3. pdb

7/17/2019 3. PDB

http://slidepdf.com/reader/full/3-pdb 1/59

Persamaan DiferensialBiasa

1Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


Denisi Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu

persamaan yang memuat satu atau lebih turunanfungsi satu peubah bebas yang tidak diketahui.

Jika fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas,dikatakan Persamaan diferensial Parsial (PDP).

Orde : Turunan tertinggi dari fungsi yang terlibatdalam persamaan diferensial

Derajat : Pangkat dari turunan tertinggi fungsi yangterlibat dalam persamaan

Kalkulus2-unpad2 Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

Kalkulus2-unpad 3

, ( )dN

kN N N t dt

= =(1)

(2)

(3) , orde 2 derajat 1

, orde 2 derajat 1(4)

, orde 1 derajat 1

, orde 1 derajat 10sin2' =+ x y

xe xy ye y x x cossin''' =++

223 2cos''' y x x y y x =+

7/17/2019 3. PDB


"!lusi#ungsi y $ f ( x) disebut s!lusi PDB jika fungsi

y $ f ( x) disubtitusikan ke PDB menghasilkankesamaan yang berlaku untuk semua nilai x (diper!leh persamaan identitas).

"!lusi %mum dan "!lusi &husus

Jika fungsi y $ f ( x) memuat k!nstanta

sembarang maka s!lusi disebut Solusi Umum,sebaliknya disebut Solusi Khusus.

Kalkulus2-unpad4

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

(1) y $ '!s x c s!lusi umum dari PD

karena

() y $ '!s x * s!lusi khusus dari PD

karena

Kalkulus2-unpad5

0sin' =+ x y

0sinsinsin)'(cos =+−=++ x x xc x

0sin' =+ x y

0sinsinsin)'6(cos =+−=++ x x x x

7/17/2019 3. PDB


PDB Orde + +. PDB dengan ariabel terpisah

. PDB dengan k!e-sien fungsi h!m!gen

. PDB /inear

Kalkulus2-unpad6

7/17/2019 3. PDB


+. PDB dengan ariabelterpisah

Kalkulus2-unpad7

Bentuk Umum PDB denan !ar"a#el terp"sa$ %

( ) ( ) g y dy f x dx=

Pen&elesa"an % 'nteralkan kedua ruas

( ) ( ) g y dy f x dx=∫ ∫ onto$ % 1 *entukan +olus" mum PD 3dy

xdx

=

aa# %

3 3dy x dy x dx

dx= ⇒ = 3dy x dx=∫ ∫

41

4

y x C = +

7/17/2019 3. PDB

http://slidepdf.com/reader/full/3-pdb 8/59Kalkulus2-unpad .

aa#%

ln dy

x x ydx

⇒ =

x x

dx

y

dy

ln

=

∫ ∫ = x x

dx

y

dy

ln

( )ln ln ln y x C = +

( )ln ln ln y C x= ( )ln y C x⇒ =

ad" solus" umum PD terse#ut adala$ ( )ln y C x=

2 *entukan +U dar" ( ln ) ' x x y y=

( ln ) ' x x y y=

7/17/2019 3. PDB

http://slidepdf.com/reader/full/3-pdb 9/59Kalkulus2-unpad /

aa#%

ye xdx

dy −= 3

dx xe

dy y

3=−

∫ ∫ = dx xdye y 3

c xe y += 4

4

1

+= c x y 4

4

1ln

+= c4

)2(4

1

ln0

ad" solus" k$usus PD terse#ut

adala$41

ln 34

y x = − ÷

D"keta$u" y(2) 0 , se$"na

341 −=→+= cc

3 *entukan +olus" K$usus dar" 3' ; (2) 0 y y x e y−= =

3' y y x e−=

7/17/2019 3. PDB


/atihan

Kalkulus2-unpad1

2' (1 )(1 ) y x y= + +

'sin 2 cos 2 y x y x=

4'

( 3)

y y

x y=

−

3 2( 1) 0 x dx y dy+ + =

3 1' 2( 3) , (0)

4

xe y x y y= + =

' 4 1 cos 2 , ( ) 14

y y x y π = + = −

2 3' (1 2 )(1 2 ) y y x x= + + +

(1 ) 0, (0) 1 x xdye e y y

dx+ + = =

1

2

3

4

5

6

7

.

*entukan solus" Persamaan d"erens"al d"#aa$ "n"

7/17/2019 3. PDB


#ungsi h!m!gen

#ungsi A( x,y) disebut fungsi h!m!gen dengan derajatn, jika A(kx,ky) $ k n A( x, y), k k!nstanta sembarang.

!nt!h :

Periksa apakah fungsi berikut h!m!gen atau tidak 0+. A( x,y) $ x + y

A(kx,ky) = kx + ky

$ k ( x + y) = k A( x,y)

A( x,y) = x + y , fungsi h!m!gen derajat +

. A( x,y) = y2 + xy

A(kx,ky) = k 2 y2 + kx ky

$ k 2 ( y2+ xy) = k 2 A( x,y)

A( x,y) = y2 + xy , fungsi h!m!gen derajat

Kalkulus2-unpad11

7/17/2019 3. PDB


. PD dengan k!e-sien fungsih!m!gen

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

Kalkulus2-unpad12

( , )'

( , )

A x y y

B x y=

denan A,B uns" $omoen denan derajat &an sama

d"se#ut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Pen&elesa"an % unakan su#t"tus" y = ux, u = u( x)

' ' y u x u= +dy du

x u

dx dx

= +

denan

dy xdu udx= +

7/17/2019 3. PDB


!nt!h Tentukan s!lusi umum PD berikut

Kalkulus2-unpad13

( ) ' 0 x y xy+ − =1

aa#%

"salkan y = ux, se$"na dy = xdu+udx x

y x

dx

dy +

=

+=

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudu x+=

+1 ( )dxudxudu x +=+ 1

dxdu x = xdxdu = ∫ ∫ = x

dxdu c xu += ln

c x x

y+= ln xc x x y += ln

ad" solus" umum dar" PD d" atas adala$ xc x x y += ln

7/17/2019 3. PDB


Kalkulus2-unpad14

2

aa#%

"salkan

'2 2 y x y x y= −

2

1 1'2 2 2u u xu u

u u−+ = − =

2

( 1)'2

u x uu

− +=

2( 1)

2

u x du dx

u

− +=

2ln | 1| ln | |u x c+ = − +

2

2ln 1 ln

y c

x x

+ = ÷

2 2 y x cx+ =

' 02 2

y x y

x y− + =

' ' y ux y xu u= ⇒ = +2

1'2

u xu uu−= −

2

2

1

u dxdu

u x= −

+

+U%2

2 2( )2 4

c c x y− + =

∫ ∫ −=+ x

dxdu

u

u

1

22

7/17/2019 3. PDB


/atiha

n

Kalkulus2-unpad15

1

2

3

4

5

6

7

*entukan solus" Persamaan d"erens"al d"#aa$ "n"

xy

y x

dx

dy

2

322 +

=

2

22

x

xy y

dx

dy +=

y x y x

dx dy

−+= 3

2

22

x

y xy x

dx

dy ++=

y x

y x

dx

dy

++

−= 2

34

y x

x y

dx

dy

−−

=2

34

2y d x x dy 0

7/17/2019 3. PDB


. PDB /inear

Kalkulus2-unpad 16

PDB orde satu d"se#ut l"near j"ka dapat d"tul"s dalam #entuk %' ( ) ( ) y P x y r x+ =

Pen&elesa"an %∫ dx x P

e)(

( ) ( ) ( )' ( ) ( )

P x dx P x dx P x dx y e P x ye r x e∫ ∫ ∫ + =

( ) ( )( ) ' ( )

P x dx P x dx ye r x e∫ ∫ =

d"perole$%

'nteralkan kedua ruas ter$adap x

( ) ( )( )

P x dx P x dx ye e r x dx c∫ ∫ = +∫

Solusi Umum PDB linear :

Kal"kan denan aktor "nteral

( ) ; ( )h h y e e r x dx c h P x dx− = + = ∫ ∫

t h

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

Kalkulus2-unpad17

+elesa"kan persamaan d"erens"al d"#aa$ "n"

aa#% xe x y

x y 22

' =−

( )( )h h y e e r x dx c−= +∫

ad" solus" umumn&a adala$ 22 xce x y x +=

31. ' 2 x xy y x e− =(sesua"kan denan #entuk umum)

2 2( ) ( ) 2 ln P x h x dx x

x x= − ⇒ = − = −

∫

( )2 x x e dx c= +∫ ( )∫ +=

−

cdxe xee

x x x 2)ln(ln

.

22

7/17/2019 3. PDB


Kalkulus2-unpad 1.

aa#%( ) 1 ( ) 1 P x h x dx x= ⇒ = =∫

( )( )h h y e e r x dx c−= +∫

( )2( 1) x xe e x dx c−= + +∫

( )( )21 2( 1) x x xe x e x e dx−= + − +∫

( ) ( ) xce x x y −+++−+= 21212

( )( )21 2( 1) 2 x x x xe x e x e e c−= + − + + +

2 1 x y x ce−⇒ = + +

22. ' ( 1) ; (0) 3 y y x y+ = + =

(0) 3 2 y c= ⇒ =

(denan "nteral pars"al)

+e$"na +K %2 1 2 x y x e−= + +

7/17/2019 3. PDB


/atihan

"elesaikan persamaan diferensial di ba1ah ini:

Kalkulus2-unpad1/

( ) 22

4. ' 11

y y x

x+ = +

+

3. ' tan sec y y x x+ =

1. ' 2 x y y e−+ =

22. ( 1) ' 1 x y y x+ + = −

( )6. ' 1 , (1) 0 x xy x y e y−+ + = =

27. ' 2 y y x+ =

5. sin ' 2 cos sin 2 , 26

x y y x x y π + = = ÷

28. ' 2 sinh x y xy x+ =

29. ' 3 ; (0) 1 x y e y y= − =

7/17/2019 3. PDB


Trayektori Ortogonal

Trayekt!ri Ort!g!nal adalah keluarga kurayang !rt!g!nal atau tegak lurus terhadapkeluarga kura lain.

ara untuk mendapatkan trayekt!ri

!rt!g!nal dari suatu kura adalah sebagaiberikut:

Turunkan se'ara implisit f ( x,y) = c terhadap x,nyatakan parameter c dalam x dan y.

&arena tegak lurus maka trayekt!riOrt!g!nal (TO) harus memenuhi:

Kalkulus2-unpad2

1'

( , ) x

y D f x y= −

*ra&ektor" rtoonal dar" f ( x,y) = c, d"dapatkan

denan menar" solus" dar" 1'

( , ) x

y D f x y

= −

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

Kalkulus2-unpad21

2

cx y =*entukan tra&ektor" ortoonal dar" keluara kur!a

aa#%

anka$-lanka$ menentukan * %

12cx y =

2; yc

x=*urunkan ter$adap x

2 * akan memenu$" PD

cx y 2'=

=

22'

x

y x y

x

y y 2'=

1'

2 / 2

x y

y x y= − = −

7/17/2019 3. PDB


. TO dari adalah s!lusi dari PD berikut:

Kalkulus2-unpad22

22 ( )

2ellips

x y c+ = ⇒

'2

x y

y= −

y

x

dx

dy

2−=

∫ ∫ −= xdx ydy2 c

x

y +−= 2

22

2cx y =

ad" *ra&ektor" rtoonal dar" para#ola 2cx y =adala$ )(

2

22

ellipsc y x

⇒=+

x

y

7/17/2019 3. PDB


/atihan

Kalkulus2-unpad23

*entukan tra&ektor" ortoonal dar" keluara kur!a#er"kut %

2 2 2 x y c+ = y x c= +

2 2 2 x y c− =

5

2

1

6

3 y cx=

2 24 x y c+ =2 x y ce−=

3 y cx= xy c=4

7

.

7/17/2019 3. PDB


PDB Orde 22

Bentuk umum :

s( x ) y ″ p( x ) y ′ g( x ) y $ r ( x )

s( x ), p( x ), g( x ) disebut k!e-sien.

Jika r ( x ) $ 3, maka PersamaanDiferensial diatas disebut h!m!gen,sebaliknya disebut n!n h!m!gen.

Kalkulus2-unpad2424

7/17/2019 3. PDB


1.PDB Orde Dua Homogendengan koesien Konstan

Bentuk Umum % 0''' =++ cybyy

d"mana , b,c konstanta sem#aran

Solusi Umum:

8"ka y1 dan y2 solus" PD (") dan y1, y2 #e#as l"near,

maka y1 dan y2 d"se#ut solus" #as"s PD (")

8 y1 dan y2 d"se#ut #e#as l"near j"ka

0'' 21

21 ≠= y y

y y! , ! 0 9ronsk"an

(")

25Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


8"ka 21 , y y solus" #as"s, maka

+olus" Umum PD (") d"se#ut solusi homogen,

&a"tu %

2211 yC yC y +=

C 1, C 2 konstanta

26Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


"!lusi 4!m!genPandan 0''' =++ cybyy (")

"salkan xe y λ = solus" PD (")

x x e ye y λ λ λ λ 2'';' ==

+u#st"tus"kan ke ("), d"dapat

02 =++ x x x ceebe λ λ λ λ λ 0)( 2 =++⇔ cbe x λ λ λ

0≠$arus 0

27Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


02 =++ cb λ λ d"se#ut persamaan karakter"st"k (PK)

:da 3 kemunk"nan akar dar" PK %

1 Dua akar real #er#eda (D"skr"m"nan ; )

2 :kar real kem#ar (D"skr"m"nan 0 )

3 :kar kompleks konjuate (D"skr"m"nan < )

21 λ λ ≠

21 λ λ =

iβ α λ ±=12

2.Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


1 "ka 21 λ λ ≠ maka x x

e ye y 21

21 an λ λ == solus" #as"s

x x

x x

ee

ee!

21

21

21

λ λ

λ λ

λ λ =

)( 12)( 21 λ λ λ λ −= + xe

x xee

)(

1

)(

22121 λ λ λ λ λ λ ++ −=

0≠ 0≠

ad" y1 dan y2 #e#as l"near

+e$"na solus" umum PD $omoen %

x x eC eC y 21

21

λ λ +=2/

Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

s!al *entukan solus" umum dar" PD 06''' =−+ y y yaa#%

PK % 062 =−+ λ λ

0)2)(3( =−+ λ λ

x

x

e y

e y

222

3

11

2

3

=→=

=→−= −

λ

λ

+olus" Umum % x x eC eC y 2

2

3

1 += −

3Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


2 "ka λ λ λ == 21 maka x x xe ye y λ λ == 21 an solus" #as"s

x x x

x x

e xee

xee!

λ λ λ

λ λ

λ λ +=

x x x xe xee λ λ λ λ λ 222 −+=

x x x x xe xeee λ λ λ λ λ λ 2)( −+=

ad" y1 dan y2 #e#as l"near


1 2

x x y C e C xeλ λ = +

02 ≠= xe λ

31Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

s!al *entukan solus" umum dar" PD 09'6'' =++ y y y

aa#%

PK %

096

2

=++ λ λ 0)3( 2 =+λ

x

x

xe y

e y

322

3

11

3

3

−

−

=→−=

=→−=

λ

λ

+olus" Umum % x x xeC eC y 3

2

3

1

−− +=

32Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


3 "ka iβ α λ +=1

)sin(cos)(

11 xi xeeeee" xix x xi x β β α β α β α λ +==== +


1 2( cos sin ) x y e C x C x

α β β = +

dan 1; 2

2 −=−= iiβ α λ

maka

)sin(cos)(

22 xi xeeeee" xix x xi x β β α β α β α λ −==== −−

"sal xe" " y x β α cos)(21

211 =+=

xe" " i

y x β α sin)(2

1212 =−=

21 , y y #e#as l"near

33Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


!nt!h

s!al *entukan solus" umum dar" PD 010'2'' =+− y y y

aa#% PK % 01022 =+− λ λ

i3136211

2404212 ±=−±=−±=λ

xe yi

xe yi

x

x

3sin31

3cos31

22

11

=→−=

=→+=

λ

λ

+olus" Umum % )3sin3cos( 21 xC xC e y x +=

34Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


/atihan

1 *entukan +olus" Umum dar"

04'5''. =++ y y y

0'2''. =+− y y yb

05'2''. =++ y y yc

2 *entukan +olus" k$usus dar"

04''. =+ y yd

2)2(',)2(;03'4''4.

e

ye y y y y −=−=−=−−

0)2

(',3)0(;02'2''. =−==+− π

y y y y yb

35Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


Persamaan Di5erensialn!n h!m!gen dengan k!e-sien

k!nstan Bentuk umum:ay ″ by ′ cy $ r ( x )

dengan r ( x ) ≠ 3

"!lusi t!tal : y $ y h y p

dimana y h $ s!lusi PD h!m!gen

y p $ s!lusi PD n!n h!m!genenentukan y !

1 etoda koe"s"en tak tentu

2 etoda !ar"as" parameter

36Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


+. 6et!da k!e-sien tak tentuP"l"$

y p &an sesua" denan

r ( x), su#st"tus"kan ke PD (=)

a. Kasus khusus

No r ( x) y p

+.

.

.

7.

x #eα xCeα

0

1

1 ... # x # x # n

n

n

n +++ −− 0

1

1 ... A x A x A n

n

n

n +++ −−

,cos x # ω x # ω sin x B x A ω ω sincos +,cos x #e x ω α

)sincos( x B x Ae x ω ω α + x #e x ω α sin

37Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


!nt!h1*entukan +olus" Umum dar"

aa#%

Persamaan karakter"st"kn&a%

ad" solus" $omoenn&a adala$

x

e y y y

4

2'3'' =+−

0232 =+− λ λ

0)1)(2( =−− λ λ

1;2 == λ λ

x x

h eC eC y 2

2

1 +=

+elanjutn&a tentukan

ph y y y +=+olus" Umum %

p y

3.Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


P"l"$ x

p Ce y 4= x

p Ce y 44'= x

p Ce y 416'' =+u#st"tus"kan ke PD soal

x x x x eCeCeCe 4444 24.316 =+−

x x eC C C e 44 )21216( =+−6/116 =→= C C

ad" x p e y

4

6

1=

+e$"na +U % x x x eeC eC y 4

2

2

16

1++=

3/Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


# Jika r ( x ) merupakan solusi basis PD homogen, maka

kalikan y p dengan x (atau x 2, jika akar PK PD

Homogen kembar).

onto$ % *entukan +olus" Umum dar" '' 3 ' 2 x

y y y e− + =aa# %

PK PD $omoen % 2 3 2 0λ λ − + =

( 2)( 1) 0λ λ − − =1 22 ; 1λ λ = =

+e$"na 2

1 2

x x

h y C e C e= +

x

e y 2

1 = xe y =2

4Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


Karena r(>)0solus" #as"s, p"l"$ x

p y Cxe=

' ( ) x x

p y C e xe→ = +

'' ( ) (2 ) x x x x x

p y C e e xe C e xe= + + = ++u#st"tus" ke soal,

(2 ) 3 ( ) 2

x x x x x x

C e xe C e xe Cxe e+ − + + =(2 3 3 2 ) x xe C Cx C Cx Cx e+ − − + =

1 1C C − = → = −

ad" x

p y xe= −

+e$"na +olus" Umum% 2

1 2

x x x

h p y y C e C e xe+ = + −

41Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


onto$ % *entukan +olus" Umum dar" '' 2 ' x y y y e− + =

aa# % PK PD $omoen % 2 2 1 0λ λ − + =2( 1) 0λ − =

1 2 1λ λ = =

+e$"na1 2

x x

h y C e C xe= +

P"l"$ 2 x

p y Cx e=2

2

'' (2 2 2 )

(2 4 )

x x x x

p

x x x

y C e xe xe x e

C e xe x e

= + + +

= + +

)2(' 2 x x

p e x xeC y +=→

42Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


+u#st"tus" ke soal

2 2 2(2 4 ) 2 (2 ) x x x x x x xC e xe x e C xe x e Cx e e+ + − + + =2 2 2(2 4 4 2 ) x xe C Cx Cx Cx Cx Cx e+ + − − + =

2 1 1/ 2C C = → =

ad" 21

2

x

p y x e=

+e$"na +olus" Umum %

2

1 2

1

2

x x x

h p y y y C e C xe x e= + = + +

43Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


. Jika r ( x ) merupakan penjumlahan dari ! bentuk r ( x )

pada kasus a), maka y p juga merupakan jumlah !

bentuk y p "ang bersesuaian.

onto$ % *entukan +olus" Umum dar" '' ' 2 x y y y e x− − = +

aa# % PK PD $omoen % 2 2 0λ λ − − =( 1)( 2) 0λ λ + − =

1 21 ; 2λ λ = − =

+e$"na 2

1 2

x x

h y C e C e−= +

44Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


Karena ( ) xr x e x= +

' , '' x x

p p y Ce A y Ce= + =+u#st"tus" ke soal

2 2 2 x x x xCe Ce A Ce Ax B e x− − − − − = +

2 2 2 x xCe Ax A B e x− − − − = +Denan men&amakan koe"s"en d"perole$%

1/ 2 ; 1/ 2 ; 1/ 4C A B= − = − =

ad"1 1 12 2 4

x

p y e x= − − +

+e$"na solus" umum %2

1 2

1 1 1

2 2 4

x x x y C e C e e x−= + − − +

x

p y Ce Ax B⇒ = + +

45Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


/atiha/atiha

nn

2

2

2

. '' 3' 2 cos

. '' 9 2

. '' 3 ' 4 3 2

. '' 3 ' 4

. '' 4 2sin

. '' 4 2 cos 2. '' 2 ' 3 2

. '' 4 ' 4 9 cosh

x

y y x

b y y x

c y y y x

d y y y e

e y y x

f y y x g y x

h y y y x

− + =− = +

− − = +− − =+ =

+ =+ = ++ + =

1 *entukan +olus" umum dar PD #er"kut

2

2

2

3

3 3

2

. '' 4 ' 4

. '' 3 ' 4 3 2

. '' 9 sin 3

. '' ' 3

. '' 6 ' 9 18cos 3

. '' 2 ' 3 8 cos 2

. '' 4 ' 3 8

. '' 4 8

x

x

x

x

x x

i y y y e

$ y y y x

k y y x e

l y y e x

% y y y x

n y y y e x& y y y e e

p y y x

−

− + =

+ − = +

+ = ++ = ++ + =

− − = +− + = +

+ =

46Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


2

2

4 3

2

. '' ' 2 3 ; (0) 0 , '(0) 2

. '' 4 ' 3 10 ; (0) 1 , '(0) 3

. '' 3 ' 2 ; (0) 1 , '(0) 2

. '' 4 4sin ; (0) 4 , '(0) 0

. '' 5 ' 6 ; (0) 1 , '(0) 0

. '' ' 2 10sin ; ( ) 3 , '( ) 12 2

x

x

x x

x

y y y e y y

b y y y e y y

c y y y e e y y

d y y x y y

e y y y e y y

f y y y x y yπ π

−

− − = = = −

− + = = = −

− + = + = =− = = =

− + = = =

− − = = − = −

2 *entukan +olus" K$usus dar" PD #er"kut

47Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


. 6et!da 8ariasi. 6et!da 8ariasi

Parameter Parameter6et!da ini digunakan untuk meme'ahkanpersamaan9persamaan yang tidak dapat

diselesaikan dengan met!da k!e-sien tak

tentu.(1)

"salkan1 2

1 2,

p y uy 'y

y y

= +

solus" #as"s PD $omoen

(2)

)(''' xr cyby y =++

4.Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


P"l"$ 1 2' ' 0u y ' y+ =+e$"na 1 2' ' ' p y uy 'y= +

1 1 2 2'' ' ' '' ' ' '' p y u y uy ' y 'y= + + +

+u#st"tus"kan (2),(4),(5) ke (1)

(4)

(5)

(3)

)()()''()''''''''(

21

212211

xr 'yuyc'yuyb'y y'uy yu

=+++++++

4/Kalkulus2-unpad

''''' 2211 'y y'uy yu y p +++=

7/17/2019 3. PDB


ad"1 2' ' ' ' ( )u y ' y r x+ =

Dar" (3) dan (6) tentukan u dan '

1 2

1 2

' ' 0

' ' ' ' ( )

u y ' y

u y ' y r x+ =+ =

(6)

++++++ )'''()'''( 222111 cyby y'cyby yu )()'''' 21 xr y' yu =+

0 0

5Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


1

1 1

1 2

1 2

0

' ( ) ( )' ,

' '

y

y r x y r x' ' dx

y y !

y y

= ⇒ = ∫ '' 21

21

y y

y y! =

2

2 2

1 2

1 2

0

( ) ' ( )'

' '

y

r x y y r xu u dx

y y !

y y

= ⇒ = −∫

Denan aturan ramer d"perole$

51Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


3

12'' 2 '

xe y y y

x− + =

onto$

1 *entukan sols" umum dar" PD

2'' 2 ' 0 ( 1) 0 y y y λ − + = → − =

aa#% PD $omoen %

12 1 21 ; x x y e y xeλ = → = =

1 2( ) x

h y C C x e= +

x x

x x xe xe! e e xe

= +2( ) x x x xe e xe xe= + −

2 xe=52Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


1 2 p y uy 'y= +

2 ( ) y r xu dx!

= −∫ 2 3

.12

.

x x

x

xe edx

e x= −∫

2

1 12

12 dx x x= − =∫ 2 3

.12

.

x x

x

e edx

e x= ∫

3 2

1 612 dx

x x= = −∫

53Kalkulus2-unpad

dx!

xr y' ∫ =

)(1

7/17/2019 3. PDB


2

12 6 12 6 6 x x x x x

p y e xe e e e x x x x x= − = − =

+e$"na solus" umum

1 2

6

( )

h p

x x

y y y

C C x e e x

= +

= + +

54Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


aa#% Persamaan karakter"st"kn&a%

ad" solus" $omoenn&a adala$

Untuk y p d"p"l"$

2. '' tan y y x+ =

2

1 21 0 ;i iλ λ λ + = → = = −

1 2cos sinh y C x C x= +

1 2 p y uy 'y= +

cos sin1

sin cos

x x

x x= =

−

1 2cos ; sin y x y x= =

1 2

1 2' '

y y!

y y=

55Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


∫ −= dx x x

u

1

tansin∫ −= dx

x

x

cos

sin 2

∫ −

−= dx

x

x

cos

cos1 2

∫ −−= dx x x )cos(sec

∫ ∫ +−= dx xdx x cossec

x x x sintansecln ++−=

∫ = dx x x'1

tancos ∫ = dx xsin xcos−=

56Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


+e$"na d"dapat

( ) x x x x x x x y p cossincossincostansecln −++−=

ad" solus" umum PD terse#ut

( ) x x x costansecln +−=

( )1 2cos sin ln sec tan cos

h p y y y

y C x C x x x x

= +

= + − +

57Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


/atihan/atihan

2

2

. '' csc

2. '' 4 ' 5

sin

. '' 2 ' sin

. '' cot. '' 9 sin

x

x

x

y y x

eb y y y

x

c y y y e x

d y y xe y y x e

+ =

− + =

− + =

+ =+ = +

1 *entukan solus" umum dar" PD #er"kut

5.Kalkulus2-unpad

7/17/2019 3. PDB


'' 4 ' 20 23sin 15cos ;

(0) 0 , '(0) 1

y y y x x

y y

+ + = −= = −

2 *entukan solus" k$usus dar"

3. pdb

Documents