :

1n (x – 4) – 1n x + 4 ln y = 1n c

x−4x

. y4=c

(x . -4) y4 = cx

4. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial

(1 + x3) dy – x2 ydx = 0 untuk x = 1 dan y = 2

Penyelesaian :

Pertama untuk menyelesaikan penyelesaian umum ditentukan dahulu faktor

integrasi. Faktor integrasinya adalah

1

y (1+x3 ) maka persamaan diferensial,

(1 + x3) dy – x2 ydx = 0 menjadi :

dyy

− x2dx1+x3

=0

∫ dy

y−∫ x2

1 . x3=0

∫ dy

y−1

3∫ d (1+x3 )

1 + x3=c1

ln y −1

31n (1+x3 )=c1

3 1n y = 1n (1 + x3) + 3 c1

1n y3 = 1n (1 + x3) + 1n c

y3 = c (1 + x3) …………………………………………..(1)

Dengan mengganti x = 1, y = 2 pada persamaan (1), diperoleh :

y3 = c (1 + 13)

8 = 2 c

6

c = 4

Sehingga diperoleh penyelesaian khusus

y3 = 4 (1 + x3 )

2. Persamaan Diferensial Homogen

Definisi :

f (x) dikatakan homogen pangkat njika f (x, y) = n . f (x, y)

Contoh :

(i) f (x,y) = x4 – x3 y

f (x, y) = (x)4 + (x)3 . (y)

= 4x4 + 4 x3 y

= 4 f (x,y)

Sehingga f (x,y) homogen pangkat 4.

(ii) f (x,y) = e

yx+ tan

yx

f (x, y) = e

λyλx

+ tanλyλx

= e

yx+ tan

yx

= 0 (ey/x – tan

yx )

= 0 f(x,y)

Sehingga f (x,y) homogen pangkat 0.

7

(iii) f (x,y) = x5 + xy tidak homogen, sebab :

f (x, y) = (x)5 + (x) . (y)

= 55 + 5 xy

= n f (x,y)

Definisi :

Persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut homogen jika M(x,y) dan N(xy) keduanya homogen dengan pangkat yang

sama

Teorema :

Jika f(x,y), homogen pangkat n

Maka f(x,y) = xn . f(v) dengan v =

yx

Bukti :

f(x,y) homogen pangkat n

Sehingga f (x, y) = n . f (x,y)

Jika dipilih =

1x , maka

f (1 ,yx )= 1

xnf (x , y )

f (x,y) = xn . f (1 ,

yx )

f (x,y) = xn . f(v) dengan v =

yx

Teorema:

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah persamaan diferensial homogen.M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat dikembalikan ke dalam persamaan

diferensial dengan variabel terpisah dengan penggantian y = vx atau vy

8

Bukti:

Diadakan substitusi y = v x

dy = vdx + xdv

Sehingga M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0 menjadi

xn . M1 (v) dx + xn . (N1 (v) [vdx + xdv] = 0

M1 (v)dx + v . N1 (v) dx + xN1 (v) dv = 0

[M1(v) + v . N1(v)] dx + x . N1 (v) dv = 0

dxx

+N1 (v )

M 1( v )+v . N 1(v )dv=0

Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial dengan variabel

terpisah. Penyelesaian umumnya diperoleh dengan mengintegralkan dan

kemudian mengganti kembali v dengan

yx .

Contoh :

1. Tentukan penyelesaian umum dari

2xy dx – (x2 – y2) dy = 0 …………………………………(1)

Penyelesaian :

M(x,y) = 2 xy

M(x, y) = 2 . 2xy = 2 M(x,y)

N(x,y) = -(x-2 – y2)

N (x, y) = -[(x)2 – (y)2]

= -[2 x2 - 2 y2]

= 2 . [-(x2 – y2)]

= 2 N(x,y)

M(x,y) dan N(x,y) keduanya homogen dengan pangkat sama, sehingga

persamaan diferensial (1) adalah homogen. Diadakan penggantian y = vx,

persamaan diferensial (1) menjadi :

2x2vdx – (x2 – v2x2) (vdx + xdv) = 0

9

dxx

+ v2−1v (1+v2 )

dv=0

dxx

−dvv

+ 2vdv

1+v2=0

1n

x(1+v2 )v

=1 n c

x2 + y2 = cy

2. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial

(x3 + y3) dx – 3 xy2 dy = 0 …………………………………(1)

Penyelesaian :

Persamaan (1) adalah homogen pangkat 3.

Dengan penggantian y = vx, dy = v dx + x dv diperoleh :

(x3 + v3 x3) dx – 3 x3 v2 (vdx + xdv) = 0

(1 + 2 v3) dx – 3 v2 xdv = 0

Dengan faktor integrasi

1

x (1−2v3 ) , persamaan menjadi :

dxx

− 3v2 dv1−2v3

=0

Selanjutnya diintegralkan dan dengan penggantian kembali v =

yx diperoleh

penyelesaian umum x3 – 2y3 = cx

3. Persamaan Diferensial Linier

Persamaan diferensial jenis satu disebut linier jika ubahan tak bebas dan

turunannya berpangkat satu. Bentuk persamaan diferensial jenis satu linier

adalah :

dydx

+ y . P ( x )=Q ( x ) ……………………………..(1)

10

Berikut ini disajikan cara-cara menentukan penyelesaian umum persamaan

diferensial jenis satu linier, yaitu :

(i) Cara Bernoulli

dydx

+ y . P( x )=Q ( x ) ……………………………...(1)

Dengan transformasi y = uv,

dydx

=udvdx

+vdudx persamaan diferensial

(1) menjadi :

u [ dv

dx+v . P( x )]+v .

dudx

= Q ( x )……………………(2)

selanjutnya ditentukan v sedemikian hingga

dvdx

+v . P (x )=0

dvv

+P (x )dx=0

1n v = -∫ P(x) dx

v=e−∫ P(x )dx

Dari persamaan diferensial (2), diperoleh :

e−∫ P( x ) dx du

dx. Q ( x )

du = e∫ P( x ) dx

. Q ( x ) dx

u = ∫ e∫ P (x )dx.Q( x )dx+c

Sehingga penyelesaian umum dari (1) adalah : y = u v

y = [∫ e∫ P (x ) dx

. Q ( x ) dx+c ] . e∫P (x ) dx

11

(ii) Cara Lagrange

dydx

+ y . P( x )=Q ( x )…………………………………(1)

Persamaan diferensial diredusir, yaitu dengan memberi nilai

dydx

+ y . P ( x )=0

dyy

=−P( x )dx

ln y=−∫P ( x ) dx+1n c

y = c . e−∫ P( x ) dx

Selanjutnya dianggap

y = c (x) .e−∫ P( x ) dx

……………………………(2)

Memenuhi persamaan diferensial (1)

y = c (x) . e−∫ P( x ) dx

1n y = 1n c (x) - ∫ P (x) dx

1y

dydx

= 1c ( x )

.d [c ( x ) ]

dx−P ( x )

dydx

+ y . P ( x ) yc ( x )

.d [ c ( x ) ]

dx

Sehingga

vc ( x )

.d [c ( x )]

dx=Q ( x )

c ( x ) e−∫ P (x ) dx

cx.

d [ c ( x ) ]dx

=Qx

12

d [ c (x )]=e∫ P ( x ) dx. Q ( x ) dx

c (x) = ∫ e∫ P (x ) dx. Q ( x ) dx+k

Sehingga penyelesaian umumnya.

y = [∫ e∫P (x )dx

Q( x )dx+k ]e−∫P ( x )dx

Dapat dilihat bahwa dengan menggunakan cara-cara di atas, diperoleh

penyelesaian yang sama.

Contoh :

dydx

− yx=x

Dengan Cara Bernoulli

y '+Py=Q P dan Q adalah fungsi dari x

Penyelesaian :

dydx

− yx=x (P=−1

x,Q=x)

Dengan Rumus : y = e∫ Pdx [e∫Pdx Q dx+c ] y = e ln x [∫e−ln x . xdx+c ]

= e ln x [∫ e−ln x xdx+c ]

= x [∫ eln x−1

. x dx+c ]= x [∫ x−1 . x dx+c ]= x [∫ dx+c ]

y = x [ x+c ]

y = x2 + xc

× y

13

Jadi, y = x2 + cx

Dengan Cara Lagrange :

dydx

− yx=x

Penyelesaian :

dydx

− yx=0

dydx

= yx

dyy

=dxx

Didapat :

∫ dyy

=∫ dxx

ln y = ln x + ln C

c sebagai fungsi dari x

atau y = c(x) .x

ln y = ln c(x) +ln x

Diferensial ke x :

1y

dydx

= 1c( x )

.dc ( x )

dx+ 1

x

dydx

= yc( x )

.dc ( x )

dx+ y

x

dydx

− yx=

c ( x ) . xc ( x )

.dc (x )

dx= x

y = cx

14

x .

dc ( x )dx

=x

Maka d c(x) = dx

dc ( x )dx

=1→∫ dc (x )=∫dx

c ( x )=x+c

4. Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Diferensial

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 …………………………………(1)

Merupakan diferensial eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total.

Dengan demikian ada u(x,y) sedemikian hingga

∂u∂ x

=M ( x , y ) dan∂u∂ y

=N ( x , y )

Teorema :

Bukti :

(i) Akan dibuktikan jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 eksak maka

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

Bukti :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 eksak, maka ada u(x,y) sedemikian hingga :

∂u∂ x

=M ,∂2 u

∂ y ∂ x=∂ M

∂ y

Persamaan diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak

jika dan hanya jika

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

15

∂u∂ y

=N ,∂2 u

∂ x∂ x=∂ N

∂ x

Karena

∂2u∂ y ∂ x

= ∂2 u∂ x ∂ y

, maka∂ M∂ y

=∂ N∂ x

(ii) Akan dibuktikan jika ada u(x,y) sedemikian hingga :

∂u∂ x

=M,

∂u∂ x

=N maka M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah eksak.

Bukti :

∂u∂ x

=M ( x , y )

u( x , y )=∫M ( x , y ) dx+c ( y )

Diturunkan ke y

∂u∂ x

=∂[∫ M ( x , y )dx ]

∂ y+

∂ [ c ( y ) ]∂ y

=N ( x , y )

Sehingga

∂[c ( y )]∂ y

=N (x , y )−∂ [∫ M ( x , y )dx ]

∂ y

c ( y )=∫ N ( x , y )−

∂ [∫M ( x , y )dx ]∂ y

dy+k

c (y) hanya bergantung pada y, sehingga

N ( x , y )−∂ [∫M ( x , y )dx ]

∂ y , tidak bergantung pada x maka

∂[ N ( x , y ) ]∂ x

−∂[ M ( x , y )dx ]

∂ x ∂ y=0

∂ N∂ x

−∂ M∂ y = 0

∂ N∂ x

=∂ M∂ y

16

Cara penyelesaian persamaan diferensial eksak seperti pada bukti teorema di

atas.

Contoh :

1. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial :

(x2 – y) dx + (y2 – x) dy = 0 ………………………………...(1)

Penyelesaian :

P = x2 – y ; Q = y2 – x

∂ P∂ y

=−1;

∂Q∂ x

=−1

∂ P∂ y

= ∂Q∂ x = - 1 → maka persamaan (1) adalah persamaan

diferensial eksak

P =

∂ P∂ x

=x2− y; Q =

∂ F∂ y

= y2−x

Maka : f (x,y) = ∫( x2− y ) dx+c ( y )

f (x,y) =

13

x3−xy+c ( y )

Sehingga

∂ F∂ y

=∂[ 1

3x3−xy+dc( y ) ]

∂ y= y2−x

= - x +

∂c ( y )∂ y

= y2−x

∂c ( y )∂ y

= y2−x+ x

= y2

c(y) = ∫ y2 dy

17

=

13

y3+c1

Jadi, persamaan umum → f (x,y) =

13

x3−xy+ 13

y3=c1atau

f (x,y) = x3 – 3xy + y3 ≠ c

2. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial :

(x2 – y) dx – xdy = 0 ……………………………………(1)

Penyelesaian :

P = x2 – y ; Q = – x

∂ P∂ y

=−1;

∂Q∂ x

=−1

∂ P∂ y

= ∂Q∂ x = - 1 → maka persamaan (1) adalah persamaan

diferensial eksak

P =

∂ F∂ x

=x2− y; Q =

∂ F∂ y

=−x

Maka : f (x,y) = ∫( x2− y ) dx+c ( y )

f (x,y) =

13

x3−xy+c ( y )

Sehingga

∂ F∂ y

=∂[ 1

3x3−xy+c( y ) ]

∂ y=−x

- x +

∂c ( y )∂ y

=−x

∂c ( y )∂ y

=−x+ x

= 0

18

c(y) = ∫0 dy

= c1

Jadi, persamaan umum → f (x,y) =

13

x3−xy=c1

5. Faktor Integrasi

Jika persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0……………………..(1)

Bukan persamaan diferensial eksak maka (1) perlu dikalikan faktor integrasi

f sehingga (1) menjadi eksak.

f M(x,y) dx + f N(x,y) dy = 0 ………………………………..(2)

Sehingga

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

f∂ M∂ y

+M∂ f∂ y

=f∂ N∂ x

+N∂ f∂ x ……………………….....(3)

(i) Jika f adalah bentuk dalam x saja, maka

∂ f∂ y = 0 sehingga (3) menjadi :

f . [ ∂ M∂ y

−∂ N∂ x ]=N

dfdx

dff

=[ ∂ M∂ y

−∂ N∂ x ]

Ndx

f =e∫

∂m∂ y

−∂ N∂X

Ndx

19

(ii)Jika f merupakan bentuk dalam y saja, maka

∂ f∂ x

=0 sehingga persamaan

(3) menjadi.

f . [∂ N∂ x

−∂ M∂ y ]=M

dfdy

dff

=[ ∂ N∂ x

−∂ M∂ y ]

Mdx

f = e

∫ ∂ m∂ x

−∂ m∂ y

Mdx

Contoh :

1. Selidikilah bahwa (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0 bukan eksak.

Kemudian tentukan faktor integrasi f sehingga persamaan diferensial

tersebut menjadi eksak.

Penyelesaian :

M(x,y) = x2 + y2 + x ; N(x,y) = xy

∂ M∂ y

=∂( x2+ y2+x )

∂ y=2 y

;

∂ N∂ x

=∂( xy )∂ x

= y

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

Persamaan diferensial di atas bukan eksak.

∂ M∂ y

−∂ N∂x

N=∂ y− y

xy= y

xy=1

x

Faktor integrasinya f(x) = e∫

∂m∂ y

−∂ N∂X

Ndx

20

= e∫ 1

xdx

= eln x

= x

f M(x,y) dx + f N(x,y) dx = 0

x(x2 + y2 + x) dx + x(x,y) dy = 0

(x3 + xy2 + x2 ) dx + x2y dy = 0

P = x3 + xy2 + x2 ; Q = x2y

∂u∂ x = P = x3 + xy2 + x2

u = ∫( x3+xy2+x2 )dx+φ( y )

=

x4

4+ x2

2y2+ x3

3+φ ( y )

Diturunkan ke y

∂u∂ y

=∂ ( x4

4+ x2

2y+ x3

3 )∂ y

+∂ (∅ )∂ y

=x2 y

x2y +

∂(φ)∂ y

=x2 y

∂(φ)∂ y

=x2 y−x2 y=0

φ=cSehingga

x4

4+ x2 y

2

2

+ x3

3=c

2. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial

(2xy4 ey + 2xy3 + y) dx + (x2 y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0

21

Penyelesaian :

M(x,y) = 2xy4 ey + 2xy3 + y

N(x,y) = x2 y4 ey – x2y2 – 3x

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

Faktor integrasinya f(y) = e∫

∂ M∂ y

−∂ N∂ x

Mdy

= e∫ 1

ydy

= e−4 ln y

=

1

y4

Dengan faktor integrasi f (x) = 1

y4 persamaan diferensial menjadi :

(2 xe y+ 2xy

+ 13 ) dx+(x2 e y− x2

y2−3 x

y1 ) dy=0

Yang merupakan persamaan diferensial eksak.

Ada (x,y) = c1 sehingga

∂ μ∂ x

=2 xe y+ 2 xy

+ 1

y3

= ∫(2 xe y+

2 xy

+1

y3 ) dx+∅ ( y )

∂ μ∂ x

= x2 e y− x2

y2−3 x

y 4+ d∅

dy=x2 e y− x2

y2−3 x

y 4

Sehingga :

22

d∅dy

=0

= c dengan c konstanta

Dengan demikian penyelesaian umumnya :

x2 cy +

x2

y+ x

y3+c2=c1

x2 ey +

x2

y+ x

y3=c

Teorema :

Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 homogen pangkat n dan Mx + Ny ≠ 0

Maka

1Mx+ Ny [M(x,y) dx + N(x,y) dy] = 0 adalah eksak

1Mx+ Ny disebut faktor integrasi

Bukti :

1Mx+ Ny

(Mdx+Ndy )=0

MMx+ Ny

dx+ NMx+Ny

dy=0

∂( MMx+Ny )∂ y

=( Mx+Ny ) ∂ M

∂ x−M (x

∂ M∂ y

+ N+ y∂ N∂ y )

( Mx+Ny )2

∂( MMx+Ny )∂ y =

Ny∂ M∂ y

−MN−My∂ N∂ y

( Mx+Ny )2

23

∂( NMx+Ny )∂ y

=( Mx+Ny ) ∂ N

∂ x−N (M +∂ M

∂ y+ y

∂ N∂ y )

( Mx+Ny )2

=

Mx∂ M∂ x

−MN−Nx∂ M∂ X

( Mx+Ny )2

∂( MMx+Ny )∂ y

−∂( N

Mx+Ny )∂ x

=N (nM )−M (nN )

(Mx+Ny )2=0 , sehingga

1Mx+ Ny

( M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy )=0 eksak.

Contoh :

Tentukan penyelesaian umum persamaan :

(x4 + y4) dx – xy3 dy = 0 …………………………………….(1)

Penyelesaian :

x4 + y4 dan – xy3 homogen pangkat 4, faktor integrasinya

1

( x4+ y4 ) x−( xy3 ) y= 1

x5

Persamaan (1) menjadi ( 1

x+ y4

x5 )dx− y3

x4dy=0

yang merupakan persamaan

diferensial eksak.

Ada (x,y) = c1 sedemikian sehingga

∂u∂ x

=1x+ y 4

x5

24

= ln x -

14+ y4

x 4+∅ ( y )

Diturunkan ke y

∂u∂ y

=− y3

x4+ d∅

dy=− y3

4

Sehingga :

d∅dy

=0⇔∅=c2

Dengan demikian penyelesaian umumnya adalah

ln x –

14

.y4

x4+c2=c1

ln x −1

4.

y4

x4=c

6. Soal-Soal Latihan

6.1. Variabel-Variabel yang Dapat Dipisahkan

1. x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0

2. dydx

= 4 yx ( y−3)

3. x(2y-3)dx – (x2+1¿dy=0

4. x2 ( y2−1 ) dx+√x3+1 = 0

5. dydx

ex− y

6.2. Persamaan difrensial homogen

1. x dy – x dx - √ x2− y2 dx = 0

2. (2x + 3y) dx + (y-x) dy = 0

3. (x + y) dy + (x-y) dx = 0

4. x2 dy+( y2−xy ) dx=0

25

5. (x2 + y2) dy – y2 dx = 0

6.3. Persamaan Diferensial Linier

1. dydx

+2 xy=4 x

2. xdydx

= y+x3+3 x2−2 x

3. ( x−2 ) dydx

= y+2 ( x−2 )3

4. dydx

+ ycot x=¿5 ecos x ¿

5. dydx

+ y=2+2 x

6.4. Persamaan Diferensial Eksak

1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0

2. 3e3xy – 2x dx + e3x dy = 0

3. [ cos y+ y cos x ] dx + [ sin x−x sin y ] dy = 0

4. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0

5. y(x – 2y) dx – x2 dy = 0

6.5. Faktor Integrasi

1. x dx + y dy = ( x2 + y2 ) dx

2. ( 2y – 3x ) dx + x dy = 0

3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0

4. (3 x2+ y2 ) dx−2xy dy=0

5. y dx- x dy = 0

7. Rangkuman

Penyelesaian Persamaan Diferensial

26

v = f (x) dikatakan penyelesaian suatu perencanaan diferensial, jika

persamaan diferensial itu tetap memenuhi kalau y dan turun-turunannya

digantikan pada f(x).

A. Variabel-variabel yang Dapat Dipisahkan

Persamaan Diferensial

M(x,y) dx + N (x,y) = 0 merupakan persamaan diferensial dengan

ubahan terpisah jika dapat dikemabalikan ke bentuk

f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (x) dy = 0 …………………..(1)

Kedua ruas dari (1) dikalikan

1f 2 ( x ) . g2 ( y ) diperoleh :

f 1 (x )f 2 ( y )

dx+g1 ( y )g2 ( y )

dy=0

Selanjutnya dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

penyelesaiannya.

B. Persamaan Diferensial Homogen

f(x) dikatakan homogen pangkat n jika f (x . y) = n . f (x,y).

Jika f(x,y) homogen pangkat n, maka f(x,y) = xn . f(v) dengan v =

yx (x,y)

homogen pangkat n, sehingga f (x, y) = n . f(x,y).

C. Persamaan Diferensial Linier

Persamaan diferensial jenis satu disebut linier jika ubahan tak

bebas dan turunannya berpangkat satu. Bentuk persamaan diferensial

jenis satu linier adalah.

dydx

+ y . P( x )=Q( x )…………………………………..(1)

Berikut ini disajikan cara menentukan penyelesaian umum

persamaan diferensial jenis satu linier, yaitu :

a. Cara Bernoulli

27

y=¿

b. Cara Lagrange

y=¿

e∫ P (x ) dx ). y=∫e∫ P( x )dx

Q (x )dx+k

D. Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Diferensial

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………………………..(1)

Merupakan diferensial eksak jika ruas kiri merupakan diferensial

total. Dengan demikian ada u(x,y) sedemikian hingga.

Teorema :

Persamaan diferensial M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak jika dan

hanya jika

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

E. Faktor Integrasi

Jika persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ………………(1)

Bukan persamaan diferensial eksak maka (1) perlu dikalikan faktor

integrasi f sehingga (1) menjadi eksak.

f M(x,y) dx + f N(x,y) dy = 0 ……………………..(2)

Sehingga

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

f =e∫

∂m∂ y

−∂ N∂X

Ndx

28

8. Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial

8.1. Variabel-Variabel yang Dapat Dipisahkan

1.x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0

Penyelesaian :

x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0❑ ×

1( y+1 )(x−1)

x2 ( y+1 ) dx( y+1 )(x−1)

+ y2 ( y+1 )dx

( y+1 )(x−1) = 0

∫ x2

x−1dx+∫ y2

y+1dy=∫ 0

∫ x2

x− x2

1dx+∫ y2

y+ y2

1dy=∫0

∫ x−x2 dx+ y+ y2 dy=∫0

12

x2−13

x3+ 12

y2+ 13

y3=c

12(x¿¿2+ y2)+ 1

3(−x3+ y3 )=c ¿

2. dydx

= 4 yx ( y−3)

Penyelesaian :

29

4y dx = x(y-3)dy

x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0❑ ×

1( y )(x )

4 y( y )

dx−x ( y−3)

( y )(x )dy=0

∫ 4x

dx –∫ y−3y

dy =∫0

4∫ dxx

dx –∫ yy−3

ydy =∫0

4 ln x−¿y −∫ 3y

dy=∫ 0

4 ln x−¿y −3∫ dyy

=∫ 0

4 ln x−¿y −3 ln y = c

Ln x4

y3− y=0

x4

y3− y=0

3.x(2y-3)dx – (x2+1¿dy=0

Penyelesaian :

x (2 y−3 )−( x2+1 )=0❑ ×

1(2 y−3)(x2+1)

x (2 y−3 )dx

(2 y−3)(x2+1)dx +

(x2+1)(2 y−3)(x2+1)

dy = 0

∫ x

(x2+1)dx+∫ dy

(2 y−3) = ∫0

Dimana :

Q= x2+1 v= 2y-3

dq= 2x dx dv = 2 dy

30

dx = dq2 x

dy = dv2

∫ x

x2+1dx+ dy

2 y−3=∫ 0

∫ xQ

.dQ2 x

+∫ 1v

.dv2

=∫0

12∫

dQ2 x

+ 12∫

dvv

=∫0

12

ln Q+¿ 12

ln v=ln c ¿

ln Q12 +ln v

12=ln c

ln Q12 . v

12=ln c

Q12 . v

12=c

(x2+1)12 . ¿¿

4. x2 ( y2−1 ) dx+√x3+1 = 0

Penyelesaian :

x2 ( y2−1 ) dx+√ x3+1=0❑ ×

1

( y2−1 ) . x3+1

x2 ( y2−1 )( y2−1 ) .√x3+1

dx+ √ x3+1( y2−1 ) . x3+1

dy=0

x2

√x3+1dx+ y

( y2−1 )dy=0

x2

(x3+1)12

dx+ y( y2−1 )

dy=0

Misal :

Q=(x3+1) v= y2−1

dQ=3 x2 dx dv=2 y dy

31

dx= dQ

3 x2 dy= dv2 y

∫ x2

Q12

.dQ3 x2 +∫ y

v.

dv2 y

=∫0

13∫

dQ

Q12

+ 12∫

dvv

=∫0

13

Q12 +¿ 1

2ln v=¿∫0¿¿

13

.2Q12 +¿ 1

2ln v=¿c ¿¿

23

.2 Q12 +¿ 1

2ln v=¿c ¿¿

23√ x3+1+ 1

2ln ( y2−1 )=¿ c¿

5. dydx

ex− y

Penyelesaian :

dydx =

ex

e y

ex dx=e y dy

∫ ex dx−¿∫ e y dy ¿= ∫0

ex−e y=c

8.2. Persamaan Difrensial Homogen

1. x dy – x dx - √ x2− y2dx = 0

Penyelesaian :xdy – y dx - √ x2− y2dx = 0

[-y -√ x2− y2 ] dx + x dy = 0

[y + √ x2− y2 ] dx – x dy = 0

32

M (x,y) = y + √ x2− y2

M (ƛx,ƛy) = λy + √ λ2(x2− y2)

= λy + λ √ x2− y2

= λ (y + √ x2− y2

= λ M (x,y)

N (x,y) = -x

N (λx, λy) = - (λx)

= λ N (x,y)

Dimana : y = vx

dv = v dx + x dv

( y+√x2 – y2 )dx−x dy=0

[vx + √ x2 – (v x2)] dx – x (vdx + xdv) = 0

[vx + √ x2 – v2 x2] dx – vx dx – x2 dv = 0

√ x2(1 – v2)dx – x2 dv = 0

x √1−¿ v2dx−x2 dv=0❑ ×

1

(√1−v2) (x2)¿

x √1−¿v2

(√1−v2 )(x2)dx− x2

(√1−v2)(x2)dv=0¿

Rumus dasar :

∫ x

x2dx−∫ dv

√1−v2=∫0 rumus dasar

∫ 1

√1−x2dx=sin−1 x+c

∫ dxx

−∫ dv

√1−v2=∫0

ln x−sin−1 v=c

ln x−sin−1( yx )=c

2. (2x + 3y) dx + (y-x) dy = 0

33

Penyelesaian :

M (x,y) = 2x + 3y

M (λx,λy) = λ2 . x [(λx) + (λy)]

= [λ2 (x + y)]

= λ2

N (x,y) = y – x

N (λx,λy) = [(λx) - (λy)]

= [λ2 (x + y)]

= λ2

M (x,y) = N (x,y) homogen

Dimana :

y = vx, dv = v dx + x dv

Maka :

(2x + 3y) dx + (y - x) dy = 0

2x + 3 (vx) dx + (vx – x) = 0

2x + 3 vx dx + (vx – x) (v dx + x dv) = 0

2x + 3 vx dx + v2 x dx + vx2 dv – vx dx – x2 dv = 0

dx (2x + 3 vx + v2 x – vx) + dv (vx2 – x2) = 0

dx (2x + 2 vx + v2 x) + dv (vx2 – x2) = 0

x (2+2 v+v2 ) dx+ x2 (v−1 ) dv=0❑ ×

1( 2+2v+v2 )(x2)

x (2+2 v+v2 ) dx

(2+2 v+v2 )( x2)+

x2 (v−1 )dv

(2+2v+v2) (x2)=0

∫ x

x2dx+∫ v−1

2+2 v+v2dv=∫ 0

∫ dxx

+∫ v−1

2+2 v+v2dv=∫ 0

Dimana:

v−1

1+(v+1)2= A

1+ Bv+C

(v+1)2

v – 1 = A (v+1)2 + Bv + C (1)

34

v – 1 = A (v2 + 2v + 1) + Bv + C

v – 1 = Av2 + 2 Av + A + Bv + C

v – 1 = Av2 + 2 v (A + B) + (A + C)

v – 1 = Av2 + v (2A + B) + (A + C)

Av2 = 0

A = 0

v (2A + B) = v - 1

2A + B = -1

2 (0) + B = -1

B = -1

A + C = 0

0 + C = 0

C = 0

Maka :

v−1

(v+1)2+1= −2

v+1+1

Sehingga :

∫ dxx

+∫ v−1

( v+1 )2+1dv=∫0

∫ dxx

+∫ −2v+1

dv+∫dv=∫ 0

ln x−2∫ dvv+1

+v=c

ln x−2 ln v+1+v=c

ln x−2 ln( yx+1)+( y

x )=c

ln x−ln( yx+1)

2

+( yx )=c

ln x−ln( y2

x2 +1)+( yx )=c

35

lnx

y2

x2 +1

+ yx=c

lnx

y2

x2 + x2

x2

+ yx=c

lnx

y2+x2

x2

+ yx=c

lnx3

y2+ x2 + yx=c

3. (x + y) dy + (x-y) dx = 0

Penyelesaian :M (x,y) = x + y

M (λx,λy) = λ2 . x [(λx) + (λy)]

= [ λ2 (x + y) ]

= λ2 M (x,y)

N (x,y) = x – y

N (λx,λy) = [(λx) – (λy)]

= λ2 (x-y)

= λ2 N (x,y)

Dimana :

y = vx, dv = v dx + x dv

Maka :

(x + y) dy + (x - y) dx = 0

(x + vx) dy + (x – vx) dx = 0

(x + vx) (v dx + x dv) + (x – vx) dx = 0

xv dx + x2 dv + v2x dx + vx2 dv + (x – vx) dx = 0

dx (xv – xv + v2x + x) + dv (x2 + vx2) = 0

(v2x + x) dx + (x2 + vx2) dv = 0

36

x ( v2+1 ) dx+x2 (1+v ) dv=0❑ ×

1

(v2+1) ( x2 )

x ( v2+1 ) dx

( v2+1 ) ( x2 )+

x2 (1+v ) dv

(v2+1 ) ( x2 )=0

∫ x

x2dx+∫ 1+v

v2+1dv=∫ 0

∫ dxx

+∫ 1+v

v2+1dv+∫ v

v2+1=∫ 0

Misal : Q = v2 + 1

dQ = 2v dv

dv = dQ2 v

Rumus dasar : ∫ 1

1+x2dx=tan−1 x+c

ln x+ tan−1 v+∫ vx

.dQ2 v

=∫0

ln x+ tan−1 v+12∫

dQQ

=∫ 0

ln x+ tan−1 v+12

ln Q=c

ln x+ tan−1( yx )+1

2ln (v2+1 )=c

ln x+ tan−1( yx )+1

2ln(( y

x )2

+1)=c

ln x+ tan−1( yx )+1

2ln( y2

x2 +1)=c

ln x+ tan−1( yx )+1

2ln( y2+x2

x2 )=c

4. x2 dy+( y2−xy ) dx=0

Penyelesaian :M (x,y) = x2

M (λx, λy) = λx2

37

= λ2 M (x,y)

N (x,y) = (y2 – xy)

N (λx, λy) = [(λy2) – (λx)]

= λ2 N (x,y)

Dimana :

y = vx, dy = vdx + xdv

x2dy + (y2 – xy) dx = 0

x2 (v dx + x dv) + ((vx)2 – x (vx)) dx = 0

x2v dx + x3 dv + v2 x2 dx – vx2 dx = 0

x2v dx – vx2 dx + v2x2 dx + x3dv = 0

v2 x2 dx+x3dv=0❑ ×

1( v2 ) ( x3)

v2 x2 dx( v2 ) ( x3 )

+ x3 dv( v2 ) ( x3 )

=0

∫ x2

x3 dx+∫ dvv2 =∫ 0

∫ dxx

+∫ dv

v2=∫0

ln x+∫v−2dv=∫ 0

ln x+ 11+(−2)

v−2+1=c

ln x−v−1=c

ln x−1v=c

ln x− 1yx

=c

ln x− xy=c

38

5. (x2 + y2) dy – y2 dx = 0

Penyelesaian :M (x,y) = x2 + y2

M (λx, λy) = λ2. x [(λx) + (λy)]

= [λ2 (x+y)]

= λ2 M (x,y)

N (x,y) = y2

N (λx, λy) = λ2y

= λ2 N (x,y)

Dimana :

y = vx, dy = v dx + x dv

(x2 + y2) dy – y2 dx = 0

x2 + (vx)2dy – (vx)2 dx = 0

x2 + v2x2 (v dx + x dv) + v2x2 dx = 0

x2 v dx + x3 dv + v3x2 dx + v2x3 dv – v2x2 dx = 0

dx (x2v + v3x2 – v2x2) + dv (x3 + v2x3) = 0

x2 (v + v3 – v2) dx + x3 (1 + v2) dv = 0

atau

x2 ( v3−v2+v ) dx+x3 (1+v2 )=0❑ ×

1( v3−v2+v ) x3

x2 ( v3−v2+v ) dx

( v 3−v2+v ) x3+

x3 (1+v2) dv

(v 3−v2+v ) x3=0

dxx

+(1+v2)

v ( v2−v+1 )dv=0

∫ dxx

+∫ (1+v2 )v [ ( v−1 ) (v−1 ) ]

dv=∫0

dxx

+∫ (1+v2)v (v−1 )2

dv=c

Dimana :

∫ 1+v2

( v3−v2+v )dv= 1+v2

v ( v2−v+1 )= 1+v2

v (v−1 )2

39

1+v2

v (v−1)2=Av

+ B(v−1 )

+ C(v−1 )2

= A (v−1 )2+B v (v−1 )+C(v)

v (v−1)2

1 + v2 = A (v−1 )2 B v (v−1 )+C .v

1 + v2 = A (v2 – 2v + 1) + Bv2 – B + Cv

1 + v2 = Av2 – 2 Av + A + Bv2 – B + Cv

1 + v2 = v2 (A + B) + v (-2A – B + C) + A

8.3. PersamaanDiferensial Linier

1. dydx

+2 xy=4 x

Penyelesaian:

dydx

+P ( x ) y=Q ( x )

dydx

+2 xy=4 x

P ( x )=2x Q=4 x

Rumus dasar : y=e−∫ pdx [∫e∫

pdx.Qdx+c]

y=e−∫2xdx [∫e∫

2 xdx.4 x dx+c ]

¿e− x2 [∫ ex2

.4 x dx+c ] misalu=x2 , du=2 x dx , dx= du2 x

¿e− x2[∫eu.4 x

du2 x

+c ]¿e− x2 [2∫e

udu+c ]

¿e− x2 [2 eu+c ]

40

¿e− x2 [2 ex2

+c ]

¿e− x2+x2

+C1e− x2

y=2e0+C1e− x2

→C=C1 e−x2

y=2+C

2. xdydx

= y+x3+3 x2−2 x

Penyelesaian:

xdydx

= y+x3+3 x2−2x

xdydx

− y=x3+3 x2−2 x

xdydx

− y=x3+3 x2−2x

❑ ×1x

dydx

− yx=x2+3 x−2

dydx

+P ( x ) y=Q(x )

P=−1x

Q=x2+3 x−2

Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫

pdx. Qdx+c]

y=e∫ 1

xdx [∫e

∫−1x

dxx2+3 x−2 dx+c ]

¿e ln x [∫e−ln x ( x2+3x−2 ) dx+C ]

y=x [∫ 1x

( x2+3 x−2 ) dx+C ]

41

¿ x [∫( x2+3 x−2x )dx+C ]

y=x [ 12

x2+3 x−2 ln x+C ]y=1

2x3+3 x2−2 ln x+C

3. ( x−2 ) dydx

= y+2 ( x−2 )3

Penyelesaian:

( x−2 ) dydx

= y+2 ( x−2 )3

❑ ×

1x−2

(x-2)dy = [ y+2 ( x−2 )3 ]dx

dydx

+P (x) y=Q ( x )

Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫

pdx.Q dx+c ]

y=e1

x−2dx [e∫ −1

x−2 (2 x )2dx+C ]¿e ln x−2 [e−ln x−22 ( x−2 )2 dx+C ]

¿ x−2[∫ 1x−2

2 ( x−2 )2 dx+C ] ¿ x−2[∫ 2 ( x−2 )2

x−2dx+C ]

¿ x−2 [∫2 x−4 dx+C ]

¿ x−2 [ x2−4 x+C1 ]

42

¿ x3−6 x2+8 x+C1 (x−2 )

¿ x3−6 x2+8 x+C →C=C1 ( x−2 )

4. dydx

+ ycot x=¿5ecosx ¿

Penyelesaian:

dydx

+P ( x ) y=Q(x )

dydx

+ ycot x=¿5 ecos x ¿

P ( x )=cot xQ=¿5 ecos x¿

Rumus :y=e−∫ pdx [∫e∫

pdx. Q dx+c ]

¿e−∫ cot x dx [∫ e∫

cot x dx5ecos x dx+c ]

¿e ln sin x [∫ eln sin x

5ecos x dx+c ]

¿ 1sin x [∫ sin x5ecosx dx+C ] → misal u=cos x , du=−sin x dx

¿ 1sin x [∫ sin x5 eu du

−sin x+C ]

¿ 1sin x [−∫5 eu du+C ]

¿ 1sin x

[−5ecos x du+C1 ]

¿ 1sin x

+C1

sin x

¿ −5ecos x

sin x+C → C=

C1

sin x

43

5. dydx

+ y=2+2 x

Penyelesaian:

dydx

+P ( x ) y=Q(x )

dydx

+ y=2+2 x

y '+Py=Q

P=1 ,Q=2+2 X

Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫

pdx. Q dx+c ]

y=e−∫dx [∫ e∫

dx2+2 xdx+c ]

y=e−x [∫ex(2+2 x)dx+c ]

y=e−x [∫2 ex+(e x 2 x)dx+c ]

y=e−x [2 x ex+c ]

y=2 xe− x+x+c

y=2 xe(0)+c

y=2 x (1)+c

y=2 x+c

8.4. Persamaan Diferensial Eksak

1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0

44

Penyelesaian :

P = 4x3y3 – 2xy Q = 3x4y2 – x2

∂ P∂ y

= ∂(4 x3 y3−2 xy )

∂ y

∂ Q∂ x

= ∂(3 x4 y2−x2)

∂ x

= 12x3y2 – 2x = 12x3y2 – 2x

∂ P∂ y

= ∂ Q∂ x

(eksak)

P = ∂ u∂ x

4x3y3 – 2xy = ∂ u∂ x

∂ u = 4x3y3 – 2xy ∂ x

∫ du = 4x3y3 – 2xy dx

U = x4y3 –x2y + c (y).............(1)

Q = ∂u∂ y

3x4y2 – x2 = ∂u∂ y

3x4y2 – x2 = ∂¿¿

0 = d (c ( y ))

dy

∫0 dy = ∫ d c ( y )

c = c(y)

Kembali ke persamaan 1 :

U = x4y3 x2y + c(y)

U = x4y3 – x2y + c

2. 3e3xy – 2x dx + e3x dy = 0

Penyelesaian : P = 3e3xy – 2x Q = e3x

45

∂ P∂ y

= 3e3x ∂ Q∂ x

= 3e3x

∂ P∂ y

= ∂ Q∂ x

(eksak)

P = ∂ u∂ x

3e3xy – 2x = ∂ u∂ x

∂ u- (3e3xy – 2x) ∂x

∫ du= ∫(3 e3 x y−2 x ) dx

Misal : u = 3x

du = 3dx

dx = du3

u = ∫3 e3 x y dx−∫ 2 x dx

u = ∫3 eu . ydu3

- ∫2 x dx

u = ∫ eu . y du - ∫2 x dx

u = eu . y – x2 + c (y)

u = e3x. y – x2 + c (y)...........(1)

Q = ∂u∂ y

e3x = ∂¿¿

e3x = e3x + ∂ c ( y)

∂ y

0 =∂ c ( y)

∂ y

∫0 dy = ∫ d c ( y ) c = c(y) Kembali ke persamaan 1 :

u = e3xy – x2 + c(y)

u = e3xy - x2 + c

3. [ cos y+ y cos x ] dx + [ sin x−x sin y ] dy = 0

46

Penyelesaian: M = cos y + y cos x N = sin x – x sin y

∂ M∂ y

= ∂¿¿= ∂¿¿

= -sin y + 1 cos x = cos x – 1 sin y

= -sin y + cos x = cos x – sin y

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

(tidak eksak)

4. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0

Penyelesaian : P = 2x3 + 3y Q = 3x + y – 1

∂ P∂ y

= ∂(2 x3+3 y )

∂ y=3

∂Q∂ x

= ∂(3 x+ y−1)

∂ x = 3

∂ P∂ x

= ∂ Q∂ x

(eksak)

P = ∂ u∂ x

2x3 + 3y = ∂ u∂ x

∂u = 2x3 + 3y ∂ x

∫ du = ∫2 x3+¿¿ 3y dx

u = 24

x4 + 3xy + c(y)

u = 12

x4 + 3xy + c(y)

Q = ∂u∂ y

3x + y -1 = ∂¿¿

3x + y – 1 = 3x + ∂ c ( y)

∂ y

y – 1 = ∂ c ( y)

∂ y

47

∫ d c ( y ) = ∫ y−1 dy

c(y) = 12

y2 – y + c

Kembali ke persamaan 1

u = 12

x4 + 3xy + c(y) =...................1

u = 12

x4 + 3xy + 12

y2 – y + c

5. y(x – 2y) dx – x2 dy = 0

Penyelesaian :

(xy – 2y2) dx – x2 dy = 0

P = xy – 2y2 Q = x2

∂ P∂ y

= ∂( xy−2 y2 )

∂ y= x – 4y

∂ Q∂ X

= ∂(x2)

∂ x = 2x

∂ P∂ y

≠∂ Q∂ x

(tidak eksak)

8.5. Faktor Integrasi

1. x dx + y dy = ( x2 + y2 ) dx

Penyelesaian :

x – x2 – y2 dx + y dy = 0

M = x – x2 – y2 N = y

∂ M∂ y

= ∂(x – x2 – y2)

∂ y

∂ N∂ x

= y

∂ x

= -2y = 0

48

∂ M∂ y

≠ ∂ N∂ x

( tidak eksak )

Faktor integrasi f(x) = e∫

∂m∂ y

−∂ N∂X

Ndx

=e∫−2 y−0

ydx

= e∫−2 dx

f(x) = e∫−2 x

f.M ( x,y ) + f.N ( x,y ) = 0

e-2x ( x-x2-y2 ) dx + e-2x (y) dy = 0

xe-2x– x2e-2x - y2e-2x dx + y e-2xdy = 0

P = x e -2x – x2e-2x – y2e-2x

∂ P∂ y

= ∂(x e−2x−x2 e−2 x− y2 e−2 x)

∂ y=¿ye-2x

Q = ye-2x

∂ Q∂ y

= ∂( ye−2 x)

∂ y=¿ye-2x

∂ P∂ y

= ∂ Q∂ y

( eksak )

P = ∂ U∂ y

xe-2x – x2e-2x – y2e-2x = ∂ U∂ y

∂U = xe-2x – x2e-2x – y2e-2x∂x

∫ du = ∫ xe-2x – x2e-2x – y2e-2x dx ………….. (1)

49

Dimana :

∫ xe-2x = u . v - ∫ v .du

Misal : u = x du = 1

dv = e-2x

v ∫ dv = Q = -2x

dQ = -2

= ∫ e-2x dx

= ∫ eQ.∂ Q−2

= −12

eQ

= −12

e-2x

= x . 12

e-2x- ∫ - 12

e-2x dx

= 12

xe-2x + 12

∫ e-2x dx

= 12

x e−2 x+ 12∫e−2 x dx

∫ x2 e−2 x dx → misal : u = x2 du = 2 x

Dv = e−2 x v = ∫ e−2 x dx

= −12

e−2 x

∫ x2 e−2 x dx=u . v+∫ v . du

¿ x2−12

e−2 x−∫−12

e−2 x . 2x dx

¿−12

x2 e−2 x+ 12∫ e−2x .2 x dx …………….. (2)

Dimana :

50

∫ e−2 x dx=u . v−∫v du

= 2 x .12

e−2 x−∫−12

e−2x . 2 x dx → misal : u = 2x , du = 2

= −xe−2 x+∫e−2 x dx dv = e−2 x

= −xe−2x−12

e−2 xv = ∫ e−2 x dx

= −12

e−2 x

Kembali ke persamaan (2)

∫ x2 e−2 x dx=u . v−∫ v . du

= x2 .−1

2e−2 x−∫−1

2e−2x .2x

= −12

x2e−2 x+ 12 (−xe−2 x−1

2e−2 x )+c

= −12

x2e−2 x−12

xe−2 x−14

e−2 x+c

Jadi,

∫ du=∫ xe−2x−x2 e−2 x− y2 e−2 x dx

u=−12

xe−2 x−14

e−2 x−(−12

x2 e−2 x−12

xe−2 x− 14

e−2 x)+c12

y2 e−2x+c ( y )

u=−12

xe−2 x−14

e−2 x+12

x2 e−2 x+ 12

e−2 x+ 14

e−2 x+12

y2e−2 x+c( y)

u=12

x2 e−2 x+12

y2e−2 x+c( y)

Q = ∂u∂ y

y e−2 x=∂( 1

2x2 e−2 x+ 1

2y2 e−2x+c ( y ))

∂ y

y e−2 x= y e−2 x+∂( y )∂ y

C(y) = c

51

Jadi , 12

x2e−2 x+ 12

y2 e−2 x+c

2.( 2y – 3x ) dx + x dy = 0

Penyelesaian :M=∂ y−3x N = x

∂ M∂ y

=∂(2 y−3x )

∂ y∂ N∂ x

=∂ (x)∂ x

= 2 = 1

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

( tidak eksak )

Faktorintegrasif ( x )=e

∫∂ M∂ y

− ∂ N∂ x

dx

N

= e∫ 2−1

xdx

= e∫ dx

x

= e ln x

F(x) = x

f. M (x,y)dx + f.N (x,y) dy = 0

X ( 2y – 3x )dx + x (x) dy = 0

2 xy -3x2 dx + x2dy = 0

P = 2xy- 3x2 Q = x2

∂ P∂ y

=∂ (2 xy−3 x2)

∂ y∂ Q∂ x

=∂ (x2)

∂ x

= 2x = 2x

∂ P∂ y

=∂ Q∂ x

( eksak )

P = ∂ u∂ x

∂ xy−3 x2=∂ u∂ x

∂ u=2xy−3x2 ∂ x

52

∫ du=∫2 xy−3 x2 dx

u=x2 y−x3+c ( y )

Q= ∂u∂ y

x2=∂(x2 y−x3+c ( y ))

∂ y

x2=x2+∂ c ( y )

∂ y

∂ c ( y )=0 ∂ y

d c(y) = ∫ 0 dy

c (y) = c

kembali ke persamaan,

u=x2 y−x3+c ( y )

u=x2 y−x3+c

3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0

Penyelesaian :M=x− y2 N=∂ xy

∂ M∂ y

=∂¿¿ ∂ N∂ x

=∂ (2 xy )

∂ x

= -2y = 2y

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

( tidak eksak )

Faktor integrasinya f(x) = e∫

∂ M∂ y

−∂ N∂ x

Ndx

= e∫−2 y−2 y

2 xydx

= e∫−4 y

xdx

= e∫−2

xdx

53

= e−2 ln x

f(x) = 1

x2

f. M (x,y) dx + f.N (x,y) dy = 0

1

x2( x− y2 ) dx+ 1

x2(2 xy ) dy=0

( 1x− y2

x2 )dx+ 2 yx

dy=0

M=( 1x− y2

x2 ) N=2 yx

∂ M∂ y

=∂( 1

x− y2

x2 )

∂ y

∂ N∂ x

=∂ (2 y)

x

= −2 y

x2 = −2 y

x2

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

( eksak )

M=∂ u∂ x

1x− y2

x2 =∂ u∂ x

∂ u= 1x− y2

x2 ∂ x

∫ du=∫ 1x− y2

x2 dx

u=∫ 1x

dx−∫ y2

x2 dx

u=ln x−∫ y2 x−2 dx

¿ lnx− 1−2+1

x−2+1 y2

u=ln x+ y2

x+c ( y)……………….(1)

N= ∂ u∂ y

54

∂ yx

=∂¿¿

∂ yx

=∂ yx

−∂ c ( y )

∂ y

∂ c ( y )=0 ∂ y

∫ d c ( y )=∫0 dy

c ( y )=c

Jadi, u=lnx+ y2

x+c

4. (3 x2+ y2 ) dx−2xy dy=0

Penyelesaian :

M=3 x2+ y2

∂ M∂ y

=∂(3 x2+ y2)

∂ y

= 2y

N = -2xy

∂ N∂ x

=∂ (−2 xy )

∂ x

= -2y

∂ M∂ y

≠∂ N∂ x

( tidak eksak )

Faktor integrasi nyaf ( x )=e

∫∂ M∂ y

− ∂ N∂ x

N

= e∫ 2 y+2 y

−2 xy

= e∫ 4 y

−2 xy

= e∫−2

x

= e−2 ln x

55

f(x) = 1

x2

fM (x , y ) dx+ fN (x , y ) dy=0

1

x2( 3x2+ y2 ) dx+ 1

x2(−2 xy ) dy=0

3 x2+ y2

x2 dx−2 xyx2 dy=0

3+ y2

x2 dx−2 yx

dy=0

∫ du=∫3+ y2

x2 dx

u=3 x+ y2 x−2dx

u=3 x− y2 .1

−2+1x−2+1+c ( y )

u=3 x− y2

x+c ( y )

Q= ∂ u∂ y

−2 yx

=−2 yx

+∂ c ( y )

∂ y

∂ c ( y )=0 ∂ y

∫ d c ( y )=∫0 dy

C(y) = c

Jadi,

u=3 x− y2

x+c ( y )

u=3 x− y2

x+c

5. y dx- x dy = 0

Penyelesaian : M = y

56

∂ M∂ y

=∂( y)∂ y

=1

N= -x

∂ N∂ y

=∂ (−x)

∂ x=−1

∂ M∂ y

≠∂ N∂ y

(tidak eksak)

Faktor integrasinya f(x) = e∫

ӘMӘy

−ӘNӘx

Ndx

= e∫ 1−(−1 )

−xdx

= e∫ 2

−xdx

= e−2 ln x

= 1

x2

f.M (x,y) dx + f.N (x,y) dy = 0

1

x2. y dx+ 1

x2. (−x ) dy=0

y

x2 dx + (−x )

x2 dy=0

y

x2 dx + (−1)

xdy=0

∫ du=∫ y

x2dx

u= y + x−2 dx

u= -y .1

−2+1x−2+1+c ( y )

u= yx+c( y)

Q = ∂ y∂ x

1x=1

x+

∂ c ( y )∂ y

∂c(y)= 0 ∂y

57

∫ d c ( y )=¿∫0 dy ¿C(y) = c

Jadi,

u= y

x2+c ( y )

u= yx+c

Sumber Pustaka

Ayres, Franj, Jr. 1985. Persamaan Differensial. Erlangga. Jakarta.

Chotim, M, Cholid. 1983. Matematika untuk Perguruan Tinggi (Vektor dan Persamaan Differensial). Bina Ilmu Offset. Surabaya.

Purcell, Edwin, dale, Varberg 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2. Ed. 3 Erlangga, Jakarta.

Salusu, A. 2003. Kalkulus Lanjutan. Ed. 1. Rineka Cipta. Surabaya.