Teori kebarangkalian

Teori kebarangkalian adalah cabang matematik berkenaan dengan analisis

fenomena rawak.Tujuan utama teori kebarangkalian ialah pembolehubah rawak, proses

stokastik, dan peristiwa: peniskalaan matematik peristiwa tak-berketentuan atau kuantiti

yang diukur yang mungkin merupakan kejadian tunggal atau berkembang mengikut

masa tampaknya secara rawak. Walapun satu lambungan syiling atau balingan dadu

merupakan satu kejadian rawak, jika diulang banyak kali satu urutan peristiwa rawak

akan menunjukkan pola statistik tertentu, yang boleh dikaji dan diramal. Dua hasil

matematik berperwakilan yang menerangkan pola seperti ini ialah hukum bilangan

besar dan teorem had memusat.

Sebagai asas matematik untuk statistik, teori kebarangkalian amat penting untuk

banyak aktiviti manusia yang melibatkan analisis kuantitatif set data yang besar. Teknik

teori kebarangkalian turut boleh digunakan dalam penerangan suatu sistem kompleks di

mana hanyak sebahagian keadaannya diketahui, seperti dalam mekanik statistik. Satu

penemuan besar dalam fizik abad ke-20 ialah sifat berkebarangkalian fenomena fizik

pada skala atom, yang diterangkan dalam mekanik kuantum

DEFINISI KEBERANGKALIAN

Peluang sesuatu berlaku

Himpunan satu atau lebih kesudahan yang

mungkin terhasil selepas ujikaji

Aktiviti/proses menghasilkan

sesuatu peristiwa

Hasilan ujikaji/ruang sampel

Pengiraan Kebarangkalian

       Kebarangkalian, P boleh dikira berdasarkan:

P(Peristiwa A) = Bil. Peristiwa A yg mungkin ÷ Bil. Populasi.

       Contoh: Aktiviti melambung duit siling yang adil dan merekodkan keputusannya.

Keputusan yang mungkin atau populasi ={K,E} 

Jika kita takrifkan Peristiwa A  sebagai mendaptkan kepala iaitu

Peristiwa A={K}, maka Peristiwa A adalah subset kepada populasi

Dan       P({K})=n({K})/n({K,E})=1/2=0.5.

       Contoh:

Sebuah kotak dibahagi 2, Petak A dan B dengan lubang yang menghubungkan antara

keduanya. Petak A mengandungi 100 ekor lalat, dan 5 daripadanya yg dipilih secara

rambang dan diwarnakan.

Kita berminat kepada peristiwa lalat berwarna adalah yg pertama  memasuki Petak B.

Maka P (Lalat Pertama Memasuki Petak B adalah Lalat Berwarna)

= Bil. Lalat Berwarna ÷ Bil. Semua Lalat

= 5/100

=0.05 atau 5 %

Kita katakan terdapat 5% kemungkinan (atau kebarangkalian) yg lalat pertama

memasuki petak B adalah lalat berwarna.

, dan 0 ≤ P (E) ≤ 1.

KONSEP KEBERANGKALIAN

Uji kaji

Uji kaji - Satu proses yang apabila dilaksanakan menghasilkan satu dan hanya

satu keputusan yang diperolehi daripada cerapan

Contoh : Ujikaji melambung dadu dan ujikaji melambung sekeping duit syiling.

Ruang sampel

Ruang sampel - Set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen .

KONSEP KEBERANGKALIAN

Ruang sampel

Keberangkalian bersyaratPeristiwa tak

saling ekslusif

Uji kaji

Perisiwa saling eksklusif

Keberangkalian klasik

Keberangkalian kekerapan relatif

Peristiwa merdeka

Contoh ruang sampel yang ada :

Himpunan

Gambar rajah Venn

Jadual kontigensi

Gambar rajah pokok

1. Contoh himpunan:

Ujikaji melambung dadu

S = {1,2,3,4,5,6}

2. Contoh venn diagram:

Ujikaji kelahiran bayi

S = {lelaki, perempuan}

S

3. Contoh gambar rajah pokok:

Ujikaji kelahiran bayi

S = {lelaki, perempuan}

Lelaki

S

Perempuan

LelakiPerempuan

Keberangkalian kekerapan relatif

Keberangkalian kekerapan relatif – ujikaji yang dijalankan berulang kali dan

bilangan peristiwa A akan berlaku.

P (A) =

Semakin banyak ujikaji dijalankan, anggaran akan menghampiri kebarangkalian

yang sebenarnya.

Peristiwa saling ekslusif dan tak saling eksklusif

Peristiwa saling ekslusif – Peristiwa A dan B saling eksklusif jika mereka tidak

berlaku serentak.

Sekiranya dua peristiwa adalah saling eksklusif maka kebarangkalian salah satu

daripadanya berlaku ialah:

A B = dan n ( A U B ) = 0 serta P (A B) = 0

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B )

Peristiwa saling tak eksklusif – Peristiwa A dan B tidak saling eksklusif jika

mereka berlaku serentak.

Sekiranya peristiwa-peristiwa tersebut adalah tidak saling eksklusif maka

P ( A ) 0 dan P ( B ) 0

P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) – P (A B )

Sebagai contoh ,peristiwa mendapat mangsa jenayah yang dilakukan oleh orang

luar dan peristiwa mendapat mangsa jenayah yg dilakukan oleh saudara/rapat

adalah peristiwa saling eksklusif. Ini kerana dlm kedua-dua peristiwa penjenayah

tidak mungkin orang luar dan saudara/rapat dengan mangsa pada masa yg sama.

Contoh:

Katakan komputer memilih secara rawak digit terakhir bagi satu nombor telefon (8

digit). Dapatkan kebarangkalian digit tersebut adalah

a) nombor 8 atau 9

b) nombor ganjil atau kurang drp 4..

Penyelesaian (a)

A = peristiwa mendapat nombor 8

B = peristiwa mendapat nombor 9

Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif?

Ya, saling eksklusif. Dengan itu P (8 Ç 9) = 0

Petua penambahan:

P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A Ç B)

Penyelesaian (b)

A = peristiwa mendapat nombor ganjil

B = peristiwa nombor kurang drp 4

Adakah peristiwa A dan B saling eksklusif?

Tidak saling eksklusif.

Petua penambahan:

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

Keberangkalian bersyarat

Keberangkalian bersyarat – Kebarangkalian sesuatu peristiwa A akan berlaku

jika peristiwa B telah berlaku dan dinyatakan

dalam bentuk simbol P(A|B)

Pengetahuan/maklumat tambahan yang memberi kesan kepada kesudahan ujikaji

Kebarangkalian bersyarat bermaksud kebarangkalian bagi sesuatu peristiwa

berlaku, iaitu diberi bahawa peristiwa lain sudah berlaku.

P(A l B) - kebarangkalian peristiwa A berlaku diberi bahawa peristiwa B sudah

berlaku.

P = atau P =

Peristiwa

Peristiwa - Satu himpunan atau lebih kesudahan-kesudahan bagi satu ujikaji

Ada dua jenis peristiwa iaitu peristiwa mudah dan peristiwa kompoun (majmuk).

Peristiwa mudah hanya terdiri daripada satu dan hanya satu kesudahan. Peristiwa

mudah dilabelkan sebagai E1, E2 dan seterusnya. Jika E adalah satu peristiwa

mudah , maka 0 ≤ P ( E ) ≤ 1.

Contoh 1:

Katakan kita memilih secara rawak 2 biji guli daripada sebuah uncang. Cerap sama

ada guli yg terpilih setiap kali pilihan adalah biru atau merah.

Andaikan b = biru dan m = merah.

- Menggunakan gambar rajah Venn

S

- Menggunakan gambar rajah Pokok

Maka, S = {bb, bm, mb, mm}.

Dari itu, Peristiwa mudah bagi ujikaji ini adalah,

E1 = (bb), E2 = (bm), E3 = (mb) dan E4 = (mm)

Sesuatu peristiwa dikatakan peristiwa majmuk apabila peristiwa itu mengandungi

lebih daripada satu unsur daripada ruang sampel.

Keberangkalian klasik

Mengira kebarangkalian bagi suatu peristiwa ujikaji di mana ke semua kesudahan

adalah sama.

Katakan suatu ujikaji mempunyai n peristiwa mudah yang berbeza, di mana setiap

peristiwa mempunyai peluang yang sama untuk berlaku.

P (A) = bilangan peristiwa A akan berlaku bilangan kesudahan (n)

Contoh 2:

bbmmmbbm

Satu uncang mengandungi 1 biji guli biru dan 1 biji guli merah. Pilih secara rawak

dua biji guli (dengan pulangan). Biarkan A adalah peristiwa sekurang-kurangnya 1

biji guli biru terpilih.

S = {bb, bm, mb, mm} dan A = {bm, mb, bb}.

P (A) =

Peristiwa merdeka

Dua peristiwa A dan B dikatakan merdeka jika keberangkalian sesuatu peristiwa

berlaku tidak mempengaruhi keberangkalian peristiwa lain yang berlaku.

Secara amnya , dua peristiwa A dan B adalah merdeka atau tidak bersandar jika

P (A) = P (A | B) dan P (B) = P (B | A)

Daripada P (A | B) = , kita memperolehi P (A P (A) P (B)

Jika P (A | B) = P (A), iaitu A dan B adalah tidak bersandar atau merdeka.

Contoh :

Sebiji dadu dilemparkan 4 kali. Cari keberangkalian mendapat 5 bagi setiap lemparan.

Penyelesaian

Katakan A ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan pertama ‘

Katakan B ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan kedua ‘

Katakan C ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan ketiga ‘

Katakan D ialah peristiwa ‘ mendapat 5 pada lemparan keempat ‘

Peristiwa A, B , C , dan D semuanya tak bersandar ,maka

P (A B C D) = P (A) P (B) P (C) P (D)

=

=

Ringkasan Kebarangkalian

Peristiwa Kebarangkalian

A

bukan A

A atau B

A dan B

A bersyarat B

CONTOH KEBERANGKALIAN DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

CONTOH 1:

Empat orang pergi memancing.mereka dibenarkan memancing untuk satu jam sahaja.

Setiap orang tidak dibenarkan menangkap lebih daripada seekor ikan. Keberangkalian

setiap orang menangkap seekor ikan ialah . jika mereka memancing bersama –

bersama , apakah keberangkalian mereka menangkap

a) Tepat 2 ekor ikan?

b) Tepat 3 ekor ikan ?

c) 2 atau 3 ekor ikan?

d) Sekurang-kurangnya 2 ekor ikan?

Penyelesaian

Katakan ‘1100’ bermaksud pemancing pertama da kedua masing- masing menangkap

seekor ikan dan pemancing ketiga dan keempat tidak menangkap sebarang ikan dan ‘1’

bermaksud menangkap seekor ikan.

a) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa A dengan

A = {1100, 1010 , 1001 ,0110 , 0101 ,0011 }

P (A) = 6.

=

b) Kita ingin mencari keberangkalian bagi peristiwa B , dengan

B = {1110, 1101 , 1011 , 0111}

P (B) = 4 .

=

c) Katakan C = Peristiwa menangkap 2 atau 3 ekor ikan

= A U B

P (C) = P (A U B)

= P (A) + P (B)

= +

=

=

d) Katakan D ialah peristiwa ‘menangkap sekurang-kurangnya 2 ekor ikan’ maka

D = A U B U {1111} dan

P (D) = P (A U B U ({|1111|})

= P (A) + P (B ) + P ({1111}) [ P ({|1111|} ) = = ]

= + +

=

=

=

CONTOH 2:

Sebuah syarikat menggunakan 3 mesin A, B, C untuk membuat kompenan elektronik .

mesin A menghasilkan 40 % daripada jumlah output syarikat itu; mesin B menghasilkan

50 % daripada jumlah output syarikat itu dan mesin C menghasilkan 10% daripada

jumlah output syarikat itu. Peratusan kompenan cacat yang dihasilkan oleh mesin A, B,

dan C adalah masing- masing 2%, 3%, dan 1%. Suatu kompenan dipilih secara rawak

daripada jumlah output syarikat itu.

a) Apakah keberangkalian kompenan itu rosak?

b) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A , diberi

kompenan itu rosak?

c) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin A, diberi

kompenan itu tidak rosak?

d) Apakah keberangkalian kompenan itu dihasilkan oleh mesin B , diberi

kompenan itu rosak?

Penyelesaian :

Katakan R mewakili peristiwa ‘kompenan itu rosak’. Kita mula dengan melukis gambar

rajah pokok seperti berikut:

0.02 R P (A R) = 0.008

A

0.4 0.98 R’ P (A R’) = 0.392

0.03 R P (B R) = 0.015

Mula 0.5 B

0.97 R’ P (B R’) = 0.485

0.1 0.01 R P (C R) = 0.001

C

0.99 R’ P (C R’) = 0.099

a) P (R) = P (A B) + P(B R) + P(C R)

= (0.4) (0.02) + (0.05) (0.03) + (0.1) (0.01)

= 0.008 + 0.015 + 0.001

= 0.024

b) P (A | R) =

=

=

c) P (A | R’) =

=

=

=

d) P (B | R’) =

=

=

=

CONTOH 3

Dua orang sahabat yang mengambil kereta api metro untuk pergi ke tempat kerja dari

stesen yang sama tiba ke stesen secara rawak antara 7:00 dan 7:20 pagi. Mereka

sanggup menunggu selama lima minit yang lain selepas mereka memilih sama ada

mengambil kereta api secara bersama atau bersendirian. Apakah keberangkalian untuk

mereka berjumpa di stesen?

Penyelesaian

Dalam kordinat sistem Cartesian (s, t), segiempat sama bagi sisi 20 (minit) mewakili

keseluruhan keberangkalian bagi dua orang sahabat yang tiba pada pagi hari di stesen

kereta api metro.

Kawasan A yang kelabu itu terhad pada dua garisan lurus t = s + 5 dan t = s - 5

maka di dalam A , | s- t | 5 , diikuti dua sahabat yang akan berjumpa jika ditetapkan

ketibaan mereka s dan t berada pada kawasan A. Keberangkalian untuk peristiwa ini

terjadi diberi oleh nisbah bagi luas kawasan A ke luas kawasan segi empat sama:

[400 - (15× + 15× )] / 400 =

=

CONTOH 4

Seorang doktor dipanggil untuk merawat seorang budak yang sakit. Doktor itu

mempunyai maklumat utama iaitu 90% daripada budak sakit yang ada di kawasan

kejiranan itu menghidapi seleselma , manakala 10% sakit batuk. Biarkan F berdiri untuk

peristiwa ‘ budak sakit selesema ‘ dan M untuk peristiwa ‘budak sakit batuk’.

Andaikan F U M = 0, iaitu tiada penyakit lain kawasan kejiranan itu.

Simptom yang paling ketara bagi penyakit batuk ialah tekak berasa gatal (peristiwa ini

diwakili oleh R) P (R | M) = 0.95. Walaubagaimanapun, selesema juga ada simptom

yang sama dengan batuk, maka P (R | F) = 0.08.

Apabila memantau keadaan budak tersebut , doktor itu mendapati budak itu

mempunyai tekak yang gatal. Apakah keberangkalian budak itu menghidap batuk?

Penyelesaian

P (M | R) =

=

= 0.57

CONTOH 5

Dalam suatu kajian , ahli pakar fizik pernah ditanya tentang keganjilan yang ada pada

barah payu dara yang mungkin berada dalam diri wanita yang pada mulanya

mempunyai risiko 1% untuk mendapat barah tersebut tetapi berakhir dengan keputusan

mammogram positif ( mammogram mengklasifiksikan secara tepat sekitar 80%dari

tumor kanser dan 90% dari tumor permulaan.) 95 daripada 100 ahli fizik menjangkakan

keberangkalian mendapat barah tersebut adalah sekitar 75%. Adakah anda setuju?

Penyelesaian

Pengenalan peristiwa

P – keputusan mammogram yang positif

B – permulaan tumor

M – tumor yang kritikal

Formula Bayes bagi kes ini ialah;

P ( M | P ) =

=

0.075

75%

.