MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 1

IPG KPI 2012

Topik Seksyen Konik

6.0 Kerangka Konsep

6.1 Lokus

6.1.1 Definisi

a) Suatu lokus (Latin for "place", plural loci) ialah kumpulan titik titik yang berkongsi

ciri yang sama.

b) Suatu lokus boleh diperihalkan sebagai laluan (path) di mana suatu titik bergerak

dengan mengikut syarat atau syarat-syarat tertentu.

Bulatan ditakrifkan sebagai satu lokus bagi suatu titik yang bergerak melalui titik

tetap pada jarak yang diberi.

Contoh masalah.

1. a) Namakan lokus yang terbentuk bila suatu titik P bergerak dengan syarat ia sama

jarak dari dua titik tetap (5,3) dan (2,1).

b) Carikan persamaan bagi lokus titik P tersebut.

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 2

IPG KPI 2012

Penyelesaian

a) Garis lurus berserenjang.

b) Persamaan lokus di dapati menggunakan rumus jarak;

Katakan P (x,y) , A(5,3) dan B(2,1)

02946

01249625410

1244962510

)1()2()3()5(

)1()2()3()5(

2222

2222

2222

yx

yyxx

yyxxyyxx

yxyx

yxyx

Contoh masalah.

2) a) Namakan lokus yang terbentuk jika suatu titik R bergerak di mana jaraknya

sentiasa 5 unit daripada titik tetap ( -2,5).

b) Carikan persamaan lokus bagi titik R tersebut

Penyelesaian

a) Bulatan

b) Persamaan lokus di dapati dengan menggunakan rumus jarak;

Katakan R (x,y) , A(-2,5)

01044

25251044

25)5()2(

5)5()2(

22

22

22

22

yyxx

yyxx

yx

yx

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 3

IPG KPI 2012

6.2 Konik

6.2.1 Definisi

Konik ialah suatu lengkung yang terbentuk dengan menyilang (intersect) suatu

kon ( permukaan kon berbentuk lengkungan tepat ) dengan suatu satah.

6.2.2 Jenis –jenis konik

6.3 Bulatan

Suatu bulatan ialah konik yang terhasil bila sepasang kon dipotong pada sebarang

titik kecuali titik tengah oleh suatu satah yang berserenjang dengan paksi.

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 4

IPG KPI 2012

6.3.1 Definisi

a) Suatu bulatan ditakrifkan sebagai lokus bagi semua titik P pada satah

yang mempunyai jarak sama dari suatu titik tetap. Titik tetap ini dipanggil

pusat bulatan dan jarak tetap dipanggil jejari.

b) Persamaan piawai bagi suatu bulatan yang berpusat (h,k) dan berjejari r

unit.

(x – h)2 + (y – k )2 = r2

c) Persamaan piawai bagi suatu bulatan yang berpusat (0,0) dan berjejari 1

unit.

x2 + y2 = 1

d) Persamaan piawai bagi bulatan yang berpusat (0,0) dan berjejari r unit.

x2 + y2 = r2

Contoh masalah

1. Carikan persamaan bulatan dalam bentuk piawai , jika diberi

(a) Pusat bulatan pada (0,0) dan jejari panjangnya 3 unit.

(b) Pusat pada (-5,-9) dan jejari nya unit.

Penyelesaian

(a) Menggunakan rumus piawai x2 + y2 = r2 (sebab pusat (0,0))

x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9

(b) Menggunakan rumus piawai (x – h)2 + (y – k )2 = r2

( x + 5)2 + (y + 9 )2 = (2√3)2

( x + 5)2 + (y + 9 )2 = 12

Sila cuba contoh di bawah:

Lakarkan bulatan berikut.

32

2 2

2 2

2 2

2 2

a. 3 2 16

b. 3 1 3 1 6

c. 4 6 12 0

1d. 0

2

x y

x y

x y x y

x y x y

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 5

IPG KPI 2012

y

x

,h c k

Major axis

y

x ,h k ,h a k

,h a k

,h c k

Major axis

,h k

,h k a

,h k a

,h k c

,h k c

(h + b, k)

(h, k + b )

(h, k - b )

(h - b, k)

6.4 Elips

Sebuah elips terbentuk apabila sebuah kon dipotong oleh satah yang bukan

berserenjang dengan paksi kon tersebut.

6.4.1 Definisi

Elips ditakrifkan sebagai suatu lokus bagi titik P (x,y), di mana jumlah jarak

daripada dua titik tetap di dalam bulatan ialah nilai pemalar . Titik tetap ini di

panggil foci iaitu F1 (c,0) dan F2 (-c,0).

6.4.2 Persamaan elips dalam bentuk piawai

1. di mana a > b dan c2 = a2 – b2 ( elips

melintang)

2. di mana a < b dan c2 = b2 – a2 ( elips

menegak)

6.4.3 Bahagian bahagian elips.

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 6

IPG KPI 2012

6.4.4 Foci dan ‘eccentricity”

- Foci berperanan menentukan bulat atau bujur sesuatu elips.

- “eccentricity,” atau “kebujuran” sesuatu elips ditentukan dengan

membahagikan jarak di antara foci dengan panjang paksi major.

- Untuk sebarang elips, nilai “eccentricity “ terletak antara 0 dan 1

- “Eccentricity “ bagi elips ialah ukuran bagaimana bujurnya sebuah elips.

“Eccentricity” dikira menggunakan rumus berikut.

- “eccentricity” =

di mana c ialah jarak daripada pusat ke fokus elips

a ialah jarak daripada pusat ke vertex

Contoh 1

ac

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 7

IPG KPI 2012

7

7;

3;9

4;16

11916

144

144

144

16

144

9

144169

222

2

2

2

2

2

222

22

22

c

bacba

bb

aa

b

y

a

xpiawaibentukdenganbandingkan

yx

yx

yx

Contoh 2

Diberi persamaan elips ialah 9x2 + 16y2 = 144. Carikan pusat elips, foci dan vertices (bucu)

elips.Seterusnya lakarkan elips tersebut.

Penyelesaian.

Tukarkan persamaan yang di beri kepada bentuk piawai.

pusat elips (0,0)

verteks = ( 4,0), (0, 3)

Foci = ( 7 ,0)

Contoh 3

Carikan persamaan elips yang mempunyai vertices ( 4,0) dan foci ( 2,0).

Penyelesaian.

a = 4, c = 2

c2 = a2 – b2

22 = 42 – b2

b2 = 16-4

b = 12

persamaan elips 11216

;1124

122

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyx

ialahb

y

a

x

MTE3103 GEOMETRI

Azizah Hj Tengah | 8

IPG KPI 2012

Contoh 4

Carikan foci dan persamaan bagi elips yang berpusat (0, 0) , mempunyai vertices pada

(2,0) dan (0,4).

Penyelesaian

a = 2 , b = 4; b > a

c2 = b2 – a2

c = 12 = 32 Foci = (0, 32 ) dan persamaan elips ialah 11216

;22

yx