unit 8 ( kestabilan tiang dan penupang )

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG

OBJEKTIF AM : Pelajar dapat memahami maksud tiang dan penupang

OBJEKTIF KHUSUS

Selepas mengikuti unit 8 ini, pelajar dapat:-

Mentakrifkan penupang dan tiang

Menerangkan jenis-jenis kegagalan tiang

Menerangkan jenis-jenis ikatan hujung tiang dan penupang

___________________________________________________________________________________C3007- Mekanik StrukturDisediakan oleh Sharina Abdul Latiff & Noriza Awang Kechik

1


INPUT 1

8.0 PENGENALAN

Anggota-anggota mampatan pada sesebuah bangunan terdapat dalam berbagai-bagai bentuk seperti plat asas, tupang dan sebagainya. Anggota mampatan yang paling nyata ialah tiang, yang merupakan anggota pugak yang menanggung lantai, bumbung dan kren di dalam bangunan. Perbezaan nyata antara tiang dengan anggota mampatan yang lain bergantung pada keratan dan juga panjangnya.

8.1 TIANG

Tiang adalah satu bar yang panjang serta langsing di bawah tindakan mampatan paksi. Sebutan tiang sering kali digunakan untuk menerangkan satu anggota menegak.

8.2 PENUPANG

Satu ahli lampai dalam keadaan condong /pugak / mendatar dan dikenakan daya paksi mampatan.

Contoh

Kebanyakan komponen struktur kapal terbang, penyambung struktur di antara peringkat-peringkat penggalak bagi kenderaan angkasa lepas, anggota tertentu pada kekuda jambatan dan kerangka kerja struktur bangunan ialah contoh tiang yang biasa ditemui

8.3 JENIS-JENIS KEGAGALAN TIANG


2


Struktur mungkin gagal dengan berbagai-bagai cara, bergantung kepada bahan, jenis-jenis beban dan keadaan-keadaan di titik sokongan.

Terdapat dua jenis kegagalan tiang iaitu:

8.3.1 Penghancuran (crushing)

Anggota mulur boleh terenggang atau terlentur secara berlebihan, jika terbeban lebih dan seterusnya boleh mengakibatkan struktur pecah, gagal atau runtuh. Selalunya terjadi pada tiang pendek. Tegasan dalam tiang ,

=

Katakan beban P ditambah secara beransur-ansur sehingga tiang gagal secara penghancuran (crushing)

P

Luas keratan

(A)

Rajah 8.1 Tiang dikenakan beban P

Katakan Pc ialah beban di mana kegagalan tiang mula berlaku dan fc ialah tegasan penghancuran muktamad.

Beban penghancuran Pc = fc A

8.3.2Lengkukan (buckling)

Lengkukan boleh berlaku kepada berbagai-bagai jenis struktur dan ia boleh terjadi dalam bermacam bentuk. Apabila


3


anda memijak sebuah kaleng aluminium yang kosong, dinding silinder nipisnya akan melengkung disebabkan oleh berat badan anda dan apabila sebuah jambatan besar runtuh, ini disebabkan oleh lengkokan plat keluli yang berkedut akibat tegasan-tegasan mampatan. Kegagalan tiang berlaku akibat daripada lengkokan iaitu menerusi pesongan sisi bar tersebut

Lengkukan terjadi pada struktur yang panjang., langsing dan dibeban dalam arah secara mampatan. Untuk tiang langsing, kegagalan akan berlaku secara pembengkokan apabila beban paksi yang dikenakan mencapai satu nilai kritikal.

Beban di mana tiang mula membengkok adalah dikenali sebagai BEBAN KRITIKAL.

8.4 JENIS-JENIS IKATAN HUJUNG TIANG DAN PENUPANG

Teori Euler untuk Tiang LampaiTerbitan formula Genting Teori Eular berdasarkan kepada beberapa anggapan iaitu:

i. Anggota adalah lurus dan beban di tindan pada pertengahan paksi.

ii. Bahan tiang adalah anjal dan menepati hukum Hookeiii. Tiang mempunyai keratan rentas seragamiv. Keratan rentas adalah pejal (solid) dan simetri dikedua-

dua paksi dan lengkokan terjadi disekeliling paksi utama dengan momen luas kedua yang terkecil

v. Tiang adalah bebas dari tegasan apabila tidak dibebankan

vi. Tiang gagal disebabkan lengkokanvii. Berat sendiri tiang diabaikan.

Terdapat empat (4) kes yang akan diberi perhatian:-

8.4.1 : Kedua-dua hujung dipin8.4.2 : Satu hujung bina dalam dan satu hujung bebas

8.4.3 : Kedua-dua hujung diikat (bina dalam)


4

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________ 8.4.4 : Satu hujung bina dalam dan satu dipin.

Panjang berkesan rasuk, L

Untuk

Kes 8.4.1, L = l

Kes 8.4.2, L = 2l

Kes 8.4.3, L =

Kes 8.4.4, L = = 0.7l

Jika beban adalah beban genting (PE) maka panjangnya merupakan panjang berkesan. Panjang berkesan adalah bergantung kepada jenis sambungan tiang.

Jadual 8.1 : Panjang berkesan dan Beban genting

Kes Bentuk Panjang

berkesan

Beban Genting


5


8.4.1

l L =l

L =l PE =

8.4.2

l L = 2l

l =

PE =

8.4.3

L = L = PE =

8.4.4

L =

l = L PE =

Momen Luas kedua I, diambil nilai yang minima Momen Luas kedua keratan tiang.

Dengan mengambil I = Ar2


6


Di mana r = jejari kelengkungan minima kerana (radius of gyration)

Beban genting , P =

(Kes 8.4.1)

Beban GentingTegasan Genting = ------------------------

Luas keratan rentas

Nisbah di antara Panjang berkesan dengan jejari kelengkungan dikenali sebagai nisbah kelangsingan,

Panjang BerkesanNisbah kelangsingan, = ----------------------------

Jejari kelengkungan

=

INPUT 2


7


8.4.1 KEDUA-DUA HUJUNG DIPIN

P

A

l y y

M

x x

B B

Rajah 8.2 (a) Rajah 8.2 (b)

Pertimbangkan pada satu keratan berjarak x dari B di mana y adalah anjakan sisi pada keratan tersebut.

Momen pada keratan adalah M = -Py …………… persamaan 8.1

di mana persamaan pembezaan bagi lengkungan pesongan adalah sama dengan persamaan yang diberikan dalam unit 4 (Kaedah Macaulay) iaitu

M = EI …………… persamaan

8.2

Gantikan M = -Py dalam persamaan 8.2 menjadikan

EI = -Py .………… persamaan

8.3


8


EI + Py = 0 …….…… persamaan

8.4

+ = 0 .………… persamaan 8.5

Persamaan ini boleh diselesaikan dengan mana-mana teknik piawai yang dibincangkan dalam penyelesaian persamaan kebezaan. Kita hanya perlu mendapatkan satu fungsi apabila persamaan dibezakan dua kali dan dicampurkan dengan fungsi itu sendiri (darabkan dengan satu pemalar) ia akan menjadi sifar. Di sini jelaskan, samada Sin C1 x atau kosC2 x mempunyai sifat ini.

Dari persamaan kerbedaan peringkat kedua yang mempunyai persamaan umum

Y = C1 cos + C2 sin

………… persamaan 8.6

Di mana C1 dan C2 adalah tetap/pemalar (constant)Dengan menggunakan keadaan sempadan

Pada B

Bila x = 0 dan pesongan adalah kosong iaitu y = 0Gantikan x = 0 dan y = 0Dalam persamaan umum kerbedaan peringkat kedua (dalam per (6) )Jika C1 = 0 , C2 tidak sama dengan kosong

(Jika C1 = 0 dan C2 = 0 maka pesongan tidak berlaku)

Pada titik A, x = l dan y = 0


9


C2 sin = 0

Di mana: = 0,, 2, 3 , 4 …….

Dengan mengambil nilai praktikal iaitu nilai yang terkecil bagi beban P ini berlaku apabila n = 1. Maka anda akan dapati apa yabg dikatakan lengkokan ragam pertama apabila beban genting.

=

Lengkokkan ini disebut sebagai lengkokkan Euler bagi tiang tercemat hujung. Bentuk pesongan yang sepadan dengan beban ini

Contoh 8.1

Satu tiang berkeratan I seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 8.3 mempunyai panjang 5 m di mana kedua-dua hujungnya dipinkan.


10

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________Jika faktor keselamatan ialah 4. Dapatkan beban selamat tiang tersebut. Diberi E = 200 x 103 N/mm2

220mm

10mm

120mm 20mm

10mm

Rajah 8.3 Keratan I

Penyelesaian

Ixx = -

= -

= 2.15 x 107 mm4

Iyy = 2

= 1.78 x 107 mm4

Tiang akan membengkok pada paksi y-y sebab Iyy < Ixx(Kita ambil nilai yang terkecil antara paksi iaitu pada arah Iyy)

Pc = di beri l = 5m


11


= x 10-3

= 1412 kN

Beban Selamat =

=

= 354 kN

Contoh 8.2

Rajah 8.4 menunjukkan rasuk berkeratan L yang panjangnya 5 m. Tiang tersebut menanggung beban mampatan sebanyak 800 kN. Akibat daya tersebut tiang mengalami pemendekan sebanyak 5 mm. Tentukan beban kritikal tiang tersebut jika tiang dipinkan dikedua-dua hujung.

20mm

220mm

20mm

100mm

Rajah 8.2 Keratan L

Penyelesaian

Ixx =


12

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________ = 3.54 x 107 mm4

Iyy =

= 9.8 x 106 mm4

Iyy < Ixx ( Tiang membengkok pada paksi y-y , nilai yang terkecil antara keduanya)

L = 5 mA = (220 x 20) + (80 x 20)

= 6000mm4

I = 9.8 x 106 mm4

Daya mampatan P = 800 kN

E =

=

= 133.33 kN/mm2

Dari beban genting Euler

Pc =

=

= 515.84 kN

AKTIVITI


13


Soalan 8.1

Satu bar keluli bulat berkeratan rentas padu mempunyai garispusat 50 mm. Bar tersebut dipin pada kedua-dua hujungnya dan dikenakan mampatan paksi. Jika had perkadaran bagi bahan tesebut ialah 248 MN/m2 dan E = 207 kN/mm2. Tentukan panjang minimum apabila formula Euler sah digunakan. Dapatkan nilai beban lengkokan tiang yang mempunyai panjang minimum.

Soalan 8.2

Tentukan nisbah kelangsingan bagi satu tiang keluli berkeratan rentas padu bulat. Panjangnya ialah 2.74 m dan garispusatnya ialah 100 mm.

MAKLUM BALAS

Soalan 8.1

Panjang = 1.15 mBeban = 502 kN

Soalan 8.2


14


Nisbah kelangsingan = 108

INPUT 3

8.4.2Satu hujung bina dalam dan satu hujung bebas


15


P a

y

B

Rajah 8.5

Pertimbangkan satu keratan berjarak x dari B dan y anjakan sisi pada keratan tersebut.

M = -P ( a – y )

Dari persamaan umum pembezaan peringkat kedua

----------- persamaan

8.7di mana C1 dan C2 adalah angkatap

Dengan mengenakan keadaan sempadan pada B pesongan dan kecerunan adalah kosong

Pada B, x = 0 dan y = 0 , C1 = - a

Kecerunan pada keratan

----------persamaan 8.8


16


Pada B, x = 0, . (kecerunan = 0)

,C2 = 0

Pada A, Pesongan adalah a

x = l dan y = a (gantikan dalam persamaan 8.7)

Dengan mengambil nilai praktikal

Panjang berkesan rasuk L = 2l

Jika beban adalah beban genting (PE) maka panjangnya merupakan panjang berkesan. Panjang berkesan adalah bergantung kepada jenis sambungan tiang

Momen luas kedua I, diambil nilai yang minima Momen Luas Kedua keratan tiang.

Dengan mengambil lengkungan I = Ar2


17


Di mana, r = jejari kelengkungan minima keratan (radius of gyration)

Beban Genting =

Nisbah di antara panjang berkesan dengan jejari kelengkungan dikenali sebagai nisbah kelangsingan,

Nisbah kelangsingan ,

Contoh 8.3

Tentukan beban genting bagi bar panjang serta langsing yang terkapit pada satu hujungnya dan bebas pada hujung yang lain. Bar ini di bebankan dengan daya mampatan paksi yang dikenakan pada hujung bebas beban.

Penyelesaian


18


M0 PP

L

Rajah 8.6

Beban genting ialah daya mampatan paksi P yang betul-betul memadai untuk mengekalkan bar tersebu dalam tatarajah terubah bentuk sedikit seperti dalam rajah. Momen M0 mewakili kesan daripada sokong dalam mencegah sebarang putaran sudut di hujung kiri bar tersebut.

Pemeriksaan lengkung pesongan bagi tiang terlengkok itu menunjukkan bahawa seluruh bar itu sepadan dengan separuh daripada bar tercemat hujung seperti yang dihuraikan. Jadi untuk tiang yang dipertimbangkan, panjang L sepadan dengan L/2 bagi tiang tercemat hujung. Jadi, beban genting bagi tiang yang dipertimbangkan ini boleh didapati daripada persamaan.

Contoh 8.4

Sebatang tiang mempunyai hujung tetap di satu hujung dan dapat dianggap bebas dihujungnya yang lain. Jika terikan mampatan di dalam tiang tersebut tidak dibenarkan melebihi 0.00035 sebelum lengkokan dan jejari legaran minimum sebanyak 50 mm. Tentukan nilai panjang maksimum yang dibenarkan.

Penyelesaian


19


dengan rmin = ialah jejari legaran minimum.

Daripada persamaan

Jadi,

0.00035 =

L = 4198 mm

AKTIVITI 2

Soalan 8.3


20

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________Tentukan nisbah kelangsingan bagi tiang kayu berkeratan rentas 200 x 250 mm dan panjangnya 7.5 m.

(Jawapan: 130)

INPUT 4

8.4.3TIANG DENGAN KEDUA-DUA HUJUNG TERIKAT (BINA DALAM)


21


P P

M0

x L/4

L Le=L/2

L/40 M0

P P

Rajah 8.7 (a) Rajah 8.7 (b)

Pertimbangkan sebatang tiang dengan kedua-dua hujungnya terikat atau ‘terbina dalam ‘ melawan putaran (rujuk Rajah 8.7). Anggapkan kedua-dua hujung tiang ini bebas untuk bergerak mendekati antara satu sama lain. Apabila beban P dikenakan kepada hujung atas, daya tindakbalas yang sama akan terbentuk di tapak.

Apabila ledingan berlaku, momen tindak balas Mo juga dihasilkan di kedua-dua sokong. Lengkung pesongan untuk ragam pertama ledingan merupakan sebuah lengkung trigonometri dengan titik-titik ledingan balas berada pada jarak L/4 dari kedua-dua hujung.

Dengan itu panjang berkesan, yang juga bersamaan dengan jarak di antara titik-titik lengkok balas, ialah

---------- persamaan 8.9

Menggantikan persamaan ini ke dalam Persamaan 8.9 , memberikan kita beban genting.


22


----------- persamaan

8.10

Dapat diperhatikan beban genting bagi tiang dengan hujung terikat adalah empat kali lebih besar daripada beban genting bagi tiang dengan hujung-hujung bercemat. Keputusan yang sama boleh juga didapati dengan cara menyelesaikan persamaan kerbezaan lengkung pesongan

Contoh 8.5

Satu bar segiempat keluli berkeratan rentas 38 mm x 50 mm dan tercemat pada kedua-dua hujungnya dikenakan beban paksi. Jika had berkadaran bagi beban bar ialah 23.9 N/mm2 dan E = 21.7 kN/mm2. Tentukan panjang minima apabila persamaan Euler boleh digunakan untuk menentukan beban lengkuk.

Penyelesaian

Momen inersia yang minimum

I = = = 2.29 x 105 mm4

Maka jejari legaran yang terkecil r =

=

= 10.9

Tegasan paksi bagi bar terbeban seperti ini telah didapati

Panjang minimum apabila persamaan Euler boleh digunakan boleh didapati dengan menjadikan tegasan genting dalam persamaan di atas sebagai


23


23.9 =

L = 1031 mm.

AKTIVITI 3

Soalan 8.4

Satu bar keluli bulat berkeratan rentas padu mempunyai garispusat 50mm. Bar tersebut tercemat pada kedua-dua hujungnya dan


24

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________dikenakan mampatan paksi. Jika had berkadaran bagi bahannya 256 N/mm2 dan E = 213 kN/mm2. Tentukan panjang minima apabila formula Euler sah digunakan . Selain itu, tentukan nilai beban lengkuk Euler jika tiang itu mempunyai panjang minima.

Jawapan : 1.14m , 502kN

INPUT 5

8.4.4Satu hujung bina dalam dan satu dipin

Beban genting dan bentuk ragam ledingan bagi tiang yang terikat di tapaknya dan hujung bercemat di bahagian atasnya tidak


25

KESTABILAN TIANG DAN PENUPANG C3007/unit8/_______________________________________________________________________________boleh ditentukan dengan cara pemeriksaan ke atas bentuk ragam ledingan kerana kedudukan titik lengkok balas tidak jelas kelihatan. Oleh itu, kita mesti selesaikan persamaan pembezaan bagi mendapatkan Pcr.

Apabila sebatang tiang meleding, daya tindakbalas mendatar R terbentuk dikedua-dua sokong dan momen tindakbalas Mo

terbentuk di tapak. Daripada keseimbangan statik, kita tahu daya mendatar adalah bersamaan magnitudnya tetapi bertentangan arah. Maka

Mo = RL ---------- persamaan 8.11

Momen lentur di dalam tiang yang meleding, pada jarak x dari tapak ialah

M = P – R(L-x) ---------- persamaan

8.12

Dengan melakukan seperti mana analisis-analisis sebelum ini, kita akan dapat satu persamaan pembezaan berikut:

---------- persamaan

8.13

dengan k2 = = P/EI

Penyelesaian am pembezaan ini ialah


8.14

dengan tiga pemalar tidak diketahui (C1,C2 dan R). Tiga keadaan sempadan diperlukan ialah


26


Menggunakan keadaan sempadan ini kepada persamaan 8.14 akan menghasilkan

C1 tankL + C2 = 0 ---------- persamaan 8.15

Ketiga-tiga persamaan di atas akan ditepati sekiranya C1 = C2

= R = 0 , yakni, kita mempunyai kes penyelesaian remeh dan pesongan adalah sifar. Untuk mendapatkan penyelesaian bagi ledingan, kita haruslah selesaikan persamaan berkenaan dalam suatu bentuk yang lebih umum. Salah satu dari kaedah penyelesaian ialah dengan menghilangkan R dari dua persamaan yang pertama, lalu menghasilkan

C1kL + C2 = 0

Atau C2 = - C1kL. Sekarang kita gantikan ungkapan C2 ini ke dalam persamaan 8,15 dan memperolehi persamaan ledingan.

kL = tan kL ---------- persamaan 8.16

Penyelesaian kepada persamaan ledingan akan memberikan beban genting. Walau bagaimanapun, nilai kL boleh dicari dengan cara cuba dan ralat atau dengan menggunakan satu aturcara komputer bagi mendapatkan punca-punca persamaan. Nilai kL terkecil dan menepati Persamaan 8.16 ialah

KL = 4.4934 ---------- persamaan 8.17

Oleh itu, beban genting yang sepadan ialah

Pcr = ---------- persamaan

8.18


27


Nilai yang berada di antara nilai beban genting bagi tiang hujung bebas dan tiang hujung terikat. Panjang berkesan bagi tiang ini boleh diperolehi dengan cara membandingkan persamaan 8.18 dengan itu, kita dapati

Le = 0.699L 0.7L

Panjang ini mewakili jarak dari hujung bercemat tiang tersebut hingga ke titik lengkok balas pada bentuk ledingan.

Persamaan bentuk ragam ledingan diperolehi dengan cara menggantikan C2 = -C1kL dan R/P = kC1 ke dalam penyelesaian am.


8.19

dengan k = 4.4934/L. Sebutan di dalam tanda kurungan memberikan sebutan bentuk ragam bagi pesongan tiang meleding, namun demikian amplitud pesongan masih tidak dapat ditentukan

kerana C1 mungkin mempunyai sebarang nilai (dengan syarat

mestilah kecil)

*** Bagi Kes 8.4.4 , penggunaan teori Euler tidak digunakan.


28


PENILAIAN KENDIRI

Soalan 8.1

Satu bar yang panjangnya L diikat tegar pada hujung bawahnya dan dikenakan daya mengufuk dan tegak pada hujung atasnya seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 8.8 di bawah.

P

R

Rajah 8.8

Daya tegak P ialah ¼ beban Euler bagi bar tersebut. Tentukan anjakan sisi bagi hujung atas bar itu.

Soalan 8.2

Berapakah beban mampatan paksi yang maksimum selamat berkeratan luas 73.5 cm2 yang panjangnya 5.4 m yang boleh dibawa jika bar dipin pada kedua-dua hujung. Momen sifat tekun adalah 1.914 x 107 mm4.

MAKLUM BALAS PENILAIAN KENDIRI


29


Soalan 8.1

Anjakan sisi : 16(4 - )RL3 / 3 EI

Soalan 8.2

Beban maksimum selamat : 603 kN

BAHAN RUJUKAN


30


1. Mekanik Bahan - 1997Penterjemah Ahmad Zafri Zainuddin

Muhammad Her JantanYahaya Ramli

UTM

2. Kekuatan bahan - G.H RyderUPM dan MacMillan Publisher (M) Sdn. Bhd.

3. Mechanics of Materials (Vol 2) -E.J HearnPergamon Press

4. Teori dan Masalah kekuatan Bahan - 1993Penterjemah Amirul Faizi Abdul Wahab

Kamarudin Abu TaibOthman A. KarimKamal Nasharuddin Mustafa

DBP


31

unit 8 ( kestabilan tiang dan penupang )

Documents