geometri analitik · persamaan garis bentuk normal jika sembarang titik q (x,y) pada garis g, maka...

GEOMETRI ANALITIKPertemuan 3: persamaan normal garis, jarak titik ke garis, jarak garis ke

garis (yang saling sejajar)

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jika ada pertanyaan materisebelumnya, silahkan

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Sasaran kuliah hari ini

1. Mahasiwa dapat menentukan persamaan normal garis

2. Mahasiswa dapat menentukan formula jarak antara titik ke garisdan mengaplikasikannya dalam soal

3. Mahasiswa dapat menentukan jarak dua garis lurus yang salingsejajar

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Persamaan garis bentuk normal

Suatu garis dapat ditentukan denganmenentukan panjang n yang tegaklurus (normal) dari titik O (titik asal) ke garis tersebut. Sedangkan sudut adalah sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan arahgaris normalnya yang ditetapkansebagai arah dari titik asal terhadapgaris. (lihat gambar)

X

Y

n

O

P(x1,y1)

Q (x,y)

g

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Persamaan garis bentuk normal

Jika sembarang titik Q (x,y) padagaris g, maka kita dapat membuatsebuah hubungan antara panjang n, sudut , dan koordinat sembarangtitik Q (x,y) tersebut

Pada akhirnya kita akan dapatkanpersamaan normal garis g

X

Y

n

O

P(x1,y1)

Q (x,y)

g

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Persamaan garis bentuk normal

Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjangnormalnya n dan besar sudut normalnya adalah

x cos + y sin – n = 0

Perhatikan penjelasan di papan tulis (diskusikan dan tanyakan jika adahal yang belum jelas)

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Persamaan garis bentuk normal

Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan

normalnya adalahAx + By + C

± A2+ B2= 0

Tanda A2 + B2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C

Jika A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, maka tanda A2 + B2 dipilih sedemikianhingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka

tanda A2 + B2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Persamaan garis bentuk normal

Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan

normalnya adalahAx + By + C

± A2+ B2= 0

Tanda A2 + B2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C

Jika A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, maka tanda A2 + B2 dipilih sedemikianhingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka

tanda A2 + B2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

PERHATIKAN BAGAIMANA MENDAPATKANNYA

MENGAPA??

Latihan

1. Tentukan persamaan bentuk normal dari garis dengan dan p yang diberikan berikut ini, dan konstruksikan grafiknya:

(a) = 45, n = 4, (b) = 60, n = 5, (c) = 90, n = 3,

(d) = 150, n = 10, (e) = 180, n = 7, (f) = 270, n = 2,

(g) = 300, n = 3 (h) = 225, n = 6, (i) = 0, n = 13/2

2. Cari bentuk normal masing-masing persamaan berikut, dan konstruksikan grafiknya:

(a) 5x + 12y – 26 = 0 (b) 3x – 4y + 30 = 0 (c) 6x – 8y – 15 = 0

(d) 2x + 3y + 12 = 0 (e) 5x – 12y = 0 (f) – 5x + 12 = 0

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Latihan

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–3, –2) dan berjarak 2 satuan dari titik asal (ada dua jawaban)

4. Tentukan semua nilai k sedemikian hingga garis 15x + ky – 51 = 0 sejauh 3 satuan dari titik asal

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak titik ke garis

Jika titik P (x1,y1) berada di luar garisg: Ax + By + C = 0, maka bagaimanamencari jarak (d) titik P ke garis g?

Selanjutnya jarak titik P ke g dapatdinotasikan d (P,g)X

Y

O

P(x1,y1)

g: Ax + By + C = 0

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak titik ke garis

Kita dapat proyeksikan titik P(x1,y1) ke garis g. Misalkan proyeksi titik P ke garis g adalah P’(x2,y2)

X

Y

O

P(x1,y1)

g: Ax + By + C = 0

P’(x2,y2)

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak titik ke garis

Maka tentunya PP′ ⊥ g (ingat definisidari proyeksi suatu titik padagaris/bidang)

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak titik ke garis

Maka tentunya PP′ ⊥ g (ingat definisidari proyeksi suatu titik padagaris/bidang)

Sehingga d = panjang PP′ adalahmerupakan jarak titik P(x1,y1) kegaris g

Lalu apa formula jaraknya?

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0

d

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak titik ke garis

Jika d adalah jarak titik P(x1,y1) kegaris g, maka diperoleh formula

d (P,g) = Ax1 + By1 + C

A2+ B2

Kita diskusikan bagaimana formula inimuncul (perhatikan penjelasannyapada papan tulis)

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0

d

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Latihan

1. Tentukan jarak garis y = 2x – 6 terhadap titik:a. (4, 5), b. (3, –5), c. (–3, 8), d. (–10, 2)

2. Tentukan jarak garis 5x + 12y – 30 = 0 terhadap titik:a. (9, 2), b. (2, –7), c. (–4, 2), d. (–6, 5)

3. Sebuah garis memotong sumbu-y di (0,2). Tentukan kemiringan garis itu jika jaraknya terhadap titik (3, –4) adalah 6

4. Tentukan c sedemikian hingga jarak dari garis 4x – 3y – 24 = 0 terhadap titik (c, 2) sama dengan 6 satuan panjang

5. Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya A (1, –1), B (4, 6), dan C (–1, 7)

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jarak garis ke garis

Jika g sejajar h (g ∥ h), maka kitadapat menentukan jarak keduanya, yaitu dengan menentukan sebarangtitik pada h, kemudian menghitungjarak titik tersebut terhadap garis g

X

Y

O

P(x1,y1)

g: A1x + B1y + C1 = 0

d

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

h: A2x + B2y + C2 = 0

Jarak garis ke garis

Atau bisa sebaliknya, yaitu denganmenentukan sebarang titik pada g, kemudian menghitung jarak titiktersebut terhadap garis h

X

Y

O

P(x1,y1)

g: A1x + B1y + C1 = 0

d

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

h: A2x + B2y + C2 = 0

Jarak garis ke garis

Atau kita dapat turunkan formula jarakdua garis sejajar dengan bentuk

g: Ax + By + C1 = 0 dan h: Ax + By + C2 = 0 (syarat koefisien x dan y sama), sebagai berikut:

d (g,h) = C1−C2

A2+B2atau d (g,h) =

C2−C1

A2+B2

X

Y

O

g: Ax + By + C1 = 0

d

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

h: Ax + By + C2 = 0

Latihan

1. Tentukan jarak antara garis g: 2x – 5y + 5 = 0 dan h: 2x – 5y + 8 = 0

2. Jika garis k adalah berjarak sama terhadap garis g: 2x – 5y + 5 = 0

dan h: 2x – 5y + 8 = 0, maka tentukan persamaan garis k

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

SOAL-SOAL YANG BELUM TERBAHAS HARAP DIKERJAKAN/DIDISKUSIKAN

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

TERIMAKASIH

sofyan mahfudy-IAIN Mataram