Tugasan 1 : Simplex munditis

Bahagian I dan II

Katakan, Kek P ialah x

Kek Q ialah y

Kek R ialah z

Jenis Kek Keuntungan Bersih (RM)

Kek P, x 3

Kek Q, y 2

Kek R, z 5

Jadual 1 : Keuntungan bersih bagi 3 jenis kek

Jenis Kek Lemak Pemanis Telur Tepung

Kek P, x 2 1 2 4

Kek Q, y 5 2 4 3

Kek R, z 4 1 2 2

Had Bilangan Unit Simpanan

Harian Ramuan60 10 70 180

Jadual 2 : Jenis ramuan dan had bilangan unit simpanan harian ramuan bagi 3 jenis kek

Fungsi Objektif : P = 3x + 2y + 5z

Fungsi Kekangan : 1. 2x + 5y + 4z ≤ 60

2. x + 2y + z ≤10

3. 2x + 4y + 2z ≤ 70

4. 4x + 3y + 2z ≤ 180

5. x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Kekangan ketaksamaan ditulis sebagai pembolehubah lalai.

1. Memaksimumkan I : I – 3x – 2y – 5z = 0

2. Kekangan : 2x + 5y + 4z + S1 = 60

x + 2y + z + S2 = 10

2x + 4y + 2z + S3 = 70

4x + 3y + 2z + S4 = 180

Persamaan dijadualkan.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0

0 2 5 4 1 0 0 0 60

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 3

Untuk mendapatkan tablo simpleks yang baru, terdapat beberapa langkah yang perlu dilakukan.

Langkah 1 : Memerhatikan baris objektif, kemudian pilih salah satu daripada x, y dan z

dimana ia mempunyai nombor yang negatif dan nombor paling kecil untuk

ditukarkan kepada nombor positif.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0

0 2 5 4 1 0 0 0 60

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Lajur pangsi z dipilih kerana ia mempunyai nombor yang negatif dan merupakan nilai yang

paling kecil dalam x,y dan z.

Langkah 2 : Menjalankan ujian nisbah untuk menentukan baris pangsi.

Kekangan kedua ialah unsur pangsi kerana ia mempunyai

nilai ujian nisbah yang paling kecil.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0

0 2 5 4 1 0 0 0 60

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 4

Selepas menentukan unsur pangsi, maka bolehlah melakukan pangsi.

Langkah 3 : Melakukan Pangsi

Darab baris pangsi dengan 5 dan tambahkan kepada baris objektif untuk menghasilkan satu 0

pada lajur pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0

0 2 5 4 1 0 0 0 60

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

Formula :

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 5

Darab baris pangsi dengan -4 dan tambahkan kepada baris kekangan 1 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 50

0 2 5 4 1 0 0 0 60

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 6

Darab baris pangsi dengan -2 dan tambahkan kepada baris kekangan 2 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 2 4 2 0 0 1 0 70

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 7

Darab baris pangsi dengan -2 dan tambahkan kepada baris kekangan 3 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 50

0 4 3 2 0 0 0 1 180

Jadual 8

Jadual Tablo Simpleks yang baru telah dihasilkan.

I x y z S1 S2 S3 S4 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 50

0 2 -1 0 0 -2 0 1 160

Jadual 9

Langkah 4 : Mantafsirkan tablo simpleks

Mentafsirkan Tablo Simpleks : I = 50

x = 0

y = 0

z = 10

S1 = 20

S2 = 0

S3 = 50

S4 = 160

1. P = 3x + 2y + 5z

= 3(0) + 2(0) + 5(10)

= 50

2. Kekangan : 2(0) + 5(0) + 4(10) + 20 = 60

(0) + 2(0) + 10 + 0 = 10

2(0) + 4(0) + 2(10) + 50 = 70

4(0) + 3(0) + 2(10) + 160 = 180

Daripada tablo yang ditafsirkan, didapati bahawa keuntungan bersih yang maksimum ialah

RM 50.00 dan terdapat 20 unit lemak, 50 unit telur dan 160 unit tepung yang masih belum

digunakan lagi.

Bahagian III

Seorang peruncit amat puas hati dengan kualiti kek warung itu dan beliau meminta supaya

sekurang-kurangnya lima(5) biji kek Q dibekalkan kepada beliau.

Daripada penyataan di atas, terdapat satu tablo baru yang perlu dipertimbangkan iaitu y ≥ 5.

Fungsi Objektif Lama: P = 3x + 2y + 5z

Fungsi Kekangan : 1. 2x + 5y + 4z ≤ 60

2. x + 2y + z ≤10

3. 2x + 4y + 2z ≤ 70

4. 4x + 3y + 2z ≤ 180

5. y ≥ 5 Kekangan baru telah wujud.

6. x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0

Kekangan Ketaksamaan ditulis sebagai pembolehubah lalai.

1. y – S5 + a1 =5

A = a1 Jadi, y – S5 + A = 5

2. Memaksimumkan I : I – 3x – 2y – 5z = 0

3. Kekangan : 2x + 5y + 4z + S1 = 60

x + 2y + z + S2 = 10

2x + 4y + 2z + S3 = 70

4x + 3y + 2z + S4 = 180

y - S5 + a1 = 5

Persamaan dijadualkan.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 5

0 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 10

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 10

Objektif baru yang dibentukkan.

Objektif lama.

Kekangan 1

Kekangan 2

Kekangan 3

Kekangan 4

Kekangan 5

Daripada jadual berikut, lajur pangsi dapat terus ditentukan kerana hanya terdapat satu lajur

pangsi pada objektif baru yang mempunyai nilai di antara x,y dan z iaitu lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 5

0 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 10

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 11

Untuk mendapatkan baris pangsi, ujian nisbah perlu dijalankan.

Ujian Nisbah :

Kekangan kedua dipilih sebagai baris pangsi kerana ia

mempunyai nilai ujian nisbah yang paling kecil.

Baris pangsi adalah di baris kekangan 2.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 5

0 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 10

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 12

Malakukan Pangsi

Darab baris pangsi dengan -1 dan tambahkan kepada baris kekangan objektif baru untuk menghasilkan

satu 0 pada lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 5

0 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 13

Darab baris pangsi dengan 2 dan tambahkan kepada baris kekangan objektif lama untuk menghasilkan

satu 0 pada lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 0 0

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 14

Darab baris pangsi dengan -5 dan tambahkan kepada baris kekangan 1 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 0 10

0 0 2 5 4 1 0 0 0 0 0 60

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 15

Darab baris pangsi dengan -4 dan tambahkan kepada baris kekangan 3 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 0 10

0 0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 0 35

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 2 4 2 0 0 1 0 0 0 70

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 16

Darab baris pangsi dengan -3 dan tambahkan kepada baris kekangan 4 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 0 10

0 0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 0 35

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0 -2 1 0 0 0 50

0 0 4 3 2 0 0 0 1 0 0 180

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 17

Darab baris pangsi dengan -1 dan tambahkan kepada baris kekangan 5 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi y.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 0 10

0 0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 0 35

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0 -2 1 0 0 0 50

0 0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 0 165

0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 5

Jadual 18

Jadual Tablo Simpleks baru yang dihasilkan.

A I x y z S1 S2 S3 S4 S5 a1 RHS

1 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0 0

0 1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 0 10

0 0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 0 35

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 0 -2 1 0 0 0 50

0 0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 0 165

0 0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 1 0

Jadual 19

Mentafsirkan Tablo Simpleks

Mentafsirkan tablo berdasarkan jadual 19 di atas.

A = 0I = 10x = 0y = 5z = 0S1 = 35S2 = 0S3 = 50S4 = 165S5 = 0a1 = 0

Gantikan pentafsiran ke dalam pembolehubah lalai.

1. 5 – 0 + 0 =5

2. Memaksimumkan I : 10 – 3(0) – 2(5) – 5(0) = 0

3. Kekangan : 2(0) + 5(5) + 4(0) + 35 = 60

(0) + 2(5) + (0) + 0 = 10

2(0) + 4(5) + 2(0) + 50 = 70

4(0) + 3(5) + 2(0) + 165 = 180

5 - 0 + 0 = 5

Daripada jadual 19, baris fungsi objektif baru telah dinegatifkan, ia membawa maksud simpleks

tahap satu telah diselesaikan dan kembali ke masalah asal. Jadi, lajur A dan a1 serta baris

objektif baru boleh dihapuskan dalam penyelesaian seterusnya. Jadual baru adalah seperti

berikut :

I x y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 10

0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 35

0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 5

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 20

Simpleks Tahap Dua

Menentukan Lajur Pangsi

Lajur pangsi z dipilih sebagai lajur pangsi kerana ia mempunyai nilai negatif dan merupakan

nilai yang paling kecil berbanding dengan nilai pada lajur x.

I x y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 10

0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 35

0 0.5 1 0.5 0 0.5 0 0 0 5

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 21

Menentukan Baris Pangsi

Ujian Nisbah :

Kekangan kedua dipilih sebagai baris pangsi kerana ia

mempunyai nilai ujian nisbah yang paling kecil.

Melakukan Pangsi

Darab baris pangsi dengan 4 dan tambahkan kepada baris objektif untuk menghasilkan satu 0 pada lajur

pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 -2 0 -4 0 1 0 0 0 10

0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 35

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 22

Darab baris pangsi dengan -1.5 dan tambahkan kepada baris kekangan 1 untuk menghasilkan satu 0

pada lajur pangsi z.

I x y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 0 50

0 -0.5 0 1.5 1 -2.5 0 0 0 35

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 23

Darab baris pangsi dengan 0 dan tambahkan kepada baris kekangan 3 untuk menghasilkan

satu 0 pada lajur pangsi z.

I x Y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 24

Darab baris pangsi dengan -0.5 dan tambahkan kepada baris kekangan 4 untuk menghasilkan satu 0

pada lajur pangsi z.

I x Y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2.5 0 0.5 0 -1.5 0 1 0 165

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 25

Darab baris pangsi dengan 0.5 dan tambahkan kepada baris kekangan 5 untuk menghasilkan satu 0 pada

lajur pangsi z.

I x Y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2 -1 0 0 -2 0 1 0 160

0 -0.5 0 -0.5 0 -0.5 0 0 -1 0

Jadual 26

Jadual Tablo Simpleks baru yang dihasilkan atas pertimbangan syarat baru.

I x Y z S1 S2 S3 S4 S5 RHS

1 2 8 0 0 5 0 0 0 50

0 -2 -3 0 1 -4 0 0 0 20

0 1 2 1 0 1 0 0 0 10

0 0 0 0 0 -2 1 0 0 50

0 2 -1 0 0 -2 0 1 0 160

0 0 1 0 0 0 0 0 -1 5

Jadual 27

Mentafsirkan tablo baru berdasarkan Jadual 26.

I = 50x = 0y = 0z = 10S1 = 20S2 = 0S3 = 50S4 = 160S5 = 0

1. Fungsi Objektif : P = 3x + 2y + 5z

=3(0)+ 2(0) + 5(10)

= 50

Keuntungan bersih yang diperolehi selepas mempertimbangkan syarat baru adalah sebanyak RM 50.00.