UKURAN GEJALA PUSAT (UGP)

Pengertian:

Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai

ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai

kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu

kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:

1. Mayor Means terdiri dari:

Rata-rata hitung (Arithmetic means) Median Quartile Decile Percentile

Modus 2. Minor Means, terdiri dari:

Rata-rata ukur (Geometric means) Rata-rata Harmonis (Harmonic Means) Rata-rata Tertimbang Rata-rata Kuadratis Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)

Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi

maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah

dikelompokkan.

1. Rata-rata Hitung

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil

9 Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka. 9 Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif. 9 Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim. 9 Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau

rasio.

9 Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.

2. Rata-rata Tertimbang

Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat

pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, XN. Masing-masing

hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, BN, maka rata-rata didefinisikan

sebagai rata-rata tertimbang.

3. Median

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai ekstrim.

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup. 9 Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.

4. Modus

Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau

bilangan yang sering muncul.

9 Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah nominal.

9 Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang merajalela.

Quartile

Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan

bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.

Decile

Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan

bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.

Percentile

Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan

bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.

nXX i=

Rara-rata Ukur

Rata-rata ukur biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of

change) atau pengrata-rataan rasio. Digunakan bila perbandingan tiap dua data

berurutan tetap atau hampir tetap. Skala pengukuran yang digunakan minimal adalah

interval

RUMUS-RUMUS UGP

A. Ungrouped Data (n 30)

1. Rata-rata Hitung

Populasi Sampel

Contoh :

Nilai ujian dari 5 orang mahasiswa yang diambil sebagai sampel dari sebuah populasi

adalah 80, 80, 75, 95, 100. Tentukan rata-rata nilai ujian kelima orang mahasiswa

tersebut.

865

4305

10095758080 ==++++=x

data di atas merupakan data yang belum dikelompokkan.

NXi=

2. Rata-rata tertimbang

=

== ni

i

n

iii

b

bXX

1

1

b = timbangan

Contoh :

Seorang peneliti ingin memperoleh keterangan berapa persen pada rata-ratanya

penduduk dewasa yang buta aksara di desa A, B, C dan D. data untuk keperluan itu,

diperoleh dan disajikan pada tabel berikut:

Desa % Buta Aksara (Xi)

Jumlah Penduduk (Bi)

Xi.Bi (%)

A 11 3843 42273 B 8 2100 16800 C 3 1968 5904 D 16 2940 47040 38 10851 112017

10,3232%10851

112017

1

1 ===

=

=n

ii

n

iii

b

bXX

3. Median (Me)

Populasi : Letak Median = (N + 1)

Sampel : Letak Median = (n + 1)

Urutkan data dari data terkecil ke terbesar letakkan median pada urutan (N + 1).

Contoh:

Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42 n =8

Letak Median = (n + 1) = (8 + 1) = 4,5

Besar Median = 23 + (30-23)=23 + 3,5 = 26,5

4. Quartile (Qi)

i = 1 s/d 3 Letak ( )

41. += niQi

5. Decile (Di)

i = 1 s/d 9 Letak

( )10

1. += niDi

6. Percentile (Pi)

i = 1 s/d 99 Letak

( )100

1. += niPi

Contoh:

Data: 2, 8, 17, 23, 30, 35, 36, 42 n =8

Letak Q1 = ( )

41. += niQi =

( )4

18.1 + = 2,25 Besar Q1 = 8 + (17-8) = 10,25

Letak Q3 = ( )

41. += niQi =

( )4

18.3 += 6,75

Besar Q3 = 35 + 0,75(36-35) = 35,75

Letak D3 = ( ) ( )

10183

101. +=+= niDi = 2,7

Besar D3 = 8 + 0,7 (17-8) = 14,3

Letak P25 = ( ) ( )

1001825

1001. +=+= niPi = 2,25

Besar P25 = 8 + 0,25 (17-8) = 10,25

7. Modus (Mo)

Bilangan yang sering terjadi (sering muncul) dalam suatu deretan bilangan data.

Contoh :

Daerah Status Perkawinan A B Tidak Kawin 1341 906

Kawin 692 2934 Janda / duda 118 131

Cerai 98 102 Maka modus status perkawinan adalah :

Daerah A adalah Tidak Kawin

Daerah B adalah Kawin

8. Rata-rata Ukur (Mg)

nnXXXMg .... 21= Atau n

XMg i= loglog dimana

mg = rata-rata ukur

Dari 6 buah bilangan :

12,0 23,2 48,1 95,0 200 394,2

Rata-rata ukur :

( )( )( )( )( )( )6 2,394200951,482,2312=mg = 68,163 ( ) ( ) 11,83354742

6311,0012845

62,394log...12loglog ==++=Mg

mg = 68,163

9. Rata-rata pertumbuhan penduduk

( )trPoPt += 1 dan 1= t PoPtr Po = Kuantitas pada periode 0 (periode awal) Pt = Kuantitas pada periode ke t t = Periode r = Pertumbuhan Contoh:

Catatan di suatu daerah, jumlah penduduk berdasarkan perubahan:

Tahun Pertumbuhan (%) 1985 2 1986 1,5 1987 -1 1988 1,3 1989 -0,2

Pertanyaan :

Berdasarkan data di atas, berapa perkiraan jumlah penduduk tahun 1990 bila pada

tahun 1985 terdapat satu juta orang?

Jawab :

( )( )( )( )( ) 007,1998,0013,199,0015,102,15 ==mg atau 0,7%

maka, dik:

Po = 1.000.000

r = 0,007

t = 5

( ) ( )5007,0110000001 +=+= trPoPt =1.035.493,4 atau 1.035.493 orang

10. Rata-rata Gabungan

=

== ni

i

n

iii

gab

n

xn

1

1

Contoh:

Sebuah sampel yang berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian: Bagian I terdiri dari 60 objek : rata-ratanya 40,8 Bagian II terdiri dari 105 objek : rata-ratanya 36,7 Bagian III terdiri dari 35 objek : rata-ratanya 29,9 Tentukan rata-rata gabungan dari 3 bagian di atas

Dik: n1 = 60 8,40=x n2 = 105 7,36=x n3= 35 9,29=x

( ) ( ) ( ) 63,303510560

9,29357,361058,4060

1

1 =++++==

=

= xxx

n

xnn

ii

n

iii

gab

11. Rata-rata Harmonis

=

iX

nH1

Contoh (Lihat Buku Sudjana Metoda Statistika hal 75)

B Grouped Data (n > 30 data dalam DF)

1. Rata-rata Hitung

Cara panjang ==

i

n

iii

f

XfX 1 dengan Xi = nilai tengah kelas.

Cara Pendek ii

n

iii

Cf

ufXX

=+= 10

Digunakan untuk mempermudah perhitungan. Caranya:

Membuat transformasi di salah satu kelas = 0. Dengan cara:

Bisa diambil pada nilai frekuensi yang terbesar. Atau i

i

CXX

ui 0=

Ci adalah interval kelas X0 adalah titik tengah kelas dimana ui = 0

Contoh :

Nilai Ujian Xi fi fi.Xi 30-39 34,5 5 172,540-49 44,5 8 356,050-59 54,5 15 817,560-69 64,5 37 2386,570-79 74,5 25 1862,580-89 84,5 10 845,0

100 6440,0

Cara Panjang : 40,64

10064401 ===

=

i

n

iii

f

XfX

Nilai Ujian Xi fi ui ui.fi 30-39 34,5 5 -3 -15 40-49 44,5 8 -2 -16 50-59 54,5 15 -1 -15 60-69 64,5 37 0 0 70-79 74,5 25 1 25 80-89 84,5 10 2 20

100 -1

Cara Pendek

4,641,05,6410.100

15,6410 ==+=+= =

ii

n

iii

Cf

ufXX

2. Median

Letak Me = n menunjukkan kelas median

ii Cf

FNiLMe

+= 2 L = Tepi batas bawah kelas Median

N = Jumlah Data

C = Panjang Kelas Me

F = Jumlah Frekuensi sebelum frekuensi kelas median

f = Frekuensi kelas Me

Contoh :

Nilai ujian untuk 100 orang mahasiswa statistika adalah :

Nilai Ujian Xi fi f kumulatif 30-39 34,5 5 5 40-49 44,5 8 13 50-59 54,5 15 28 60-69 64,5 37 65 70-79 74,5 25 90 80-89 84,5 10 100

100

Letak kelas Me adalah = 100/2 = 50 ada pada kelas ke-4 (60-69)

65.4459510.37

28505,592 =+=+= ii CfFNi

LMe

3. Quartile

QiiQi

Qii Cf

FNiLQ

+= 4

4. Decile

DiiDi

Dii Cf

FNiLD

+= 10

5. Percentile

PiiPi

Pii Cf

FNiLP

+= 100

Contoh untuk Q, D dan P (dari contoh Me):

Kuartil Pertama (Q1) :

Letak kelas Q1 adalah = 100/4 = 25 ada pada kelas ke-3 (50-59)

57,510.15

13255,4941

111

11 =+=+=

QC

fFN

LQQ

Q

Desil keenam (D6) :

Letak kelas D6 adalah = 100(6/10)= 60

ada pada kelas ke-4 (60-69)

Persentil 10 (P10) :

Letak kelas P10 adalah = 100(10/100)= 10 ada pada kelas ke-2 (40-49)

6. Modus

Cbb

bLMo i21

1

++= L = Tepi batas bawah kelas modus. Kelas

modus adalah kelas dengan frekuensi

terbanyak

C = Panjang kelas/interval kelas

68,1486510.37

28605,69106

66

66 =+=+= D

DD Cf

FNLD

45,7510.8

5105,3910010

1010

1010 =+=+= p

pp Cf

FNLP

b1 = beda frekuensi kelas modus dengan

frekuensi sebelumnya

b2 = beda frekuensi kelas modus dengan

frekuensi sesudahnya

Contoh :

Data berikut adalah nilai ujian statistika dari 100 orang mahasiswa

Nilai Ujian fi Xi fi.Xi 30-39 5 34,5 172,5 40-49 8 44,5 356,0 50-59 15 54,5 817,5 60-69 37 64,5 2386,5 70-79 25 74,5 1862,5 80-89 10 84,5 845,0

100 6440

Modus dari nilai ujian ke 100 orang mahasiswa tersebut adalah:

( )( ) ( ) 97,6510.25371537

15375,5921

1 =++=++= Cbb

bLMo i

7. Rata-rata ukur

n fn

ff nXXXMg .... 21 21= atau i

ii

fXf

Mg = loglog

Nilai Ujian Xi fi log Xi fi log Xi 30-39 34,5 5 1,537819 7,68909540-49 44,5 8 1,64836 13,1868850-59 54,5 15 1,736397 26,0459560-69 64,5 37 1,80956 66,9537170-79 74,5 25 1,872156 46,8039180-89 84,5 10 1,926857 19,26857

100 179,9481

1,799481100

179,9481loglog ===

i

ii

fXf

Mg

mg = 63,02

8. Rata-rata Harmonis

=

i

i

i

Xff

H

Contoh (Lihat Buku Sudjana Metoda Statistika hal 76)

Soal Satu Pengawas kualitas di perusahaan industri batere memilih 21 buah batere secara acak guna diuji daya tahannya. Hasil pengujian tersebut dinyatakan dalam jam sebagai berikut: 158 242 127 184 213 135 140 220 193 131 281 242 242 281 192 200 130 111 160 217 217 Pertanyaan: a. Carilah rata-rata hitung, median, modus dari daya tahan batere tersebut. b. Kesimpulan apakah yang bisa saudara tarik dari ketiga rata-rata tersebut. Soal Dua

Umur Banyaknya Mahasiswa 18-20 50 21-25 750 26-30 100 jumlah 900

Hitung rata-rata hitungnya dengan metoda UGP yang paling tepat. Soal Tiga Suatu penelitian dilakukan terhadap 100 peti barang dalam rangka meneliti barang rusak dalam tiap peti. Didapat data sebagai berikut:

Tabel XX Barang yang Rusak

Banyaknya barang rusak Dalam tiap peti

Banyaknya peti

Kurang dari 4 20 5 9 39

10 14 23 15 19 11 20 24 7

Sumber: Fiktif Pertanyaan:

a. Berapa rata-rata banyaknya barang rusak dalam tiap peti (gunakan metoda UGP yang paling tepat)

b. Jika dinyatakan, setiap peti diijinkan keluar gudang jika hanya berisi barang rusak paling banyak 12 barang, berapa jumlah peti yang memenuhi syarat tersebut?

Soal Empat PT. ABCDEF melaksanakan penarikan pegawai baru sebanyak 50 orang. Suatu tes

mata pelajaran Matematik telah dilaksanakan dan didapat hasil sebagai berikut:

Nilai Jumlah 52-58 3 59-65 7 66-72 9 73-79 18 80-86 7 87-93 6

Untuk diterima sebagai pegawai ditentukan nilai tes matematik tertinggi paling sedikit

66. Berapa orang calon pegawai yang dapat diterima dan berapa yang tidak dapat

diterima.

Soal Lima

Jumlah uang saku yang diterima sekelompok pelajar perbulannnya, tersaji dalam distribusi frekuensi berikut :

(dalam ribuan Rupiah) Besarnya uang

saku Jumlah mahasiswa

< 30 8 30 39 15 40 49 22 50 59 25 60 69 15 70 79 10

> 79 5 TOTAL 100

a) Berapa rata-rata uang saku yang diberikan oleh para orang tua mereka

dalam setiap bulannya ? b) Bila ditetapkan 15% dari kelompok pelajar tersebut dianggap kurang

mampu dan akan mendapat beasiswa dari POMA, maka tentukanlah batas maksimal uang saku perbulan yang diterima kelompok tersebut agar berhak menerima beasiswa itu.

c) Selanjutnya Poma sepakat memungut sumbangan untuk membantu pendirian Lab Komputer dari 25% kelompok pelajar yang dianggap lebih mampu. Berapakah jumlah minimal uang saku yang diterima oleh mereka

yang termasuk dalam kelompok orang tuanya lebih mampu? Berapakah rata-rata uang saku yang sebagian besar diterima oleh kelompok pelajar tersebut di atas?

Soal Enam Berikut ini data mengenai nilai ekspor Indonesia tahun 1981 s/d 1986 pada sektor industri yang didapatkan dari BPS dalam jutaan US. Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Nilai Eks 2.598 2.800 3.141,4 3.896,5 4.164,8 4.419,3

A. Hitunglah rata-rata nilai ekspor Indonesia tiap tahunnya pada periode 1983 1986

B. Berapa rata-rata tingkat pertambahan ekspor Indonesia tiap tahunnya menurut data di atas.

C. Bila rata-rata tingkat pertambahan dianggap tetap, dalam berapa tahunkah nilai ekspor berjumlah dua kali lipat dari nilai ekspor tahun 1981.

Distribusi Frekuensi untuk Interval Kelas Berbeda:

Untuk menggunakan formulasi kodding u, digunakan formulasi :

IXX

u ii0=

dimana :

XI : titik tengah kelas interval ke-i

X0 : titik tengah kelas interval dimana uI dihargakan nol.

I : panjang kelas interval yang dibuat standar

Contoh:

Nilai Ujian fi Xi 10

5,64= ii Xu fi ui

30-39 5 34,5 -3 -15 40-49 8 44,5 -2 -16 50-59 15 54,5 -1 -15 60-69 37 64,5 0 0 70-79 25 74,5 1 25 80-89 10 84,5 2 20

210

5,645,84

110

5,645,54

210

5,645,44

310

5,645,34

==

==

==

==iu

Contoh lainnya :

Dengan menggunakan I = 25 dan dan X0 = 174,5

Kelas fi Xi 25

5,174= ii Xu fi ui Ci

100 -124 15 112 -2,5 -37,5 25 125 -149 20 137 -1,5 -30 25 150 -199 35 174,5 0 0 50 200 -299 18 249,5 3 54 100 300 -324 12 312 5,5 66 25

100 52,5

625,187

125,135,17425.100

5,525,17410

=+=+=+=

=

ii

n

iii

Cf

ufXX

Dengan menggunakan I = 50 dan X0 = 174,5

Kelas fi Xi 50

5,174= ii Xu

fi ui Ci

100 -124 15 112 -1,25 -18,75 25 125 -149 20 137 -0,75 -15 25 150 -199 35 174,5 0 0 50 200 -299 18 249,5 1,5 27 100 300 -324 12 312 2,75 33 25

100 26,25

625,187

125,135,17450.100

25,265,17410

=+=+=+=

=

ii

n

iii

Cf

ufXX