sistem kendali 02. tempat kedudukan akar - nadya amalia 2011

LAPORAN PRAKTIKUM

SISTEM KENDALI

PERCOBAAN II

TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

NAMA : NADYA AMALIA

NIM : J1D108034

ASISTEN : NURILDA HAYANI

PROGRAM STUDI S-1 FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

BANJARBARU

2011

Lembar Pengesahan

Laporan Praktikum Sistem Kendali

Nama : Nadya Amalia

NIM : J1D108034

Judul Percobaan : Tempat Kedudukan Akar

Tanggal Percobaan : 17 Nopember 2011

Fakultas : MIPA

Program Studi : Fisika

Nilai

Banjarbaru, 2011

( Nurilda Hayani )

PERCOBAAN II


I. TUJUAN

1. Mampu memahami prinsip tempat kedudukan akar dan menggambarkan

kurva tempat kedudukan akar dari suatu sistem.

2. Mampu menganalisis kestabilan system dengan menggunakan tempat

kedudukan akar.

II. DASAR TEORI

2.1 Respon Transien

Transient response menunjukkan karakteristik output terhadap input dalam time

domain. Karakteristik suatu sistem kendali biasanya dilihat dari transient response-

nya. Hal ini karena sistem dengan penyimpanan energi tidak bisa merespon seketika

itu juga dan akan selalu menunjukkan transient response ketika sistem itu diberi input

atau gangguan. Untuk menganalisa sistem kendali biasanya digunakan standar input

seperti fungsi impulse, step, ramp, atau sinusoidal. Input yang paling sering

digunakan adalah unit step, karena input ini menyediakan informasi tentang

karakteristik transient respons dan steady state respons dari suatu sistem. Secara

umum setiap kita mengaktifkan suatu sistem, kita mengaktifkan fungsi step.

Gambar diagram blok :

Gambar 1.a Gambar 1.b

Keterangan :

Gambar 1.a. Blok diagram suatu sistem kendali

Gambar 1.b. Blok diagram suatu sistem kendali yang disederhanakan di mana:

G(s) = Gc(s)Gp(s) dan H(s) = 1 (2.1)

Perhatikan gambar 1.b. Fungsi alih lingkar tertutup dari sistem kendali tersebut

adalah:

(2.2)

(2.3)

Transient respons dari sistem adalah invers Transformasi Laplace dari C(s) atau

c(t)=L-1 [C(s)]

1. Sistem orde –1

Sistem orde –1 mempunyai bentuk umum fungsi alih sebagai berikut :

(2.4) (2.6)

dimana τ adalah konstanta waktu

2. Sistem orde –2

Bentuk fungsi alih lingkar tertutup dari sistem orde –2 adalah sebagai berikut:

(2.5) (2.8)

Dengan ξ merupakan koefisien redaman yang menunjukkan apakah sistem

orde-2 tersebut overdamped, underdamped, critically damped atau oscilatory

(lihat pada lampiran). Sedangkan ωn adalah frekuensi natural.

Dalam perancangan suatu sistem kendali harus diketahui spesifikasi-spesifikasi

yang mendefinisikan karakteristik sistem.

Spesifikasi transient respons sebagai berikut :

Rise time (Tr)

Peak time (Tp)

Persent Overshoot (%OS)

Settling time (Ts)

Final Value (Fv) atau nilai steady state

2.1 Tempat Kedudukan Akar

Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup

ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu

ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem

lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa

sehingga pole dan zero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole

lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya

diperlukan penguraian persamaan polinomila karakteristik atas faktor-faktornya.

Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih

tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang

ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan

arus diulang.

Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan

menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu

parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini

selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini

biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar

terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan

fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah

harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga.

Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik sistem lingkar

tertutup jika penguatan diubah dari nol sampai tak terhingga memberikan latar

belakang pemberian nama metoda ini. Diagram ini secara jelas menunjukkan

konstribusi tiap pole dan zero ingkar terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup.

Metoda tempat kedudukan akar memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar

tertutup dari pole dan zero lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter.

Metoda ini menghilangkan kesulitankesulitan yang timbul pada teknik klasik

dengan memberikan peragaan grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua

harga penguatan fungsi alih lingkar terbuka.

Gambar 2.1 Diagram blok system kendali lingkar tertutup

Fungsi alih lingkar tertutup Gambar 2.1 adalah

(2.6)

Persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup adalah

1 + G(s)H(s) = 0 (2.7)

atau

G(s)H(s) = -1 (2.8)

Karena G(s)H(s) adalah besaran kompleks maka persamaan (2.7) dapat

dipisahkan menjadi dua persamaan dengan menyamakan masing-masing sudt dan

besar kedua uas persamaan tersebut untuk mendapatkan

Syarat sudut

∠G(s)H(s) = ±180o (2k + 1) dimana (k = 0,1,2,......) (2.9)

Syarat besar

|G(s)H(s)| = 1 (2.10)

Harga-harga s yang memenuhi syarat sudut dan syarat besar adalah akar-

akar persamaan karakteristik atau pole-pole lingkar tertutup. Suatu diagram dari

titik-titik pada bidang kompleks yang hanya memenuhi syarat sudut adalah tempat

kedudukan akar dan akar-akar persamaan karakteristik untuk suatu harga

penguatan yang diberikan dapat diperoleh dari syarat besar. Sebelum membahas

suatu metoda untuk menggambar diagram tempat kedudukan akar secara

terperinci akan diberikan suatu ilustrasi diagram tempat kedudukan akar untuk

sistem orde kedua sederhana dengan fungsi alih terbuka berikut

(2.11)

Fungsi alih lingkar tertutupnya

(2.12)

Persamaan karakteristik sistem adalah

𝑠2 + 𝑠 + 𝐾 = 0 (2.13)

Akan ditentukan tempat kedudukan akar-akar persamaan (2.13) jika K

diubah dari nol sampai tidak terhingga. Untuk memberikan gambaran yang jelas

mengenai rupa diagram tempat kedudukan akar sistem ini, pertama-tama akan

dicari akar-akar persamaan karakteristik secara analitis dalam bentuk K dan

kemudian mengubah K dari nol sampai tidak terhingga. Harus diingat bahwa ini

bukan merupakan cara yang benar untuk menggambar diagram tempat kedudukan

akar. Cara yang benar adalah menggunakan pendekatan coba-coba secara grafis

dan pekerjaan ini dapat disederhanakan dengan menerapkan aturan-aturan umum

yang akan diberikan pada Bagian 2.8 . Akar –akar persamaan karakteristik

persamaan (2.13) adalah

(2.14)

(2.15)

Akar-akar persamaan (2.14) dan (2.15) adalah nyata untuk 𝑘 ≤ 1 4⁄ dan

kompleks untuk 𝑘 > 4.

III. PERANGKAT YANG DIPERLUKAN

1. Pentium-based PC

2. Software Matlab 6.5 atau 7 dan Simulink

3. Program penunjang praktikum

IV. LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN

a. 𝐺(𝑠) =𝑠2+1

𝑠(𝑠+2)

%root locus plot

num=[1 0 1];

den=[1 2 0];

K=0:1:100;

Rlocus(num,den,K);

grid

title('Root loci = us plot dari K(s^2-1)/[s(s-2)]')

b. Melakukan hal yang sama untuk persamaan system berikut

𝐺(𝑠) =2𝑠2+5𝑠+1

𝑠(𝑠+2)+3, 𝐻(𝑠) = 1

c. 𝐺(𝑠) =𝐾(0,2𝑠+1)

𝑠(𝑠+2)(𝑠+2), 𝐻(𝑠) = 1

V. DATA HASIL PERCOBAAN

5.1 Hasil

Tabel 1. Data hasil pengamatan

No. Fungsi alih plant G(s) Fungsi

alih H(s) Closed loop poles

K batas

kestabilan

1 𝐺(𝑠) =𝑠2

𝑠(𝑠 + 2) 𝐻(𝑠) = 1

−0,0298 ± 0,985i

−0,151 ± 909i

−0,339 ± 737i

−0,422 ± 0,615i

−0,463 ± 0,554i

32,5

5,62

1,94

1,32

1,13

2 𝐺(𝑠) =2𝑠2 + 5𝑠 + 1

𝑠(𝑠 + 2) + 3 𝐻(𝑠) = 1

−1 ± 0,24i

−1 ± 0,916i

−1 ± 1,13i

−1 ± 1,3i

−1 ± 1,41i

0,913

0,306

0,157

0,0561

0,0006744

3 𝐺(𝑠) =𝐾(0.2𝑠 + 1)

𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 2) 𝐻(𝑠) = 1

0,0448 ± 4,9i

−0,0723 + 3,88i

−0,137 + 3,421i

−0,575 ± 1,16i

−0,693 ± 0,551i

98,1

58

43,6

4,79

2,05

5.2 Pembahasan

a. )2(

1)(

2

ss

ssG , H(s)=1

Fungsi alih plant : )2(

1)(

2

ss

ssG

Fungsi alih : H(s)=1

Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1()2(

12

ss

sK

Persamaan karakteristik sistem : 1 + KG(s)H(s) = 0

1 + KG(s)H(s) = 0)2(

11

2

ss

sK

0)2(

)1()2( 2

ss

sKss

0)2(

)2 22

ss

KKsss

02)1( 2 KssK

)1(2

4442 2

2,1K

KKs

Tabel 2. Kemungkinan nilai akar untuk fungsi alih persamaan 1.

K s1 s2

-10 0.1111 + 1.0482i 0.1111 - 1.0482i

-1 0.5000 ∞

0 0 -2

10 -0.0909 + 0.9491i -0.0909 - 0.9491i

100 -0.0099 + 0.9950i -0.0099 - 0.9950i

Tabel di atas menunjukkan bahwa sistem memiliki batas kestabilan karena

memiliki akar yang berada disebelah kanan yaitu pada K < 0.

Semua koefisien positif dan tidak nol, oleh karena itu, sistem

memenuhi kondisi penting untuk kestabilan. Batas kestabilan K berdasarkan

analisa Routh Horwitz:

02)1( 2 KssK

S2: 1+K K

S1: 2 0

S0: K ↔ KKKK

2

2

220)1(

Jadi, sistem stabil jika K > 0

b. 3)2(

152)(

2

ss

sssG H(s)=1

Fungsi alih plant : 3)2(

152)(

2

ss

sssG

Fungsi alih : H(s) = 1

Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1(3)2(

152 2

ss

ssK

Persamaan karakteristik sistem : 1 + KG(s)H(s) = 0

1 + KG(s)H(s) = 03)2(

1521

2

ss

ssK

03)2(

5232 22

ss

KKsKsss

0)3()52()21( 2 KsKsK

)21(2

)3)(21(4)52()52( 2

2,1K

KKKKs

Tabel 3. Kemungkinan nilai akar untuk fungsi alih persamaan 2

K s1 s2

-10 -2.3709 -0.1554

-3 -2.6000 0

-2 -2.7863 0.1196

-1 -3.5616 0.5616

0 -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i

1 -1.7676 -0.5657

2 -1.8633 -0.5367

3 -2.0000 -0.4286

100 -2.2720 -0.2255


memiliki yang berada disebelah kanan yaitu pada 0 > K> -3.




0)3()52()21( 2 KsKsK

S2: 1+2K 3 + K

S1: 2+5K 0

S0: 3+ K 0

↔ KK

KK

KKKK

352

)52)(3(

52)52()3(0)21(

Jadi, sistem stabil jika 0 < K < -3

c. )2)(2(

12.0)(

sss

ssG H(s)=1

Fungsi alih plant : )2)(2(

12.0)(

sss

ssG

Fungsi alih : H(s) = 1

Fungsi alih lingkar terbuka sistem : KG(s)H(s) = )1()2)(2(

12.0

sss

sK

Persamaan karakteristik sistem :

1+ KG(s)H(s) = 0)2)(2(

12.01

sss

sK

0)2)(2(

2.044 23

sss

KsKsss

02.044 23 KsKsss

Tabel 3. Kemungkinan nilai akar fungsi alih persamaan 3.

K s1 s2 s3

-100 -4.2492 + 2.0430i -4.2492 - 2.0430i 4.4985

-10 -2.6035 + 1.2275i -2.6035 - 1.2275i 1.2070

0 -2 -2 0

10 -3.1049 -0.4476 + 1.7379i -0.4476 - 1.7379i

100 -4.0981 0.0490 - 4.9396i 0.0490 + 4.9396i


memiliki yang berada disebelah kanan.




0)2.04(4 23 KsKss

S3: 1 4+0.2K

S2: 4 K ↔ KKK

05.044

)2.04(4))(1(

S1: 4 – 0.05K 0 ↔ KK

KK

05.04

)05.04()0)(4(

S0: K

Jadi , sistem stabil jika 0 < K < 4/0.05 atau 0 < K < 80

VI. PEMBAHASAN

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari

lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Mencari akar-akar persamaan karakteristik

orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. Oleh karena itu, digunakan

alternative untuk mempermudah hal tersebut dengan melakukan percobaan

menggunakan Matlab dan Matlab Simulink. Metode yang digunakan untuk

mencari akar-akar persamaan orde tinggi yang digunakan dalam percobaan ini

adalah metode root locus yang dikembangkan oleh W.R. Evan. Dengan metode

root locus tersebut praktikan dapat menentukan tempat kedudukan akar-akar

persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus

juga dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap

penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.

Program pertama diberikan sebuah fungsi transfer berorde 2, kemudian

dengan menggunakan Matlab, digunakan fungsi Rlocus yang secara otomatis

akan melakukan analisis dan memplotkan grafiknya. Hasil simulasi menunjukkan

sebuah sistem yang memiliki batas kestabilan, sebab ada perpanjangan titik-titik

yang berada diluar daerah real sebelah kiri (negatif). Dan hasil perhitungan

manual pun menunjukkan hasil yang sama, bahwa persamaan 1 memiliki batas

kestabilan. Dan sistem akan stabil apabila nilai K > 0.

Untuk persamaan kedua, hasil simulasi Matlab memberikan gambaran

sebuah sistem yang memiliki batas kestabilan. Hasil perhitungan menunjukkan

hal yang sama, ada akar-akar yang berada di luar daerah real sebelah kiri. Sistem

akan stabil apabila nilai K lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari -3.

Hasil simulasi persamaan ketiga memberikan gambaran sebuah sistem yang

juga ada batasan dalam kestabilannya. Sama dengan simulasi Matlab, sistem

punya batas kestabilan karena ada akar-akar persamaan yang terletak di luar

bidang real negatif. Dan kestabilan sistem akan terjadi apabila nilai K berada di

antara 0 dan 80.

VII. KESIMPULAN

1. Tempat kedudukan akar mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.

2. Untuk fungsi alih yang sama, bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga

berubah.

3. Nilai pole dan zero dapat ditentukan dengan perhitungan secara manual dan

melihat posisi bulatan (zero) dan silang (pole) pada root locus di matlab.

4. Pada root locus, sistem dapat dikatakan stabil apabila semua akarnya berada

disebelah kiri atau bernilai negatif untuk sumbu real dan tidak stabil apabila

berada di sebelah kanan atau bernilai positif untuk sumbu realnya.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2011. Diktat Kuliah Sistem Linier: Sistem Linier Tak Ubah Waktu.

Jurusan Teknik elektro ISTA: Yogyakarta.

Diakses pada tanggal 11 November 2011.

Anonim. 2011. Modul Praktikum Dasar Sistem Kendali Ekstensi. Departemen

Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia: Depok.

LAMPIRAN

DATA HASIL PERCOBAAN

PRAKTIKUM II SISTEM KENDALI


1. 𝑮(𝒔) =𝒔𝟐

𝒔(𝒔+𝟐) , 𝑯(𝒔) = 𝟏

Dengan Matlab

Dengan Matlab Simulink

2. 𝑮(𝒔) =𝟐𝒔𝟐+𝟓𝒔+𝟏

𝒔(𝒔+𝟐)+𝟑 , 𝑯(𝒔) = 𝟏

Dengan Matlab

3. 𝑮(𝒔) =𝑲(𝟎.𝟐𝒔+𝟏)

𝒔(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟐) , 𝑯(𝒔) = 𝟏

Dengan Matlab

sistem kendali 02. tempat kedudukan akar - nadya amalia 2011

Documents