PENENTUAN LILITAN BULATAN OLEH ARCHIMEDES

AHLI KUMPULAN:

LAURA

AFIQ

YAYA

AMAR

ELVY

SEJARAH

• Archimedes menemui 99.9% ketepatan mengenai pai kira-kira 2000 tahun lalu.

• Archimedes tidak mengetahui ukur lilit sesebuah bulatan.

• Tetapi dia tidak putus asa sebaliknya bermula daripada asas yang diketahuinya iaitu perimeter untuk bentuk segi empat. (Dia sebenarnya menggunakan heksagon, tetapi segiempat lebih mudah untuk dilukis)

MENCARI PAI

• Untuk mengetahui ukur lilit bulatan, cuba lukiskan antara dua bentuk segi empat.

MENCARI PAI

Bentuk segi empat mudah untuk dicari perimeternya:

•Segi empat di luar (mudah): sisi = 1, maka perimeter = 4•Segi empat dalam(tidak terlalu mudah): Pepenjuru adalah 1 (top-to-bottom). Guna Pythagorean theorem, sisi2 + sisi2 = 1, maka sisi = sqrt(1/2) or sisi = .7. Perimeter sekarang adalah 0.7 x 4 = 2.8.

• Kita mungkin tidak tahu di mana pai berada, tetapi berada diantara 2.8 and 4. Cuba anggapkan ianya berada di setengah jalan ataupun pi = 3.4.

• Kita anggarkan pi = 3.4, tetapi adalah lebih baik menggunkan pembaris dan tali. Apakah yang menyebabkan anggaran kita kurang baik?

• Bentuk segiempat ‘agak lapuk’. Ianya tidak dapat memadankan bentuk bulat dengan tepat.

• Namun, dengan meningkatkan sisi (menggunakan mitos oktagon) akan dapat memenuhi ruang dan memberikan anggaran yang lebih baik.

Archimedes menggunakan trigonometri yang kreatif untuk merangka formula perimeter sesebuah bentuk apabila nombor sisi bentuk didua kali gandakan:

•Perimeter Dalam: Satu segmen di dalam (seperti sisi bentuk segiempat) ialah sin(x/2), di mana x adalah sudut merangkumi sisi. Contohnya, satu sisi untuk bentuk segiempat di dalam ialah sin(90/2) = sin(45) ~ .7. Perimeter penuh ialah 4 x 0.7 = 2.8, seperti yang kita dapat tadi.

• Perimeter luar: Satu segmen untuk di luar ialah tan(x/2), dimana x merupakan sudut merangkumi satu sisi. Jadi, satu segmen untuk perimeter di luar ialah tan(45) = 1, untuk perimeter yang berjumlah 4.

• Menambah sisi yang banyak akan menyebabkan sudut sisi semakin kecil:

- Bentuk segiempat mempunyai sebuah perimeter dalam 4 x sin(90/2).

-Oktagon mempunyai 45-degree sudut, untuk perimeter dalam bagi 8 x sin(45/2).

• Kadar ketepatan segiempat (sisi=4) adalah 91%, manakala octagon (sisi=8) pula mempunyai kadar ketepatan 98%.

• Namun, pada masa itu Archimedes tidak mempunyai kalkulator untuk butang “sin”. Dia hanya menggunakan identity trigonometri untuk menulis semula sin dan tan untuk memberikan sesebuah nilai

• New outside perimeter

[harmonic mean]

• New inside perimeter

[geometric mean]

PENCARIAN FORMULA YANG TEPAT

• Bermula dengan bentuk 4 sisi ( segi empat)

• Setiap pusingan, ganda sebanyak 2 kali bagi sisi 4, 8, 16, 32, 64 dan kecilkan julat.

• Cuba buat andaian bahawa pai berada ditengah antara sempadan dalam dan luar.

• Selepas langkah ke3(32 sisi), kita sudah berada dalam 99.9% kadar ketepatan.

• Selepas langkah ke17 atau separuh juta sisi, andaian untuk Pai menghampiri ketepatan limit Excel.

• Malangnya, perpuluhan belum dicipta pada 250 BC, jadi Archimedes telah menggunakan formula pecahan.

• Dia mulakan dengan heksagon (6 sisi) dan teruskan 12, 24, 48, 96 sehingga mendapat sepenuhnya .

Anggarannya yang terakhir untuk Pai menggunakan bentuk yang ada 96 sisi, adalah:

•Titik tengah meletakkan Pai pada 3.14185, iaitu 99.9% tepat.

KESIMPULAN

• Beberapa orang menggunakan 22/7 untuk Pai, namun 22/7 sebenarnya merupakan formula yang terikat dengan penemuan Archimedes 2000 tahun yang lalu. Terdapat banyak lagi fomula yang jauh lebih baik yang boleh ditemui.