04/21/23 1

BAB. 4

Gerak Dalam Sistem

Koordinat

04/21/232

Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat kar-

tesian dinyatakan sebagai, (x, y dua dimensi)

atau (x, y, z tiga dimensi).

0 x

y

A (x, y)x

y

x

y

z

0

A (x, y, z)

y

z

x

1. Koordinat Kartesian.

04/21/23 3

Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat

dapat dinyatakan sebagai bentuk vektor posisi.

Letak titik A dapat

dinyatakan dengan

persm vektor,

R = x i + y j + z k,

(3 dimensi), jika dua

dimensi, (z = 0) se-

hingga menjadi,

2. Vektor Posisi.

0 y

z

x

A (x, y, z)

R

i j

k

R = x i + y j.

04/21/23 4

4. Kecepatan,

222

2222

kecepatan,Besar

zyx vvv

dt

dz

dt

dy

dt

dxv

dt

dz

dt

dy

dt

dxv

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

Rdv

kji

kji

04/21/23 5

5. Percepatan

222

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

,percepatanBesar

atau

zyx

zyxzyx

aaaa

dt

zd

dt

yd

dt

xda

aaaadt

dv

dt

dv

dt

dva

dt

zd

dt

yd

dt

xda

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

d

dt

vda

kjikji

kji

kji

04/21/23 6

5. Persm Gerak.

Kecepatan, v = vo + a t

Perpindahan, R = Ro + vo t + ½ a t2

Nilai kecepatan, v2 = vo2 ± 2 a R

04/21/23 7

Contoh.

1menit m 10menit2

m100m120

Posisi awal suatu benda dinyatakan sebagai (100, 200) m. Dua menit kemudian berposisikan (120 m, 210 m). Berapa nilai v rata-rata dan arahnya ?

Penyelesaian.

Kecepatan pada koordinat x,

vxrt = t

xx

12

Kecepatan pada koordinat y,

112rty menit m 5

menit 2

m 200m 210v

t

yy

04/21/23 8

Lanjutan.

12222 menit m 2,11)m 5()m 10( yrtxrt vv

!3626nilai sehingga ,10

5 o

xrt

yrt

v

v

Dengan demikian kecepatan rata-rata menjadi:

vrt

Arah kecepatan,

tan θ

04/21/23 9

6. Koordinat Kutub dan Vektor Posisi.

Koordinat kutub, menyatakan

letak suatu titik ditentukan

oleh besarnya sudut (θ) ter-

hadap sb. x dan jarak titik

yang bersangkutan (r) terha-

dap acuan (0).

letak titik A dinyatakan sebagai, A (r, θ)

Vektor 0A dinyatakan sebagai 0A = r = r

r

r

vektor satuan dalam arah vektor 0A.

r, θ

r

θx

y

0

A

r

04/21/23 10

Koordinat kutub, memiliki vektor satuan dan yang saling tegak lurus.

Masing-masing vektor da-pat diuraikan pada sum-bu x dan y menjadi,

cos sin ˆ

dan ,sin cos ˆ

ji

ji

r

θ x

y

0

r

r

drddd

dddrd

r

ˆ sin cos ˆ

ˆ cos sin ˆ

hubungan memiliki dan ˆ dariPerubahan

ji

ji

7. Vektor satuan Koordinat Kutub.

04/21/23 11

8. Kecepatan.

dt

drr

dt

dr

dt

drr

dt

rdr

dt

rrdˆˆˆ

ˆ)ˆ (

dt

drr

Kecepatan v =

ˆ ˆ rdt

dr

Kecepatan, ,gerak yang menjauhi titik 0.

Kecepatan,

lengkung.san

-lintabentuk memberikan ,0ˆˆGerak dt

drr

dt

dr

melingkar gerak bentuk memberikan ,0ˆGerak dt

drr

, gerak menglilingi

titik 0.

04/21/23 12

lurusgerak bentuk memberikan 0ˆGerak dt

dr

dt

drr

dt

dr ˆˆ Kecepatan,

v

22

Kelajuan,

dt

dr

dt

drv

04/21/23 13

dt

rd

dt

drr

dt

rd

dt

d

dt

drr

dt

d

dt

d

dt

dr

rdt

dr

dt

dr

dt

d

ˆˆ

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

2

2

2

2

a

ˆ ˆˆ ˆˆ 2

2

2

2

dt

d

dt

drr

dt

rdr

dt

d

dt

dθrr

dt

d

dt

d

dt

dr

rdt

dr

dt

rd

dt

d r

dt

d

dt

drˆ ˆ 2

22

2

2

9. Percepatan.

raa r ˆ ˆ a

04/21/23 14

rar ˆ

ˆ aPercepatan, percepatan yang menyinggung

lintasan, atau a tangensial.

Percepatan, percepatan yang tegak lurus lin-

tasan, atau a normal (menuju pusat keleng-

kungan).

04/21/23 15

r

Partikel P bergerak dalam bidang, vektor posisi 0P dinyatakan sebagai r = a + b t2, (a dan b te-tapan). Vektor posisi dengan garis horisontal

Contoh.

(lihat gambar) selalu mem-buat sudut θ dengan persm θ = c t. Carilah percepatan partikel P tersebut !

0

r

P

θ

Penyelesaian.

0dan

; 2dan 2

2

2

2

2

dt

dc

dt

d

bdt

rdtb

dt

dr

04/21/23 16

rctbabcb ˆ ] ) ( 2[ˆ ) 4( 22 a

rdt

dr

dt

rd

dt

d r

dt

d

dt

drˆ ˆ 2

22

2

2

a

04/21/23 17

10. Penurunan besaran dengan bentuk Lain.

Perpindahan sudut, θ = ω t.

Vektor posisi (koordinat kutub), diubah menggu-

nakan vektor satuan sistem koordinat kartesi-an.

r = i r cos ωt + j r sin ωt

rtrtrr sin cos 2222

trtrdt

d

dt

rd sin cos jiv

Kecepatan,

0

y

r

(r,θ)

θx

Panjang (atau besar) r,

trtdt

drtrt

dt

drv cos sin sin cos jjii

04/21/23 18

22

cos sin sin cos

trt

dt

drtrt

dt

drv

tdt

drtr

tdt

drt

dt

drt

dt

rd

tdt

drtr

tdt

drt

drt

dt

rd

trtdt

drtrt

dt

dr

dt

d a

dt

vda

cos sin

cos cos sin

sin cos

sin sindt

cos

cos sin sin cos

,Percepatan

2

2

2

2

2

2

jj

jjj

ii

iii

jjii

04/21/23 19

tdt

drtrt

drt

dt

rd

tdt

drtrt

drt

dt

rd a

cos sin cosdt

2 sin

sin cos sindt

2 cos

22

2

22

2

jjjj

iiii

Besar percepatan menjadi,

a2 = [- (d2r/dt) cos ω t – 2 (dr/dt) ω sin ω t

– r ω2 cos ω t – r (dω/dt)]2

+ [(d2r/dt2) sin ω t + 2(dr/dt) ω cos ω t

- r ω2 sin ω t + r (dω/dt)]2

04/21/23 20

Batang tegar panjang ℓ bersandar (bertumbu) pada dinding vertikal dan lantai mendatar. Bila ujung lain yang bersandar pada dinding vertikal turun dengan kecepatan tetap v. Carilah ke-cepatan sudut serta percepatan sudut ujung batang tersebut turun sebagai fungsi sudut (θ) (lihat gambar ).

Contoh.

Penyelesaian.

ℓy θ

Dari gambar di samping dapat di- nyatakan sebagai y = ℓ cos θ. Kecepatan turun berarti,

sin

sin cos

dt

d

dt

d

dt

dy

04/21/23 21

sin v

Sehingga menjadi v = - ℓ ω sin θ atau

Percepatan, dt

d

dt

da

sin cos )sin ( 2

sin cosatau 0 sin cos 22 dt

dTurun dengan percepatan tetap berarti,

tansinatau Sehingga

22

22

v

ctg

04/21/23 22

Contoh.

Partikel bergerak di dalam lintasan lengkung (di- anggap memiliki pusat lintasan dengan jari-jari r). Kecepatan sepanjang lintasan dinyatakan se-bagai v = a t. Tentukan percepatan maksimum partikel tersebut !

v

r

Penyelesaian.

nr

taTa

rr

v

dt

dv

ˆˆ

ˆˆ

22

2

a

Gerak dengan vektor satuan disebut gerak tangensial (menyinggung lin-tasan) dan gerak dengan vektor satu-

T

04/21/23 23

an disebut gerak sentripetal/sentrifugal (me-nuju/melalui pusat).

n