11b-integral-lipat-tiga

1. Mengingat kembali integral lipat tiga dan mahir menghitungnya.

Integral Lipat Tiga Tujuan:

2. Memahami cara transformasi koordinat pada integral lipat tiga: koordinat kartesius, tabung dan bola.

Daerah domain di :

Integral lipat tiga

Membuat partisi pada daerah domain:

kkkk zyxV ∆∆∆=∆

∫ ∫ ∫

∫∫∫∫∫∫

=

=

2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(

),,(),,(

a

a

x

x

yx

yx

T

dzdydxzyxf

dVzyxfdxdydzzyxf

φ

φ

ϕ

ϕ

Contoh:

z

x Δy Δx

Δz

y

Cari nilai integral lipat tiga dari f(x,y,z)=2xyz atas

daerah S yang dibatasi oleh parabola 2

212 xz −= dan

bidang-bidang z=0, y=x, y=0. Daerah domain: (masukkan batas-batas yang berupa fungsi terhadap variabel lain, lalu cari batas untuk x (integrator terluar) yang berupa nominal angka).

x = r cos θ Transformasi ke koordinat tabung

y = r sin θ z = z

cos sin 0( , , ) sin cos 0( , , )

0 0 1

x x xr z r

x y z y y yJ r rr r z

z z zr z

θ θ θθ θ

θ φ θ

θ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

f(x,y,z)=f(rcos θ, r sin θ, z) = F(r, θ, z) ∫∫∫∫∫∫ =

*

),sincos,(),,(SS

rdzdrdzrrfdVzyxf θθ

x = r sin φ cos θ Transformasi ke koordinat bola

y = r sin φ sin θ z = r cos θ

2

sin cos sin sin cos cos( , , ) sin sin sin cos cos sin sin( , , )

cos sin 0

x x xr r r

x y z y y yJ r r rr r

rz z zr

θ φ φ θ φ θ φ θφ θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φθ θ

θ φ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ −

∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∫∫∫∫∫∫ =

*

)cos,sinsin,cossin(),(SS

dJdrdrrrfdVyxf ϕθθθϕθϕ

PR: 10.3 no.7,8,16,20 10.7 no.2,7,12