(MK 2011-LE1-IS1)

TAJUK KEMAHIRAN DAN SEMESTER

ELEKTRIKAL/ELEKTRONIK – SEMESTER 2

No. DAN TAJUK MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2

No. DAN TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN

LE 1 : KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESAN

LE 2 : KENALPASTI DAN FAHAM GEOMETRILE 3 : KENALPASTI DAN FAHAM TRIGONOMETRI LE 4 : KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKSLE 5 : KENALPASTI DAN FAHAM VEKTOR

OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN

KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGUNAKAN KAEDAH KOORDINAT CARTESAN, GEOMETRI, TRIGONOMETRI, NOMBOR KOMPLEKS DAN VEKTOR SUPAYA:-

1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL.

2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS.

7

INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA

MALAYSIA

KERTAS PENERANGAN

ISI KANDUNGAN

LE 1 : KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESAN

TASK 02.01 – Koordinat Cartesan

No. & TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN

LE 1 : Kenalpasti Dan Faham Kordinat Cartesan

No. & TAJUK TUGASAN

TASK 02.01 – Koordinat Cartesan

Code No. : MK 2011-LE2-IS2 Muka : 1 drp. : 20

TAJUK : KOORDINAT CARTESAN

TUJUAN:

Menyelesaikan masalah pengiraan berkaitan

Operasi koordinat Cartesani. Satah cartesanii. Jarak antara dua titikiii. Titik tengahiv. Titik yang membahagikan garis lurus mengikut nisbah

Garis lurusi. Kecerunan garis lurusii. Persamaan garis lurus

Jarak serenjang dari titik ke garis lurus.

.

PENERANGAN

1.0 PENGENALAN

8

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 2 drp : 20

OPERASI KOORDINAT CARTESAN

Jarak Antara Dua Titik

A(x1 , y1) dan B(x2 , y2) adalah dua titik dalam satah koordinat seperti yang ditunjukkan di sebelah. AC adalah selari

dengan paksi x dan BC adalah selari dengan paksi y, maka .

Daripada Teorem Pithagoras,

AB2 = AC2 + CB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

AB = Jarak di antara dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2).

Contoh 1Jarak antara 2 titik A(2,2) dengan B(-15,-6).AB =

Contoh 2Carikan jarak di antara pasangan A(2,1) dengan B(5,5).AB =

Contoh 3Carikan jarak antara titik (-1,3) dan (4,15).AB =

=

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 3 drp : 20

9

y

xA(x1 , y1)

(x2 – x1)

B(x2 , y2)

(y2 – y1)

Contoh 4

Jarak antara dua titik A(1,4) dan B(-2,a) ialah 5 unit, carikan nilai-nilai yang mungkin bagi a.5 = 25 =

@

Contoh 5

Diberi titik-titik A(3,8), B(3,-2) dan C(t,1). Carikan nilai yang mungkin bagi t jika AB = 2BC.

Maka,

@

Contoh 6

Tunjukkan bahawa titik-titik A(3,-3), B(-3,5) dan C(4,4) adalah bucu-bucu bagi satu segitiga sama kaki.Panjang AB =

Panjang AC =

Panjang BC = Maka, adalah satu segitiga sama kaki.

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 4 drp : 20

Titik Tengah

10

D(x,y1)C(y2,y1)

M(x , y)E(x2,y)

y

xA(x1 , y1)

B(x2 , y2)

Dalam rajah di atas, M(x,y) ialah titik tengah bagi A(x1 , y1) dan B(x2 , y2).

Titik tengah bagi titik-titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2) ialah

Contoh 1

Carikan koordinat titik tengah bagi garis yang menyambungkan (a) A(-2,1) dan B(4,3)

Titik tengah AB =

(b) P(2t2,t) dan Q(4t,3t)

Titik tengah PQ =

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 5 drp : 20

Contoh 2

Jika M(2,-1) adalah titik tengah bagi A(3,2) dan B(x,y). Carikan nilai x dan y.

11

Titik tengah AB =

Pertimbangkan koordinat-x Pertimbangkan koordinat-y:

Maka koordinat titik B ialah (1,-4)

Titik Yang Membahagi Garis Lurus Mengikut Nisbah

Dalam rajah di atas, titik P(x,y) membagi garis lurus AB dengan menurut nisbah m:n.

Koordinat bagi titik P(x,y) yang membahagikan garis yang menyambung titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) menurut nisbah m:n ialah

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 6 drp : 20

Contoh 1

Carikan koordinat bagi titik P yang membahagikan garis yang menyambung titil A(3,7) dan titik B(6,2) menurut nisbah 2:1.

12

m

n

D(x,y1)C(y2,y1)

P(x , y)E(x2,y)

y

xA(x1 , y1)

B(x2 , y2)

2

1

P(x , y)

y

x

A(3 , 7)

B(6 , 2)

Katakan koordinat bagi P ialah (x,y). Diberi m:n = 2:1.

Maka koordinat P ialah

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 7 drp : 20

Contoh 2

Koordinat titik A ialah (11,1) dan titik B ialah (2,6). Titik P berada pada garis Ab dan AP = 2PB. Carikan koordinat bagi P.

13

1

2

P(x , y)

y

x

B(2 , 6)

A(11 , 1)

Diberi AP = 2PB, maka P membahagikan garis AB menurut nisbah AP:PB = 2:1.Koordinat bagi P ialah

=

Diberi AP = 2PB maka atau AP : PB = 2 : 1

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 8 drp : 20

GARIS LURUS

Titik-Titik Segaris

Tiga atau lebih titik yang terletak pada satu garis lurus dipanggil titik-titik segaris.

Jika luas yang dilingkungi oleh tiga atau lebih titik ialah 0 unit2, maka titik-titik itu adalah segaris.

Tiga titik A, B dan C adalah segaris jika kecerunan AB = kecerunan BC.

Contoh 1Tentukan sama ada titik-titik A(2,4), B(-4,7) dan C(6,2) adalah segaris.Kaedah : Dengan kecerunan

Kecerunan AB =

14

Kecerunan BC =

Oleh kerana kecerunan AB = kecerunan BC, maka titik A, B dan C adalah segaris

Kecerunan Garis Lurus

Kecerunan m, bagi satu garis lurus yang menyambungkan A(x1,y1) dan B(x2,y2) diberi oleh

Bagi dua garis lurus yang mempunyai nilai kecerunan yang sama, ia dikatakan selari.

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 9 drp : 20

(a) Kecerunan garis lurus yang condong ke sebelah kanan adalah positif. Contoh :

Kecerunan AB =

15

y

xA(2 ,1)

B(6,5)

(b) Kecerunan garis lurus yang condong ke sebelah kiri adalah negatif. Contoh :

Kecerunan CD =

(c) Kecerunan garis lurus yang selari dengan paksi-x adalah sifar. Contoh :

Kecerunan EF =

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 10 drp : 20

(d) Kecerunan garis lurus yang selari dengan paksi-y adalah tidak tertakrif

Contoh :

Kecerunan GH = (tidak tertakrif)

16

y

x

C(1 , 5)

D(4 , 1)

y

x

E(1 , 3)

F(6 , 3)

y

x

H(3 ,6)

G(3 , 1)

Kecerunan untuk satu graf garis lurus adalah tetap.

Pintasan-x ialah koordinat-x bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-x.

Pintasan-y ialah koordinat-y bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-y.

Kecerunan garis lurus =

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 11 drp : 20

Contoh 1

Carikan kecerunan bagi garis lurus yang menyambungkan

(a) A(3,2) dan B(5,2)

m =

(b) C(3,5) dan D(3,6)

m =

(c) E(2,1) dan F(-1,4)

m =

Contoh 2

Jika titik-titik (-2,-5), (-2,-2) dan (8,p) adalah segaris, carikan nilai p.Katakan koordinat bagi A, B dan C masing-masing ialah (-2,-5), (-2,-2) dan (8,p).

Kecerunan AB, MAB =

17

Kecerunan BC, MBC =

Oleh kerana titik-titik A, B dan C adalah titik-titik segaris, maka MAB dan MBC adalah sama.

MAB = MBC

62

43

p

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 12 drp : 20

Contoh 3

Diberi kecerunan suatu garis lurus yang melalui titik (-2,0) ialah -3. Cari koordinat titik bagi garis lurus itu yang menyilang paksi-y.Maka pintasan-x = -2 dan kecerunan = -3

Pintasan-y = -6Maka koordinat titik bagi garis lurus yang menyilang paksi-y ialah (0,-6).

Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus yang bercerunan m dan melalui titik (x1,y1) ialah

Dengan c ialah pintasan pada paksi y.

Contoh 1

Bentukkan persamaan garis lurus yang menyambungkan titik-titik A(2,5) dan B(4,6). Dari bentuk persamaan garis lurus :Mula-mula cari nilai kecerunan, m :

Masukkan nilai , dan ke dalam persamaan

18

Maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik A(2,5) dan B(4,6) ialah .

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 13 drp : 20

Contoh 2

Carikan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 3 dan melalui titik (4,-2). Dari bentuk persamaan garis lurus :Diberi Masukkan nilai , dan ke dalam persamaan am garis lurus

Maka persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 3 dan melalui titik (4,-2) ialah .

Contoh 3

Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (-5,3) dan (3,-6).Dari bentuk persamaan garis lurus :Mula-mula cari nilai kecerunan, m :

Masukkan nilai , dan ke dalam persamaan am garis lurus

Maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (-5,3) dan (3,-6) ialah .

19

y

x (-2 ,0)

(0 , )

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 14 drp : 20

Contoh 4

Tuliskan persamaan garis lurus yang ditunjukkan di dalam rajah di bawah dalam bentuk .

Daripada rajah di atas, diberi pintasan y, c =

Kecerunan garis lurus,

Maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (0, ) dan (-2,0) ialah .

20

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 15 drp : 20

Titik Persilangan Bagi Dua Garis Lurus

Dua garis lurus yang selari tidak akan memberikan titik persilangan.

Dua garis lurus yang tidak selari hanya akan bersilang pada satu titik. Garis lurus yang tidak selari boleh diketahui melalui nilai kecerunan di mana nilai kecerunan kedua-dua garis lurus tersebut adalah tidak sama.

Titik persilangan bagi dua garis lurus boleh diperolehi secara menyelesaikan kedua-dua persamaan garis lurus serentak.

Contoh 1

Carikan koordinat titik persilangan bagi pasangan garis lurus dan .

masukkan ke dalam persamaan

Masukkan ke dalam

21

y

xcxmy 1

cxmy 2

Maka titik persilangan bagi pasangan garis lurus dan ialah (0 , 1).

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 16 drp : 20

Contoh 2

Garis lurus yang selari dengan garis dan melalui titik (3, -1) bersilang dengan garis pada titik P. Carikan koordinat P..

Mula-mula bentukkan persamaan garis lurus yang baru iaitu selari dengan dan melalui titik (3, -1)

Daripada persamaan garis lurus diperolehi nilai kecerunan, m = 2.Sekiranya untuk mendapatkan garis lurus selari , nilai kecerunan mestilah sama.

Maka masukkan nilai m = 2, x = 3 dan y =-1 ke dalam persamaan garis lurus bentuk .

Oleh itu persamaan garis lurus yang selari dengan dan melalui titik (3, -1) ialah

Untuk mendapatkan koordinat P iaitu titik persilangan di antara dengan lakukan persamaan serentak.

Seterusnya masukkan nilai x=4 ke dalam .

Oleh itu koordinat P iaitu titik persilangan di antara dengan ialah (4 , 1).

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 17 drp : 20

22

SELESAIKAN MASALAH BERKAITAN JARAK SERENJANG DARI TITIK KE GARIS LURUS

Dua garis lurus adalah berserenjang jika hasil darab kecerunannya (m1 dan m2) bersamaan dengan -1 iaitu :-

Oleh itu satu garis lurus yang berserenjang dengan garis boleh ditulis sebagai di mana m, c dan c1

adalah pemalar.

Contoh 1Carikan persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis 3x+2y+1=0 dan melalui titik (2,4) dalam bentuk

.Diberi

Daripada persamaan bentuk di atas didapati kecerunan,

Untuk mencari kecerunan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus ini, gunakan rumus

Garis lurus yang berserenjang itu mempunyai kecerunan, dan melalui titik (2,4),

Masukkan , x=2 dan y=4 ke dalam

Maka persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus ini ialah

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 18 drp : 20

LATIHAN

1. Carikan jarak antara pasangan titik-titik berikut ;-

23

a. (1,2) dan (5,5)

b. (-5, 1) dan

2. Cari jarak di antara 2 titik koordinat berikut iaitu A(2,2) dengan B(-15,-6).

3. Jika C(1,1) adalah titik tengah bagi A(k,2) dan B(-2,h), carikan nilai bagi k dan h.

4. Cari titik tengah bagi garis yang menyambungkan di antara A(-2,1) dengan B(4,3).

5. Carikan koordinat bagi titik P yang membahagikan garis yang menyambungkan titik A dan titik B

menurut nisbah 5 : 3.

6. Koordinat titik A ialah (11,1) dan titik B ialah (2,6). Titik P berada pada garis AB dan AP = 2PB. Cari koordinat bagi P.

7. Carikan koordinat bagi titik Q yang membahagikan garis yang menyambungkan titik C dan titik D menurut nisbah 1 : 4.

8. Carikan kecerunan bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik berikut.a. (-2,1) dan (7, -3)b. (-3, 4) dan (6, 4)c. A(3,2) dan B (5,2)

9. Carikan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan dan memintas paksi y pada 3. Garis itu memintas

paksi x pada titik P. Carikan koordinat bagi P.

10. Carikan persamaan garis lurus yang menpunyai kecerunan -2 dan memintas paksi y pada -9. Garis itu memintas paksi x pada titik Q. Carikan koordinat titik Q.

11. Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik asalan dan mempunyai kecerunan .

12. Persamaan bagi suatu garis lurus ialah . Cari nilai kecerunan dan pintasan y bagi garis lurus tersebut.

13. Carikan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan 0 dan melalui titik (5,-2).

14. Carikan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan dan melalui titik (-4,3).

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 19 drp : 20

15. Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik-titika. (5,-2) dan (3, 7)b. (-3,0) dan (0,2)

c. dan

16. Tuliskan persamaan-persamaan garis lurus yang berikut dalam bentuk .

24

a.

b.

c.

17. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (3, 8) dan titik (6, 9). Tuliskan jawapan dalam bentuk .

18. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (8,13) dan mempunyai kecerunan . Tuliskan jawapan dalam bentuk

.

19. Carikan persamaan garis lurus yang mempunyai kecerunan dan memintas paksi-y pada -3. Garis itu

memintas paksi-x pada titik P, carikan koordinat bagi P.

20. Carikan kecerunan bagi setiap garis lurus yang berikut :-

a.

b.

c.

d.e.f.

Code No. MK 2011-LE2-IS2 Muka : 20 drp : 20

21. Carikan koordinat titik persilangan bagi pasangan garis lurus berikut :-g. dan h. dan i. dan

j. dan .

22. Garis lurus yang selari dengan garis dan melalui titik (-4,2) bersilang dnegan garis pada titik P. Carikan koordinat bagi titik P tersebut.

25

23. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak :-

a. dan

b. dan

c. dan

d. dan

24. Carikan persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis dan melalui titik (1,2) dalam bentuk .

25. Tiga titik mempunyai koordinat-koordinat A(4,6), B(-3,5) dan C(9,-4). Titik P ialah kaki garis serenjang dari A ke BC. Kirakan

a. Koordinat bagi Pb. Nisbah BP:PC

26. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis yang melalui titik (2,4).

27. 3 titik mempunyai koordinat-koordinat A(-6,3), B(-,-2) dan C(4,5). Cari persamaan garis lurus

a. ABb. Yang melalui C dan berserenjang dengan AB

26