1 limit dan kontinu

LIMIT

LIMIT FUNGSI

Definisi :Misalkan fungsi f terdefinisi pada sebuah interval buka I yang mengandung titik c kecuali mungkin tidak terdefinisi di titik c tersebut. Limit fungsi f untuk x mendekati c adalah L R, ditulis

Lxfcx

)(lim

0 0 0 ( )x c f x L

CONTOH

3

1 1

21

3 0

1

0 0

lim 2 8 lim

9lim lim sin

3sin

lim lim sin

x x

xx x

xx x

x x x

x

xx

xx

LIMIT KIRI DAN KANAN Definisi Limit Kiri

ketika x mendekati c dari kiri, maka f(x) mendekati L

Definisi Limit Kanan

ketika x mendekati c dari kanan, maka f(x) mendekati M

Lxfcx

)(lim

Mxfcx

)(lim

TEOREMA

LxfxfLxfcxcxcx

)(lim)(lim)(lim

SOAL

xxx

x

xx

x

x

xx

xx

1

2

10

lim32lim

1

11limlim

21

TEOREMA LIMIT

Misalkan f dan g mempunyai limit di titik c dan n bilangan asli serta k konstanta, maka:

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim)()(lim

)(lim)(lim

lim

lim

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xfkxkf

cx

kk

cxcxcx

cxcxcx

cxcx

cx

cx

TEOREMA LIMIT

genap untuk 0)(lim;)(lim)(lim

)(lim)(lim

0)(lim;)(lim

)(lim

)(

)(lim

nxfxfxf

xfxf

xgxg

xf

xg

xf

cxn

cx

n

cx

n

cx

n

cx

cxcx

cx

cx

TEOREMA SUBSTITUSI

Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

dimana f(c) terdefinisi. Untuk fungsi rasional, penyebutnya tidak boleh bernilai nol.

)()(lim cfxfcx

TEOREMA APIT

Misalkan f, g dan h fungsi yang memenuhi f(x) g(x) h(x) untuk semua x yang dekat dengan c.Jika

maka

Lxhxfcxcx

)(lim)(lim

Lxgcx

)(lim

LIMIT DI KETAKHINGGAAN

lim ( )

0 ( )x

f x L

M x M f x L

lim ( )

0 ( )x

f x L

M x M f x L

LIMIT TAK HINGGA

lim ( )

0 0 ( )x cf x

M x c f x M

lim ( )

0 0 ( )x cf x

M x c f x M

FUNGSI KONTINU

DefinisiMisalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang mengandung c, f dikatakan kontinu di c jika

Fungsi yang tidak kontinu disebut dengan fungsi diskontinu

)()(lim cfxfcx

CONTOH

Tentukan titik-titik dimana f diskontinu

3;

32;

2;

3

3

1

)(

x

x

x

xxf

CONTOH

Diberikan fungsi f sebagai berikut

Bagaimana cara f didefinisikan pada x = 3 sehingga f kontinu dimana-mana?

3;3

27)(

3

xx

xxf

CATATAN

Kediskontinuan fungsi pada suatu titik dapat dihapuskan jika limit pada titik tersebut ada

Kediskontinuan fungsi pada suatu titik tidak dapat dihapuskan jika limit pada titik tersebut tidak ada

KONTINU KANAN DAN KONTINU KIRI

Sebuah fungsi f disebut kontinu kanan pada titik c, jika

Sebuah fungsi f disebut kontinu kiri pada titik c, jika

)()(lim cfxfcx

)()(lim cfxfcx

KONTINU PADA INTERVAL

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka jika f kontinu pada semua titik pada interval tersebut

Fungsi f kontinu pada interval tutup [a, b] jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan pada titik a dan kontinu kiri pada titik b

CONTOH

Tentukan nilai a dan b sehingga f kontinu dimana-mana

1;

10;

0;

3

1

)(

x

x

x

baxxf