BAB VI

TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI

V1.1 Transformasi Kanonik

Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan mereka dapat berupa s

besaran yang secara tunggal menentukan kedudukan system dalam ruang..Dalam hal ini

persamaan Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain

persamaan Lagrange bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi kumpulan q1,q2,q3,

…ke koordinat lain yang bebas Q1,Q2,Q3,….Kumpulan koordinat Q yang baru ini adalah

merupakan fungsi q yang secara eksplisit bergantung pula pada waktu t sehingga:

Qi=Qi (q,t)

yang dikenal sebagai transformasi titik

Karena persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan

Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya dimungkinkan

rangkuman yang lebih luas. Ini disebabkan karena dalam persamaan Hamilton, perlakuan

terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama kedudukannya dengan koordinat q.

Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi 2s

perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya harus ditransformasikan menurut:

),,(

),,(

tpqPPp

tpqQQq

iiiii

iiiii

=⇒=⇒

(V1.1.1)

Mulai sekarang p dan P adalah momentum umum dan variabel Q dan P disebut variabel

kanonik. Perluasan ini adalah merupakan keuntungan menggunakan sajian Hamilton. Akan

tetapi tidak semua transformasi (V1.1.1) dapat mempertahankan bentuk kanonik persamaan

Hamilton.

Untuk keperluan ini, syarat yang harus dipenuhi sehingga persamaan gerak Hamilton

dalam perubah baru Q, P, yakni bila ada fungsi Hamilton yang baru ),,( tPQKK = sehingga:

dt

dP

P

K

dt

dQ

Q

K

dt

dK

∂∂+

∂∂= (V1.1.2a)

1

Q

KP

P

KQ

∂∂−=

∂∂= ; (V1.1.2b)

Jika ini dipenuhi maka transformasi (V1.1.1) disebut kanonik dan persamaan (V1.1.2b) bisa

diperoleh dari prinsip aksi..

Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi, yakni:

02

1

=

−∫ ∑ dtHqp

t

t iii δ (V1.1.3)

yang pada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut

keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum. Oleh

karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi pada persamaan

(V1.1.3) agar persamaan Hamilton (V1.1.2b) dapat diturunkan dari:

02

1

=

−∫ ∑ dtKQP

t

t iiδ (V1.1.4)

Kedua variasi (V1.1.3) dan (V1.1.4) hanya akan setara bila integrannya sama terlepas dari pada

perbedaan dengan diferensial total suatu fungsi F terhadap koordinat, momentum dan waktu.

Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (V1.1.3) dan (V1.1.4)

haruslah dipenuhi syarat:

( ) ( )t

FKQPHqp iiii ∂

∂+−=− λ (V1.1.5)

dimana :

F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu

λ adalah konstanta skala yang selalu dapat dibuat sama dengan satu

dengan melakukan transformasi yang tepat.

Bila hubungan antara P,Q dengan p,q sebagai P=µp, Q=νq dan K=µνH, maka:

2

Ppq

H

Q

K

QqpH

PK

−=−=∂∂=

∂∂

==∂∂=

∂∂

µµ

νν

Transformasi skala bersifat kanonik jika:

( )HqpHqp iii −=′−′′ µυ (V1.1.6a)

Karena itu selalu dipilih λ=1, maka:

dt

dFKQPHqp iiii +−=− (V1.1.6b)

Jadi setiap transformasi kanonik ditandai dengan suatu fungsi tertentu F yang disebut fungsi

generator transformasi.

Berdasarkan persamaan (V1.1.6b) di atas dapat pula dituliskan sebagai:

dtHKdQPdqpdF iiii )( −+−= (V1.1.7)

Sehingga segera kita melihat bahwa:

t

FHK

Q

FP

q

Fp

ii

ii ∂

∂+=∂∂−=

∂∂= ;; (V1.1.8)

Berdasarkan persamaan ini, maka kita dapat melihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari

perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni ),,( tQqFF = . Fungsi pembangkit ini

dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini bersifat

3

kanonik karena hubungan persamaan (V1.1.8) dan fungsi pembangkit ini memenuhi persamaan

transformasi dari Lagrangian, yakni:

),,(),,(),,( tQqFdt

dtQQLtqqL +′= (V1.1.9)

Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi pembangkit tipe pertama, carilah syarat agar

persamaan suatu osilator harmonic 1-dimensi bersifat kanonik

Jawab: Hamiltonian osilator harmonic 1-dimensi adalah:

)(2

1

2

1

222222

2

qmpm

kqm

pH ω+=+= (1)

Bentuk jumlah kuadrat memberi ide:

Qm

Pfq

Qpfp

sin)(

cos)(

ω=

=(2)

Dengan mesubstitusi ini ke dalam Hamiltonian di atas, maka diperoleh:

Km

PfH ≡=

2

)(2

(3)

f(P) harus dipilih supaya transformasinya bersifat kanonik. Dengan membagi p dengan q, maka:

q

FQqmpQm

q

p

∂∂==⇒= 1cotcot ωω (4)

sehingga

QqmF cot2

1 21 ω= (5)

4

Selanjutnya untuk:

Qm

Pq

Q

qm

Q

FP 22

2

2

sin2

sin2

1

ωω =⇒=

∂∂−= (6)

atau

Qm

Pq sin

2

ω= (7)

Jadi transformasi akan bersifat kanonik bila:

PmPf ω2)( = (8)

Hasil transformasinya adalah:

ωω E

P sehingga2

)(2

==== EPm

PfK

0QtQP

KQ +=⇒=

∂∂= ωω

Jadi )sin(2

)sin(2

020 Qtm

EQt

m

Pq +=+= ω

ωω

ω(9)

Dapat pula lebih menguntungkan bila fungsi generator itu bukannya dinyatakan dalam

perubah (q,Q,t) melainkan dalam perubah (q,P,t). Kadang-kadang fungsi generator tipe I,

penyelesaian transformasinya tidak dapat diperoleh sehingga perlu dicobakan fungsi generator

F2= F2(q,P,t) dengan menuliskan dalam bentuk sebagai berikut:

∑−=i

iiPQtPqFF ),,(2 (V1.1.10)

Bila ini disubstitusikan ke dalam syarat transformasi kanonik, maka:

5

ii

ii

ii

ii

ii

ii

iii

i

ii

iii

i

QPt

FP

P

Fq

q

FK

QPQPdt

dFKQP

dt

dFKQPHqp

∑∑

∑∑∑

∑∑

−∂

∂+

∂∂+

∂∂+−=

−−+−=

+−=−

222

2(V1.1.11a)

atau

0222 =

∂∂−−+

∂∂−+

∂∂− ∑∑

t

FHKP

P

FQq

q

Fp i

i iii

i ii

(V1.1.11b)

karena q,P dianggap bebas, maka:

t

FHK

P

FQ

q

Fp

ii

ii ∂

∂+=∂∂=

∂∂= 222 ;; (V1.1.12)

Untuk generator tipe III:

F3=F3(p,Q,t)

∑+=i

ii pqtQpFF ),,(3 (V1.1.13a)

Dengan cara yang sama, akan diperoleh:

t

FHK

p

Fq

q

FP

ii

ii ∂

∂+=∂∂=

∂∂−= 333 ;; (V1.1.13b)

Selanjutnya untuk generator tipe IV, yakni:

F4=F4(p,P,t)

Transformasi generatornya diberikan oleh:

6

∑∑ −+=i

iii

ii PQpqtPpFF ),,(4 (V1.1.14a)

dan diperoleh:

t

FHK

P

FQ

p

Fq

ii

ii ∂

∂+=∂∂=

∂∂−= 444 ;; (V1.1.14b)

Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik

),,(1 tQqF ),,(2 tPqF ),,(3 tQpF ),,(4 tPpF

q

Fp

∂∂= 1

q

Fp

∂∂= 2

p

Fp

∂∂−= 3

p

Fp

∂∂−= 4

Q

FP

∂∂−= 1

P

FQ

∂∂= 2

Q

FP

∂∂−= 3

P

FQ

∂∂= 4

t

FHK

∂∂+= 1

t

FHK

∂∂+= 2

t

FHK

∂∂+= 3

t

FHK

∂∂+= 4

VI.2 Beberapa Gambaran Tentang Transformasi Kanonik

Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian memiliki

banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan keperubah baru. Dalam

hal ini karena transformasi pada persamaan (V1.1.1) menghubungkan besaran P,Q terhadap q

dan p, maka perubah Q kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang berhubungan dengan

ruang. Sebagai contoh, akan diberikan beberapa transformasi khusus dan generatornya yakni:

1. Transformasi Qi=pi , Pi=-qi dengan fungsi generator ii

iQqF ∑= sama sekali tak

mengubah persamaan kanonik Hamilton. Hal ini dapat dilihat, karena F tak bergantung

pada waktu secara eksplisit maka:

7

ii

i

ii

i

qQ

FP

Qq

Fp

−=∂∂−=

=∂∂=

1

1

Dalam hal ini, tidak penting yang mana koordinat dan yang mana momentum

karena bersifat kanonik.

2. Fungsi generator ii

iPqF ∑=2

HK

qP

Pq

P

FQ

PPq

q

q

Fp

ii

i

ii

ii

iii i

i

ii

=

=∂∂=

∂∂=

=∂∂=

∂∂=

∑

∑2

2

Ini adalah transformasi identitas

3. Fungsi generator inii

i PtqqfF ),,......(2 ∑=

),,...,( 212

2

tqqqfP

FQ

Pq

f

q

Fp

njj

j

ii j

i

jj

=∂∂=

∂∂=

∂∂= ∑

Transformasi ini adalah transformasi koordinat.

VI.3 Kurung Poisson

Misalkan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan

totalnya terhadap waktu adalah:

∑

∂∂+

∂∂+

∂∂=

kk

kk

k

pp

fq

q

f

t

f

dt

df (VI.3.1)

Dengan memasukkan harga kk pq dan dari persamaan Hamilton pada persamaan (V.5.7), kita

dapat menyatakan :

8

[ ]fHt

f

dt

df,+

∂∂= (VI.3.2a)

dengan

[ ] ∑

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

k kkkk p

f

q

H

q

f

p

HfH , (VI.3.2b)

Pernyataan (VI.3.2b) dikenal sebagai “ kurung Poisson” (Poisson bracket) besaran H dan f.

Kita melihat dari persamaan (VI.3.2a), bila suatu besaran; katakanlah f disini merupakan

integral gerak, maka df/dt=0. Ini berarti [ ] 0, =+∂∂

fHt

f. Kalau integral gerak itu tak

bergantung secara eksplisit terhadap waktu, maka:

[ ] 0, =fH (VI.3.3)

yang menunjukkan bahwa kurung Poisson H dan f haruslah lenyap.

Sesuai denga analogi persamaan (VI.3.2b), maka kurung Poisson bagi besar g dan f

didefinisikan berdasarkan sangkutan:

[ ] ∑

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

k kkkk p

f

q

g

q

f

p

gfg, (VI.3.4)

Dapat pula ditunjukkan bahwa kurung Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

[ ] [ ]gffg ,, −= (VI.3.5)

[ ] tetapansuatuCCf ,0, = (VI.3.6)

[ ] [ ] [ ]gfgfgff ,,, 2121 +=+ (VI.3.7)

[ ] [ ] [ ]gffgffgff ,,, 122121 += (VI.3.8)

9

Kalau persamaan (VI.3.4) diambil turunan parsialnya terhadap waktu, maka akan:

[ ]

∂∂+

∂∂=

∂∂

t

gfg

t

fgf

t,,, (VI.3.9)

Jika salah satu dari f atau g adalah koordinat atau momentum, maka dipenuhi sangkutan:

[ ]k

k p

fqf

∂∂=, (VI.3.10)

[ ]k

k q

fpf

∂∂−=, (VI.3.11)

Dengan menggunakan persamaan (VI.3.10) dan (VI.3.11), maka dapat pula ditunjukkan bahwa:

[ ] [ ] [ ] ikkikiki qpppqq δ=== ,,0,, (VI.3.12)

Contoh 2: Tentukan kurung Poisson terhadap komponen Cartesian momentum linear p dengan

momentum sudut L=r x p

Jawab. Dengan menggunakan persamaan (VI.3.11), dan menyatakan momentum sudut

sebagai γβαβγα ε pxL = maka:

[ ] ( ) zyzyx pzpypy

pL −=−∂∂−=,

[ ] ( ) yyzzx pzpypz

pL =−∂∂−=,

[ ] ( ) zzxxy pxpzpx

pL =−∂∂−=,

[ ] ( ) zxzxzy pxpzpz

pL −=−∂∂−=,

[ ] [ ] [ ] 0,,, === zzyyxx pLpLpL

10

Selanjutnya perubahan p dan q dalam sajian Hamiltonian sering disebut perubah yang

berpasangan secara konjugat kanonis. Syarat yang menghubungkan perubah yang berkonjugasi

secara kanonis adalah kurung Poisson. Dalam hubungan ini jika [f,g]pq merupakan kurung

Poisson bagi besaran f dan g terhadap p dan q. Sementara [f,g]P,Q sebagai kurung Poisson bagi

besaran yang sama terhadap sebagai kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap peubah

P,Q, maka akan dipenuhi hubungan, yakni:

[ ] [ ] QPqp gfgf ,, ,, = (V1.3.13)

Hal ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan transformasi (V1.1.12). Dalam

hal ini:

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

∑

∑

∑

i

i

i

i

i iiii

i i

i

ii

i

ii

i

ii

i

i

i iiiiQP

P

p

Q

q

p

g

q

f

q

g

p

f

P

p

p

g

Q

q

q

f

Q

q

q

g

P

p

p

f

P

g

Q

f

Q

g

P

fgf ,,

(V1.3.14)

Bahwa persamaan (V1.3.13) dipenuhi, tinggal menunjukkan bahwa

∂∂

∂∂

i

i

i

i

P

p

Q

q=1. Ini dapat

diperlihatkan karena menurut persamaan (V1.1.12), iii

i

iii

i

qPq

Qdan

qPP

p

∂∂Φ∂=

∂∂

∂∂Φ∂=

∂∂ 22

sehingga

nyata

∂∂

∂∂

i

i

i

i

P

p

Q

q=1. Karena dipenuhinya rumus (VI.3.12) dan (V1.3.13) , maka juga berlaku:

[ ] [ ][ ] ikqpki

qpkiqpki

PQ

PPQQ

δ=

==

,

,,

,

0,,

(V1.3.15)

Inilah syarat yang harus dipenuhi suatu transformasi QPqp ,, ⇒ bila dinyatakan dalam

kurung Poisson bersifat kanonik

11

Contoh 3: Perlihatkan bahwa transformasi berikut ini kanonik:

ptqPptqQ sin)exp(2,cos)exp(2 −==

Jawab: Dengan menggunakan kurung Poisson sebagai syarat kanonik, [ ] 1, =PQ , maka:

[ ]

1

sincos

sin)exp(2.)2(2

1.sin)exp(2

cos)exp(2cos)exp(2.)2(2

1

,

22

2

1

2

1

=+=

−+

−=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

=

−

pp

ptqptq

ptqptq

q

P

p

Q

p

P

q

QPQ

Contoh 4: Perlihatkan secara langsung bahwa transformasi berikut:

pqPpq

Q cot,)sin1

log( ==

adalah kanonik.

Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni:

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂

P

q

p

Qii

p

P

Q

qi

)

)

Tinjau

pQp

ppQpqP

pQqpq

Q

cos)exp(sin

cossin)exp(cot

sin)exp(sin1

log

−=−==

−=⇒

=

12

qpQp

P

qpQQ

q

−=−−=∂∂•

−=−−=∂∂•

sin)exp(

sin)exp(

Dengan demikian transformasi di atas adalah kanonik, karena:

qp

P

Q

q −=

∂∂=

∂∂

Contoh 5: Persamaan transformasi antara dua koordinat adalah:

pqQpqpqP

pqQpqQ

cos1)exp(sin)cos1(2

cos1)exp()cos1log(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=−⇒+=

+=⇒+=

Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂

P

q

p

Qii

p

P

Q

qi

)

)

p

qQ

pqp

Q

p

Q

p

e

Q

q

p

eq

Q

Q

cos

)exp(2

coscos

)exp(2

cos

)exp(

cos

12

cos

1

2

1

2

1

2

2

=

=

−=∂∂•

−=

( ) pQQ

pp

Qp

p

Q

pqpqP

tan1)exp()exp(2

sin.cos

1)exp(cos.

cos

1)exp(12

sincos12 2

1

2

1

−=

−

−+=

+=

13

( )

p

qQ

p

Qpq

p

QQQ

p

P

cos

)exp(2

cos

)exp(.cos2

cos

)exp(1)exp()exp(2

2

1

22

1

2

=

=

−=∂∂•

Jadi transformasi di atas adalah kanonik, karena:

p

qQ

p

P

Q

q

cos

)exp(2 2

1

=∂∂=

∂∂

Sedangkan fungsi pembangkitnya (diberikan ),(33 QpFF = ) adalah:

( )

( )

( )

( )

ppfpp

f

p

f

pee

p

e

p

f

pee

p

Fq

pfpee

pdQeeF

pQQQ

FP

QQQ

QQ

QQ

QQ

tan)(;cos

1

cos

12

cos

1

cos

12

)(tan2

12

tan2

tan1)exp()exp(2

2

22

2

223

2

23

3

==∂∂

∂∂+−−=

−

∂∂+−−=

∂∂−=•

+

−−=

−−=

−=∂∂−=•

∫

Dengan demikian fungsi pembangkitnya adalah:

( )( ) pQ

pQQF

tan1)exp(

tan1)exp(2)2exp(2

3

−−=

+−−=

V.4 Persamaan Hamilton-Jacobi

14

Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan

waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan ke

lintasan lain, adalah:

dttt

Lq

q

Lq

q

LI

t

t∫

∂∂+

∂∂+

∂∂=

2

1

δδδδ

(VI.4.1a)

Dan jika Lagrangian tidak bergantung waktu secara eksplisit, maka 0=∂∂

t

Lsehingga:

dtqq

Lq

q

LI

t

t∫

∂∂+

∂∂=

2

1

δδδ (VI.4.1b)

Karena prinsip Hamilton menyatakan bahwa “ perubahan system dari keadaan t1 ke keadaan t2

yang membuat integral aksi stasioner/ekstremum”, sehingga:

2

1

2

1

0

t

tii

t

t i ii

qq

Ldtq

q

L

dt

d

q

LI δδδ

∂∂+

∂∂−

∂∂== ∫∑ (VI.4.2)

Jika pada suku ke 2 (dua) pada ruas kanan, dengan mengambil 0)( 1 =tqδ dan menandai

qtq δδ =)( 2 dan mengganti pq

L =∂∂

, maka diperoleh qpI δδ = . Jadi terlihat bahwa turunan

parsial aksi terhadap koordinat adalah merupakan momentum, yaitu:

pq

I =∂∂

(VI.4.3)

Dengan demikian aksi dapat dipandang secara eksplisit merupakan fungsi waktu dan koordiant

dengan meninjau lintasan yang bermula pada saat t1 pada kedudukan q1.

15

Jadi

qpt

Iq

q

I

t

I

dt

dI +

∂∂=

∂∂+

∂∂= (VI.4.4)

Selanjutnya dari aksi diperoleh Ldt

dI = , maka:

qpLt

Iqp

t

IL −=

∂∂+

∂∂= atau, (VI.4.5)

Disisi lain );,();,( i tqqLpqtpqH iiii

ii −= ∑ , maka akan diperoleh persamaan buat aksi I(q,t)

yang ditentukan oleh:

0);,( =+∂∂

tpqHt

I(VI.4.6)

Sementara pq

I =∂∂

, maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:

0;,...,,,,,,21

21 =

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

tq

I

q

I

q

IqqqH

t

I

nn (VI.4.7)

yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap waktu ini

dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange dan persamaan

kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah merupakan adalah basis dalam

menentukan metode umum mengintegralkan persamaan gerak.

Sebelum mengupas metode di atas, perlu dikemukakan kenyataan bahwa setiap

persamaan diferensial parsial orde satu memiliki penyelesaian yang hanya bergantung pada satu

fungsi sembarang. Dalam penerapan mekanisme integral umum persamaan Hamilton-Jacobi

16

kurang penting dibanding dengan integral lengkap, yang mengandung tetapan bebas sebanyak

perubah bebas.

Untuk perubah bebas dalam persamaan Hamilton-Jacobi terdiri atas perubah waktu dan

koordinat . Untuk system dengan n buah derajat kebebasan, integral lengkapnya hruslah

mengandung n+1 buah tetapan integrasi. Karena fungsi aksi I terpaut dalam persamaan melalui

turunan, maka satu diantara tetapan itu haruslah bersifat menjumlah, sehingga integral lengkap

persamaan Hamilton-Jacobi akan dapat disajikan sebagai:

( )tqqqfI nn ;,...,,;,...,, 21;21 ααα= (VI.4.8)

Untuk menentukan hubungan integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi dengan

penyelesaian persamaan gerak yang dicari, maka dalam transformasi kanonik dari perubah p,q

ke perubah yang baru, kita pilih f(t,q,α) sebagai fungsi generator dengan α1, …,αnsebagai

perubah momentum baru. Misalkan koordinat baru itu adalah β1,…, βn , dan mengingat fungsi

generator adalah merupakan fungsi koordinat lama dengan momentum baru, maka:

1). i

i q

fp

∂∂=

2) i

i

f

αβ

∂∂=

3) t

fHH

∂∂+=′

Akan tetapi karena f juga mengikuti persamaan Hamilton-Jacobi, maka Hamiltonian baru

0=∂∂+=

∂∂+=′

t

IH

t

fHH . Ini berarti 0=′H , akibatnya 0,0 =

∂′∂==

∂′∂−=

ii

ii

HH

αβ

βα ,

sehingga αi=tetap, βi=tetap.

Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana

bila H tidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila system konservatif.

Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku –Et, sehingga aksi akan dapat

dinyatakan sebagai:

EtqItqI −= )(),( 0 (VI.4.9)

17

yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi

Contoh 6: Tinjaulah osilator harmonic dimana Hamiltoniannya adalah:

( )2222222

2

1

2

1

2qmp

mqm

m

pH ωω +=+= (1a)

dengan

m

k=ω (1b)

Persamaan Hamilton-Jacobi

0);,( =+∂∂

tpqHt

I

0)(2

1 2222 =

+

∂∂+

∂∂

qmq

I

mt

I ω (2)

dimana telah digunakan pq

I =∂∂

.

Kalau I diketahui, maka p=p(t) dan q=q(t) dapat dicari. Andaikan solusinya:

EtqItqI −= )(),( 0

Jika diderensialkan terhadap q maka akan diperoleh:

q

I

q

I

∂∂=

∂∂ 0

(3)

sehingga:

02

1 222

2

0 =∂∂+

+

∂∂

t

Iqm

q

I

mω (4)

18

karena Ht

I −=∂∂

, dimana H tiada lain adalah energi total osilator (H=T+V) karena

dibangkitkan oleh gaya konservatif. Dengan menandai H=E , maka:

mEqmq

I2222

2

0 =

+

∂∂ ω (5)

atau ( ) dqqmmEI 2

1222

0 2∫ −= ω (6a)

atau dqqm

EmI

2

1

220

2∫

−=

ωω (6b)

sehinga:

Etdqqm

EmtqI −

−= ∫

2

1

22

2),(

ωω (7)

Transformasi kanonik dari perubah q,p ke perubah baru, yakni:

β=∂∂=

∂∂=⇒

∂∂=

E

I

P

IQ

E

Ip

maka:

tdqqm

E

Em

E

I −

−

∂∂=

∂∂= ∫

2

1

22

2

ωωβ (8)

atau

∫∫−

=

−

∂∂=+

22

2

1

22 2

12

qm

E

dqdqq

m

E

Emt

ωωω

ωβ (9)

Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral:

a

xarc

xa

dxsin

22=

−∫

maka

19

( ) ωβφφω

ω

ωω

β

=+=

=+

dengant

m

E

q

atau

m

E

qarct

sin2

,2

sin1

2

2 (10)

Akhirnya diperoleh solusi osilator harmonic, yakni:

( )φωω

+= tm

Etq sin

2)(

2(11)

Soal latihan:

1. Transformasi berikut:

αααα

cossin

sincos

pqP

pqQ

+=−=

a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga α.

b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)

2. Carilah syarat agar transformasi berikut:

2, xPx

pQ βα ==

dimana α dan β adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk

system satu derajat kebebasan.

3. Persamaan transformasi:

122222

21

2211

211

2sin,sec

cos2

2cos,

qpPpqQ

pq

qppPqQ

−==

−==

adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.

4. Jika Lagrangian ),,( tqqL diganti oleh:

dt

tqdFtqqLtqqL

),(),,(),,( +=′

20

dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant.

Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan

dengan transformasi ini.

21