trigonometri sudut rangkap

Trigonometri

Oleh : Padiya,S.Pd.E-mail : [email protected]

1

http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP

Trigonometri


2

TRIGONOMETRI

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut.Untuk mempelajari rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut, kita ulang kembali tentang hubungan antara koordinat cartesius titik P(x, y) dengan koordinat kutub titik P(r.cos, r.sin) sebagai berikut : Y

P(x , y) = P(r.cos, r.sin)

r y

X O x

Gambar 1

1. Rumus-rumus untuk cos (a + b) dan cos (a – b)

------- (1)

------- (2)

Bukti :Perhatikan gambar 2 di bawah ini :

Y C(cos (a+b), sin(a+b))

B(cos a, sin a) b a A(1, 0) X O -b

D(cos b, -sin b)

Gambar 2

Pada gambar 2 di atas jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik A adalah (1,0). Apabila AOB = a, BOC = b, AOD = -b, maka AOC = (a + b)

cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b

cos (a - b) = cos a. cos b + sin a. sin b


Trigonometri


3

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik P(x1, y1) dan titik Q(x2, y2) adalah PQ2 = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2 dan rumus cos2 + sin2 = 1, maka

bababa

baaba

bababa

bababbbabababa

bbaabbaabababa

babababa

BDAC

sin.sincos.(cos2)cos(.2

)sin.sincos.(cos22)cos(22

sin.sin.2cos.cos.2111)cos(.21

sin.sin.2cos.cos.2sincos)sincos1)cos(.2)(sin)(cos

sinsin.sin.2sincoscos.cos.2cos)(sin1)cos(.2)(cos

sinsincoscos0)sin(1)cos(

222222

222222

2222

22

----- rumus (1) terbukti

Karena cos(a – b) = cos [a + (-b)], maka cos (a – b) = cos [a + (-b)]cos (a – b) = cos a.cos (-b) – sin a. sin (-b)cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b

---- rumus (2) terbukti

Contoh 1:

Tentukan nilai dari cos 75o !

Penyelesaian :

cos 75o = cos (45o + 30o) = cos 45o.cos 30o – sin 45o.sin 30o

)26(4

1

24

16

4

12

1.2

2

13

2

1.2

2

1

Contoh 2:

Diketahui cos A = 5

4dan cos B =

25

7. Jika sudut A dan B sudut lancip, tentukanlah

nilai dari :a. cos (A + B) b. cos (A – B)

Penyelesaian :

cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b


Trigonometri


4

5

3sin

,

5

3sin

25

9sin

25

161sin

5

41sin

cos1sin

1sincos

2

2

2

22

22

22

Amaka

lancipsudutAKarena

A

A

A

A

AA

AA

25

24sin

25

24sin

625

576sin

625

491sin

25

71sin

cos1sin

1sincos

2

2

22

22

22

Bmaka

lancipsudutBKarena

B

B

B

B

BB

BB

a. cos (A + B) = cos A.cos B – sin A.sin B

125

44125

72

125

2825

24

5

3

25

7

5

4

b. cos(A – B) = cos A.cos B + sin A.sin B

5

4125

100125

72

125

2825

24

5

3

25

7

5

4

2. Rumus-rumus untuk sin (a + b) dan sin (a – b)

------- (3)

------- (4)

Bukti :

Kita ingat bahwa : sin = cos(2

1 - ) dan cos = sin(

2

1 - ), sehingga :

sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b

sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b


Trigonometri


5

sin (a + b) = cos[2

1 - (a+b)]

= cos (2

1 - a – b)

= cos [(2

1 - a) – b]

= cos (2

1 - a).cos b + sin(

2

1 - a).sin b

= sin a.cos b + cos a.sin b

----- rumus (3) terbukti

Karena sin (a – b) = sin [a + (-b)], makasin (a – b) = sin [a + (-b)] = sin a.cos (-b) + cos a.sin(-b) = sin a.cos b – cos a.sin b

------ rumus (4) terbukti

Contoh 3:

Tentukanlah nilai dari sin 15o !

Penyelesaian :

sin 15o = sin (45o – 30o) = sin 45o.cos 30o – cos 45o.sin 30o

264

1

24

16

4

12

1.2

2

13

2

1.2

2

1

Contoh 4:

Diketahui sin A = 5

3dan sin B =

13

12. Jika sudut A di kuadran I dan sudut B di

kuadran II, tentukanlah nilai dari :a. sin (A + B) b. Sin (A – B)

Penyelesaian :

sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b

sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b


Trigonometri


6

5

4cos

,

5

4cos

25

16cos

25

91cos

5

31cos

sin1cos

1sincos

2

2

22

22

22

Amaka

IdikuadransudutAKarena

A

A

A

A

AA

AA

13

5cos

13

5cos

169

25cos

169

1441cos

13

121cos

sin1cos

1sincos

2

2

22

22

22

Bmaka

IIdikuadransudutBKarena

B

B

B

B

BB

BB

a. sin (A + B) = sin A.cos B + cos A.sin B

65

3365

48

65

15

13

12

5

4

13

5

5

3

b. sin(A – B) = sin A.cos B - cos A.sin B

65

6365

48

65

15

13

12

5

4

13

5

5

3

3. Rumus-rumus untuk tan (a + b) dan tan (a - b).

ba

baba

tan.tan1

tantan)tan(

--------- (5)

ba

baba

tan.tan1

tantan)tan(

---------- (6)

Bukti :


Trigonometri


7

ba

baba

b

b

a

ab

b

a

a

ba

ba

ba

ba

baba

ba

ba

ba

ba

baba

bababa

ba

baba

tan.tan1

tantan)tan(

cos

sin.

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

)tan(

cos.cos

sin.sin

cos.cos

cos.coscos.cos

sin.cos

cos.cos

cos.sin

)tan(

sin.sincos.cos

sin.coscos.sin)tan(

)cos(

)sin()tan(

Jadi ba

baba

tan.tan1

tantan)tan(

----- rumus (5) terbukti.

ba

baba

ba

baba

ba

baba

makababaKarena

tan.tan1

tantan)tan(

)tan.(tan1

tantan)tan(

)tan(.tan1

)tan(tan)tan(

:)],(tan[)tan(

Jadi ba

baba

tan.tan1

tantan)tan(

------ rumus(6) terbukti

Contoh 5:

Buktikan bahwa tan 15o = 2 - 3 !

Bukti :tan 15o = tan(45o – 30o)

33

1.11

33

11

30tan.45tan1

30tan45tan

oo

oo


Trigonometri


8

32

2

32

3

3

2

33

2

3

43

11

3

13

3

21

33

11

33

11

33

11

33

11

(terbukti)

Contoh 6:

Diketahui tan A = 2

1dan tan B =

3

1, tentukanlah nilai dari :

a. tan (A + B) b. tan (A - B)

Penyelesaian:

a. tan (A + B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

b. tan (A – B) = BA

BA

tan.tan1

tantan

16

56

56

11

6

53

1

2

11

3

1

2

1

7

16

76

16

11

6

13

1

2

11

3

1

2

1

B. Rumus-rumus untuk Sudut Rangkap.1. sin 2a = sin (a + a) = sin a.cos a + cos a. sin a = 2.sin a.cos a

--------- (7)Jadi sin 2a = 2.sin a.cos a


Trigonometri


9

2. cos 2a = cos (a + a) = cos a.cos a – sin a.sin a = cos2a – sin2a

-------- (8)

Dengan memperhatikan cos2 a = 1 – sin2 a, maka rumus (8) menjadi : cos 2a = cos2 a – sin2 a = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2.sin2 a

-------- (9)

Demikian juga memperhatikan sin2 a = 1 – cos2 a, maka rumus (8) menjadi : cos 2a = cos2 a – sin2 a = cos2 a – (1 – cos2 a) = cos2 a – 1 + cos2 a = 2.cos2 a - 1

--------- (10)

3. tan 2a = tan (a + a) = a

a

aa

aa2tan1

tan2

tan.tan1

tantan

aa 2tan1

tan22tan

------------- (11)

Contoh 7:

Diketahui sin A = 5

3dengan sudut A di kuadran II.

Tentukanlah nilai dari sin 2A, cos 2A dan tan 2A !

Penyelesaian :

Jadi cos 2a = cos2 a – sin2 a

Jadi cos 2a = 1 – 2.sin2 a

Jadi cos 2a = 2.cos2 a – 1


Trigonometri


10

4

3

5

45

3

cos

sintan

5

4cos

,

5

4cos

25

16

25

91cos

5

31cos

sin1cos

1sincos

2

22

22

22

A

AA

Amaka

IIdikuadransudutAKarena

A

A

A

AA

AA

7

242tan

16

91

2

3

4

31

4

32

tan1

tan22tan

25

7

25

9

25

16

5

3

5

42cos

sincos2cos

25

24

5

4

5

322sin

cos.sin.22sin

22

22

22

A

A

AA

A

AAA

A

AAA

Contoh 8:Buktikan bahwa sin 3A = 3.sin A – 4.sin3 A !

Bukti :sin 3A = sin ( 2A + A) = sin 2A.cos A + cos 2A.sin A = (2sin A.cos A)cos A + (1- 2.sin2 A).sin A = 2.sin A.cos2 A + sin A – 2.sin3 A = 2.sin A(1 – sin2 A) + sin A – 2.sin3 A = 2.sin A – 2.sin3 A + sin A – 2.sin3 A = 3.sin A – 4.sin3 A ----- (terbukti)

C. Rumus-rumus Perkain Sinus dan Cosinus.

1. )cos()cos(2

1cos.cos)cos()cos(cos.cos2 bababaataubababa --(12)

2. )cos()cos(2

1sin.sin)]cos()[cos(sin.sin2 bababaataubababa --(13)

3. )sin()sin(2

1cos.sin)sin()sin(cos.sin2 bababaataubababa --(14)

4. )sin()sin(2

1sin.cos)sin()sin(sin.cos2 bababaataubababa --(15)


Trigonometri


11

Bukti 1. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b _____________________________ + cos (a+b) + cos (a–b) = 2.cos a.cos b

cos a.cos b = 2

1[cos (a+b) + cos (a-b)] -------- rumus (12) terbukti

2. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b _____________________________ - cos (a+b) - cos (a–b) = -2.sin a.sin b

sin a.sin b = -2

1[cos (a+b) - cos (a-b)] -------- rumus (13) terbukti

3. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b _____________________________ + sin (a+b) + sin (a–b) = 2.sin a.cos b

sin a.cos b = 2

1[sin (a+b) + sin (a-b)] -------- rumus (14) terbukti

4. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b _____________________________ - sin (a+b) - sin (a–b) = 2.cos a.sin b

cos a.sin b = 2

1[sin (a+b) - sin (a-b)] -------- rumus (15) terbukti

Contoh 9 :Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih cosinus dan sederhanakan jika mungkin .a. 2.cos 55o.cos 5o b. 2.sin 40o.sin 10o

Penyelesaian :a. Gunakan rumus (12) yaitu : 2.cos a.cos b = cos(a+b) + cos(a-b)

2.cos 55o.cos 5o = cos(55o+5o) + cos(55o-5o) = cos 60o + cos 50o

= 2

1+ cos 50o

b. Gunakan rumus (13) yaitu : 2.sin a.sin b = -[cos (a+b) – cos(a-b)]2.sin 40o.sin 10o = -[cos (40o+10o) - cos (40o-10o)] = -[cos 50o - cos 30o]

= -[cos 50o - 32

1]

= -cos 50o + 32

1


Trigonometri


12

Contoh 10:Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih sinus dan sederhanakanlah jika mungkin :a. 2.sin 80o.cos 10o b. sin 15o.cos 35o

Penyelesaian :a. Gunakan rumus (14) yaitu : 2.sin a.cos b = sin (a+b) + sin (a-b)

2.sin 80o.cos 10o = sin (80o+10o) + sin (80o-10o) = sin 90o + sin 70o

= 1 + sin 70o

b. Gunakan rumus (14) yaitu : sin a .cos b = 2

1[sin (a+b) + sin (a-b)]

Sin 15o.cos 35o = 2

1[sin (15o+35o) + sin (15o-35o)]

= 2

1[sin 50o + sin -20]

= 2

1[sin 50o - sin 20o]

= 2

1sin 50o -

2

1sin 20o

Contoh 11 :Buktikanlah bahwa 2.sin (x+45o).cos(x-45o) = 1 + sin 2x !

Penyelesaian : 2.sin (x+45o).cos(x-45o) = sin[(x+45o)+(x-45o)] + sin[(x+45o)-(x-45o)] = sin 2x + sin 90o

= sin 2x + 1 = 1 + sin 2 x (terbukti)

Contoh 12 :Buktikanlah bahwa 2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o = 0 !

Penyelesaian :2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o

= [cos (35o+15o) + cos (35o-15o)] – [sin (55o+15o) + sin (55o-15o)]= [cos 50o + cos 20o] – [ sin 70o + sin 40o]= sin 400 + sin 70o – sin 70o – sin 40o

= 0 (terbukti)

D. Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus.Perhatikanlah rumus-rumus berikut ini :cos (a+b) + cos (a-b) = 2.cos a.cos b-[cos (a+b) – cos (a-b)] = 2.sin a.sin bsin (a+b) + sin (a-b) = 2.sin a.cos bsin (a+b) – sin (a-b) = 2.cos a.sin b


Trigonometri


13

Jika a+b = p dan a-b = q, maka :

p + q = (a+b) + (a-b) = 2a atau a = 2

1(p+q)

p – q = (a+b) – (a-b) = 2b atau b = 2

1(p-q)

Sehingga rumus-rumus di atas menjadi :

)(2

1cos).(

2

1cos.2coscos qpqpqp -------- (16)

)(2

1sin).(

2

1sin.2coscos qpqpqp -------- (17)

)(2

1cos).(

2

1sin.2sinsin qpqpqp ------- (18)

)(2

1sin).(

2

1cos.2sinsin qpqpqp -------- (19)

Contoh 13 :Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam perkalian dan kemudian sederhanakan jika mungkin :a. cos 22o + cos 8o c. sin 64o + sin 26o

b. cos 50o – cos 10o d. sin 3xo – sin xo

Penyelesaian :

a. cos 22o + cos 80o = 2.cos2

1(22o+8o).cos

2

1(22o-8o)

= 2.cos 15o.cos 7o

b. cos 50o – cos 10o = - sin2

1(50o+10o).sin

2

1(50o-10o)

= -2.sin 30o.sin 20o

= -2.2

1.sin 20o

= - sin 20o

c. sin 64o + sin 26o = 2.sin2

1(64o+26o).cos

2

1(64o-26o)

= 2.sin 45o.cos 19o

= 2. 22

1.sin 19o

= 2 sin 19o

d. sin 3xo – sin xo = 2.cos2

1(3xo+xo).sin

2

1(3xo-xo)

= 2.cos 2xo.sin xo


Trigonometri


14

E. Grafik Fungsi Trigonometri.1. Grafik fungsi y = sin xo

Untuk menggambar grafik fungsi y = sin xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360sin x 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00 0,87 0,71 0,50 0,00 -0,50 -0,71 -0,87 -1,00 -0,86 -0,71 -0,50 0,00

Grafik fungsi y = sin x

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

x

y =

sin

x

sin x

2. Grafik fungsi y = cos xo

Untuk menggambar grafik fungsi y = cos xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :


Trigonometri


15

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360cos x 1,00 0,87 0,71 0,50 0,00 -0,50 -0,71 -0,87 -1,00 -0,87 -0,71 -0,50 0,00 0,50 0,71 0,87 1,00

Grafik fungsi y = cos x

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

x

y =

co

s x

cos x

3. Grafik fungsi y = tan xo

Untuk menggambar grafik fungsi y = tan xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :


Trigonometri


16

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360tan x 0,00 0,58 1,00 1,73 -1,73 -1,00 -0,58 0,00 0,58 1,00 1,74 -1,72 -1,00 -0,57 0,00

Grafik fungsi y = tanx

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

0 50 100 150 200 250 300 350 400

x

y =

tan

x

tan x

F. Persamaan Trigonometri Sederhana. Persamaan sinus: *) Dalam derajat - sin = sin (180o – ) - sin = sin (k.360o + ) atau *) Dalam radian - sin A = sin ( - A) - sin A = sin (2k + A)

dengan k bilangan bulat

Penyelesaian Persamaan sinus*) Dalam derajat- sin x = sin

x = + k.360o atau x = (180o – ) + k.360o atau


Trigonometri


17

*) Dalam radian- sin = sin A x = A + 2k atau x = ( - A) + 2k

dengan k bilangan bulat.

Contoh 14 :Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin 2x = sin 50o untuk 0o x 360o !

Penyelesaian :Sin 2x = sin 50o

2x = 50o + k.360o atau 2x = (180 – 50)o + k.360o

x = 25o + k.180o x = 65o + k.180o

K = 0 x = 25o x = 65o

K = 1 x = 205o x = 245o

K = 3 x = 385o (tm) x = 425o (tm) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 25o, 65o, 205o, 245o} Ket : tm = tidak memenuhi

• Persamaan kosinus: *) Dalam derajat - cos = cos (– ) - cos = cos (k.360o + ) atau *) Dalam radian - cos A = cos ( - A) - cos A = cos (2k + A)

dengan k bilangan bulat Penyelesaian Persamaan kosinus*) Dalam derajat- cos x = cos x = + k.360o atau x = – + k.360o atau*) Dalam radian- cos x = cos A x = A + 2k atau x = - A + 2k

dengan k bilangan bulat.


Trigonometri


18

Contoh 15:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x = cos 40o untuk 0o x 360o !

Penyelesaian :cos 2x = cos 40o

2x = 40o + k.360o atau 2x = – 40o + k.360o

x = 20o + k.180o x = -20o + k.180o

K = 0 x = 20o x = -20o ( tm )K = 1 x = 200o x = 160o

K = 2 x = 380o (tm) x = 340o

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 20o, 160o, 200o, 340o} Ket : tm = tidak memenuhi

• Persamaan tangen: *) Dalam derajat - tan = tan (k.180o + ) atau *) Dalam radian - tan A = tan (k + A)dengan k bilangan bulat

Penyelesaian Persamaan tangen*) Dalam derajat- tan x = tan x = + k.180o

atau*) Dalam radian- tan x = tan A x = A + kdengan k bilangan bulat. Contoh 16 :Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Tan 3x = 1 untuk 0o x 180o !

Penyeleaian :tan 3x = 1Tan 3x = tan 45o

3x = 45o + k.180o

x = 15o + k.60o k = 0 x = 15o k = 2 x = 135o

k = 1 x = 75o k = 3 x = 195o ( tm) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 15o, 75o, 135o} Ket : tm = tidak memenuhi


Trigonometri


19

DAFTAR PUSTAKA

1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 19812. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 19803. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc,

Erlangga, 19914. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 19935. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 19886. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta,

19527. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon

Group Bandung, 1991.8. Trigonometri, CJ. Alders,9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982


trigonometri sudut rangkap

Documents