04KONSEP PELUANG

Cici Suhaeni – Dept. Statistika IPB – 2019

Referensi : Agresti (2017), Mendenhall (2012), Slide AMS

(2017)

Apa itu peluang?

• Kejadian di dunia: pasti (deterministik) atau tidak pasti (probabilistik)

• Contoh kejadian di dunia ini yang tidak pasti

Akankah besok hujan?

Akankah saya dapat nilai A pada matakuliah ini?

dll

• Nilai kejadian walaupun tidak pasti tetapi memiliki pola

• Pembelajaran pola kejadian memberikan informasi kemungkinan

terjadinya kejadian

• ukuran kemungkinan disebut sebagai PELUANG

Apa itu peluang?

• Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan

terjadinya suatu kejadian

• Dalam hal ini: Ukuran kemungkinan dinyatakan dalam besaran

numerik bernilai antara 0 (nol) sampai 1 (satu)

• 1 kejadian yg pasti terjadi

• 0 kejadian yg mustahil terjadi

Penalaran (Reasoning) Probabilistic vs Statistical

• Andaikan diketahui proporsi populasi mobil yang dibuat di Indonesia.

Maka kita dapat menghitung peluang mobil Toyota Avanza terlihat di

suatu jalan. Ini adalah "penalaran probabilistic" karena kita tahu

populasi dan memprediksi contoh

• Andaikan tidak diketahui proporsi mobil yang dibuat, tetapi akan

menduganya. Kita observasi contoh acak mobil dari jalanan kemudian

kita duga proporsi populasi. Ini adalah "penalaran statistical"

Populasi Contoh

Probability

6

Statistics

Teori Himpunan

7

• Himpunan merupakan gabungan dari unsur-unsur/objek- objek

yang bisa berupa apa saja baik benda, manusia ataupun

bilangan.

• Unsur/objek biasanya dituliskan dalam huruf kecil Yunani

• Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf besar latin

• Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

• Himpunan biasanya dituliskan dalam kurung kurawal { }.

• Contoh himpunan :

A = { 1, 2, …, 10 } → Menyatakan himpunan bilangan bulat dari 1 – 10

Teori Himpunan

8

• Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat

dibedakan menjadi dua yaitu :

1. DISKRET (Countable) / Dapat dicacah

a. Terhingga (finite)

Contoh : Bilangan bulat antara 1 dan 10.

b. Tak terhingga (Infinite)

Contoh : Bilangan bulat positif.

Contoh penulisan himpunan diskret :

A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 }

9

2. KONTINU (Uncountable) / Tak hingga Contoh :

• Bilangan antara 0 dan 1

B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }

Teori Himpunan

Operasi Himpunan• Ada tiga operasi himpunan yaitu :

a. Gabungan (U)

b. Irisan (∩)

c. Komplemen (C)

• Contoh Operasi Himpunan

A = { 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } , B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }

C = { 15, 16, 17, …, 40 }

A U B = { 1, 2, 3, …,10, 11, ….., 20 }

A ∩ B = { 8, 9, 10 }

AC = { 11, 12, 13, ….}

A U C = { 1, 2, 3, …, 10, 15, 16, …, 40 } A ∩ C = { } = ϕ

S

B

•E1

A

1

0

•E6

•E2

•E3

•E4

•E5

Himpunan vs Peluang

1

1

Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={1,2,3,4,5,6}

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={GG, GA, AG, AA}

Ruang Contoh

Ruang kejadian adalah anak gugus/himpunan bagian dari ruang contoh,

yang memiliki karakteristik tertentu.

Percobaan : pelemparan 2 coin setimbang

Kejadian : munculnya sisi angka

A={GA,

AG,

AA}

B = {11,12, 13,14, 15,16, 31,32, ….,56}

Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi enam setimbang

Kejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu I

Ruang Kejadian

Banyaknya Ruang Contoh/Ruang Kejadian

• Bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & ruang kejadian?

• Prinsip dasarnya adalah banyaknya cara mengambil r

objek dari n objek, dalam hal ini r ≤ n.

Ingat kembali:1.Faktorial

2.Penggandaan

3.Permutasi

4.Kombinasi

Pencacahan (counting) Pengambilan r objek

dari n objek

a. Tanpa Pemulihan (WithoutReplacement)

Tertata (ordered) (AB ≠ BA)

Tidak Tertata (unordered) (AB = BA)

b.Dengan Pemulihan (With Replacement)

Tertata (ordered) (AB ≠ BA)

Tidak Tertata (unordered) (AB =

BA)

Pengambilan r objek dari n objek

Peluang Suatu Kejadian

Department of Statistics, IPBDr. Agus Mohamad 1

Aksioma Peluang

• Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:1. 0 p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n

2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,

3. p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakankejadian-kejadian yang terpisah.

1)(1

n

i

ixp

Contoh :

1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6

jika setiap sisi seimbang maka peluangnya

p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurangatau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:

A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4

Maka peluang kejadian A adalah:

P(A) = 4/6 = 2/3

Lanjutan Contoh

• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakilidalam munas, berapa peluang dari tim tersebutterbentuk?

404101

4

2

5

x 84

!6!3

!6.7.8.9

!6!3

!9

3

9

A = kejadian terbentuknya tim yang terdiri 2 laki-laki dan 1 perempuan

n(A) = n(S) =

21

10

84

40

)(

)()(

Sn

AnAP

Hukum Penjumlahan dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Jika A dan B saling bebas, P(AB) = P(A) P(B)

A B

Kejadian Saling Bebas

• Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

• Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

Contoh (5)

Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?

P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Peluang Bersyarat

• Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

• Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana:

P(A/B) = P(AB) / P(B)

• Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,

P(A/B)=P(AB) / P(B)=P(A).P(B)/P(B)=P(A)

Contoh (5):Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarnabiru (B).

P(A/B)= P(AB)/P(B)

= (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4

I

II

3/5

2/4

MIsalkan :A= terambilnya bola merah pada pengambilan II

B = terambilnya bola biru pada pengambilan I

A

B

• Untuk mengerjakan kasusdiatas, dapat juga dilakukansebagai berikut:

• MIsalkan B = terambilnyabola biru pada pengambilan I

• A= terambilnya bola merahpada pengambilan II

Pertama

Kedua

Merah

(B-)

Biru (B) Total

Merah

(A)

2/20 6/20 8/20

Biru

(A-)

6/20 6/20 12/20

Total 8/20 12/20 20/20

P(A B) = P(A).P(B)

Perhatikan tabel kemungkinanP(A/B)=(6/20)/(12/20)=1/2

Hukum Jumlah Peluang

• Misal S1 , S2 , S3 ,..., Sk adalah kejadian disjoint atau

mutually exclusive, maka peluang kejadian A dapat ditulis:

Aturan Bayes

• Misal S1 , S2 , S3 ,..., Sk adalah kejadian mutually exclusive dan

exhaustive dengan peluang prior P(S1), P(S2),…,P(Sk). Jika

sebuah kejadian telah A terjadi, maka peluang posterior Si

adalah:

i

P(S i )P( A | S i )for i 1, 2,...k

P(S i )P( A | S i )P(S | A)

Proof

ii

i

i

ii

P(Si )P( A | Si )

P(A)

P( AS )

P(S )

P( AS )

P(Si )P( A | Si )P(S | A)

P(AS ) P(Si )P( A | Si )P(A | S )

Contoh :

• Misal diketahui terdapat 49% perempuan dari suatu populasi.

Terdapat 8% orang memiliki risiko tinggi terkena serangan

jantung jika dia perempuan, sementara 12% jika laki-laki.

Seseorang dipilih secara acak dan diketahui memiliki risiko

tinggi serangan jantung. Berapa peluang dia adalah laki-laki?

Definisikan: H: high risk F: female M: male

Diketahui:

P(F) =

P(M) =

P(H|F) =

P(H|M) =

.51

.08

.12

.49

.51(.12).61

.51(.12) .49(.08)

P(M )P(H | M)

P(M )P(H | M ) P(F)P(H |F)P(M | H )