UniversitasGadjahMadaJurusanTeknikSipildanLingkunganProdiPascasarjanaTeknikSipil

StatistikaAnalisisDataTimeSeries

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

1

AnalisisDataTimeSeries•  Acuan•  Haan,C.T.,1982,Sta+s+calMethodsinHydrology,1stEd.,3rdPrin5ng,TheIowaStateUniv.Press,Ames,Iowa,USA.•  Chapter14,pp275-288

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

2

DataTimeSeries•  Timeseriesdata•  Datayangdiperolehdarioperasi(observasi,pengukuran,eksperimen)urutmenurutwaktu

•  Data5meseriesberupa•  hasilobservasiataupengukuranpadawaktu-waktutertentu(diskrit)•  hasilperata-rataanpadasuatuselangwaktu•  hasilobservasiataupengukuransecaramenerus(kon5nu)

•  Sekumpulan5meseriesadalahhimpunandarisejumlah5meserieshasilpengukuranvariabelyangsama•  Timeseriestunggaldisebutrealisasi•  Kelompok5meseriesberanggotasejumlahrealisasi

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

3

DataTimeSeries•  Data5meseriesdapatberasalataubersusundari•  peris5waataukejadianyangbersifatdeterminis5k•  peris5waataukejadianyangbersifatstokas5k•  campuranperis5waataukejadiandeterminis5k+stokas5k

•  Data5meserieshidrologi•  umumnyaberupadatakomponenstokas5kyangdisuperposisikanpadadatakomponendeterminis5k

•  contoh•  temperaturudaraharianmenunjukkanpolamusiman(komponendeterminis5k)danperubahanataufluktuasidaripolamusiman,yangbersifatrandom(acak)

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

4

DataTimeSeries

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

5

data5meserieshidrologi

komponenstokas5k

komponendeterminis5k

komponenperiodik

komponenloncatan

komponenpolakecenderungan

komponengabunganperiodik+pola+loncatan

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

6Contohdata5meseriesyangterdiridarikomponenstokas5kdandeterminis5k

DataTimeSeriesDeterministik•  Pola,kecenderungan(trend)•  PerubahanDASyangberlangsungselamabeberapatahunàmemunculkanperubahanpoladebitaliranpermukaan

•  Perubahanlingkungansecaraalamiahdanperlahanatauperubahanlingkunganakibatulahmanusiadapatmenimbulkanperubahanpoladata5meseries

•  Loncatan(jump)•  Bencanaalam(gempa,kebakaranhutan)•  Pembendunganaliransungaiolehdam

•  Periodik•  Faktorastronomis•  Periodikyangbersifattahunan,bulanan,mingguan

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

7

SkalaWaktu•  Diskrit•  Datayangdiperolehdari

pengamatanataupengukuranpadawaktu-waktutertentuyangdipisahkanmenurutwaktuΔt

•  Datayangdiperolehdaripengamatannilaiatauvariabelyangmerupakanfungsiwaktu,yangterjadipadawaktuΔt•  hujanreratabulanan(Δt=1bulan)•  debitpuncaktahunan(Δt=1tahun)•  hujanharian(Δt=1hari)

•  Kon5nu•  Datayangdiperolehdari

pengamatanataupengukuransecaramenerus(kon5nu)•  mukaairdariAWLR•  curahhujandariARR

•  Walaupundatakon5nu,tetapidalamanalisis,datadibacapadawaktu-waktutertentu•  curahhujandibacaperselangwaktu

tertentu,misalse5ap5menit•  curahhujandibacapadadatapuncak,

selangwaktuantardata5dakberaturan

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

8

AWLRdanARR

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

9Automa5cWaterLevelRecorder,AWLR

Automa5cRainfallRecorder,ARR

DataMukaAirSungai

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

10Automa5cWaterLevelRecorder,AWLR

Untukanalisis,datadibacase5apjam(Δt=1jam)atause5apmukaairekstrem(pasangter5nggidansurutterendah)

DataCurahHujan,ARR

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

11Automa5cRainfallRecorder,ARR

SkalaWaktu•  Yangdibahaspadababini•  Selangwaktukonstan,Δtkonstan•  Data5meseries5dakselalumerupakanfungsiwaktu,namundapatpuladatahasilpengamatanataupengukurandalamfungsiyanglain,misalfungsijarak/ruang(spa+al)•  datalebarsungaidise5aptampanglintang•  lebarsungaiadalahvariabelrandom•  jaraktampanglintangadalahvariabelruang

•  Variabelrandomdalamdata5meseries•  Variabelrandomkon5nu

•  kedalaman(volume)hujanperhari•  Variabelrandomdiskrit

•  harihujan(1)danhari5dakhujan(0)perhari

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

12

ProsesStokastik•  Prosesstokas5k: X(t)•  pdfX(t): p(x;t)àperilakuprobabilis5kX(t)padawaktut

•  Jikasifat-sifatsuatu5meseries5dakberubahterhadapwaktu,maka5meseriestersebutdisebutprosespermanen(sta+onary)•  Timeseriespermanen: p(x;t1)=p(x;t2),t1≠t2•  Timeseriestak-permanen: p(x;t1)≠p(x;t2)

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

13

ProsesStokastik•  Sifat-sifat5meseriesdapatdiperolehdariataudidasarkanpada•  realisasitunggalselamasuatuselangwaktuàdikenalsebagai+meaverageproper+es

•  beberaparealisasipadawaktutertentuàdikenalsebagaiensembleproper+es

•  Apabila+meaverageproper+es=ensembleproper+es,maka5meseriestsbmemilikisifatergodic

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

14

ProsesStokastik

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

15

!!

Xi =1T

Xi (t)dt0

T

∫

Xi =1n

Xi (t j )j=1

n

∑

!!X(t)= 1

mXi (t)

i=1

m

∑ X(t)= X(t)p(x;t)dx−∞

∞

∫

+meaverageproper+esrealisasike-iselamaselangwaktu0s.d.T

ensembleaveragepadawaktut

ProsesStokastik

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

16

!!X(t)= X(t+ τ), ∀ t dan τ prosesstokas5kbersifatpermanenuntuknilairerata(sta+onaryinthemean,first-ordersta+onary)

!!Cov(X(t),X(t+ τ))= 1

mXi (t)−X(t)( ) Xi (t+ τ)−X(t+ τ)( )

i=1

m

∑ kovarianX(t)danX(t+τ)jikaτ=0àvarian5meseries

Jikaprosesstokas5kmemilikisifatpermanen(sta+onary)untuknilaireratadankovarian,maka5meseriestsbmemilikisifatsecond-ordersta+onary.

ProsesStokastik•  Untuk5meseriesyangbersifatergodic•  nilaireratawaktu(+meaveragemean)samadengannilaireratabersama(ensembleaverage)

•  haldiatasberlakupulauntuknilai-nilaireratawaktuyanglain,5dakhanyamean

•  Olehkarenaitu•  sifat-sifatprosesrandom(stokas5k)permanendapatdiukurdaridatahistoristunggal(realisasitunggal)

•  kadang,data5meseriesrealisasitunggaldipecahmenjadibeberapa5meseriespendek

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

17

ProsesStokastik

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

18

•  Untuksuatuprosesrandomdenganrealisasitunggal,i=1

!!

Xi =1T

Xi (t)dt0

T

∫

Xi =1n

Xi (t j )j=1

n

∑

!!

Cov(Xi (t),Xi (t+ τ))=1

T − τXi (t)−Xi( ) Xi (t+ τ)−Xi( )dt

0

T−τ

∫

Cov(Xi (t),Xi (t+ τ))=1

n−1Xi (t j )−Xi( ) Xi (t j + τ)−Xi( )

j=1

n

∑

nilairerata,realisasitunggal,variabelrandomkon5nu

nilairerata,realisasitunggal,variabelrandomdiskrit

varrandomkon5nu

varrandomdiskrit

Autokorelasi•  Yangdibahasadalah5meseriesergodic,sehinggahanyadiperlukanrealisasitunggal,i=1saja

•  Autokorelasi(autocorrela+on),ρ(τ)

•  Untukτ=0,makaρ(τ)=1karenaCov(X(t),X(t+τ))=Var(X(t))•  Jikaτkecil,makaρ(τ)posi5fJikaτbertambahbesar,makaρ(τ)nega5f

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

19

!!ρ(τ)=

Cov X(t),X(t+ τ)( )Var X(t)( )

Autokorelasi

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

20

•  Plotfungsiautokorelasivsselangwaktuτdisebutkorelogram

stokas5k stokas5k+periodik

Autokorelasi•  Korelogram•  bergunauntukmengetahuijikadatayangberurutantersebutindependent

•  jikakorelogrammenunjukkanadanyakorelasiyangkuatantaraX(t)danX(t+τ),makadata5dakindependent

•  Autokorelasidengandemikian•  menunjukkan“memori”prosesstokas5k•  jikaρ(τ)=0,prosesdikatakan5dakmemilikimemoriterhadapkejadiansebelumt–τ

•  padaprinsipnyauntuksebagianbesarprosesrandom,ρ(τ)haruslahsamadengannoluntukτbesar

•  jikaρ(τ)untukτbesarmenunjukkansuatupolayang5daksamadengannol,makahalinimengindikasikansuatukomponendeterminis5k

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

21

Autokorelasi•  Untukskalawaktudiskrit,fungsiautokorelasimenjadiρ(k),kadalahjumlahselangwaktuyangmemisahkanX(t)danX(t+τ)

•  Hubunganantaraτdank

•  Δtadalahpanjangselangwaktu,misal1hari,1bulan,1tahun,dsb.

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

22

!τ =k Δt

Autokorelasi•  Jikaρ(k)=0untuksemuak≠0•  prosesdisebutsebuahprosesrandommurni•  halinimenunjukkandatasalinglinearlyindependent

•  Jikaρ(k)≠0untuksejumlahk≠0•  datayangterpisahkΔtadalahdependent•  prosesdisebutsebuahprosesrandom

•  Jikasebuah5meseriesbersifattakpermanen(nonsta+onary)•  ρ(k)≠0untuksemuak≠0karenaadanyakomponendeterminis5k•  Jikakomponendeterminis5k5dakdihilangkanterlebihdulu,makakita5dakdapatmenentukansampaiseberapajauhρ(k)≠0akandipengaruhiolehkomponendeterminis5k

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

23

AnalisisSpektral•  Autokorelasi•  Timeseriesdalamdomainwaktu

•  Analisisspektral•  Timeseriesdalamdomain

frekuensi•  Timeseries•  Sampeldarisuatupopulasiyang

dicirikanolehkeragamandalamsuatuspektrumfrekuensikon5nu

•  Sampelrandomdarisuatuprosesmenurutwaktu,temporal(atauruang,spa+al)yangtersusundarioskilasisemuafrekuensiyangmungkinterjadi

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

24

AnalisisSpektral•  Analisisspektral•  Spektrumkeragaman(avariancespectrum)àmembagikeragaman(variance)menjadisejumlahrentangfrekuensi

•  Variabelyangumumnyadipakaidalamanalisisadalahkerapatanspektral(spectraldensity)

•  Spectraldensity•  jumlahvarianperrentangfrekuensi

•  Beberapais5lah,variabel•  Frekuensi,f[T−1]•  Frekuensisudut(angularfrequency),ω[radT−1]•  Periode,Tataup[T]•  Spectraldensity,S

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

25!!

ω=2πT=2πp=2πf

S( f )= S(ω)2π

AnalisisSpektral

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

26

!!S( f )= ρ(τ)exp −i 2πf τ( )dτ

−∞

∞

∫ =2 ρ(τ)cos 2πf τ( )dτ0

∞

∫

§  Hubunganantarafungsikerapatanspektraldanfungsiautokorelasi

§  TransformasiFourier

!!ρ(τ)= S( f )cos 2πf τ( )d f

−∞

∞

∫

§  Untukτ=0,ρ(0)=1dancos(0)=1yangmenunjukkanbahwa:

!!S( f )d f

−∞

∞

∫ =1 S(f)dapatdipandangsebagaiprobabilitydensityfunc+on(pdf)yangmemberikankontribusiterhadapvariantakberdimensi(normalizedvariance)dalamrentangfrekuensidarif1s.d.f2.

AnalisisSpektral

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

27

!!ρ(τ)=

Cov X(t),X(t+ τ)( )Var X(t)( )

•  KontribusiterhadapvarianyangdiberikanolehS(f)

!!S( f )d f

f1

f2

∫

•  JikaautokorelasidihitungsbgCov(X(t),X(t+τ)),makaρ(0)=Var(X(t))

Ingat:autokorelasi

AnalisisSpektral•  Data5meserieshidrologi•  Umumnyaberupatabelvariabelsebagaifungsiwaktu•  Selangwaktuadalahdiskrit,bukankon5nu•  Olehkarenaitu

•  Spektralharusdisesuaikanuntukmengakomodasikansejumlahdiskritfrekuensi;kepadafrekuensiinilahvarianakandidistribusikan

•  UntukdatayangdiukurpadaselangwaktuΔtseragam•  Oskilasidatayangmemilikifrekuensiter5nggiyangdapatmemberikaninformasi

mengenaidatatsbadalahoskilasidatayangmemilikifrekuensisbb:

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

28!!fN =

12Δt

FrekuensiNyquist

AnalisisSpektral•  Kerapatanspektralsampel•  dihitungdenganmemakair(k)danintegrasipersamaanS(f)

•  madalahjumlahmaksimumlagkorelasi{jumlahmaksimumselangwaktuuntukmenghitungr(k)}

•  msebaiknya5dakmelebihi10%s.d.25%jumlahdatapadasampel•  persamaandiatasdipakaiuntukmenghitungkerapatanspektralsampeluntukfrekuensi:

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

29

!!

ˆ!S ( f )=Δt r(0)+2 r(k)cos(2πkfΔt)+r(m)cos(2πmfΔt)k=1

m−1

∑&

'((

)

*++

!f =

k fNm

AnalisisSpektral•  Nilaikerapatanspektralsampeltersebutperludihaluskan•  Nilaies5masikerapatanspektraladalah:

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

30

!!S(0)=0.5 ˆ!S (0)+ ˆ!S ( fN m)( )

!!S( fN )=0.5 ˆ!S ((m−1) fN m)+ ˆ!S ( fN )#

$%&

!!

S(kfN m)=0.25 ˆ!S ((k −1) fN m)+0.5 ˆ!S (k fN m)+0.25 ˆ!S ((k+1) fN m)

k =1,2,...,m−1

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

31

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

32

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

33

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

34

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

35

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

36

13-Sep

-16

h2p://is5

arto.staff.ugm.ac.id

37